陕西省2022届高三上学期元月大联考文科数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

A． ． ． ．

2．（    ）

A． ． ． ．

3．已知向量，，，则与的夹角为（    ）

A． ． ． ．

4．随着互联网的飞速发展，网上购物已成为了流行的消费方式.某网店第三季度的服装产品的销售总额和其中某款服装的销售额占当月服装产品销售总额的百分比如图所示：

下列结论正确的是（    ）

A．该款服装这3个月的销售额逐月递减

B．该款服装这3个月的销售总额为23.69万元

C．该款服装8月份和9月份的销售额相同

D．该款服装8月份和9月份的销售总额大于7月份的销售额

5．已知，，，则（    ）

A． ． ． ．

6．已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为7，到轴的距离为5，则（    ）

A．3 ．4 ．5 ．6

7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（    ）

A．18 ．36 ．54 ．108

8．已知，则（    ）

A． ． ． ．

9．青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一．已知某青花瓷花瓶的外形上下对称，可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示．若该花瓶的瓶口直径是8，瓶身最小的直径是4，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（    ）

A． ．

C． ．

10．已知函数，则下列结论正确的是（    ）．

A．的最小正周期是 ．的图象关于点对称

C．在上单调递增 ．是奇函数

11．已知定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（    ）

A． ． ． ．

12．在四边型中（如图1所示），，，，将四边形沿对角线折成四面体（如图2所示），使得，则四面体外接球的表面积为（    ）

A． ． ． ．

14．已知，则关于x的方程有解的概率为___________.

15．若，满足约束条件则的最大值为________．

16．如图，一辆汽车在一条笔直的马路上从东往西以的速度匀速行驶，在处测得马路右侧的一座高塔的仰角为，行驶5分钟后，到达处，测得高塔的仰角为，其中为高塔的底部，且在同一水平面上，则高塔的高度是___________.（塔底大小､汽车的高度及大小忽略不计）

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和．

18．某中学组织一支“邹鹰”志愿者服务队，带领同学们利用周末的时间深入居民小区开展一些社会公益活动．现从参加了环境保护和社会援助这两项社会公益活动的志愿者中，随机抽取男生80人，女生120人进行问卷调查（假设每人只参加环境保护和社会援助中的一项），整理数据后得到如下统计表：

（2）从本校随机抽取的120名参与了问卷调查的女生中用分层抽样的方法，从参加环境保护和社会援助的同学中抽取6人开座谈会，现从这6人（假设所有的人年龄不同）中随机抽取参加环境保护和社会援助的同学各1人，试求抽取的6人中参加社会援助的年龄最大的同学被选中且参加环境保护的年龄最大的同学未被选中的概率．

附：，其中．

（1）证明：平面平面PBC.

（2）若，求三棱锥B-ACD的体积.

20．已知函数．

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）若关于x的不等式在上恒成立，求a的取值范围．

21．已知O坐标原点，椭圆的上顶点为A，右顶点为B，的面积为，原点O到直线AB的距离为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过C的左焦点F作弦DE，MN，这两条弦的中点分别为P，Q，若，求面积的最大值．

22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）已知点，若直线l与曲线C交于A，B两点，求的值．

23．已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求的取值范围．

参

1．C

【分析】

先求出集合B，然后由交集运算可得答案.

【详解】

由可得，所以

又，所以.

故选：C

2．A

【分析】

由复数的除法运算直接化简即可.

【详解】

.

故选：A

3．A

【分析】

先计算向量的模，再根据向量数量积的定义，将展开，即可求得答案.

【详解】

因为，所以，

又因为，设 与的夹角为 ， ，

所以 ，即 ，

解得 ，故 ，

故选：A.

4．C

【分析】

依据服装销售总额和该款服装销售的百分比，可以计算该款服装的销售总额.从而判断选项.

【详解】

由题意7月份､8月份，9月份的销售总额分别为50万元,40万元,48万元

由，； 

即该款服装7月份､8月份，9月份的销售额分别是12万元，6万元，6万元，

则这3个月的销售总额为24万元，

故A，B，D错误，C正确.

故选：C

5．A

【分析】

利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、三个数的大小关系.

【详解】

因为，，，所以.

故选：A.

6．B

【分析】

根据抛物线的定义计算可得；

【详解】

解：抛物线的准线方程为，因为点到的焦点的距离为，到轴的距离为，所以，所以；

故选：B

7．C

【分析】

结合已知条件可知几何体为直三棱柱，然后利用柱体体积公式计算即可.

【详解】

由三视图可知，几何体为直三棱柱，如下图所示：

由三视图中所给数据可知，的面积，

从而该几何体体积.

故选：C.

8．A

【分析】

根据同角三角函数关系式和诱导公式对所求式子进行化简，然后根据齐次式进行求值即可.

【详解】

因为，

所以.

故选：A.

9．B

【分析】

由已知得双曲线的焦点在x轴上，设该双曲线的方程为，代入建立方程组，求解即可得双曲线的标准方程．

【详解】

解：由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点（4，3）在该双曲线上．设该双曲线的方程为，

则解得，，故该双曲线的标准方程是．

故选：B.

10．D

【分析】

先把函数化简成正弦型三角函数，再去求周期，判断对称中心，代入法去求单调递增区间.以奇偶性的定义去判断函数是否为奇函数.

【详解】

．

因为，所以A错误；

因为，

所以的图象不关于点对称，所以B错误；

令，解得，

当时，，

则在上单调递增，在上单调递减.

故在上不单调，则C错误；

因为，

则有

故是奇函数，则D正确．

故选：D

11．C

【分析】

设，求出导函数，由条件可得其在在上单调递增，不等式转化为，由单调性可得答案.

【详解】

设，则.

