最新高考三角函数题型归类

三角函数除了具有一般函数的各种性质外，它的周期性和独特的对称性，再加上系统的丰富的三角公式，使其产生的的各种问题丰富多彩，层次分明，变化多端，围绕三角函数的考题总是以新颖的形式出现，在高考试题中占据重要的位置，成为高考命题的热点。

2006年高考从三角函数的图象、周期性、奇偶然性、单调性、最值、求值及综合应用等各个方面全面考查三角知识。

一。2005年高考三角函数题型归类

1。直接考查三角函数的基本公式与基本运算。

例1、（1）（2006年湖北卷）若△的内角满足，则=（A）

  A.          B.        C.             D. 

17．解A 。 ∵，∴。

∴， =

。

（2）（2006年安徽卷）已知

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值。

解：(Ⅰ)由得，即，又，所以为所求。

（Ⅱ）=

===。

2。考查三角函数的图象与性质。

例2（2006年福建卷）已知函数

    （I）求函数的最小正周期和单调增区间；

    （II）函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到？

分析：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。满分12分。

    解：（I）

    的最小正周期

    由题意得

    即　

    的单调增区间为

    （II）方法一：

    先把图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到的图象。

    方法二：

    把图象上所有的点按向量平移，就得到的图象。

（2006年辽宁卷）已知函数,则的值域是

(A)    (B)   (C)   (D) 

【解析】

即等价于，故选择答案C。

【点评】本题考查绝对值的定义、分段函数、三角函数等知识，同时考查了简单的转化和估算能力。

3。考查三角恒等变形与解三角形的知识。

例3。（2006年湖南卷）如图3,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=,∠ABC=.

(1)证明 ：;

(2)若AC=DC,求的值.

解析：

（1）

评注：本题考查运用三角变换及三角形正余弦定理求解三角形中的有关问题。其中第一问的证明突破口是如何找到的角的大小关系；第二问题求解关键是如何利用题设条件建立关于的三角方程，注意角的大小范围讨论，以免产生错解。

例4。（2006年四川卷）已知是三角形三内角，向量，且

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若，求

本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。满分12分。

解：（Ⅰ）∵ ∴  即

,  

∵  ∴   ∴

（Ⅱ）由题知，整理得

∴∴

∴或

而使，舍去   ∴

∴

例5（2006年江西卷）如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是

边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，

设MGA＝（）

（1）试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）

表示为的函数

（2）求y＝的最大值与最小值

解：

（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，

所以   AG＝，MAG＝，

由正弦定理

得

则S1＝GMGAsin＝

同理可求得S2＝

（2）y＝＝

＝72（3＋cot2）因为，所以当＝或＝时，y取得最大值ymax＝240

当＝时，y取得最小值ymin＝216

4。考查三角函数在实际生活中的的应用。

例6。（2006年上海卷）如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？

[解]

.解：连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10COS120°=700.

     于是,BC=10.

     ∵,    ∴sin∠ACB=,

∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°

∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.

5。考查三角函数与其他内容的综合。

例7。（2006年辽宁卷）的三内角所对边的长分别为设向量, ,若,则角的大小为

(A)    (B)    (C)  (D) 

【解析】，利用余弦定理可得，即，故选择答案B。

【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。

例8。（2006年湖北卷）设函数，其中向量，，，。

（Ⅰ）、求函数的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）、将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。

   点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。

   解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx)

               ＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+).

所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是＝.

（Ⅱ）由sin(2x+)＝0得2x+＝k.，即x＝,k∈Z，

于是d＝（，－2），k∈Z.

因为k为整数，要使最小，则只有k＝1，此时d＝（―，―2）即为所求.

例9。（2006年全国卷2）已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－＜θ＜．

（Ⅰ）若a⊥b，求θ；

（Ⅱ）求｜a＋b｜的最大值．

解：（Ⅰ）若a⊥b，则sinθ＋cosθ＝0，……………2分

由此得   tanθ＝－1(－＜θ＜)，所以  θ＝－；………………4分

（Ⅱ）由a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)得

｜a＋b｜＝＝

＝，………………10分

当sin(θ＋)＝1时，|a＋b|取得最大值，即当θ＝时，|a＋b|最大值为＋1．……12分

二。2007年高考三角函数命题展望与预测

例1、如图，在南北方向直线延伸的湖岸上有一港口A，一机艇以60km/h的速度从A出发，30分钟后因故障而停在湖里，已知机艇出发后先按直线前进，以后又改成正东，但不知最初的方向和何时改变方向。如何去营救，用图示表示营救的区域。

