《函数的极值与最值》经典题(教师版)

例.已知函数，求的极值。

解：由题意得

            令，解得， 

          变化时，、的变化情况如下表：

变式.已知函数，求的极值。

解：由题意得

            令，解得， 

          变化时，、的变化情况如下表：

变式.已知函数，求的极值。

解：由题意得

            令，解得， 

①若，当或时，,单调递增；

当,单调递减。

所以极大值为，极小值为。

②若，，在单调递增，

所以既无极大值，也无极小值。

③若，当或时，,单调递增；

当,单调递减。

所以极小值为，极大值为。

变式.已知函数，求在的最值。

解：由题意得

            令，解得， 

          变化时，、的变化情况如下表：

∴在的最小值为，最大值为。

变式.已知函数，若在处取得极大值，求实数

的值。

解：∵∴

∵在处取得极大值  ∴

∵   ∴或

①当时，， 

当或时，，单调递增；当时，,单调递减。所以在处取得极小值，于是不合题意，应舍去。

②当时，， 

当或时，,单调递减；当时，，单调递增。所以在处取得极大值，于是符合题意。

综上，实数的值是。

例.已知函数

(1)若，求的极值；

    (2)若,求在上的最大值；

(3)若在上的最小值为，求的值.

(4)若在上恒成立，求的取值范围.

解：(1)当时，，则的定义域为,

,令得,

当时, ,单调递减；当时, ,单调递增.所以的极小值为,无极大值。

(2) 当时，，则的定义域为,

，

于是，当在上变化时，的变化情况如下表：

(3) ， 

①若,则即在上恒成立，此时在上是增函数  ∴  ∴(舍去)

②若,则即在上恒成立，此时在上是减函数  ∴  ∴(舍去)

③若,令，得

当时，  ∴在上为增函数

当时，  ∴在上为减函数

∴   ∴

综上，的值是

 ()∵  ∴  又  ∴

令，则

∴

∵  ∴∴在上是减函数

    ∴即

∴在上也是减函数, ∴

∴当时,在上恒成立.

例．已知函数

(Ⅰ) 求函数的单调区间； 

(Ⅱ) 当时，求函数在上的最值.

(Ⅲ)当时，求函数在上的最小值.

(Ⅳ)若函数有两个零点，求实数的取值范围；

解：(Ⅰ) 函数的定义域是， 

①当时， ，                 

故函数增函数，即函数的单调增区间为． 

②当时，令，可得,

当时，；当时，，

故函数的单调递增区间为,单调减区间是.

 (Ⅱ)当时，， 

令解得

当时，；当时，，故在时取得极大值，也是最大值， 

∵∴，故在时取得最小值， 

(Ⅲ)①当,即时,函数在区间[1,2]上是减函数,

∴的最小值是.  　　　　　  

 ②当，即时，函数在区间[1,2]上是增函数，

∴的最小值是.

③当，即时，函数在上是增函数，在是减函数．

又，∴当时,最小值是；

当时,最小值为.　　　

综上可知,当时, 函数的最小值是；当时，函数的最小值是.

(Ⅳ)由（1）知时，在单调递增，当时，；

当时，；所以只有一个零点，不合题意。

当时，在单调递增在单调递减，所以当时，                                 

当时，；当时，；所以要使函数有两个零点。

只需即解得                   

所以时，有两个零点。                           

例．已知函数.

(Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；

(Ⅱ)求的单调区间；

(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.

解：.   

（Ⅰ），解得.

（Ⅱ）.  

①当时，，， 

在区间上，；在区间上，

故的单调递增区间是，

单调递减区间是. 

 ②当时，， 

在区间和上，；在区间上，

故的单调递增区间是和，

单调递减区间是.     

③当时，， 故的单调递增区间是.                     

④当时，， 

在区间和上，；在区间上，

故的单调递增区间是和，单调递减区间是.                     

（Ⅲ）由已知，在上有

由已知，，由（Ⅱ）可知，

①当时，在上单调递增，

故，

所以，，解得，

故.            

②当时，在上单调递增，在上单调递减，

故.

由可知，，，

所以，，，  

综上所述，.           

例．已知函数．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若对任意，函数在上都有三个零点，求实数的取值范围．

解：（1）因为，所以．

当时，，函数没有单调递增区间；

当时，令，得．故的单调递增区间为；

当时，令，得．故的单调递增区间为．

（2）由（1）知，时，的单调递增区间为，单调递减区间

为和．所以函数在处取得极小值，

函数在处取得极大值．

由于对任意，函数在上都有三个零点，

所以即解得．

因为对任意，恒成立，所以．

所以实数的取值范围是．

例．（2009陕西卷文）已知函数

求的单调区间； 

若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围。

解：（1）

当时，对，有

当时，的单调增区间为

当时，由解得或；

由解得，

当时，的单调增区间为；

的单调减区间为。

（2）因为在处取得极大值，所以

所以

由解得。由（1）中的单调性可知，

在处取得极大值，在处取得极小值。

因为直线与函数的图象有三个不同的交点，

又，，

结合的单调性可知，的取值范围是。