2022年陕西省西安安区中考数学一模试卷及答案解析

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果等于(    )

A.     B.     C.     D. 

2.  下列四个交通标志图形中，不是轴对称图形的是(    )

A.     B.     C.     D. 

3.  计算：(    )

A.     B.     C.     D. 

4.  如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为(    )

A. 

B. 

C. 

D. 

5.  已知直线为常数与两条坐标轴围成的三角形面积为，则直线与两条坐标轴围成的三角形面积为(    )

A.     B.     C.     D. 

6.  如图，在矩形中，、交于点，为边上一点，若，，，则的长为(    )

A. 

B. 

C. 

D. 

7.  如图，在三角形纸片中，点，分别在边，上，将这张纸片沿直线翻折，点恰好落在边上点处．若，，，，则四边形的面积为(    )

A. 

B. 

C. 

D. 

8.  已知抛物线经过点，，四个点，则下列说法一定正确的是(    )

A. 若，则    B. 若，则

C. 若，则    D. 若，则

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  分解因式：          ．

10.  一个正多边形的一个内角是它相邻外角度数的倍，则这是一个正______边形．

11.  若数列、、、、的平均数为，则的值为______．

12.  在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位后落在某一反比例函数的图象上，此反比例函数的表达式为______．

13.  如图，点为上一点，连接，且，点为上一动点，点为上一动点，连接，以线段为边在内构造矩形，且点在上，则矩形面积的最大值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）

14.  解不等式组．

四、解答题（本大题共12小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分

计算：．

16.  本小题分

化简：

17.  本小题分

如图，在中，于点，且，请用尺规作图法，在边上找一点，使得的面积等于的面积保留作图痕迹，不写作法．

已知：点、、、在一条直线上，，，求证：≌．

某商场开展“消费暖心”活动，本次活动中的家电消费单笔交易满元立减元，某品牌电饭煲按进价提高后标价，再按标价的九折销售．某顾客购买该电饭煲时，实付现金元，求该电饭煲的进价．

20.  本小题分

春节期间，晓梅和晓东姐弟俩决定到附近游玩，她们想去陕西科学技术馆、陕西历史博物馆或秦岭四宝科学馆中的一个景点游玩，假设每个景点被选中的可能性相等．

晓梅选择去陕西历史博物馆游玩的概率为______；

用树状图或列表的方法求晓梅和弟弟晓东选择去同一个馆游玩的概率．

21.  本小题分

“揽月阁”位于西安市雁塔南路最南端，是西安唐文化轴的标志性建筑，阳光明媚的一天，某校九年级一班的兴趣小组去测量揽月阁的高度．揽月阁前面有个高米的平台，身高米的小强在台上走动，当小强走到点处，小红蹲在台下点处，其视线通过边缘点和小强头顶点正好看到塔顶点，测得米，然后小强从正前方跳下后往前走到点处，此时发现小强头顶在太阳下的影子恰好和塔顶在地面上的影子重合于点处，测得米，米．请你根据以上数据帮助兴趣小组求出揽月阁的高度．

为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为小时，阅读总时间分为四个类别：，，，，将分类结果制成如下两幅统计图．根据以上信息，回答下列问题：

本次抽样的样本容量为______，请补全条形统计图；

求扇形统计图中的值；

若该校有名学生，估计寒假阅读的总时间超过小时但不超过小时的学生有多少名？

23.  本小题分

“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京年冬季奥运会和冬残奥运会的吉祥物．该吉祥物深受全世界人民的喜爱，某生产厂家经授权每天生产两种吉祥物挂件共件，且当天全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表所示：

求出与之间的函数关系式；

若该厂每天投入总成本不超过元，应怎样安排“冰墩墩”和“雪容融”制作量，可使该厂一天所获得的利润最大，请求出最大利润和此时两个挂件的制作量．

24.  本小题分

如图，点在以为直径的上，点是的中点，连接并延长交于点，作，交的延长线于点．

求证：是的切线；

若，求的半径．

已知抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点．

求抛物线的解析式及点的坐标；

点是轴上一动点，且，过点作直线轴交直线于点，交抛物线于点，过点作于点当与全等时，求点的坐标．

问题提出：

如图，在中，，，，则的面积为______；

如图，在四边形中，，，，，点，分别为边，上两动点，且，连接，，试说明四边形的面积是定值；

问题解决：

如图是一块平行四边形空地，其中，，，点，分别为边，上两点，且，连接，，公司规划在区域修建一座购物商城，在区域修建一个顾客休息中心，在区修建小吃城，最后中间区域进行绿化．公司为了利益最大化，绿化面积即的面积尽可能小．请你计算出绿化面积的最小值和的长度．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解： 