分析：10 要表示出一个区域，一般可在直角坐标系中表示，所以应首先建立直角坐标系；

20 题中涉及到方向问题，所以不妨用方向角θ作为变量来求解。

解：以A为原点，过A的南北方向直线为y轴建立直角坐标系，如图：设机艇的最初航向的方位角为θ，设OP方向前进m到达点P，然后向东前进n到达点Q发生故障而抛锚。则m+n=30,令点Q的坐标为（x,y），

则  θ∈[0，]。

∴|AQ|2=x2+y2=m2+n2+2mnsinθ≤m2+n2+2mn=（m+n）2=900∵机艇中途东拐，∴x2+y2<900。…………①

又∵x+y=m(sinθ+cosθ)+n=msin(θ+)+n≥m+n=30,

∴x+y≥30…………②

例2、某糖果厂为了拓宽其产品的销售市场，决定对一种半径为1的糖果的外层包装进行设计。设计时要求同时满足如下条件：

（1）外包装要呈一封闭的圆锥形状；（2）为减少包装成本，要求所用材料最省；（3）为了方便携带，包装后每个糖果的体积最小。问：这些条件能同时满足吗？如果能，如何设计这个圆锥的底面半径和高？此时所用的外包装用料是多少？体积是多少？若不能，请说明理由。

分析：要求该圆锥的全面积和体积，需要知道它的下底面半径AC、母线PA及高PC，这些变量之间的关系可以通过一个“角”把它们联系起来。

解：如图，设∠OAC=θ，则OC=1，下底面半径AC=R=ctgθ,母线长l=，高h=Rtan2θ，θ∈（0，）。

则S全=πRl+πR2=πR(+R)=πR2(+1)

     =πcot2θ(+1)=;

V=πR2h=πR2 ·Rtan2θ=πR3tan2θ=πcot3θ=π∴当且仅当tan2θ=1－tan2θ,即tanθ=时，能使S全和V同时取到最小值，此时R=，h=2，即当圆锥的下底面半径和高分别为、2时能同时满足条件，外包装用料是8π，体积是。

例3．已知、是的两个内角，且、是方程的两个实根，求的取值范围．

解：依题意有，＋＝， ＝，

＝＝＝1．…………..3分

， ．从而， ，

故， ．…………..6分

即方程的两个实根均在内．

设，

则函数与轴有两个交点，且交点在内；

又函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为，

故其图象满足

     即…………..9分

解之，得，

故所求的范围是．…………..12分

例4.设椭圆的方程为＝1（m，n>0），过原点且倾角为θ和π－θ（0＜θ＜＝的两条直线分别交椭圆于A、C和B、D两点，

（Ⅰ）用θ、m、n表示四边形ABCD的面积S；

（Ⅱ）若m、n为定值，当θ在（0，］上变化时，求S的最小值u；

（Ⅲ）如果μ>mn，求的取值范围.

解：（Ⅰ）设经过原点且倾角为θ的直线方程为y=xtanθ，可得方程组又由对称性，得四边形ABCD为矩形，同时0＜θ＜，所以四边形ABCD的面积S＝4|xy|＝．

（Ⅱ）S＝．

（1）当m>n，即＜1时，因为＋m2tanθ≥2nm，当且仅当tan2θ＝时等号成立，所以．

由于0＜θ≤，0＜tanθ≤1，

故tanθ＝得u＝2mn．

（2）当m1时，对于任意0＜θ1＜θ2≤，

由于

．

因为0＜tanθ1＜tanθ2≤1，m2tanθ1tanθ2－n2＜m2－n2＜0，所以（m2tanθ2＋）－（m2tanθ1＋）＜0，于是在（0，］上，S＝是θ的增函数，故取θ＝，即tanθ＝1得u＝．

所以u＝

（Ⅲ）（1）当>1时，u=2mn>mn恒成立.

（2）当<1时， >1，即有（）2－4（）+1<0，

所以，又由<1，

得.

综上，当u>mn时，的取值范围为（2－，1）∪（1，＋∞）．

评述：本题主要考查椭圆的对称性及不等式的应用，通过求最小值来考查逻辑思维能力和应用能力，同时体现分类讨论思想.

例5、设椭圆的中心是原点Ｏ，长轴在x轴上，离心率，已知点Ｐ到这个椭圆上的点的最远距离是，求此椭圆方程，并求椭圆上的点Ｑ的坐标。

解：

由于椭圆的中心是原点，且由，因此可设椭圆参数方程为，其中k>0。在椭圆上任取一点Ｍ，则

1若，则当

　从而

这时椭圆方程为　点Ｑ的坐标为或

②，则当时

，这与矛盾，此时无解。故满足条件的椭圆方程为　此时Ｑ