2015年全国高中数赛福建赛区预赛试题及参

暨2015年全国高中数赛（福建省赛区）预赛试卷

（考试时间：2015年5月24日上午9：00－11：30，满分160分）

一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）

1．设集合，从集合中随机抽取一个元素，记，则随机变量的数学期望                 。

2．已知，其中是定义在上，最小正周期为2的函数。若在区间上的最大值为1，则在区间上的最大值为                     。

3．、为椭圆：（）的左、右焦点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围为            。

4．已知实数，，满足，则的最小值为             。

5．已知函数，数列中，（），则数列的前100项之和              。

6．如图，在四面体中，，，，且与平面所成角的余弦值为。则该四面体外接球半径               。

7．在复平面内，复数、、的对应点分别为、、。若，，，则的取值范围是                    。

8．已知函数恰有两个极值点，（），则的取值范围为                 。

9．已知，若，则的取值范围为                    。

10．若，则正整数的最小值为             。

二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）

11．求函数的最小值。

12．已知过点斜率为的直线交双曲线：于、两点。

（1）求的取值范围；

（2）若为双曲线的右焦点，且，求的值。

13．如图，、分别为的内心、旁心，与圆、圆相切，切点分别为、，为与的交点。

（1）求证：；

（2）若为中点，求证：。

（旁心：三角形旁切圆的圆心，它是三角形一个内角的平分线和其它两个内角的外角平分线的交点。）

14．在坐标平面内，横纵坐标都是整数的点称为整点，三个顶点都是整点的三角形称为整点三角形。求以点为内心且直角顶点在坐标原点的整点直角三角形的个数。

15．若对任意的正整数，集合的任意（）元子集中，总有3个元素两两互素，求的最小值。  

2015年福建省高中数学竞赛

暨2015年全国高中数赛（福建省赛区）预赛试卷参

（考试时间：2015年5月24日上午9：00－11：30，满分160分）

一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）

1．设集合，从集合中随机抽取一个元素，记，则随机变量的数学期望                 。

【答案】  5

【解答】，随机变量的取值为0，1，4，9，16。

易得，的概率分布列为

2．已知，其中是定义在上，最小正周期为2的函数。若在区间上的最大值为1，则在区间上的最大值为                     。

【答案】  9

【解答】依题意，有。

∵  在区间上的最大值为1，

∴  在区间上的最大值为3，在区间上的最大值为5，在区间上的最大值为7，在区间上的最大值为9。

3．、为椭圆：（）的左、右焦点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围为            。

