2019-2020学年广东省东莞市高二下学期期末数学试题解析

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数学试题

注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 

一、单选题

1．已知复数满足(为虚数单位)，则（）

A．    B．    C．    D．

答案：C

根据复数四则运算可得，再求，进而求得.

解：

,

,

故选：C.

点评：

本题考查复数模的求解，考查运算求解能力，属于基础题.

2．函数的单调递增区间是（）

A．    B．    C．    D．

答案：D

求出导函数，由确定增区间．

解：

由已知，当时，当时，

所以增区间为．

故选：D．

点评：

本题考查用导数求函数的单调区间，解题关键是求出导函数．

3．广东省实施“3+1+2”的新高考改革模式，“3”指全国统一高考的语文､数学､外语，“1”指物理､历史2门中选择1门，“2”指思想政治､地理､化学､生物4门中选择2门.已知甲选择物理，乙选择地理，则甲乙两人有（）不同的选择组合方案.

A．12种    B．18种    C．36种    D．48种

答案：C

先分别计算甲乙各有多少种选科方案，然后再考虑两人的组合方案．

解：

甲的选科方案有种，乙的选科方案有种，两人的选择组合方案有种，

故选：C．

点评：

本题考查组合的应用，解题时需确定完成事件的方法，根据分类分步计数原理计算．

4．一个袋中装有大小相同的3个白球和3个黑球，若不放回地依次取两个球，设事件为“第一次取出白球”，事件为“第二次取出黑球”，则概率（）

A．    B．    C．    D．

答案：B

先求各事件概率再利用条件概率公式求解即可.

解：

，设事件为“第一次取出白球”，事件为“第二次取出黑球”，

，

第一次取出白球的前提下，第二次取出黑球的概率为：

.

故选：B.

点评：

本题主要考查条件概率.属于较易题.

5．已知，为虚数单位，，则（）

A．    B．    C．    D．

答案：A

根据复数相等的充要条件，构造关于a,b的方程，解出a,b即可得解.

解：

，，

.

故选：A.

点评：

本题考查复数代数形式的乘法运算，复数相等的充要条件，属于基础题.

6．设函数的导函数图象如下图，则函数的图象可能为（）

A．    B．

C．    D．

答案：C

根据导函数的符号与原函数单调性之间的关系结合导函数为偶函数可得出合适的选项.

解：

由导函数的图象可知，函数的符号从左至右依次为负、正、负，则函数的单调性从左至右依次为减、增、减，排除A、B选项；

由导函数的图象可知，函数为偶函数，即，

构造函数，则，

所以，（为常数），则函数的图象关于点对称，排除D选项.

故选：C.

点评：

本题考查利用导函数的图象选择原函数的图象，要结合导数符号与函数单调性之间的关系进行判断，考查推理能力，属于中等题.

7．下表是某产品的广告费用（万元）与收益（万元）的几组对应数据，根据表中提供的数据，得到关于的线性回归方程为，那么表中的值为（）

A．    B．    C．    D．

答案：A

计算出样本的中心点的坐标，将点的坐标代入回归直线方程可求得参数的值.

解：

由表格中的数据可得，，

由于回归直线过样本的中心点，则，解得.

故选：A.

点评：

本题考查利用回归直线过样本的中心点求参数，考查计算能力，属于基础题.

8．东莞近三年连续被评为“新一线城市”，“东莞制造”也在加速转型升级步伐，现有4个项目由东莞市安排到2个地区进行建设，每个地区至少有一个项目，其中项目和不能安排在同一个地区，则不同的安排方式有（）

A．4种    B．8种    C．12种    D．16种

答案：B

先把两个项目安排到两个地区，剩下的2个项目随便安排，可用项目选城市法计算．

解：

先把两个项目安排到两个地区，然后剩下的两个项目再选择地区共有安排方式种．

故选：B．

点评：

本题考查排列组合的应用，解题关键是确定安排4个项目的方法，然后由计数原理计数．

9．随机变量的分布列如下表所示，则（）

A．    B．    C．    D．

答案：D

由随机变量的分布列的性质，求得，再由期望的计算公式，求得，进而求得，得到答案.

