教材分析
集合概念的基本理论，称为集合论．它是近、现代数学的一个重要基础．一方面，许多重要的数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．在小学和初中数学中，学生已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（直线、圆）等，有了一定的感性认识．这节内容是初中有关内容的深化和延伸．首先通过实例引出集合与集合元素的概念，然后通过实例加深对集合与集合元素的理解，最后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法，描述法，还给出了画图表示集合的例子．本节的重点是集合的基本概念与表示方法，难点是运用集合的两种常用表示方法———列举法与描述法正确表示一些简单的集合．
教学目标
1. 初步理解集合的概念，了解有限集、无限集、空集的意义，知道常用数集及其记法．
2. 初步了解“属于”关系的意义，理解集合中元素的性质．
3. 掌握集合的表示法，通过把文字语言转化为符号语言（集合语言），培养学生的理解、化归、表达和处理问题的能力．
任务分析
这节内容学生已在小学、初中有了一定的了解，这里主要根据实例引出概念．介绍集合的概念采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，学生容易接受．在引出概念时，从实例入手，由具体到抽象，由浅入深，便于学生理解，紧接着再通过实例理解概念．集合的表示方法也是通过实例加以说明，化难为易，便于学生掌握．
教学设计
一、问题情境
1. 在初中，我们学过哪些集合？
2. 在初中，我们用集合描述过什么？
学生讨论得出：
在初中代数里学习数的分类时，学过“正数的集合”，“负数的集合”；在学习一元一次不等式时，说它的所有解为不等式的解集．
在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．
3. “集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近？
学生讨论得出：
“全体”、“一类”、“一群”、“所有”、“整体”，……
4. 请写出“小于10”的所有自然数．
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．这些可以构成一个集合．
5. 什么是集合？
二、建立模型
1. 集合的概念（先具体举例，然后进行描述性定义）
（1）某种指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集．
（2）集合中的每个对象叫作这个集合的元素．
（3）集合中的元素与集合的关系：
a是集合A中的元素，称a属于集合A，记作a∈A；
a不是集合A中的元素，称a不属于集合A，记作aA．
例：设B＝｛1，2，3｝，则1∈B，4B．
2. 集合中的元素具备的性质
（1）确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个对象是否属于这个集合的元素也就确定了．如上例，给出集合B，4不是集合的元素是可以确定的．
（2）互异性：集合中的元素是互异的，即集合中的元素是没有重复的．
例：若集合A＝｛a，b｝，则a与b是不同的两个元素．
（3）无序性：集合中的元素无顺序．
例：集合｛1，2｝与集合｛2，1｝表示同一集合．
3. 常用的数集及其记法
全体非负整数的集合简称非负整数集（或自然数集），记作N．
非负整数集内排除0的集合简称正整数集，记作N*或N+；
全体整数的集合简称整数集，记作Z；
全体有理数的集合简称有理数集，记作Q；
全体实数的集合简称实数集，记作R．
4. 集合的表示方法
［问 题］
如何表示方程x2－3x＋2＝0的所有解？
（1）列举法
列举法是把集合中的元素一一列举出来的方法．
例：x2－3x＋2＝0的解集可表示为｛1，2｝．
（2）描述法
描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法．
例：①x2－3x＋2＝0的解集可表示为｛x｜x2－3x＋2＝0｝．
②不等式x－3＞2的解集可表示为｛x｜x－3＞2｝．
③Venn图法
例：x2－3x＋2＝0的解集可以表示为（1，2）．
5. 集合的分类
（1）有限集：含有有限个元素的集合．例如，A＝｛1，2｝．
（2）无限集：含有无限个元素的集合．例如，N．
（3）空集：不含任何元素的集合，记作．例如，｛x｜x2＋1＝0，x∈R｝＝．
注：对于无限集，不宜采用列举法．
三、解释应用
［例 题］
1. 用适当的方法表示下列集合．
（1）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数．
（2）平面内到一个定点O的距离等于定长l（l＞0）的所有点P．
（3）在平面a内，线段AB的垂直平分线．
（4）不等式2x－8＜2的解集．
2. 用不同的方法表示下列集合．
（1）｛2，4，6，8｝．
（2）｛x｜x2＋x－1＝0｝．
（3）｛x∈N｜3＜x＜7｝．
3. 已知A＝｛x∈N｜66－x∈N｝．试用列举法表示集合A．
（A＝｛0，3，5｝）
4. 用描述法表示在平面直角坐标中第一象限内的点的坐标的集合．
［练 习］
1. 用适当的方法表示下列集合．
（1）构成英语单词mathematics（数字）的全体字母．
（2）在自然集内，小于1000的奇数构成的集合．
（3）矩形构成的集合．
2. 用描述法表示下列集合．
（1）｛3，9，27，81，…｝．
（2）
四、拓展延伸
把下列集合“翻译”成数学文字语言来叙述．
（1）｛（x，y）｜y＝x2＋1，x∈R｝．
（2）｛y｜y＝x2＋1，x∈R｝．
（3）｛（x，y）｜y＝x2＋1，x∈R｝．
（4）｛x｜y＝x2＋1，y∈N*｝．
点 评
这篇案例注重新、旧知识的联系与过渡，以旧引新，从学生的原有知识、经验出发，创设问题情境；从实例引出集合的概念，再结合实例让学生进一步理解集合的概念，掌握集合的表示方法．非常注重实例的使用是这篇案例的突出特点．这样做，通俗易懂，使学生便于学习和掌握．例题、练习由浅入深，对培养学生的理解能力、表达能力、思维能力大有裨益．拓展延伸注重数学语言的转化和训练，注重区分形似而质异的数学问题，加强了学生对数学概念的理解和认识．
2 集合之间的关系
教材分析