，

故选：．

根据有理数的乘法法则计算可得．

本题主要考查有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．

2.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，故本选项错误；

C、是轴对称图形，故本选项错误；

D、不是轴对称图形，故本选项正确；

故选：．

根据轴对称图形的概念求解．

本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

3.【答案】 

【解析】解：，

故选：．

先计算幂的乘方，再计算同底数幂相除．

此题考查了幂的乘方和同底数幂相乘的运算能力，关键是能准确理解并运用该计算法则．

4.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，

，

过作直线，

，

，

直线直线，

直线，

，

，

，

故选：．

过作直线，根据等边三角形性质求出，根据平行线的性质求出的度数，再结合平角的定义计算可求求解．

本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，注意：两直线平行，内错角相等．

5.【答案】 

【解析】解：当时，，

直线与轴交于点；

当时，，

解得：，

直线与轴交于点．

直线与两条坐标轴围成的三角形面积，

．

同理，直线与轴交于点，与轴交于点，

直线与两条坐标轴围成的三角形面积．

故选：．

利用一次函数图象上点的坐标特征可求出直线与两坐标轴的交点坐标，结合直线与两条坐标轴围成的三角形面积为，即可求出，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出直线与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积计算公式，即可求出结论．

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积计算公式，求出的值是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，

四边形是矩形，

，

，

，

，

．

故选：．

过点作于点，根据矩形性质可得，再根据等腰三角形三线合一可得，然后根据勾股定理即可解决问题．

本题考查了矩形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：设与交于点，

由折叠得：

，，，

，

，

，

，，

是的中位线，是的中位线，

，，

，

在中，，

四边形的面积 

，

故选：．

设与交于点，根据折叠可得，，，从而可得，再根据，从而可得是的中位线，是的中位线，进而可得，然后在中，根据勾股定理可得，最后根据四边形的面积进行计算即可解答．

本题考查了翻折变换折叠问题，三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：，

抛物线开口向下，对称轴为直线，

，

，

选项中，若，则，故错误，不符合题意．

选项中，若，则，正确，符合题意．

选项中，若，则或，故错误，不符合题意．

选项中，若，则，故错误，不符合题意．

故选：．

通过解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而判断出，然后分别判断四个选项求解．

本题考查二次函数图象上的点的特征，解题关键是熟练掌握二次函数图象的性质．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用分解因式．应先提取公因式，再对其利用平方差公式分解即可．

【解答】

解：，

，

．

故答案为：．

10.【答案】八 

【解析】解：设正多边形的一个内角等于，

一个内角的度数恰好等于它相邻的外角的度数的倍，

，

解得：，

外角度数是，

这个多边形的边数是：．

故答案为：八．

首先设正多边形的一个内角等于，由在正多边形中，一个内角的度数恰好等于它相邻外角的度数的倍，即可得方程：，解此方程即可求得答案．

此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，方程思想的应用是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：数列、、、、的平均数为，

；

故答案为：．

根据算术平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案．

此题考查了算术平均数，熟练掌握算术平均数的计算公式是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：设反比例函数的解析式为，

将点向左平移个单位后得到的点的坐标是，

点在反比例函数的图象上，

，

反比例函数的解析式为，

故答案为：．

根据点的平移规律可得平移后点的坐标是，然后代入，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式．

此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，以及点的平移规律，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．