因为，，所以，

所以，即在上单调递增.

不等式可转化为，

又，且

即，所以，解得.

故选：C

12．D

【分析】

根据题意，可知，由勾股定理求出，由三角形全等进而得出，取的中点，连接，则，由于球心到球上任意一点的距离相等，从而可知点为四面体外接球的球心，求出外接球的半径，最后根据球的表面积公式进行计算，即可求出结果.

【详解】

解：，，，

又，则，，

可知，则，

取的中点，连接，则，

所以点为四面体外接球的球心，

则外接球的半径为：，

所以四面体外接球的表面积.

故选：D.

13．1

【分析】

根据题意，利用奇函数的性质可知时，代入中可求出的值.

【详解】

解：因为是奇函数，，

所以，

因为当时，，

所以，所以，解得：.

故答案为：1.

14．

【分析】

利用几何概型公式即求.

【详解】

因为方程有解，

所以，解得，

所以所求的概率为.

故答案为：.

15．

【分析】

根据线性规划的约束条件画出图像，然后求目标函数的最大值.

【详解】

解：

画出可行域知，直线和直线的交点为.

当直线过点时，取得最大值．

故答案为：

16．##

【分析】

设，则，由余弦定理可得答案.

【详解】

如图，由题意可知，

设，则，

在中，由余弦定理可得，

即，解得.

故答案为：.

17．

（1）

（2）

【分析】

（1）由题意列方程组解得等差数列的基本量，代入通项公式即可；

（2）以裂项相消法进行数列求和即可解决.

（1）

设等差数列的首项为，公差为d，

则，解得，

故数列的通项公式．

（2）

等差数列的前n项和，

则．

故

18．

（1）没有99%的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关；

（2）

【分析】

（1）根据列联表中的数据，求得，结合附表，即可求解；

（2）根据分层抽样的方法，求得参加环境保护的人数为4人，参加社会援助的人数为2人，列举事件后可得概率.

（1）

解：由题意，根据列联表中的数据，

可得，

因为，

所以没有99%的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关；

（2）

解：由题意，女生120中，参加环境保护的人数为80人， 

所以抽取的6人中，参加环境保护的人数为4人，记为A,B,C,D(其中A年龄最大)

参加社会援助的人数为2人，记为a,b,(其中a年龄最大)

从这6人中随机抽取参加环境保护和社会援助的同学各1人，

共有,8种基本情况；

参加社会援助的年龄最大的同学被选中且参加环境保护的年龄最大的同学未被选中的基本情况有：，共3种，

故所求概率为.

19．

（1）证明见解析；

（2）.

【分析】

（1）首先证明平面PAC，即可得到，然后即可证明平面PBC，根据面面垂直的判定定理即可证明平面平面PBC.

（2）根据三棱锥的体积等于三棱锥的体积，从而可求出答案.

（1）

因为圆O所在的面，即平面ABC，而平面ABC，

所以.

因为AB是圆O的直径，C为圆周上一点，所以.

又，所以平面PAC，而平面PAC，所以.

因为，，所以.

又，所以，

又D为线段PC的中点，所以.

又，所以平面PBC，而平面ABD，

所以平面平面PBC.

（2）

在中，因为，，所以，，

所以.

因为平面ABC，D为PC的中点，

所以点D到平面ABC的距离.

所以.

20．

（1）（或）.

（2）.

【分析】

（1）求导函数，并计算， ，由直线的点斜式方程可求得答案；

（2）设，求导函数，分，讨论导函数的符号，得出所令函数的单调性和最值，从而求得a的取值范围．

（1）

解：当时，，则．

从而，因为，

所以所求切线方程为，

即（或）．

（2）

解：设，

则．

当时，因为，所以，，

所以在上单调递减，则，符合题意．

当时，设，，，

所以存在唯一的，使得，即存在，使得．

当时，，则在上单调递增，

当时，，则在上单调递减，

故，不符合题．

综上，a的取值范围为．

21．

（1）

（2）

【分析】

（1）设出直线的方程为：，原点到直线的距离为，列出关系式，通过，根据三角形的面积，求出，，即可得到椭圆的标准方程．

（2）依题意可得，即可判断直线与的斜率均存在，设：，，，，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理即可得到点坐标，同理得到点坐标，从而得到、，再利用基本不等式及对勾函数的性质计算可得；

（1）

解：由题意，①

，，则直线的方程为：，即为，

原点到直线的距离为，

，

，②

，③

由①②③得：，，

所以椭圆的标准方程为：；

（2）

解：由（1）可知，因为，所以，

若直线或中有一条直线斜率不存在，那么、中一点与重合，故斜率一定存在，

设：，则的斜率为，

由可得：，

设，，，，则，，所以

，即，

同理将代入得，

所以，，

所以

令，则，当且仅当即时取等号，

所以，所以，

因为函数在上单调递增，所以当时，

所以，即面积的最大值为；

22．

（1），

（2）

【分析】

（1）消去参数，即可求得曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）以直线参数方程解决有关线段长的问题简单快捷.

（1）

由（为参数），得，

即曲线C的普通方程为．

由，得，

即直线l的直角坐标方程为．

（2）

将直线l的方程转化为参数方程（t为参数）．

将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程得．

设A，B对应的参数分别是，，则，，

故．

23．

（1）；

（2）.

【分析】

（1）当时，根据绝对值不等式得出，再根据分段函数即可求出不等式的解集；

（2）由题可知，而，分类讨论解绝对值不等式即可求出的取值范围．

（1）

解：当时，

当时，，即，故；

当时，恒成立，故；

当时，，即，故；

综上得，不等式的解集为.

（2）

解：由题可知，而，

当时，，得；

当时，，得；

综上得，的取值范围为.