【答案】

【解答】设为椭圆的上顶点，依题意有。

∴  ，。，，。

4．已知实数，，满足，则的最小值为             。

【答案】  

【解答】由柯西不等式，知

。

∴  ，当且仅当，即时等号成立。

∴  的最小值为。

5．已知函数，数列中，（），则数列的前100项之和              。

【答案】  

【解答】依题意，有

。

∴  。

6．如图，在四面体中，，，，且与平面所成角的余弦值为。则该四面体外接球半径               。

【答案】 

【解答】如图，作于，连结，并延长交于点，连结。则是与平面所成的角，。

∵，，，

∴，为的外心，且。

∴，为中点，结合知，，。

∴  ，。

∴  、、两两互相垂直，四面体外接球半径。

7．在复平面内，复数、、的对应点分别为、、。若，，，则的取值范围是                    。

【答案】  

【解答】设，（为虚数单位），

∵  ，，

∴  ，，

。

设复数对应的点为。由知，点在以为圆心，1为半径的圆上。

又，因此，，即的取值范围是。

8．已知函数恰有两个极值点，（），则的取值范围为                 。

【答案】  

【解答】。

依题意，有两个不同的实根。

设，则，有两个不同的实根。

若，则，为增函数，至多1个实根，不符合要求。

若，则当时，；时，。

∴  在区间上为增函数，上为减函数。

∴  的最大值为。

又时，；时，。

∴  当且仅当，即时，恰有2个不同的实根。

设的两根为，（）。则时，，；时，，；时，，。

∴  为的极小值点，为的极大值点。符合要求。

∴  的取值范围为。

9．已知，若，则的取值范围为                    。

【答案】  

【解答】设，则。

∴  。

∴  ，。

由知，方程的解集是方程的解集的子集。

若，则，。

若，设，则，得。

又时，，

所以，。的取值范围是。

10．若，则正整数的最小值为             。

【答案】  4

【解答】由，，知 

。

∴  ，

，

……………

上述各式左右两边分别相加，得

。

∴  ，。

∴  ，（），（）。

∴  正整数的最小值为4。

二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）

11．求函数的最小值。

【解答一】由，得或。

∴  函数的定义域为。             ………………………  5分

记，则

当时，易知。在上为增函数。

∴  时，的最小值为。          …………………………  10分

当时，。

∴  在上为减函数，时，的最小值为。 ……… 15分

综合得，函数的最小值为1。             ………………  20分

【解答二】函数化为。

由，知，可设（，且）

…………………………  5分

当时，，当，即时，取最小值3。                                       ………………………  10分

当时，，当，即时，取最小值1。                                 …………………………  15分

综合得，函数的最小值为1。       ……………………  20分

或换元后利用导数求解。

【解答三】由，得，

∴  ，。           ……………………  5分

依题意，有，因此，。                …………………  10分

∴  ，，解得或。   ……………  15分

将代入方程，解得。

∴  在函数的值域内。

∴  函数的最小值为1。       …………………………  20分

12．已知过点斜率为的直线交双曲线：于、两点。

（1）求的取值范围；

（2）若为双曲线的右焦点，且，求的值。

【解答】（1）设方程为。

由，得……… ①。

∵  直线与双曲线有两个不同的交点，

∴  ，解得，且。

∴  的取值范围为。        ……………  5分

（2）设，。则，。又，

∴  ，。

…………………………  10分

∵  ，

∴  时，，

。

由，得，解得或（舍去）。

∴  ，。                        ……………………………  15分

时，，

。

由，得，解得或或，均不符合，舍去。此时，满足条件的不存在。

综上可得，的值为1或。                ……………………………  20分

13．如图，、分别为的内心、旁心，与圆、圆相切，切点分别为、，为与的交点。

（1）求证：；

（2）若为中点，求证：。

（旁心：三角形旁切圆的圆心，它是三角形一个内角的平分线和其它两个内角的外角平分线的交点。）

【解答】（1）设圆、圆的半径分别为、，

则。   …………………… 5分

（作于，于，则。）

由条件知，、、三点共线，，。

∴  ，。

∴。  ………………… 10分

（2）由，得，

即。

∴  。   ………… 15分

∵  为中点，

，

∴  ，即。

结合，可得。因此，。

∴  。                           ………………………………… 20分

另解：设的中点为，则由，为中点知，，且。

由，可得，，即。……… 15分

又。

∴  ，。

∴  。                           ………………………………… 20分

14．在坐标平面内，横纵坐标都是整数的点称为整点，三个顶点都是整点的三角形称为整点三角形。求以点为内心且直角顶点在坐标原点的整点直角三角形的个数。

【答案】不妨设点在第一象限。

设，则，直线的斜率。

∴  。                                     ……………………… 5分

由、为整点，设，，其中，为正整数。

∴  ，。

∵  内切圆的半径。

又，，

。

∴  。             …………………  10分

∴  。

设，，则。

∴  ，。

……………………………  15分

由，知，，为正整数，又的正因数有个。

∴  符合条件的有54组。

∴  符合条件的三角形有54个。                     ……………………… 20分

15．若对任意的正整数，集合的任意（）元子集中，总有3个元素两两互素，求的最小值。  

【答案】考察集合（时）的67元子集：

（偶数与被3整除的奇数）。

显然中不存在3个两两互素的元素。

∴  不符合要求。                             …………………… 5分

引理：对任意的正整数，集合的任意5元子集中，总有3个元素两两互素。

引理的证明：设集合是集合的一个5元子集。

∵  ，，，，，这6个数中，3奇3偶，恰有1个5的倍数。

∴  若中含有3个奇数，则这3个奇数必两两两互素，结论成立。

若中元素为2奇3偶。由于3个偶数中至多有1个为3的倍数，至多有1个为5的倍数。因此，3个偶数中必有1个数既不是3的倍数，也不是5的倍数，它与2个奇数两两互素。结论成立。

∴  引理成立。                                     …………………… 10分

对任意的正整数，将集合划分成如下17个集合：

，

，

……………

，

。            ………………………  15分

显然上述17个集合的两两交集为空集，并集为集合。

设集合是集合的68元子集。

若集合有4个元素来自集合。由于为奇数时，、、两两互素；为偶数时，、、两两互素。因此，中至少有3个元素两两互素。                                       

若集合至多3个元素来自集合。则至少有65个元素来自集合、、…、。根据抽屉原理，至少有5个元素来自同一个集合，不妨设它们来自集合。由前面的引理可知，它们中存在3个两两互素的元素。

∴  集合中总有3个两两互素的元素。

∴  符合要求，即对任意的正整数，集合的任意68元子集中，总有3个元素两两互素。

∴  的最小值为68。                         …………………………  20分