2010年湖北高考理科数学

数学(理工农医类)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数Z，则表示复数的点是

A．E      B.F      C.G      D.H 

2．设集合，，则的子集的个数是

A．4   B．3   C．2    D．1

3.在中，a=15,b=10,A=60°，则=

A －     B     C －    D 

4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A，B中至少有一件发生的概率是

A       B         C      D 

5．已知和点M满足.若存在实数m使得成立，则m=

A．2         B．3         C．4         D．5

6．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，……600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数一次为

A．26,  16,  8                        B．25，17，8

C．25，16，9                         D．24，17，9

7、如图，在半径为r 的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设为前n个圆的面积之和，则=   

A． 2     B.      C.4    D.6

8、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是

A．152   B.126   C.90   D.54

9.若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是

A. 

B. 

C. 

D. 

10.记实数，，……中的最大数为max，最小数为min。已知ABC的三边长位a,b,c（），定义它的亲倾斜度为则“=1”是“ABC为等边三角形”的

A.必要而不充分的条件

B.充分而不必要的条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写。填错位置，书写不清，模凌两可均不得分。

11、在（x+）的展开式中，系数为有理数的项共有_______项。

12.已知，式中变量，满足约束条件，则的最大值为___________.

13.圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是             cm。

14．某射手射击所得环数的分布列如下：

15.设a>0,b>0,称为a，b的调和平均数。如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆。过点C作AB的垂线交半圆于D。连结OD，AD，BD。过点C作OD的垂线，垂足为E。则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段     的长度是a,b的几何平均数，线段    的长度是a,b的调和平均数。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

 16．（本小题满分12分）

   已知函数f(x)= 

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）求函数h（x）=f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合。

17．（本小题满分12分）

   为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。

（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式。

（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。

18． (本小题满分12分)

如图， 在四面体ABOC中, , 且

（Ⅰ）设为为的中点， 证明： 在上存在一点，使，并计算的值；

（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值。

19(本小题满分12分)

已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1.

(Ⅰ)求曲线C的方程；

（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。

（Ⅲ） 

2010年高考试题——数学理

（湖北卷）答案与解析

1．【答案】D

【解析】观察图形可知,则，即对应点H（2，－1），故D正确.

2．【答案】A

【解析】画出椭圆和指数函数图象，可知其有两个不同交点，记为A1、A2，则的子集应为共四种，故选A.

3．【答案】D

【解析】根据正弦定理可得解得，又因为，则，故B为锐角，所以，故D正确.

4．【答案】C

【解析】用间接法考虑，事件A、B一个都不发生的概率为

        则所求概率， 故C 正确。

5．【答案】B

【解析】由题目条件可知，M为的重心，连接并延长交于，则①， 因为为中线，

         即  ②, 联立①②可得，故正确。

6．【答案】B

【解析】依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，故可分别求出在001到300中有25人，在301至495号有17人，则496到600中有8人， 所以B正确。 

7．【答案】C

【解析】依题意分析可知，图形中内切圆半径分别为：

　　　即

则面积依次为：所以

          故C正确. 

8．【答案】B

【解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有；若有1人从事司机工作，则方案有种，所以共有18+108=126种，故B正确

9．【答案】C

【解析】曲线方程可化简为，即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，依据数形结合，当直线与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b距离等于2，解得，因为是下半圆故可得（舍），当直线过（0，3）时，解得b=3,故所以C正确.

10.【答案】A

【解析】若△ABC为等边三角形时，即a=b=c，则则l=1；若△ABC为等腰三角形，如a=2,b=2,c=3时，

则，此时l=1仍成立但△ABC不为等边三角形,所以A正确.

11.【答案】6

【解析】二项式展开式的通项公式为要使系数为有理数，则r必为4的倍数，所以r可为0.、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项.

12.【答案】5

【解析】依题意，画出可行域（如图示），

则对于目标函数y=2x-z，

当直线经过A（2，－1）时，

z取到最大值，.

13.【答案】4

【解析】设球半径为r，则由可得,解得r=4.

