权方和不等式专题研究

一.原理

权方和介绍

权方和不等式是在高中竞赛中很有用的一个不等式，常用来处理分式不等式。

它和赫尔德不等式的这个特殊情形是等价关系。

其中m称为不等式的权，特点是分子次数比分母高一次。

通俗的说法是：

二元结构形式：

取，设则，当且仅当时等号成立.

三元结构形式：

取，设

则，当且仅当时等号成立.

二证明

略

三应用

应用时的思路

第一步：找定值，分子之和是不是定值，分子之和是不是定值，不是定值，能否通过变形配凑后变成定值；

第二步：使用公式，让分子的指数比分母大一即可；

第三步：检验。检验等号成立的条件。

例1.已知，且，求的最小值______.

【答案】9

【解析】

当且仅当时，即时取等号.

变式1. 设，，若，则的最小值为           .

【答案】

【解析】.当且仅当时，即时取等号.

例2.已知正数满足，则的最小值为________.

【答案】4（消元，权方和）

【解析】

，，

当且仅当

时取等号.

例3.若存在实数a、b使得直线与线段(其中，)只有一个公共点，且不等式对于任意成立，则正实数p的取值范围为      ．

【答案】 p1.

【解析】

方法一：

因为直线与线段(其中，)只有一个公共点，所以，可知对应的区域为对顶区域，表示点与点的距离的平方，，

由题意，，

则=4，

所以p1．

方法二：

因为直线与线段(其中，)只有一个公共点，所以，可知对应的区域为对顶区域，表示点与点的距离的平方，，

由题意，，

则=4，

所以p1．

例4.已知，且，则的最小值为          .

【答案】 .

【解析】

方法一：令，则问题转化为求的最小值，而，故知最小值为. 

方法二：.检验略

例5.已知实数，满足，且，则的最小值是________.

【答案】

【解析】

例6.已知正实数满足，则的最小值为       ．

【答案】

【解析】

.

例7.已知x＞0，y＞0，，则的最小值为       ．

【答案】3

【解析】.

例8.已知正实数满足，则的最小值是______.

【答案】

【解析】

,

例9.【2018苏北四市12】已知正实数满足，则的最小值为    ．

【答案】

【解析】

例10.已知，满足，则 的最小值____________.

【答案】

【解析】