13.【答案】 

【解析】解：如图，当点与重合时，四边形是的内接矩形，

当时，四边形是正方形，此时面积最大，

四边形面积的最大值，

故答案为：．

如图，当点与重合时，四边形是的内接矩形，当时，四边形是正方形，此时面积最大，

本题考查点与圆的位置关系，矩形的性质，解题关键是发现点与重合时，四边形的面积存在最大值．

14.【答案】解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

则不等式组的解集为． 

【解析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是解答此题的关键．

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

15.【答案】解： 

． 

【解析】先算二次根式的除法，绝对值，零指数幂，再算加减即可．

本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．

16.【答案】解： 

． 

【解析】先将括号内的式子通分，然后计算括号外的除法，最后约分即可．

本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

17.【答案】解：如图，点为所作．

【解析】作的垂直平分线交于，交于，连接、，由于，则，所以的面积等于的面积，再利用得到的面积等于的面积，从而得到的面积等于的面积．

本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

18.【答案】证明：，

，

，

，

，

，

即，

在和中，

，

≌． 

【解析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．

先利用平行线的性质得到，，再证明，然后根据“”可判断≌．

19.【答案】解：设电饭煲的进价为元，

根据题意得：，

解得，

答：电饭煲的进价为元． 

【解析】设电饭煲的进价为元，根据题意可得，即可解得答案．

本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．

20.【答案】 

【解析】解：晓梅选择去陕西历史博物馆游玩的概率为，

故答案为：；

画树状图得：

共有种等可能的结果，晓梅和弟弟晓东选择去同一个馆游玩的情况有种结果，

晓梅和弟弟晓东选择去同一个馆游玩的概率为．

直接利用概率公式求解可得．

先画出树状图，根据树状图可以求得所有等可能的结果以及他们选择去同一个景点游玩的情况，再利用概率公式即可求得答案．

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．

21.【答案】解：如图，延长交于点，则四边形是矩形，

，，

设米，

，

，

，

米，

米，

，

，

，

，

米

答：揽月阁的高度为米． 

【解析】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．

如图，延长交于点，则四边形是矩形，，，设米，由，推出，推出，可得米，推出米，由，推出，可得，解方程即可解决问题．

22.【答案】 

【解析】解：本次抽样的人数人，

样本容量为，

组的人数为人，补全统计图如下：

故答案为：；

组所占的百分比为，

的值为，

故答案为：；

估计寒假阅读的总时间超过小时但不超过小时的学生有名．

根据组的人数和百分比即可求出样本容量；根据组所占的百分比即可求出组的人数，继而可补全图形；

根据组的人数即可求出组所占的百分比；

用总人数乘以样本中总时间超过小时但不超过小时的学生人数所占比例．

本题主要考查统计图形的应用，能看懂统计图是关键，一般求总量所用的公式是一个已知分量除以它所占的百分比，第一问基本都是求总量，所以要记住，估算的公式是总人数乘以满足要求的人数所占的百分比，这两种问题中考比较爱考，记住公式，平时要多加练习．

23.【答案】解：由题意得：；

由题意，，

解得，

，，

随的增大而增大，

时，有最大值，

答：该厂每天制作“冰墩墩”件，“雪容融”件，可使该厂一天所获得的利润最大，最大利润元． 

【解析】根据总利润销售两种吉祥物挂件的利润之和，列出式子即可解决问题；

根据题意得到不等式，解不等式，结合的结论即可解答．

本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意列出函数关系式并熟练掌握及一次函数最大值的方法．

24.【答案】证明：为直径，

，

又为中点，为中点，

，，

．

，

，

又，，

，

又，

．

，

，

．

又为半径，

故FA是的切线；

解：为中点，为中点，

，

，

，，

∽，

，即 

负数已舍去 

的半径为． 

【解析】根据圆周角定理及中位线的性质可得，再由等腰三角形的性质及切线的判定定理可得结论；

根据中位线的性质可得的长，再根据相似三角形的判定与性质可得答案．

本题属于主要考查了圆周角定理，三角形中位线性质定理，等腰三角形性质，圆切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握其性质定理是解决此题的关键．

25.【答案】解：把，两点的坐标代入抛物线，

，解得．

抛物线的解析式为：．

令，则，

由可知，，，

，即，

，，

轴，

，

，

于点，

，

若与全等，只需要即可．

，

，

，

轴，

，

，，

．

，

，

，

舍去或或．

或 

【解析】把点和点的坐标代入解析式组成方程组，求出和的值即可得出抛物线解析式，令，求出的值即可得出点的坐标；

根据点和点和点的坐标可以求出和的长，根据直角三角形三边关系可以求出，，由轴可得轴，则是含的直角三角形，且是含的直角三角形，其中点和点对应，点和点对应，若两个三角形全等，只需要即可．

本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定，通过分析背景图形得出当时，两个三角形全等是解题关键．

26.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，

，

，

，

，

，，

的面积为，

故答案为：；

如图，连接，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，则，

，，，

≌，

，，

，

，，

，

，，

，

，

是等腰直角三角形，

，

设，则，

，

，

，

，

故四边形的面积为，

四边形的面积是定值；

如图，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，则，

设，则，，，

四边形是平行四边形，

，

，，

在中，，即，

，

在中，，即，

，

过点作于，

中，，，

，

，

，

当时，的面积最小，其最小值是，即绿化面积的最小值．

如图，过点作于，根据勾股定理计算高的长，由三角形面积公式可得结论；

如图，连接，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，设，则，根据的正切列方程可得的值，根据面积和表示，即可得结果；

如图，作辅助线，构建高线，，设，利用面积差表示，利用函数性质即可得结论．

本题是四边形综合题，涉及到勾股定理，直角三角形的性质，锐角三角函数，二次函数的性质，三角形和平行四边形的面积等，解题关键是利用函数判断最小值．