高考一轮复习：复 数

【2015年高考会这样考】

复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点，并且一般在前三题的位置，主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算，难度较小．

【复习指导】

1．复习时要理解复数的相关概念如实部、虚部、纯虚数、共轭复数等，以及复数的几何意义．

2．要把复数的基本运算作为复习的重点，尤其是复数的四则运算与共轭复数的性质等．因考题较容易，所以重在练基础．　　

基础梳理

1．复数的有关概念

(1)复数的概念

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．

(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c；b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(4)复数的模

向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.

2．复数的四则运算

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

(4)除法：＝＝

＝(c＋di≠0)．

一条规律

任意两个复数全是实数时能比较大小，其他情况不能比较大小．

两条性质

(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(各式中n∈N)．

(2)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)复数(i是虚数单位)的实部是(　　)．

A.        B．－        C．－ i       D．－

解析　－＝－＝

＝－－i.

答案　D

2．(2011·天津)设i是虚数单位，复数＝(　　)．

A．2－i        B．2＋i       C．－1－2i       D．－1＋2i

解析　＝(1－3i)(1＋i)＝(4－2i)＝2－i.

答案　A

3．(2011·湖南)若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则(　　)．

A．a＝1，b＝1      B．a＝－1，b＝1

C．a＝1，b＝－1      D．a＝－1，b＝－1

解析　由(a＋i)i＝b＋i，得：－1＋ai＝b＋i，根据复数相等得：a＝1，b＝－1.

答案　C

4．(2011·广东)设复数z满足(1＋i)z＝2，其中i为虚数单位，则z＝(　　)．

A．2－2i       B．2＋2i       C．1－i        D．1＋i

解析　z＝＝＝＝1－i.

答案　C

5．i2(1＋i)的实部是________．

解析　i2(1＋i)＝－1－i.

答案　－1

考向一　复数的有关概念

【例1】►(2011·安徽)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为(　　)．

A．2       B．－2        C．－       D. 

[审题视点] 利用纯虚数的概念可求．

解析　＝＝＋i，

由纯虚数的概念知：＝0，≠0，∴a＝2.

答案　A

 复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程即可．

【训练1】 已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若为纯虚数，则复数的虚部为________．

解析　＝＝

＝＋i，

∵为纯虚数，∴＝0，≠0，∴a＝1.故的虚部为1.

答案　1

考向二　复数的几何意义

【例2】►在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)．

A．4＋8i       B．8＋2i       C．2＋4i      D．4＋i

[审题视点] 利用中点坐标公式可求．

解析　复数6＋5i对应的点为A(6,5)，复数－2＋3i对应的点为B(－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB的中点C(2,4)，故点C对应的复数为2＋4i.

答案　C

 复数的几何意义可以让我们运用数形结合思想把复数、向量、解析几何有机的结合在一起，能够更加灵活的解决问题．高考中对复数几何意义的考查主要集中在复数对应点的位置、加减法的几何意义、模的意义等．

【训练2】 (2011·徐州一检)复数＋i2 012对应的点位于复平面内的第________象限．

解析　＋i2 012＝i＋1.故对应的点(1,1)位于复平面内第一象限．

答案　一

考向三　复数的运算

【例3】►(2011·上海)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.

[审题视点] 利用复数的乘除运算求z1，再设z2＝a＋2i(a∈R)，利用z1·z2是实数，求a.

解　由(z1－2)(1＋i)＝1－i，得z1－2＝＝－i，

∴z1＝2－i.

设z2＝a＋2i(a∈R)，

∴z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.

∵z1·z2∈R.

∴a＝4.

∴z2＝4＋2i.

 复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．

【训练3】 (2011·湖北)i为虚数单位，则2011＝(　　)．

A．－i       B．－1        C．i        D．1

解析　因为＝＝i，所以原式＝i2011＝i4×502＋3＝i3＝－i.

答案　A　　

难点突破27——复数的几何意义问题

复数的几何意义是复数中的难点，化解难点的关键是对复数的几何意义的正确理解．对于复数的几何意义的理解可以从以下两个方面着手：

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝，实际上就是指复平面上的点Z到原点O的距离；|z1－z2|的几何意义是复平面上的点Z1、Z2两点间的距离．

(2)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.

【示例1】► (2011·山东)复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(　　)．

A．第一象限      B．第二象限

C．第三象限      D．第四象限

【示例2】► (2010·全国新课标)已知复数z＝，

则|z|＝(　　)．

A.          B.       C．1        D．2