基于小波包变换的电力系统谐波分析

术创新

中文核心期刊《微计算机信息》（测控自动化）２００８年第２４卷第２－１期

３６０元／年邮局订阅号：８２－９４６

《现场总线技术应用２００例》

软件天地

１引言

随着电力系统的发展，非线性电子元件的应用日益广泛，这使电网中的谐波情况变得复杂，不仅存在工频整数倍的谐波，而且存在大量的非整数次谐波，使得谐波检测非常困难。传统的谐波检测方法———傅里叶变换（ＦＦＴ）及其改进算法检测非整数次谐波效果不太理想。小波变换可灵活选取小波基函数，在时域和频域同时具有良好的局部化性质，适用于时变的非平稳信号的检测与分析，许多文献显示基于小波变换的谐波检测方法优于传统的检测技术。而小波包变换是一种更加精细的分析方法，可将频带进行多层次划分，不但可以像小波变换一样对低频信号细分，更可以细分高频部分，并能根据分析信号的特征，自适应地选择频带，使之与信号的频谱匹配，从而提高了时频分辨率。

本文从小波变换和小波包变换的原理入手，分别用小波变换和小波包变换对电网谐波信号进行了分析。仿真实验表明两种方法均能有效地分离出基波，为准确地补偿电网谐波打下了基础。基于多分辨率分析的小波变换能把畸变分量检测出来，其时频特性优于ＦＦＴ算法；小波包变换对信号的高低频均作了细分，分离出的谐波分量更加详细，数据分析表明了它的优越性。

２谐波检测原理

２．１小波变换的谐波检测原理

任意信号

的小波变换可以理解为信号ｆ（ｔ）通过了

一个带通滤波器。ｆ（ｔ）的连续小波变换为（１）

其中

ψ（ｔ）为母小波（Ｍｏｔｈｅｒ

Ｗａｖｅｌｅｔ），ａ为伸缩因子，决定时间域和频率域观测窗的大小；ｂ

为平移因子，影响时间域内窗的位置。

把连续小波离散化时常取这里ｊ∈Ｚ，采用

二进正交小波变换时，取ａ０＝２，ｂ０＝１，信号ｆ（ｔ）可用多分辨率公式

表示为

（２）

其中，为尺度函数；

为小波函数，

为尺度空间ｖｊ的标准正交基；

为小波

空间ｗｊ的标准正交基。，Ｊ为尺度ｊ的某个特定值。

分解系数ｃｊ（ｋ）和ｄｊ（ｋ）分别为离散逼近信号（低频部分）和离散细节

信号（高频部分），双尺度方程为

（３）

（４）

式中ｈ（ｋ）、ｇ（ｋ）为低通数字滤波器的单位取样响应和高通数字滤波器的单位取样响应，取ｇ（ｋ）＝（－１）ｋｈ（１－ｋ），构成正交镜像对称滤波器组。式（３）、（４）表示，信号ｃｊ＋１（ｋ）和ｄｊ＋１（ｋ）分别为信号序列

ｃｊ（ｋ）与滤波器单位取样响应ｈ（－ｋ）和ｇ（－ｋ）卷积后二抽取得到。２．２小波包变换的谐波检测原理

小波包变换是在小波变换的基础上发展起来的，它把信号的高频和低频部分均进行细分，用一个新的空间把尺度空间Ｖｊ和小波空间ｗｊ统一起来。定义利用双尺

度方程，构造如下小波基函数：

（５）（６）

基于小波包变换的电力系统谐波分析

ＴｈｅＨａｒｍｏｎｉｃＡｎｄｌｙｓｉｓｉｎＰｏｗｅｒｓｙｓｔｅｍＢａｓｅｄｏｎＷａｖｅｌｅｔＴｒａｎｓｆｏｒｍ

（江苏大学）刘平英

刘国海

ＬＩＵＰＩＮＧＹＩＮＧＬＩＵＧＵＯＨＡＩ

摘要：传统的基于傅立叶变换的谐波检测方法不具有时间分辨能力，小波和小波包变换因其良好的时频局部化特性，成为电力系统谐波分析的有力工具。本文分别用小波变换和小波包变换对电网谐波信号进行了检测，小波包变换建立在小波变换的基础上，可以实现信号频带的均匀划分，能更好地提取信号的时频特性。仿真结果显示两种方法均能有效地分离基波和谐波，小波包变换能根据要求分离任意次谐波，仿真分析中指出了两种分析方法的优缺点。关键词：小波变换；小波包变换；电力系统；谐波分析