解：

由随机变量的分布列的性质，可得，解得，

则，

所以.

故选：D.

点评：

本题主要考查了随机变量的分布列的性质，以及随机变量的期望的求解，其中解答中熟记分布列的性质，以及数学期望的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

10．组合恒等式，可以利用“算两次”的方法证明：分别求和的展开式中的系数.前者的展开式中的系数为；后者的展开式中的系数为.因为，所以两个展开式中的系数相等，即.请用“算两次”的方法化简式子（）

A．    B．    C．    D．

答案：A

引入等式，分别计算的系数．

解：

因为，

在中的系数为，

又，

这个式子中的系数可由前一个括号中一项乘以后一个括号中的相应项得出，即，

两个式子中的系数应相等，所以．

故选：A．

点评：

本题考查二项式定理的应用，考查“算两次”的方法证明组合恒等式．解题关键是把组合恒等式两边的数看作出二项展开式中某一项的系数，这个二项式用一种方法展开得一个算法的系数，用另一种方法展开后又得到该项系数的另一种算法，两种算法的结果相等，即得结论．

二、多选题

11．近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布和，则下列选项正确的是（）

附：若随机变量服从正态分布，则.

A．若红玫瑰日销售量范围在的概率是，则红玫瑰日销售量的平均数约为

B．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中

C．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中

D．白玫瑰日销售量范围在的概率约为

答案：ABD

利用正态分布的知识点，代表平均数，图像关于对称，代表标准差，越小图像越集中，选出正确答案.

解：

对于选项A：，正确；

对于选项BC：利用越小越集中，小于，B正确，C不正确；

对于选项D：，正确.

故选：ABD.

点评：

本题主要考查利用正态分布曲线解决实际问题.属于较易题.

12．已知函数，若，则下列选项正确的是（）

A．

B．

C．

D．当时，

答案：CD

利用导数判断函数的单调性，可判断A选项；构造函数，利用导数判断函数的单调性，可判断B选项；由函数的单调性可判断C选项；利用函数在区间上的单调性可判断D选项.

解：

对于A选项，函数，定义域为，.

令，则；令，可得.

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

当时，，则，A选项错误；

对于B选项，构造函数，定义域为，，

当时，；当时，.

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，

当时，，B选项错误；

对于C选项，，由于函数在上单调递增，

当时，，即，所以，，C选项正确；

对于D选项，由A选项知，函数在区间上单调递增，

当时，，则，

即，D选项正确.

故选：CD.

点评：

本题考查利用函数的单调性判断函数不等式，考查了导数与函数单调性之间的关系，属于中等题.

三、填空题

13．函数在处的切线方程为____________.

答案：

求出，进而得到，再利用点斜式方程，即可得到答案；

解：

，，

切点为，切线方程为，即，

故答案为：.

点评：

本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.

14．二项式的展开式中，含的系数为_______．

答案：6

根据题意，由展开式的通项，令，可得，将代入通项计算可得答案．

解：

根据题意，二项式的展开式的通项为，

令，可得，

此时，

即含的系数为6，

故答案为：6．

点评：

本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项展开式的通项公式，属于中档题．

15．有一种游戏，其规则为：每局游戏进行两轮积分，玩家先从标有1､2､3､4的4张卡片中随机抽取一张卡片，将卡片上数字的相反数作为得分；再从标有1､2､3､4的4张卡片中随机抽取两张卡片，将两张卡片数字之差的绝对值的1.2倍作为得分.则玩家玩一局游戏的得分期望为___.

