11月13日三角函数大题理科解答题高考题目及答案

一．2011年高考大纲对三角函数的考试范围和考试要求：

考试内容： 

　　角的概念的推广.弧度制. 

　　任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα，tanαcotα=1.正弦、余弦的诱导公式. 

　　两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切. 

　　正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数y=Asin(ωx+φ)的图像.正切函数的图像和性质.已知三角函数值求角. 

　　正弦定理.余弦定理.斜三角形解法. 

　　考试要求： 

　　(1)了解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算. 

　　(2)理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义.掌握同角三角函数的基本关系式.掌握正弦、余弦的诱导公式.了解周期函数与最小正周期的意义. 

　　(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式. 

　　(4)能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明. 

　　(5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用"五点法"画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A，ω，φ的物理意义. 

　　(6)会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx arctanx表示. 

　　(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形. 

二．2011年高考三角函数分析与预测：

三角函数解答题是高考中必考题，在高考试题中，三角题多以低档或中档题目为主，一般不会出现较难题，更不会出现难题，因而三角题是高考中的得分点．三角函数的考查有以下一些类型与特点：

1.三角函数的性质、图像及其变换，主要是的性质、图像及变换.考查三角函数的概念、奇偶性、周期性、单调性、有界性、图像的平移和对称等.高考试题对三角函数单一的性质考查较少，一道题所涉及的三角函数性质在两个或两个以上，考查的知识点来源于教材，且高于教材。

2.三角变换.主要考查公式的灵活运用、变换能力，一般要运用和角、差角与二倍角公式，尤其是对公式的应用与三角函数性质的综合考查.

3.三角函数的应用.以平面向量、解析几何等为载体，或者用解三角形来考查学生对三角恒等变形及三角函数性质的应用的综合能力.特别要注意三角函数在实际问题中的应用和跨知识点的应用，注意三角函数在解答有关函数、向量、平面几何、立体几何、解析几何等问题时的工具性作用.这类题一般以解答题的形式出现，属中档题.

常用解题思想方法：

1．三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是 “1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角α=（α+β）－β，β=－等。

（3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。

（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。

（5）引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。

2．证明三角等式的思路和方法。

（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3．证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4．解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

复习指导，备考指南：

要想做好三角函数解答题，考生必须要熟练记忆诱导公式，两角和、差的三角函数公式及二倍角公式。另外对与特殊角的三角函数值应非常熟悉。掌握一些技巧，培养自己的观察能力，寻找角与角之间联系的能力都将有助于高考三角函数题的解答。

三．例题解析

例1：2004年云南高考第17题

已知锐角三角形ABC中， 

   （Ⅰ）求证：；

   （Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高.

例2：2005年云南高考第19题

在,内角A、B、C的对边分别为a,b,c.已知a,b,c成等比数列，且cosB=.

①求cotA+cotB的值。

②设，求a + c  的值。

例3：2006年云南高考第17题

已知向量

（I）若求

（II）求的最大值。

例4：2007年云南高考第17题

在中，已知内角，边．设内角，周长为．

（1）求函数的解析式和定义域；

（2）求的最大值．

例5：2008年云南高考第17题

在中，，． 

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）设的面积，求的长．

课后习题

（1）2009年云南高考第17题

设的内角、、的对边长分别为、、，，，求。

（2）2010年云南高考第17题

中，为边上的一点，，，，求。

（3）2010年辽宁高考理科第17题

在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且

    （Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）求的最大值.

（4）2010年重庆高考理科第16题

设函数。

（1）求的值域；

（2）记的内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若=1，b=1,c=，求a的值。

（5）2010年北京高考理科第15题

     已知函数。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的最大值和最小值。

（6）2010年全国卷1高考理科第17题

  已知的内角，及其对边，满足，求内角．

（7）2010年安徽高考理科第17题

    设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且

。

    (Ⅰ)求角的值；

(Ⅱ)若，求（其中）。

（8）2010年浙江高考理科第18题

在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知

      (I)求sinC的值；

(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长．

（9）2010年天津高考理科第17题

已知函数

（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；

（Ⅱ）若，求的值。