中图分类号：ＴＭ７１１

文献标识码：ＡＡｂｓｔｒａｃｔ：ＴｒａｄｉｔｉｏｎａｌＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍｈａｓｌａｒｇｅｌｉｍｉｔａｔｉｏｎｉｎｔｉｍｅｄｏｍａｉｎｗｈｅｎｉｔａｎａｌｙｚｅｓｈａｒｍｏｎｉｃｓ．Ｂｅｃａｕｓｅｏｆｔｈｅｉｒｅｘｃｅｌｌｅｎｔｔｉｍｅ－ｆｒｅｑｕｅｎｃｙｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ，ｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍ（ＷＴ）ａｎｄｗａｖｅｌｅｔｐａｃｋｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍ（ＷＰＴ）ｈａｖｅｂｅｃｏｍｅｐｏｗｅｒｆｕｌｔｏｏｌｆｏｒｐｏｗｅｒｓｙｓ－ｔｅｍｈａｒｍｏｎｉｃａｎａｌｙｓｉｓ．ＴｈｅｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｄｅｔｅｃｔｉｎｇｈａｒｍｏｎｉｃｓａｒｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｉｎｐｏｗｅｒｓｙｓｔｅｍｂｙｍｅａｎｓｏｆＷＴａｎｄＷＰＴ．ＷＰＴｃｏｎ－ｓｔｒｕｃｔｅｄｏｎｔｈｅｂａｓｉｓｏｆＷＴ，ｔｈｅｆｒｅｑｕｅｎｃｙｂａｎｄｏｆｓｉｇｎａｌｓｃａｎｂｅｕｎｉｆｏｒｍｌｙｄｉｖｉｄｅｄａｎｄｔｈｅｓｉｇｎａｌｆｅａｔｕｒｅｓｉｎｔｉｍｅｄｏｍａｉｎａｎｄｆｒｅ－ｑｕｅｎｃｙｄｏｍａｉｎｃａｎｂｅｂｅｔｔｅｒｅｘｔｒａｃｔｅｄ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｂｏｔｈｃａｎｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙｅｘｔｒａｃｔｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｗａｖｅａｎｄｈａｒｍｏｎｉｃｉｎ－ｆｏｒｍａｔｉｏｎ．ＷＰＴｅｖｅｎｃａｎｅｘｔｒａｃｔａｎｙｔｉｍｅｓｏｆｈａｒｍｏｎｉｃｓ．Ｍｅｒｉｔｓａｎｄｄｅｍｅｒｉｔｓａｒｅｇｉｖｅｎｉｎｓｉｍｕｌａｔｉｏｎａｎａｌｙｓｉｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ｗａｖｅｌｅｔｐａｃｋｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ｐｏｗｅｒｓｙｓｔｅｍ，ｈａｒｍｏｎｉｃａｎａｌｙｓｉｓ

文章编号：１００８－０５７０（２００８）０２－１－０２７６－０３

刘平英：硕士研究生

江苏省高新技术项目（ＢＧ２００４０２４）；（ＧＹ２００５００６）；（０４ＣＸ０２）

２７６－

－

邮局订阅号：８２－９４６３６０元／年技术创新

软件天地

《ＰＬＣ技术应用２００例》

您的论文得到两院院士关注

其中ｉ表示节点数，ｊ是分解层数，信号ｆ（ｔ）在第ｊ层、第ｋ点的小波分解系数可通过如下推导得到

（７）（８）

第ｊ层共有２ｊ个节点，０层的节点就是初始信号Ｓ。第ｊ层、第ｋ点、第２ｉ个节点的小波系数为，它是信号序列

与

低通滤波器ｈ（ｎ）卷积后二抽取得到，同样，第（２ｉ＋１）个节点的小

波系数是信号序列

与高通滤波器ｇ（ｎ）卷积后二抽取

得到。

对于任意信号Ｓ，可以通过式（７）、（８）生成相应的小波包系数，以四层分解为例，生成的小波包树如图１所示，节点（０，０）代表原始信号，节点（１，０）、（１，１）代表第一层分解的低频和高频系数，（４，０）表示第四层第０个节点的系数，其他依此类推。