集合之间的关系是集合运算的基础和前提，是用集合观点理清集合之间内在联系的桥梁和工具．这节内容是对集合的基本概念的深化，延伸，首先通过类比、实例引出子集的概念，再结合实例加以说明，然后通过实例说明子集包括真子集和两集合相等两种情况．这节内容的教学重点是子集的概念，教学难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别．
教学目标
1. 通过对子集概念的归纳、抽象和概括，体验数学概念产生和形成的过程，培养学生的抽象、概括能力．
2. 了解集合的包含、相等关系的意义，理解子集、真子集的概念，培养学生对数学的理解能力．
3. 通过对集合之间的关系即子集的学习，初步体会数学知识发生、发展、运用的过程，培养学生的科学思维方法．
任务分析
这节内容是在学生已经掌握了集合的概念和表示方法以及两个实数之间有大小关系的基础上，进一步学习和研究两个集合之间的关系，采用从实例入手，由具体到抽象，由特殊到一般，再由抽象、一般到具体、特殊的方法，知识的产生、发生比较自然，易于学习、接受和掌握；采用分类讨论的方法阐述子集包括真子集、等集（两集合相等）两种情况，这可以使学生更好地认识子集、真子集、等集三者之间的内在联系．
教学设计
一、问题情境
1. 元素与集合之间的关系是什么？
元素与集合是从属关系，即对一个元素x是某集合A中的元素时，它们的关系为x∈A．若一个对象x不是某集合A中的元素时，它们的关系为xA．
2. 集合有哪些表示方法？
列举法，描述法，Venn图法．
数与数之间存在着大小关系，那么，两个集合之间是不是也存在着类似的关系呢？先看下面两个集合：A＝｛1，2，3｝，B＝｛1，2，3，4，5｝．它们之间有什么关系呢？
二、建立模型
1. 引导学生分析讨论
集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素．
集合B中的元素4，5不是集合A中的元素．
2. 与学生共同归纳，明晰子集的定义
对于上述问题，教师点拨，A是B的子集，B不是A的子集．
子集：对于两个集合A，B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作AB（或BA），就说集合A是集合B的子集．
用符号语言可表示为：如果任意元素x∈A，都有x∈B，那么AB．
规定：空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A，有A．
3. 提出问题，组织学生讨论
给出三个集合：A＝｛1，2，3｝，B＝｛1，2，3，4，5｝，C＝｛1，2，3｝．
（1）A是B的子集吗？B是A的子集吗？
（2）A是C的子集吗？C是A的子集吗？
4. 教师给出真子集与两集合相等的定义
上述问题中，集合A是集合B的子集，并且集合B中有元素不属于集合A，这时，我们就说集合A是集合B的真子集；集合A是集合C的子集，且集合A与集合C的元素完全相同，这时，我们就说集合A与集合C相等．
真子集：如果集合A是集合B的子集，即AB，并且B中至少有一个元素不属于集合A，那么集合A叫作集合B的真子集，记作AB或BA．
AB的Venn图为
两集合相等：如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，即AB，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A 中的元素，即BA，那么就说集合A等于集合B，记作A＝B．
A＝B的Venn图为
思考：设A，B是两个集合，AB，AB，A＝B三者之间的关系是怎样的？
5. 子集、真子集的有关性质
由子集、真子集的定义可推知：
（1）对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC．
（2）对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC．
（3）AA．
（4）空集是任何非空集合的真子集．
三、解释应用
［例 题］
1. 用适当的符号（∈，，＝，，）填空．
（1）3 ___________ ｛1，2，3｝．
（2）5 ___________ ｛5｝．
（3）4 ___________ ｛5｝．
（4）｛a｝ ___________ ｛a，b，c｝．
（5）0 ___________ ．
（6）｛a，b，c｝ ___________ ｛b，c｝．
（7） ___________ ｛0｝．
（8） ___________ ｛｝．
（9）｛1，2｝ ___________ ｛2，1｝．
（10）G＝｛x｜x是能被3整除的数｝ ___________ H＝｛x｜x是能被6整除的数｝．
2. 写出集合｛a，b｝的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集．
3. 说出下列每对集合之间的关系．
（1）A＝｛1，2，3，4，｝，B＝｛3，4｝．
（2）P＝｛x｜x2＝1｝，Q＝｛-1，1｝．
（3）N，N*．
（4）C＝｛x∈R｜x2＝-1｝，D＝｛0｝．
［练 习］
1. 用适当的符号（∈，，＝，，）填空．
（1）a ___________ ｛a｝．
（2）b ___________ ｛a｝．
（3） ___________ ｛1，2｝．
（4）｛a，b｝ ___________ ｛b，a｝．
（5）A＝｛1，2，4｝ ___________ B＝｛x｜x是8的正约数｝．
2. 求下列集合之间的关系，并用Venn图表示．
A＝｛x｜x是平行四边形｝，
B＝｛x｜x是菱形｝，
C＝｛x｜x是矩形｝，
D＝｛x｜x是正方形｝．
拓展延伸
填 表
表2-1
| 集 合 | 集合中元素的个数 | 子集的个数 | 真子集的个数 |
| ｛a｝ | 1 | ||
| ｛a，b｝ | 2 | ||
| ｛a，b，c｝ | 3 | ||
| ｛a，b，c，d｝ | 4 | ||
| … | … |
（2）如果一个集合中有n个元素，你能写出计算它的所有子集个数与真子集个数的公式吗？（用n表达）
点 评
这篇案例结构严谨，思路清晰，概念和关系的引出注重从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认识过程．具体地说就是，先结合实例研究两个具体集合的关系，从而引出子集的定义，然后再结合实例说明AB，包括AB，A＝B两种情况，再给出真子集、等集的定义．这样的处理方式，符合学生的认知规律，符合新课程的理念，例题与练习由浅入深，注重数形结合，使学生从不同角度加深了对集合之间的关系的理解．拓展延伸注重培养学生从特殊到一般地解决数学问题的能力．值得注意的是，在引出子集定义时，最好明确指出，集合之间的“大小”关系实质上就是包含关系．
