2012年全国数学竞赛预赛试题及参

试题及参

一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．在1,3,6,9四个数中，完全平方数、奇数、质数的个数分别是【      】

（A）2,3,1        （B）2,2,1       （C）1,2,1       （D）2,3,2

【答】A．

解：完全平方数有1,9；奇数有1,3,9；质数有3．

2．已知一次函数的图象经过一、二、三象限，则下列判断正确的是【      】

（A）     （B）     （C）    （D）

【答】C．

解：一次函数的图象经过一、二、三象限，说明其图象与y轴的交点位于y轴的正半轴，且y随x的增大而增大，所以解得．

3．如图，在⊙O中，，给出下列三个

结论：（1）DC=AB；（2）AO⊥BD；（3）当∠BDC=30°

时，∠DAB=80°．其中正确的个数是【      】

（A）0                （B）1 

（C）2                （D）3

【答】D．

解：因为，所以DC=AB；因为，AO是半径,所以AO⊥BD；设∠DAB =x度，则由△DAB的内角和为180°得：，解得．

4. 有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面上，从中任意摸出2张牌，摸出的花色不一样的概率是【      】

（A）          （B）          （C）          （D）

【答】B．

解：从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能，摸出的2张牌花色不一样的有4种可能，所以摸出花色不一样的概率是.

5．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C是y轴上一动点，要使△ABC为等腰三角形，则符合要求的点C的位置共

有【     】

（A）2个        （B）3个        （C）4个        （D）5个

【答】D．

解：由题意可求出AB=5，如图，以点A为圆心AB

的长为半径画弧，交y轴于C1和C2，利用勾股定理可求

出OC1=OC2=，可得，

以点B为圆心BA的长为半径画弧，交y轴于点C3和C4，

可得，AB的中垂线交y轴于点C5，利用

三角形相似或一次函数的知识可求出．

6．已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型

抛物线），这条抛物线的解析式是【      】

（A）      （B）

（C）      （D）

【答】A．

解：的顶点坐标是，设，，由得，所以．

二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）

7．若，则的值为           ．

【答】7．

解：．

8．方程的解是                   ．

【答】．

解： 

.

∴，解得.

9．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1,0），

若点A的坐标为（a，b），将线段BA绕点B顺时针旋转

90°得到线段，则点的坐标是             ．

【答】．

解：分别过点A、作x轴的垂线，垂足分别

为C、D．显然Rt△ABC≌Rt△BD． 由于点A的

坐标是，所以，，所以点的坐标是．

10．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，AM=1，是以点A为圆心2为半径的圆弧，是以点M为圆心2为半径的圆弧，则图中两段弧之间的阴影部分的面积为           ．

【答】2．

解：连接MN，显然将扇形AED向右平移

可与扇形MBN重合，图中阴影部分的面积等于

矩形AMND的面积，等于．

11．已知α、β是方程的两根，则的值为          ．

【答】．

解：∵α是方程的根，∴．

∴，

又 ∵

∴ =．

12．现有145颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上，这些小朋友的人数最多有         个．

【答】36．

解：利用抽屉原理分析，设最多有x个小朋友，这相当于x个抽屉，问题变为把145颗糖放进x个抽屉，至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上,则≤145，解得≤36，所以小朋友的人数最多有36个．

三、解答题（第13题15分，第14题15分，第15题18分，共48分）

13．王亮的爷爷今年（2012年）80周岁了，今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和，问王亮今年可能是多少周岁？

解：设王亮出生年份的十位数字为，个位数字为（x、y均为0 ~ 9的整数）．∵王亮的爷爷今年80周岁了，∴王亮出生年份可能在2000年后，也可能是2000年前．故应分两种情况：      …………………2分

（1）若王亮出生年份为2000年后，则王亮的出生年份为，依题意，得   ，

整理，得  x、y均为0 ~ 9的整数，

∴此时

∴王亮的出生年份是2005年，今年7周岁．…………………8分

（2）若王亮出生年份在2000年前，则王亮的出生年份为，依题意，得   ，

整理，得，故x为偶数，又

∴  ∴  此时

∴王亮的出生年份是1987年，今年25周岁． …………………14分

综上，王亮今年可能是7周岁，也可能是25周岁．……………15分

14．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A、B的坐标分别是、，点D在线段OA上，BD=BA， 点Q是线段BD上一个动点，点P的坐标是，设直线PQ的解析式为．

（1）求k的取值范围；

（2）当k为取值范围内的最大整数时，若抛物线的顶点在直线PQ、OA、AB、BC围成的四边形内部，求a的取值范围．

解：（1）直线经过P，∴．

∵B，A，BD=BA，∴ 点D的坐标是，

∴ BD的解析式是,  

依题意，得，∴

∴解得……………………………………………7分

    （2）且k为最大整数，∴.

则直线PQ的解析式为.……………………………………………9分

又因为抛物线的顶点坐标是，对称轴为．

解方程组得 即直线PQ与对称轴为的交点坐标为，

∴．解得．……………………………………15分

15. 如图，扇形OMN的半径为1，圆心角是90°．点B是上一动点，

BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．（1）求证：四边形EPGQ是平行四边形；（2）探索当OA的长为何值时，四边形EPGQ是矩形；（3）连结PQ，试说明是定值．

解：（1）证明：如图，

∵∠AOC=90°，BA⊥OM，BC⊥ON，

∴四边形OABC是矩形．

∴．

∵E、G分别是AB、CO的中点，

∴

∴四边形AECG为平行四边形.

∴  ……………………………4分

连接OB，

∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，

∴ GF∥OB，DE∥OB， ∴ PG∥EQ，

∴四边形EPGQ是平行四边形．………………………………………………6分

（2）如图，当∠CED=90°时，□EPGQ是矩形．

此时 ∠AED+∠CEB =90°．

又∵∠DAE=∠EBC =90°，∴∠AED=∠BCE．

∴△AED∽△BCE．………………………………8分

∴．

设OA=x，AB=y，则∶=∶，得．…10分

又，即．

∴，解得．

∴当OA的长为时，四边形EPGQ是矩形．………………………………12分

（3）如图③，连结GE交PQ于，则．过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点、．

由△PCF∽△PEG得， 

∴ ==AB， =GE=OA，

∴．

在Rt△中，，

即， 又，

∴，  

∴．……………………………………18分