图１四层小波包树

３仿真实验及分析

３．１仿真实验

下面采用ＭＡＴＬＡＢ进行仿真。信号Ｓ由１～１５次的奇次谐波构成，工频为５０Ｈｚ，假设采样频率为３．２ＫＨｚ，采样５个周期，采样３２０个点，原信号所占频带为０～１６００Ｈｚ。

文献中提出采用Ｄａｕｂｅｃｈｉｅｓｄｂ２０小波进行谐波分析具有最佳效果，故我们选用ｄｂ２０小波进行四尺度分解。小波变换和小波包变换四层分解各层所占频带及包含谐波次数如表１所示。ａ１，ａ２，ａ３，ａ４是小波分解的离散逼近信号；ｄ１，ｄ２，ｄ３，ｄ４是离散细节信号；（４，０）、（４，１）、（４，２）、（４，３）、（４，４）、（４，５）、（４，６）、（４，７）是第四层小波包分解的前８个信号。

图２为信号ＦＦＴ变换的仿真波形，从中可以看出信号包含

的谐波次数及幅值，但它不具有时间

表１小波和小波包变换各层分解包含频带信息分辨能力。图３是ｄｂ２０小波变换的四尺度分解重构波形，

ａ４的频段是０－１００Ｈｚ，包含基波信息；ｄ１的频段包含１６－３２次

谐波，不包含原始信号信息，所以重构信息几乎为零；重构出的其他信号都同时包含多个谐波信号，没能把各次谐波都有效分离出来。图４（ａ）中ａ４与标准基波的对比显示它的重构波形已完美地逼近电网基波；ｄ４的频段是１００－２００Ｈｚ，包含了三次谐波的信息，图４（ｂ）中ｄ４与原信号三次谐波的比较表明，信号ｄ４成功地重构了原信号的三次谐波。

图２ＦＦＴ波形图

图３小波变换的四尺度分解重构波形

（ａ）ａ４与标准基波对比

（ｂ）ｄ４与三次谐波对比

图４重构信号与标准信号对比图

图５小波包变换的四尺度分解重构波形

２７７－

－

技术创新

中文核心期刊《微计算机信息》（测控自动化）２００８年第２４卷第２－１期

３６０元／年邮局订阅号：８２－９４６

《现场总线技术应用２００例》

软件天地

表２小波包测量幅值与实际幅值对照表

图５为小波包变换的四尺度分解重构波形。由表１所示的各小波包分解系数所包含的频率信息可知，ｄ４．０，ｄ４．１，ｄ４．２，ｄ４．３，

ｄ４．４，ｄ４．５，ｄ４．６，ｄ４．７分别为原信号Ｓ分解重构出的基波、３次、５次、７次、９次、１１次、１３次和１５次谐波。根据仿真出的各次谐波的信息可以求出它们各自幅值的均方根值（ＲＭＳ），与真实的谐波幅值的对比情况见表２。由表２可以看出，小波包变换可以精确的分离出基波信号，其相对误差仅为０．５％，另外还可以准确

地分离出其他谐波信号，这点优于小波变换。

３．２仿真分析

由仿真实验可知，小波变换和小波包变换具有良好的时频局部化特性，可以同时提取信号的时频

特性，克服了傅立叶变换时域无局部化特性的缺点；小波变换和小波包变换能准确地将谐波信号中的基波分离出来，为补偿电网谐波打下了基础；小波包变换对信号的高低频均作了细分，分解出更丰富的频率信息，能根据要求同时分离多个谐波分量，为电能质量分析提供了一种更为简便直观的分析方法。

Ｍａｌｌａｔ在文献中提出：在小波多分辨率分析中，不同的尺度ａ

应体现不同的频率成分，不同的分解水平应体现不同的频率变化趋势。图３中的ｄ２和ｄ３的变化趋势几乎一致，说明分别有相同的频率成分体现在这两个尺度中，这与Ｍａｌｌａｔ的思想矛盾。造成这一结果的主要原因是ｄｂ小波有混叠现象，在小波变换操作中对频率成分分离不理想。虽然小波包变换可以实现频带信号的均匀划分，但在进行小波包分析时，要慎重选择小波基函数及分解尺度。根据要求适当调整分解尺度，可以控制测得频率的误差范围。