答案：

求出各得分的概率，利用期望公式计算期望．

解：

由题意得分为的概率都是，

任两个卡片差的绝对值有1，2，3，得分分别为1.2，2.4，3.6，

概率分别为：得分1.2的概率是，得分2.4的概率是，得分为3.6的概率是，

因此所求期望为．

故答案为：．

点评：

本题考查随机变量的期望，解题关键是求出随机变量的可能取值及相应的概率，本题要注意两轮积分，两轮是两个不同的游戏，不是同一个事件空间中的事件．

四、双空题

16．已知8份血液样本中有一份病毒检验呈阳性，现先取其中4份混合检测，如果呈阳性，再逐份检测这4份，直到检测出阳性样本；如果呈阴性，则再对另外4份逐份检测，直到检测出阳性样本.则混合样本呈阳性的概率为______，恰好3次检测出阳性样本的概率为_________.

答案：

（1）根据古典概率模型，即可得到答案；

（2）在含有阳性的样本中，只要逐个检验2次，计算概率，即可得到答案；

解：

（1）根据古典概率模型，；

（2）根据题意得，恰好3次检测出阳性样本，

只要在确定的混合样本中检测2次即可，；

故答案为：；.

点评：

本题考查古典概型的概率计算，考查运算求解能力，属于基础题.

五、解答题

17．已知复数(为虚数单位).

（1）若是纯虚数，求实数的值；

（2）在复平面内，若所对应的点在直线的上方，求实数的取值范围.

答案：（1）；（2）.

（1）由复数的分类求解；

（2）写出对应点的坐标，点在直线上方，就是点的坐标适合不等式代入后不等式可得．

解：

解：（1）是纯虚数，，

解得，.

（2）所对应的点是，

所对应的点在直线的上方，即，

化简得，即，

.

点评：

本题考查复数的分类，复数的几何意义．属于基础题．

18．已知函数.

（1）求的极大值；

（2）求在上的最值.

答案：（1）极大值是：；（2）最大值：，最小值：.

（1）求出导函数，由确定单调性后得极值；

（2）根据（1）中所得单调性，计算在上的极值及和，然后比较可得最值．

解：

解：（1）定义域为

，

当时，得；当时，得；

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以的极大值是.

（2）由（1）知在单调递增，单调递减，

且，

，，

所以当时，取得最大值；当时，取得最小值.

点评：

本题考查用导数求函数的单调区间，求函数的极值与最值．求函数在闭区间上最值，可先求得函数在该区间上极值，然后与区间两端点处的函数值比较大小得最值．

19．为提高全民身体素质，加强体育运动意识，某校体育部从全校随机抽取了男生､女生各100人进行问卷调查，以了解学生参加体育运动的积极性是否与性别有关，得到如下列联表(单位：人)：

	经常运动	偶尔运动或不运动	合计
男生	70	30	100
女生	60	40	100
合计	130	70	200

（1）根据以上数据，判断能否在犯错误的概率不超过的情况下认为该校参加体育运动的积极性与性别有关；

（2）用频率估计概率，现从该校所有女生中随机抽取3人.记被抽取的人中“偶尔运动或不运动”的人数为，求的分布列､期望和方差.

附：，其中.

	0.15	0.10	0.05	0.025
	2.072	2.706	3.841	5.024

答案：（1）不能在犯错误的概率不超过的情况下认为该校参加体育运动的积极性与性别有关；（2）分布列答案见解析，，.

（1）代入即可得出结论；（2）服从二项分布，分别求出概率，即可得出的分布列，然后代入数据求出期望和方差即可.

解：

（1）由列联表可知，

因为，

所以不能在犯错误的概率不超过的情况下认为该校参加体育运动的积极性与性别有关.

（2）由题意可知，的所有可能取值为，

，，

，.

所以的分布列为

X	0	1	2	3
P

，.

点评：

本题主要考查性检验原理以及利用二项分布求期望和方差.属于中档题.

20．已知函数其中.

（1）若且函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（2）若，求的最大值.

