小学奥数之裂项法(一)

同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。

（一）阅读思考

例如1314112

-=，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式： 1111111111n n n n n n n n n n n n n n -+=++-+=+-+=+()()()()

即11111n n n n -+=+()

或11111

n n n n ()+=-+ 下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。

【典型例题】

例1. 计算：119851986119861987119871988119941995

⨯+⨯+⨯++⨯…… +⨯+⨯+11995199611996199711997

分析与解答：

1198519861198511986

1198619871198611987

1198719881198711988

1199419951199411995

⨯=-⨯=-⨯=-⨯=-……

11995199611995119961199619971199611997

⨯=-⨯=- 上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。

11985198611986198711987198811995199611996199711997

⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+…

=

-+-+-++-+-+=119851198611986119871198711988119951199611996119971199711985…… 像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。

例2. 计算：1111211231123100

+

++++++++++…… 公式的变式

11221+++=⨯-…n n n ()

当n 分别取1，2，3，……，100时，就有

11212

112223

1123234

11234245

1121002100101

=⨯+=⨯++=⨯+++=⨯+++=⨯ (111121123112100)

2122232342991002100101

21121231341991001100101

211212131314199110011001101

211101

++++++++++=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯-+-+-++-+-=⨯-……………()()() =⨯==2100101

200101

199101

例3. 设符号（ ）、< >代表不同的自然数，问算式1611=+<>

()中这两个

符号所代表的数的数的积是多少？

分析与解：减法是加法的逆运算，

1611=+<>()就变成1611-=<>

()，与前面提到的等式11111n n n n -+=+()相联系，便可找到一组解，即1617142=+ 另外一种方法

设n x y 、、都是自然数，且x y ≠，当

111n x y =+时，利用上面的变加为减的想法，得算式x n nx y

-=1。 这里1y

是个单位分数，所以x n -一定大于零，假定x n t -=>0，则x n t =+，代入上式得t n n t y

()+=1，即y n t n =+2。 又因为y 是自然数，所以t 一定能整除n 2，即t 是n 2的约数，有n 个t 就有n 个y ，

这一来我们便得到一个比11111n n n n -+=+()

更广泛的等式，即当x n t =+，y n t n =+2，t 是n 2的约数时，一定有111n x y

=+，即 11n n t t n n t -+=+()

上面指出当x n t =+，y n t n =+2，t 是n 2的约数时，一定有111n x y

=+，这里n n ==6362,，36共有1，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数。

当t =1时，x =7，y =42

当t =2时，x =8，y =24

当t =3时，x =9，y =18

当t =4时，x =10，y =15

当t =6时，x =12，y =10

当t =9时，x =15，y =10

当t =12时，x =18，y =9

当t =18时，x =24，y =8

当t =36时，x =42，y =7

故（ ）和< >所代表的两数和分别为49，32，27，25。

【模拟试题】（答题时间：20分钟）

二.尝试体验：

1. 计算：

112123134199199100

⨯+⨯+⨯++⨯+⨯… 2. 计算：131611011512112813614515516617819111051120+++++++++++++

3. 已知x y 、是互不相等的自然数，当11811=+x y

时，求x y +。 【试题答案】

1. 计算：

112123134199199100

⨯+⨯+⨯++⨯+⨯… =-+-+-++-+-=-=112121313141981991991100

11100

99100

… 2. 计算：131611011512112813614515516617819111051120

+++++++++++++ =+++++++++++++=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯-=-=26212220230242256272290211021322156218222102240

21231341451561671781191011011

1111211213113141141511516212116

118

78

()() 3. 已知x y 、是互不相等的自然数，当11811=+x y

时，求x y +。 x y +的值为：75，81，96，121，147，200，361。

因为18的约数有1，2，3，6，9，18，共6个，所以有118111811136136

=+⨯+=+() 118121812154127

542781118131813172124

722496

=+⨯+=++==+⨯+=++=()() 118161816112612121126147=+⨯+=++=()

118191819118012020180200

118118181181191

342

19342361

=+⨯+=++==+⨯+=++=()() 1182

3

18231

451

30

304575

1182918291991

222299121

=+⨯+=++==+⨯+=++=()() 还有别的解法。