４结论

本文作者创新点：本文分别用小波变换和小波包变换对谐波进行分析，给出了实现算法和仿真结果，结果分析表明小波变换和小波包变换能精确地从谐波信号中分离出基波，小波包变换更能根据需要分离出所需的谐波信号，是一种较好的系统和谐波分析工具。

参考文献

［１］于阿娜，

刘金铸，孙峰．基于小波分析的谐波检测［Ｊ］微计算机信息，２００６，２２（１０－１）：２６１－２６３．

［２］潘翀，

侯世英，吕厚余，等．基于小波包变换的电力系统谐波电流检测［Ｊ］．华北电力大学学报，２００５，３２（１）：２０－２３．

［３］成礼智，

王红霞，罗永．小波的理论与应用［Ｍ］．北京：科学出版社，２００４．

［４］Ｃ．Ｐａｒａｍｅｓｗａｒｉａｈ，

Ｍ．Ｃｏｘ．ＦｒｅｑｕｅｎｃｙＣｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆＷａｖｅｌｅｔｓ［Ｃ］．ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎＰｏｗｅｒＤｅｌｉｖｅｒｙ，Ｖｏｌ．１７，Ｎｏ．３，Ｊｕｌｙ

２００２，ｐｐ．８００－８０４．

［５］ＭａｌｌａｔＳＧ．．Ａｔｈｅｏｒｙｆｏｒｍｕｌｔｉｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｉｇｎａｌｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ：ｔｈｅｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍ［Ｃ］．ＩＥＥＥＴｒａｎｓ．ＰａｔｔｅｒｎＡｎａｌ．ＭａｃｈｉｎｅＩｎｔｅｌｌ，１９８９，１１（７）：６７４－６９３．

作者简介：刘平英（１９７９－），女（汉），河南安阳人，硕士研究生，主要从事电力系统与电能质量方面的研究；刘国海（１９６５－），男

（汉），江苏高邮人，教授，博士生导师，主要从事电气传动、

智能控制和非线性控制的研究

Ｂｉｏｇｒａｐｈｙ：ＬｉｕＰｉｎｇｙｉｎｇ（１９７９－），Ｆｅｍａｌｅ（Ｈａｎ），Ａｎｙａｎｇ，Ｈｅｎａｎ

Ｐｒｏｖｉｎｃｅ，Ｐｏｓｔｇｒａｄｕａｔｅ，Ｓｔｕｄｙｏｎｐｏｗｅｒｓｙｓｔｅｍａｎｄｐｏｗｅｒｑｕａｌｉｔｙ．ＬｉｕＧｕｏｈａｉ（１９６５－），Ｍａｌｅ（Ｈａｎ），Ｇａｏｙｏｕ，ＪｉａｎｇｓｕＰｒｏｖｉｎｃｅ，Ｐｒｏｆｅｓｓｏｒ，ｄｏｃｔｏｒａｌｓｕｐｅｒｖｉｓｏｒ，Ｓｔｕｄｙｏｎｅｌｅｃｔｒｉｃｄｒｉｖｅ，ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔｃｏｎｔｒｏｌａｎｄｎｏ－ｌｉｎｅａｒｃｏｎｔｒｏｌ．