3 逻 辑 联 结 词
教材分析
在初中阶段，学生已接触了一些简单命题，对简单的推理方法有了一定程度的了解．在此基础上，这节课首先从简单命题出发，给出含有“或”、“且”、“非”的复合命题的概念，然后借助真值表，给出判断复合命题的真假的方法．
在高中数学中，逻辑联结词是学习、掌握和使用数学语言的基础，是高中数学学习的出发点．因此，在教学过程中，除了关注和初中知识密切的联系之外，还应借助实际生活中的具体例子，以便于学生理解和掌握逻辑联结词．
教学重点是判断复合命题真假的方法，难点是对“或”的含义的理解．
教学目标
1. 理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，了解“或”、“且”、“非”的复合命题的构成．
2. 能熟练判断一些复合命题的真假性．
3. 通过逻辑联结词的学习，使学生初步体会数学语言的严密性，准确性，并在今后数学学习和交流中，能够准确运用逻辑联结词．
任务分析
在初中数学中，学生已经学习了一些关于命题的初步知识，但是，对命题和开语句的区别往往搞不清．因此，应首先让学生弄懂命题的含义，以便其掌握复合命题．
由于逻辑中的“或”、“且”、“非”与日常用语中的“或”、“且”、“非”的意义不完全相同，故要直接讲清楚它们的意义，比较困难．因此，开始时，不必深讲，可以在学习了有关复合命题的真值表之后，再要求学生根据复合命题的真值表，对“或”、“且”、“非”加以理解，这样处理有利于掌握重点，突破难点．
为了加深对“或”、“且”、“非”的理解，最后应设计一系列的习题加以巩固、深化对知识的认识程度．
教学设计
一、问题情境
生活中，我们要经常用到许多有自动控制功能的电器．例如，洗衣机在甩干时，如果“到达预定的时间”或“机盖被打开”，就会停机，即当两个条件至少有一个满足时，就会停机．与此对应的电路，就叫或门电路．又如，电子保险门在“钥匙插入”且“密码正确”两个条件都满足时，才会开启．与此对应的电路，就叫与门电路．随着高科技的发展，诸多科学领域均离不开类似以上的逻辑问题．因此，我们有必要对简易逻辑加以研究．
二、建立模型
在初中，我们已学过命题，知道可以判断真假的语句叫作命题．
试分析以下8个语句，说出哪些是命题，哪些不是命题，哪些是真命题，哪些是假命题．
（1）12＞5．
（2）3是12的约数．
（3）是整数．
（4）是整数吗？
（5）x＞．
（6）10可以被2或5整除．
（7）菱形的对角线互相垂直且平分．
（8）不是整数．
（可以让学生回答，教师给出点评）
我们可以看出，（1）（2）是真命题；（3）是假命题；因为（4）不涉及真假；（5）不能判断真假，所以（4）（5）都不是命题；（6）（7）（8）是真命题．
其中，“或”、“且”、“非”这些词叫作逻辑联结词．像（1）（2）（3）这样的命题，不含逻辑联结词，叫简单命题；像（6）（7）（8）这样，由简单命题与逻辑联结词构成的命题，叫复合命题．
如果用小写的拉丁字母p，q，r，s，…来表示命题（这里应明确（6）（7）（8）三个命题中p，q分别代表什么），则上述复合命题（6）（7）（8）的构成形式分别是p或q，p且q，非p．其中，非p也叫作命题p的否定．
对于以上三种复合命题，如何判断其真假呢？下面要求学生自己设计或真或假的命题来填下面表格：
结合学生回答情况，将上面的表格补充完整，并给出真值表的定义．要求学生对每一真值表用一句话总结：
（1）“非p”形式的复合命题的真假与p的真假相反．
（2）“p且q”形式的复合命题当p与q同为真时为真，其他情况时为假．
（3）“p或q”形式的复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．
三、解释应用
［例 题］
1. 分别指出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题的真假．
（1）p：2＋2＝5，q：3＞2．
（2）p：9是质数，q：8是12的约数．
（3）p：1∈｛1，2｝，q：｛1｝｛1，2｝．
（4）p：｛0｝，q：＝｛0｝．
注：引导学生进一步熟悉真值表．
2. 说出下列复合命题的形式，并判断其真假．
（1）5≥5． （2）5≥1．
解：（1）p或q形式．其中，p：5＞5，q：5＝5．p假，q真，∴p或q为真，即5≥5为真命题．
（2）p或q形式．其中，p：5＞4，q：5＝4，p真，q假，∴p或q为真，即5≥4为真命题．
［练 习］
1. 命题：方程x2－1＝0的解是x＝±1，使用逻辑联结词的情况是（ ）．
A. 没用使用逻辑联结词
B. 使用逻辑联结词“且”
C. 使用逻辑联结词“或”
D. 使用逻辑联结词“非”
（C）
2. 由下列命题构成的“p或q”、“p且q”形式的复合命题均为真命题的是（ ）．
A. p：4＋4＝9，q：7＞4
B. p：a∈｛a，b，c｝，q：｛a｝｛ａ，ｂ，ｃ｝
C. p：15是质数，q：4是12的约数
D. p：2是偶数，q：2不是质数
（B）
四、拓展延伸
在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”、“且”、“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，从而解决问题．
例：小李参加全国数赛，有三名同学对他作如下猜测：
甲：小李非第一名，也非第二名；
乙：小李非第一名，而是第三名；
丙：小李非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，问：小李得了第几名？
由上可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知是丙是真命题，因此小李得了第一名．
还有一些逻辑问题，应从命题与命题之间关系去寻找解题思路．
例：曾经在校园内发生过这样一件事：甲、乙、丙、丁四名同学在教室前的空地上踢足球，忽然足球飞向了教室的一扇窗户，听到响声后，李主任走了过来，看着一地碎玻璃，问道：“玻璃是谁打破的？”
甲：是乙打破的；
乙：不是我，是丁打破的；
丙：肯定不是我打破的；
丁：乙在撒谎．
现在只知道有一个人说了真话，请你帮李主任分析：谁打破了玻璃，谁说了真话．