14.【答案】0.4

【解析】由表格可知： 

联合解得.

15.【答案】CD    DE

【解析】在Rt△ADB中DC为高，则由射影定理可得，故，即CD长度为a,b的几何平均数，将OC=代入可得故，所以ED=OD-OE=，故DE的长度为a,b的调和平均数.

16. 本小题主要考察三角函数的基本公式、周期和最值等基础知识，同事考察基本运算能力。（满分12分）

解：（Ⅰ）

　　　　　的最小正周期为

（Ⅱ） 

　　　当时，　.

      取得最大值时， 对应的的集合为。

17．本题主要考察函数、导数等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。

   （满分12分）

解：（Ⅰ）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为.

         再由，得， 因此.

         而建造费用为

         最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

（Ⅱ），令，即.

      解得，（舍去）. 

      当时，， 当时，， 故是的最小值点，对应的最小值为。

      当隔热层修建厚时， 总费用达到最小值为70万元。

18．本小题主要考察空间直线与直线、直线与平面的位置关系和两面角等基础知识， 同事考察空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.(满分12分)

  解法一：

（Ⅰ）在平面内作交于，　连接。

　　　又，　

　　　，

　　　。

　　　取为的中点，则。

      在等腰　中，，

      在中，， 

      在中，，

（Ⅱ）

连接，

            由，知：.

            又， 

            又由，。

            是在平面内的射影。

            在等腰中，为的中点， 

            根据三垂线定理，知： 

            为二面角的平面角

            在等腰中，， 

            在中，，

            中，。

解法二：

    取为坐标原点，分别以，所在的直线为轴，轴，建立空间直角坐标系（如图所示）

    则 

    为中点， 

    设 。

      即，。

      所以存在点  使得  且。

   （Ⅱ）记平面的法向量为,则由，，且，

得，  故可取 

又平面的法向量为。

.

两面角的平面角是锐角，记为，则

19. 本小题主要考察直线与抛物线的位置关系、抛物线的性质等基础知识，同事考察推理运算的能力。（满分12分）

 解：（Ⅰ）设是曲线上任意一点，那么点满足：

          。

          化简得 

   （Ⅱ）设过点的直线与曲线的交点为。

         设的方程为，由得，.

         于是     ①

         又

           ②

          又，于是不等式②等价于

                         ③    

            由①式，不等式 ③ 等价于

            对任意实数，的最小值为0，所以不等式④对于一切成立等价于

            ，即。

            由此可知，存在正数，对于过点，且与曲线有两个交点的任一直线， 都有，且的取值范围是

20．本小题主要考察等差数列、等比数列等基础知识以及反证法，同时考查推理论证能力。

   （满分13分）

解：（Ⅰ）由题意可知， 

　　　　令　，则　

　　　　又，则数列是首项为，公比为的等比数列，即

　　　　，故，

又， 

故

（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知：当时，有。

              令，有

              当时，。

              令，有

               即， 

               将上述个不等式一次相加得

                整理得

     解法二：用数学归纳法证明

（1）当时，左边，右边，不等式成立

（2）假设时，　不等式成立，　就是　

　　　那么

　　　由（Ⅱ）知：当时，有

      令，有

      令，得： 

        就是说， 当时，不等式也成立。

       根据（1）和（2），可知不等式对任何都成立。

（Ⅱ）用反证法证明

    假设数列存在三项按某种顺序成等差数列，由于数列是首项为，公比为的等比数列，于是有，则只有可能有成立

     两边同乘3t  t2t-r，化简得3t-r+22t-r=2*2t-r3t-s

     由于，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上上式不可能成立，导致矛盾。故数列中任意三项不可能成等差数列。

21．本题主要考察函数、导数、不等式的证明等基础知识，同事考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想。（满分14分）

解：（Ⅰ），则有，解得　

   （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

         令， 

         则， 

        （i）当， 

            若，则，是减函数，所以

            ，故在上恒不成立。

        （ii）时， 

             若，故当时， 

             综上所述，所求的取值范围为