（２１２０１３江苏镇江江苏大学电气信息工程学院）刘平英

刘国海

通讯地址：（２１２０１３江苏江苏大学电气学院８７９＃信箱）刘平英

（收稿日期：２００７．１１．０３）（修稿日期：２００８．０１．１５）

（上接第２４９页）

姚秀娟（１９７７．８－），女（汉族），山东菏泽人，中国科学院空间科学与应用研究中心助理研究员，通信电子专业，主要研究方向：数字

信号处理与软件无线电技术。

Ｂｉｏｇｒａｐｈｙ：ＺＨＡＮＧＷｅｎ－ｈａｏ（１９８１－），ｍａｌｅ（ＨａｎＮａｔｉｏｎａｌｉｔｙ），ＸｉｎｉｎｇＣｉｔｙ，ＱｉｎｇｈａｉＰｒｏｖｉｎｃｅ，ｇｒａｄｕａｔｅｓｔｕｄｅｎｔｏｆＣｅｎｔｅｒｆｏｒＳｐａｃｅＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＡｐｐｌｉｅｄＲｅｓｅａｒｃｈ，ＣｈｉｎｅｓｅＡｃａｄｅｍｙｏｆＳｃｉ－ｅｎｃｅｓ，ｍａｊｏｒｉｎＣｏｍｐｕｔｅｒＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ｒｅｓｅａｒｃｈａｒｅａ：ｄｉｇｉｔａｌｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎａｎｄｓｉｇｎａｌｐｒｏｃｅｓｓ。ＷＡＮＧＣｈｕｎ－ｍｅｉ（１９６５－），ｆｅｍａｌｅ（ＨａｎＮａｔｉｏｎａｌｉｔｙ），ＢｅｉｊｉｎｇＣｉｔｙ，ＡｓｓｏｃｉａｔｅＲｅ－ｓｅａｒｃｈｅｒｏｆＣｅｎｔｅｒｆｏｒＳｐａｃｅＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＡｐｐｌｉｅｄＲｅｓｅａｒｃｈ，ＣｈｉｎｅｓｅＡｃａｄｅｍｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅｓ，ｍａｊｏｒｉｎＡｕｔｏｍａｔｉｃＣｏｎｔｒｏｌ，ｒｅ－ｓｅａｒｃｈａｒｅａ：ｇｅｎｅｒａｌｔｅｓｔｏｎｇｒｏｕｎｄｆｏｒａｉｒｃｒａｆｔ。ＹＡＯＸｉｕ－ｊｕａｎ（１９７７－），ｆｅｍａｌｅ（ＨａｎＮａｔｉｏｎａｌｉｔｙ），ＨｅｚｅＣｉｔｙ，ＳｈａｎｄｏｎｇＰｒｏｖｉｎｃｅ，ＲｅｓｅａｒｃｈＡｓｓｉｓｔａｎｔｏｆＣｅｎｔｅｒｆｏｒＳｐａｃｅＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＡｐｐｌｉｅｄＲｅ－ｓｅａｒｃｈ，ＣｈｉｎｅｓｅＡｃａｄｅｍｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅｓ，ｍａｊｏｒｉｎＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＣｏｍ－ｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ，ｒｅｓｅａｒｃｈａｒｅａ：ＤＳＰａｎｄＳＤＲＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ。

（１０００８０北京中国科学院空间科学与应用研究中心）张文豪

王春梅姚秀娟

（１０００３９北京中国科学院研究生院）张文豪

通讯地址：（１０００８０北京市海淀区中关村南二条１号中科院空间中心信息仿真室）张文豪

（收稿日期：２００７．１１．０３）（修稿日期：２００８．０１．１５）

（上接第２６０页）

Ｂｉｏｇｒａｐｈｙ：ＷａｎｇＨｕ－ｂａｎｇ，ｍａｉｌ，ｂｏｒｎｉｎＭａｙ１９８２，ｔｈｅＨａｎｎａｔｉｏｎａｌｉｔｙ，ｍａｓｔｅｒｃａｎｄｉｄａｔｅ．Ｈｉｓｒｅｓｅａｒｃｈｉｎｔｅｒｅｓｔｉｓｎｅｗｓｔａｒｒｅｓｅａｒｃｈ．ＱｉａｎＬｉ－ｚｈｉ（ｍｅｎｔｏｒ），ｂｏｒｎｉｎＭａｒｃｈ１９６３，ｔｈｅＨａｎｎａｔｉｏｎａｌｉｔｙ，Ｐｈ，Ｄ．，ｐｒｏｆｅｓｓｏｒ．Ｈｉｓｒｅｓｅａｒｃｈｉｎｔｅｒｅｓｔｉｓｎｅｗ

ｓｔａｒｒｅｓｅａｒｃｈ．

（２３００３１安徽省合肥炮兵学院五系四十一队）王虎帮（２３００３１安徽省合肥炮兵学院信息化弹药研究所）

钱立志陶声祥

通讯地址：（２３００３１安徽省合肥炮兵学院五系四十一队）王虎帮

（收稿日期：２００７．１１．０３）（修稿日期：２００８．０１．１５）

２７８－

－