分析此题关键在于找清乙说的与丁说的是“p”与“非p”形式，因此说真话者可能是乙，也可能不是乙，是丁．由此分析可知，是丙打破的玻璃．
点 评
这篇案例的突出特点是对知识的认知由浅入深，层层渐进．这篇案例的所有例子均结合学生的数学水平取自学生掌握的知识范围之内或者直接源于现实生活，这有利于学生对问题的实质的理解和掌握．如果在“建立模型”的结束时及时给出相关的例子，使学生正确区分哪些是简单命题，哪些是复合命题，学生的印象会更深．
4 四 种 命 题
教材分析
在初中，学生接触的简单的逻辑推理及命题间关系（原命题和逆命题）主要来源于几何知识，有很强的几何直观性，便于掌握．高中学生要面对大量代数命题，因此，很有必要学习四种命题及四者之间的关系，以适应高中数学学习的需要，这节课的主要教学目的就在于此．同时，这节课又是学习和运用反证法这种基本解题方法的基础．
这节课的重点是四种命题间的关系．
学生现有的认知水平虽然脱离了初中阶段的简单几何知识，但是新的知识体系并未形成，因此，随着学生对概念理解的深入，这节课的例题将逐步引导学生理解几何命题，进而理解代数命题．这种处理方式符合学生的认知规律．
教学目标
通过这节课的教与学，应使学生初步理解四种命题及其关系，进而使学生掌握简单的推理技能，发展学生的思维能力．同时，帮助学生从几何推理向代数推理过渡．
任务分析
在这节课的教学过程中，要注意控制教学要求，即只研究比较简单的命题，而且命题的条件和结论比较明显；不研究含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题的逆命题、否命题和逆否命题．
这节中“若p则q”形式的命题中的“p”，“q”可以都是命题，也可以不都是命题，不能等同于前面的复合命题．
教学设计
一、问题情境
在以前的数学学习中，有这样的知识：菱形的对角线相互垂直．那么，这一真命题变一下形式是否真命题呢？如：“如果一个四边形对角线相互垂直，那么它是菱形”，再如：“对角线不相互垂直的四边形不是菱形”．这些变形后的命题的真假是否和原命题有关呢？为解决这一问题，这节课我们就来学习“四种命题”．
二、问题解决
首先让学生回忆初中学习过的有关命题的定义：互逆命题、原命题、逆命题．（学生回答，教师补充完整）
例：如果原命题是
（1）同位角相等，两直线平行．
让学生说出它的逆命题．
（2）两直线平行，同位角相等．
再看下面的两个命题：
（3）同位角不相等，两直线不平行．
（4）两直线不平行，同位角不相等．
在命题（1）与命题（3）中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫作互否命题．把其中一个命题叫作原命题，另一个就叫作原命题的否命题．
在命题（1）与命题（4）中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫作互为逆否命题．把其中一个命题叫作原命题，另一个就叫作原命题的逆否命题．
换句话说：
（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题．
（2）同时否定原命题的条件和结论，所得命题是否命题．
（3）交换原命题的条件和结论，并同时否定，所得命题是逆否命题．
一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p和q的否定．于是，四种命题的形式就是：
原命题：若p则q．
逆命题：若q则p．
否命题：若非p则非q．
逆否命题：若非q而非p．
下面让学生考虑这样一个问题：四种命题之间，任意两个是什么关系？（学生回答，教师补充，最后出示下图）
给出一个命题：“若a＝0，则ab＝0．”让学生写出其他三种命题，并判断四个命题的真假，然后考虑其他三种命题的真假是否与原命题的真假有某种关系．
不难发现如下关系：
（1）原命题为真，它的逆命题不一定为真．
（2）原命题为真，它的否命题不一定为真．
（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真．
三、解释应用
［例 题］
1. 把下列命题先改写成“若p则q”的形式，再写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．
（1）负数的平方是正数．
（2）正方形的四条边相等．
分析：关键是找出原命题的条件p与结论q．
解：（1）原命题可以写成：若一个数是负数，则它的平方是正数．
逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．逆命题为假．
否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．否命题为假．
逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．逆否命题为真．
（2）原命题可以写成：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．
逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．逆命题为假．
否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等．否命题为假．
逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形．逆否命题为真．
2. 设原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．
分析：“当c＞0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a＞b，结论是ac＞bc．
解：逆命题：当c＞0时，若ac＞bc，则a＞b．逆命题为真．否命题：当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc．否命题为真．逆否命题：当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b．逆否命题为真．
［练 习］
1. 命题“若a＞b，则ac2＞bc2，（a，b，c∈R）”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题个数为（ ）．