答案：（1）；（2）.

（1）求出导函数，题意转化为在上恒成立，可分离参数后求函数的最大值即可得；

（2）不等式化简为恒成立，引入新函数，利用导数求得最小值，由最小值大于或等于0得的不等关系，求得后再引入新函数，转化为求新函数的最值．

解：

解：（1）由题设知在上恒成立，

即在上恒成立，

由函数在上单调递增，上单调递减，

则函数在处取得最大值

，的取值范围为.

（2）由，即，得恒成立

记，则

因为，所以当时，；当时，

所以在上单调递减，在上单调递增

，即

所以

记，则

因为，所以当时，；当时，

所以在上单调递增，在上单调递减

所以

所以的最大值为.

点评：

本题考查用导数研究函数的单调性，求最值，研究不等式恒成立，解题关键是掌握转化与化归思想．不等式恒成立转化为求函数的最值，已知单调性转化为不等式恒成立等等．考查学生分析问题解决问题的能力，运算求解能力，逻辑推理能力。

21．某景区有A，B两个出入口，在景区游客中随机选取了100人作为样本进行调查，调查结果显示从A出入口进入景区的有55人，从B出入口进入景区的有45人，

（1）从上述样本中选取2人，求两人恰好从不同出入口进入景区的概率；

（2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，景区计划在今年国庆节当日投入1到3列往返两个景区出入口的通勤小火车，根据过去5年的数据资料显示，每年国庆节当日客流量(单位：万人)的频数表如下：

国庆节当日客流量
频数	1	2	2

以这5年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间发生的概率，且每年国庆节当日客流量相互.已知国庆节当日小火车的使用量(单位：列)受当日客流量(单位：万人)的影响，其关系如下表：

国庆节当日客流量
小火车的使用量	1	2	3

若某列小火车在国庆节当日投入且被使用，则景区当日可获得利润3万元；若某列小火车在国庆节当日投入却未被使用，则景区当日亏损0.5万元；记(单位：万元)表示该景区在国庆节当日获得的总利润，则该景区在今年国庆节当日应投入多少列小火车才能使获得利润的期望最大？

答案：（1）；（2）景区在今年国庆节当日应投入3列小火车使获得利润的期望最大.

（1）根据古典概率公式可得答案；

（2）分别求出1列火车，2列火车，3列火车的当日利润的分布列和利润的数学期望，再比较大小，可得出结论.

解：

解：（1）记“两人恰好从不同出入口进入景区”为事件，则，

所以两人恰好从不同出入口进入景区的概率为.

（2）①当投入1列小火车时，(万元).

②当投入2列小火车时，

若，则，此时；

若，则，此时，

此时的分布列如下表：

	2.5	6

所以(万元).

③当投入3列小火车时，

若，则，此时；

若，则，此时；

若，则，此时；

此时的分布列如下表：

	2	5.5	9

所以(万元).

由于，则景区在今年国庆节当日应投入3列小火车使获得利润的期望最大.

点评：

本题考查古典概率公式和随机变量的分布列和数学期望，关键在于理解问题的情景，求得利润的分布列和数学期望，属于中档题.

22．已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，试讨论方程的根的个数.

答案：（1）答案见解析；（2）答案见解析.

（1）取得函数的导数，分和两种情况讨论，即可求解.

（2）把方程的根的个数转化为函数的零点个数，设，结合（1）求得函数的单调性与最值，即可得出结论.

解：

（1）由题意，函数，可得，

当时，恒成立，函数在上单调递增；

当时，当时，；当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增.

综上所述，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增.

（2）当时，方程的根的个数，

等价于函数的零点个数，

设，则，

由（1）知当时，在上单调递增，

∴当时，，

∴在上恒成立，

∴，

∴在上单调递增，

∴，，

∴当或时，函数在上没有零点，即方程没有根；

当时，函数在上有一个零点，即方程有1根.

点评：

本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．