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
（B）
2. 在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则｛x｜ax2＋bx＋c＜0｝≠ ”的逆命题、否命题、逆否命题中，下列结论成立的是（ ）．
A. 三命题都真 B. 三命题都假 C. 否命题真 D. 逆否命题真
（D）
四、拓展延伸
在对某一命题的条件和结论否定时，有些问题，学生易出错．例如，对如下词语的否定：“任意的”、“所有的”、“都是”和“全是”等．
下面以“全是”为例进行说明：所谓“否定”，即其对立面，显然“全是”的对立面中除了“全不是”之外，还有“部分也是”这一部分．因此，“全是”的对立面（即否定）应是“不全是”，而不是“全不是”．同样，“任意的”否定应是“某个”，“所有的”否定应是“存在一个”或“存在一些”，“都是”的否定是“不都是”．例如，命题：若x2＋y2＝0，则x，y全是0．其否命题是：若x2＋y2≠0，则x，y不全是0．
点 评
这篇案例涉及两个问题：一个是定义，一个是规律，即四种命题间的关系．为了加深学生的认识，这篇案例突出了“学生参与”，即让学生通过例子认识定义，在活动中自己归纳、总结规律．同时，这篇案例又设计了适量的例题和练习，以巩固学生在课堂活动中掌握的知识．再者，这篇案例中所有例子都十分简单，但又极具有代表性，易于学生接受和理解，这也是学生能积极地参与到课堂活动中去的一个必要条件．
美中不足的是，这篇案例的个别环节对“反例”的运用稍显单薄．
5 充分条件与必要条件
教材分析
充分条件与必要条件是简易逻辑的重要内容．学习数学需要全面地理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这就离不开对充分条件与必要条件的掌握和运用，而且它们也是认识问题、研究问题的工具．这节内容在“四种命题”的基础上，通过若干实例，总结出了充分条件、必要条件和充要条件的概念，给出了判断充分条件、必要条件的方法和步骤．教学的重点与难点是关于充要条件的判断．
教学目标
1. 结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．
2. 理解充要条件，掌握判断充要条件的方法和步骤．
3. 通过充要条件的学习，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力，逐步提高学生分析问题、解决问题的能力．
任务分析
这节内容是学生在学习了“四种命题”、会判断一个命题的真假的基础上，主要根据“pq”给出了充分条件、必要条件及充要条件．虽然从实例引入，但是学生对充分条件、必要条件的理解，特别是对必要条件的理解有一定困难．对于本节内容的学习，首先要分清谁是条件，谁是结论，其次要进行两次推理或判断．
（1）若“条件结论”，则条件是结论的充分条件，或称结论是条件的必要条件．
（2）若“条件结论”，则条件是结论的不充分条件，或称结论是条件的不必要条件．
教学设计
一、问题情境
［提出问题］
1. 写出命题“若x＞0，则x2＞0”的逆命题、否命题和逆否命题，并分别判断原命题、逆命题、否命题、逆否命题的真假．
原命题：若x＞0，则x2＞0．真命题．
逆命题：若x2＞0，则x＞0．假命题．
否命题：若x≤0，则x2≤0．假命题．
逆否命题：若x2≤0，则x≤0．真命题．
2. “若p则q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假．
“若p则q”为真，即如果p成立，那么q一定成立，记作pq或qp．
“若p则q”为假，即如果p成立，那么q不一定成立，即由p推不出q，记作pq．
［进一步的问题］
“若x＞0，则x2＞0”，为真，可记作“pq”．
（1）x＞0是x2＞0的什么条件？
（2）x2＞0是x＞0的什么条件？
二、建立模型
1. 学生分析讨论，教师点拔
（1）x＞0x2＞０，x＞0是x2＞0的什么条件？
在这个问题中，“x＞0”是“条件”，“x2＞0”是“结论”；已知x＞0x2＞0表示若“条件”成立，则“结论”一定成立，说明“条件”蕴涵“结论”，说明“条件”是“结论”的充分条件．
（2）x2＞0x＞0，x2＞0是x＞0的什么条件？
在这个问题中，“x2＞0”是“条件”，“x＞0”是“结论”；已知x＞0x2＞0表示若“结论”成立，则“条件”一定成立，说明“结论”蕴涵“条件”，即若“条件”成立，则“结论”不一定成立，说明“结论”是“条件”的必要条件．
2. 师生共同参与，给出充分条件、必要条件的定义
如果已知pq，那么，p是q的充分条件，q是p的必要条件．
3. 充要条件
问题：记p：三角形的三条边相等，q：三角形的三个角相等．问：p是q的什么条件？
解：（1）pq，即p是q的充分条件．
（2）qp，即p是q的必要条件．
综合（1）（2），我们就说p是q的充要条件．
如果pq，且qp，记作pq，这时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件，那么就说p是q的充分必要条件，简称充要条件．
4. 提出问题，组织学生讨论
如何判断充要条件？
（1）分清谁是条件p，谁是结论q．
（2）进行两次推理或判断，即判断pq是否成立，qp是否成立．
（3）根据（2）写出结论．
三、解释应用
［例 题］
1. 指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．
（1）p：x＞0；q：x2＞0．
（p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件）
（2）p：x＝y；q：x2＝y2．
（p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件）
（3）p：两三角形面积相等；q：两三角形全等．
（p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件）
（4）p：两直线平行；q：内错角相等．
（p是q的充要条件，q是p的充要条件）
（5）p：x＝y；q：x2＋y2＝1．
（p是q的既不充分又不必要条件，q是p的既不充分又不必要条件）
2. 指出下列各组命题中，p是q的什么条件．
（1）p：（x－2）（x－3）＝0；q：x＝3．
（2）p：四边形对角线相等；q：四边形是矩形．
（3）p：a≠0；q：a·b≠0．
（4）p：a＋5是无理数；q：a是无理数．
（5）p：x≤5；q：x≤3．
［练 习］
1. 下列各组命题中的p是q的什么条件？
（1）p：x2＋y2＝0，q：x·y＝0．
（2）p：m＞0；q：x2＋x－m＝0有实数根．
（3）p：a＞b；q：a2＞b2．
（4）p：x2＝3x＋4；q：x＝
（5）p：x＞-1；q：x＞1．
（6）p：a，b都是偶数；q：a＋b是偶数．
2. （1）如果原命题若p则q为真而逆命题为假，那么p是q的条件．
（2）如果原命题若p则q为假而逆命题为真，那么p是q的条件．
（3）如果原命题若p则q与其逆命题都为真，那么p是q的条件．
（4）如果原命题若p则q与其逆命题都为假，那么p是q的条件．
四、拓展延伸
1. 已知p，q都是r的必要条件，S是r的充分条件，q是S的充分条件，那么，
（1）S是q的什么条件？
（2）r是q的什么条件？
（3）p是q的什么条件？
2. “关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根”的充要条件是什么？
3. “3x2－10x＋k＝0有两个同号且不相等实根”的充要条件是什么？
点 评
这篇案例注重新、旧知识的内在联系，以旧引新，过渡自然．首先，复习已学过的知识“四种命题”和判断命题的真假，并以此巧妙地引出了推断符号pq，pq．其次，在此基础上，通过实例，创设问题情境，引出课题p是q的什么条件．最后，明确充要条件，并给出判断充要条件的方法和步骤．环环相扣，层层深入，重点突出，抓住了关键．例题与练习由浅入深，符合学生的认知规律．拓展延伸富有新意，有利于培养学生的探索能力和创新意识，有利于培养学生的思维能力和思维品质，整个设计地完成了教学任务．
6 函 数 的 概 念
教材分析
与传统课程内容相比，这节内容的最大变化就是函数概念的处理方式．事实上，“先讲映射后讲函数”比“先讲函数后讲映射”，有利于学生更好地理解函数概念的本质．第一，在初中函数学习基础上继续深入学习函数，衔接自然，利于学生在原有认知基础上提升对函数概念的理解；第二，直接进入函数概念的学习更有利于学生将注意力放在理解函数概念的学习上，而不必花大量精力学习映射，使其认识映射与函数的关系后才能理解函数的概念．
函数概念是中学数学中最重要的概念之一．函数概念、思想贯穿于整个中学教材之中．通过实例，引导学生通过自己的观察、分析、归纳和概括，获得用集合与对应语言刻画的函数概念．
对函数概念本质的理解，首先应通过与初中定义的比较、与其他知识的联系以及不断地应用等，初步理解用集合与对应语言刻画的函数概念．其次在后续的学习中通过基本初等函数，引导学生以具体函数为依托、反复地、螺旋式上升地理解函数的本质．教学重点是函数的概念，难点是对函数概念的本质的理解．
教学目标
1. 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．
2. 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．
3. 了解映射的概念．
任务分析
学生在初中对函数概念有了初步的认识．这节课的任务是在学生原认知水平的基础上，用集合与对应的观点认识函数，了解构成函数定义的三要素，认识映射与函数是一般与特殊的关系．
教学设计
一、问题情景
1. 一枚炮弹发射后，经过60s落到地面击中目标．炮弹的射高为4410m，且炮弹距地面的高度h随时间t的变化规律是h＝294t－4.9t2，（0≤t≤60，0≤h≤4410）．
2. 近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979年到2001年的变化情况．
3. 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．下表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．
表6-1 “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况
| 时间（年） | 1991 | 1992 | 1993 | 1994 | 1995 | 1996 | 1997 | 1998 | 1999 | 2000 | 2001 |
| 恩格尔系数（%） | 53.8 | 52.9 | 50.1 | 49.9 | 49.9 | 48.6 | 46.4 | 44.5 | 41.9 | 39.2 | 37.9 |
二、建立模型
1. 在学生充分分析和讨论的基础上，总结归纳以上三个实例的共同特点
在三个实例中，变量之间的关系都可以描述成两个集合间的一种对应关系：对于数集Ａ中的任一个ｘ，按照某个对应关系，在数集Ｂ中都有唯一确定的值与之对应．
2. 教师明晰
通过学生的讨论归纳出函数的定义：
设A，B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任一个x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f（x），x∈A．其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域，与x的值相对应的y叫作函数值，函数值的集合：｛y｜y＝f（x），x∈A｝叫作函数的值域．
注意：（1）从函数的定义可以看出：函数由定义域、对应法则、值域三部分组成，它们称为函数定义的三要素．其中，y＝f（x）的意义是：对任一x∈A，按照对应法则f有唯一y与之对应．
（2）在函数定义的三个要素中，核心是定义域和对应法则，因此，只有当函数的对应关系和定义域相同时，我们才认为这两个函数相同．
思考：函数f（x）＝与g（x）＝是同一函数吗？
三、解释应用
［例 题］
1. 指出下列函数的定义域、值域、对应法则各是什么？如何用集合与对应的观点描述它们？
（1）y＝1，（x∈R）． （2）y＝ax＋b，（a≠0）．
（3）y＝ax2＋bx＋c，（a＞0）． （4）y＝kx，（k≠0）．
解：（3）定义域：｛x｜x∈R｝，值域：｛y｜y≥｝对应法则f：自变量→a（自变量）2＋b·（自变量）＋c，即：f：x→ax2＋bx＋c
（1），（2），（4）略．
2. 已知：函数f（x）＝
（1）求函数的定义域．
（2）求f（－3），f（）的值．
（3）当a＞0时，求f（a），f（a－1）的值．
目的：深化对函数概念的理解．
3. 求下列函数的值域．
（1）f（x）＝2x． （2）f（x）＝1－x＋x2，（x∈R）．
（3）y＝3－x，（x∈N）．
解：（1）｛y｜y≠0｝． （2）｛y｜y≥｝． （3）｛3，2，1，0，－1，－2，…｝．
4. （1）已知：f（x）＝x2，求f（x－1）．
（2）已知：f（x－1）＝x2，求f（x）．
目的：深化对函数符号的理解．
解：（1）f（x－1）＝（x－1）2．
（2）f（x－1）＝x2＝［（x－1）＋1］2＝（x－1）2＋2（x－1）＋1．
∴f（x）＝x2＋2x＋1．
［练 习］
1. 求下列函数的定义域．
2. 已知二次函数f（x）＝x2＋a的值域是［－2，＋∞），求a的值．
3. 函数f（x）＝［x］，［x］表示不超过x的最大整数，求：
（1）f（3.5），（2）f（－3.5）．
四、拓展延伸
在函数定义中，将数集推广到任意集合时，就可以得到映射的概念．
集合A＝｛a1，a2｝到集合B＝｛b1，b2｝的映射有哪几个？
解：共有4个不同的映射．
思考：集合A＝｛a1，a2，a3｝到B＝｛b1，b2，b3｝的映射有多少个？
点 评
这篇案例设计完整，条理清楚．案例从三个方面（实际是函数的三种表示方法，为后续内容埋下伏笔）各举一个具体事例，从中概括出函数的本质特征，得出函数概念，体现了由具体到抽象的认知规律，有利于学生理解函数概念，更好地体现了数学从实践中来．例题、练习由浅入深，完整，全面．映射的概念作为函数概念的推广，处理方式有新意．“拓展延伸”的设计为学生加深对概念的理解，提供了素材．
在“问题情景”中的三个事例中，第一个例子中的“对应关系”比较明显，后两个例子则不太明显．如果能在教学设计中加以细致对比说明，效果会更好．
7 函数的表示方法
教材分析
函数的表示方法是对函数概念的深化与延伸．解析法、图像法和列表法从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．这三种表示方法既可以的表示函数，又可以相互转化；既各有侧重和优势，又各有劣势和不足；既相互补充，又使函数随自变量的变化而变化的规律直观和具体．这节内容，是初中有关内容的深化、延伸与提高．教材在复习初中三种表示方法定义的基础上，分三个层次对三种表示方法进行了比较．第一个层次：回顾与比较；第二个层次：选择与比较；第三个层次：转化与比较．
教学重点：画简单函数的图像；教学难点：分段函数的解析式求法及其图像的作法．
教学目标
1. 在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数．
2. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并解简单应用．
3. 能根据简单的实际问题，建立函数关系式，画出它们的图像，进一步理解、体会函数的意义．
任务分析
学生在初中已经对这节内容有了初步的认识．这节的教学任务是在学生原认知水平的基础上，用对应的观点认识函数，会根据不同需要选择恰当的方法表示函数，明确三种表示方法各有优劣，在一定条件下可以相互转化．为突出根据简单的实际问题建立函数关系式，画出它们的图像这个重点，除学习教材中的实际问题外，又增加了练习．为突破分段函数这个难点增加了高斯函数作为练习．
教学设计
一、问题情景
1. 复习引入
（1）复习初中三种函数的表示方法．
（2）学生回答函数三种表示方法的定义．
2. 方法探究
（1）复习与比较
例：某种笔记本的单价是5元，买x（x∈｛1，2，3，4，5｝）个笔记本需要y元．试用三种表示方法表示函数y＝f（x）．
（2）引导学生分析讨论
①三种表示方法的各自的特点是什么？所有的函数都能用解析法表示吗？
②函数图像上的点满足什么条件？满足函数关系式y＝f（x）的点（x，y）在什么地方？
二、建立模型
1. 教师明晰
函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．
采用解析法的条件：变量间的对应法则明确；
采用图像法的条件：函数的变化规律清晰；
采用列表法的条件：函数值的对应清楚．
函数图像上的点满足函数关系式y＝f（x），满足函数关系式y＝f（x）的点（x，y）在函数图像上，故函数图像即为点集p＝｛（x，y）｜y＝f（x），x∈A｝．
2. 比较与分析
例：下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分：
表7-1
| 第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | 第六次 | |
| 王 伟 | 98 | 87 | 91 | 92 | 88 | 95 |
| 张 城 | 90 | 76 | 88 | 75 | 86 | 80 |
| 赵 磊 | 68 | 65 | 73 | 72 | 75 | 82 |
| 班级平均分 | 88.2 | 78.3 | 85.4 | 80.3 | 75.7 | 82.6 |
学生分析讨论：本例是用何种方法表示函数的？要分析“成绩”与“测试次数”之间的变化规律，用何种方法表示函数？
注意：在这里选择何种表示方法，要根据问题的具体情况和三种表示方法的长处来确定．
3. 教师进一步明晰
将“成绩”与“测试次数”之间的函数关系用函数图像表示出来，就能比较直观地看到成绩的变化情况．
4. 转化与比较
例：画出函数y＝｜x｜的图像．
5. 教师归纳、整理
初中作函数图像的基本方法是列表、描点和连线，但这个方法比较烦琐．我们可以把初中学过的一次函数、反比例函数、二次函数的图像作为基本图像，把要作的函数的图像转化为基本函数的图像来解决．
y＝｜x｜，若不含“｜｜”号，则是我们初中学过的y＝x，现在含绝对值号，故去绝对值号，得分段函数而分段函数的图像只要分段作出即可．
三、解释应用
［练习一］
1. 作出y＝｜x－1｜的图像，与函数y＝｜x｜的图像比较，并说出你发现了什么．
2. 作出y＝x2＋2｜x｜＋1的图像．
3. 若x2＋2｜x｜＋1＝m，当m为何值时，关于x的方程有四个解？三个解？两个解？无解？
［例 题］
某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）乘坐汽车不超过5km，票价2元．
（2）超过5km，每增加5km，票价增加1元．（不足5km的按5km计算）
已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1km，如果沿途（包括起点站和终点站）有21个汽车站，请根据题意写出票价与路程之间的函数解析式，并画出函数的图像．
学生分析讨论：函数定义域是什么？值域是什么？图像如何作？
教师引导学生写出如下解答过程．
解：设票价为y元，路程为xkm．
如果某空调汽车运行路线中设21个汽车站，那么汽车行驶的路程约为20km，故自变量x的取值范围是x∈（0，20］，且x∈N，函数y的取值范围是y∈｛2，3，4，5｝．
由空调汽车票价的规定，可得到以下函数解析式：
根据这个函数解析式，可画出函数的图像
函数图像共有20个点构成．
像例3、例4这样的函数称为分段函数，分段函数的图像应分段作．
［练习二］
1. 下图都是函数的图像吗？为什么？
（D）
目的：进一步深化对函数概念和函数图像的理解．
2. 某人从甲镇去乙村，一开始沿公路乘车，后来沿小路步行，图中横轴表示运动的时间，纵轴表示此人与乙村的距离，则较符合该人走法的图像是（ ）．
（D）
3. 小明从甲地去乙地，先以每小时5km的速度行进1h，然后休息10min，最后以每小时4km的速度行进了30min到达乙地．
（1）试写出速度v（km／h）关于出发时间t（h）的函数关系式，并画出图像．
（2）试写出小明离开甲地s（km）关于出发时间t（h）的函数关系，并画出图像．
四、拓展延伸
1. 设x是任意的一个函数，y是不超过x的最大整数，记作：y＝［x］，问：x与y之间是否存在函数关系？如果存在，写出这个函数的解析式，并画出这个函数的图像．
答案：存在函数关系，是著名的高斯函数．现只写出 x∈［－1，1］的函数关系：y＝图像略．
2. 某家庭2004年1月份、2月份和3月份煤气用量和支付费用如下表所示：
表7-2
| 月 份 | 用气量 | 煤气费 |
| 1月份 | 4m2 | 4元 |
| 2月份 | 25m2 | 14元 |
| 3月份 | 35m2 | 19元 |
若每月量不超过最低限度Am3，则只付基本费3元和每月每户的定额保险C元；若用气量超过Am3，超过部分每立方米付B元，又知保险费C不超过5元．根据上面的表格，求A，B，C．
分析：可设每月用气量xm3，支付费用y元，建立函数解析式解之．
解：设每月用气xm3，支付费用y元，则
由0＜C≤5，得3＋C≤8．
由第2和3月份的费用都大于8，得
两式相减，得B＝0.5，∴A＝2C＋3．
再分析1月份的用气量是否超过最低限度．
不妨令A＜4，将x＝4代入3＋B（x－A）＋C，得3＋0.5［4－（3＋2C）］＋C＝4，
由此推出3.5＝4，矛盾，
∴A≥4，1月份付款方式为3＋C．
∴3＋C＝4．∴C＝1．∴A＝5．
∴A＝5，B＝0.5，C＝1．
点 评
这篇案例分三个层次对三种表示方法进行了比较：
第一层次：用一个简单的例子对函数的三种表示方法进行了复习和比较；
第二层次：对函数的三种表示方法进行了比较，选择了适当的方法表示函数；
第三层次：三种表示函数的方法的相互转化．
三个层次，层层深入，并对三种表示方法的优、劣进了比较，重点突出．拓展延伸通过高斯函数，加深了学生对抽象函数、分段函数的认识．在注重三种表示方法的同时，加强了学生应用意识的培养．
8 函数的单调性
教材分析
函数的单调性是函数的重要特性之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性地联系在一起．在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．这节内容的重点是理解函数单调性的概念以及利用函数的单调性的概念证明函数的单调性，难点是理解函数单调性的概念．
教学目标
1. 通过对增函数、减函数概念的归纳、抽象和概括，体验数学概念的产生和形成过程，培养学生从特殊到一般的抽象概括能力．
2. 掌握增函数、减函数等函数单调性的概念，理解函数增减性的几何意义，并能初步运用所学知识判断或证明一些简单函数的单调性，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力．
3. 通过对函数单调性的学习，初步体会知识发生、发展、运用的过程，培养学生形成科学的思维．
任务分析
这节内容学生在初中已有了较为粗略的认识，即主要根据观察图像得出结论．这节函数增减性的定义，是运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，学生接受起来可能比较困难．在引入定义时，要始终结合具体函数的图像来进行，以增强直观性，采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，便于学生理解．对于定义，要注意对区间上所取两点x1，x2的“任意性”的理解，多给学生操作与思考的时间和空间．
教学设计
一、问题情境
1. 如图为某市一天内的气温变化图：
（1）观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况．
（2）怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大，气温逐渐升高或下降”这一特征？
2. 分别作出下列函数的图像：
（1）y＝2x． （2）y＝－x＋2． （3）y＝x2．
根据三个函数图像，分别指出当x∈（－∞，＋∞）时，图像的变化趋势？
二、建立模型
1. 首先引导学生对问题2进行探讨———观察分析
观察函数y＝2x，y＝－x＋2，y＝x2图像，可以发现：y＝2x在（－∞，＋∞）上、y＝x2在（０，＋∞）上的图像由左向右都是上升的；y＝－x＋2在（－∞，＋∞）上、y＝x2在（－∞，０）上的图像由左向右都是下降的．函数图像的“上升”或“下降”反映了函数的一个基本性质———单调性．那么，如何描述函数图像“上升”或“下降”这个图像特征呢？
以函数y＝x2，x∈（－∞，０）为例，图像由左向右下降，意味着“随着x的增大，相应的函数值y＝f（x）反而减小”，如何量化呢？取自变量的两个不同的值，如x1＝－5，x2＝－3，这时有x1＜x2，f（x1）＞f（x2），但是这种量化并不精确．因此，x1，x2应具有“任意性”．所以，在区间（－∞，0）上，任取两个x1，x2得到f（x1）＝，f（x2）＝．当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）．这时，我们就说f（x）＝x2在区间（－∞，0）上是减函数．
注意：在这里，要提示学生如何由直观图像的变化规律，转化为数学语言，即自变量ｘ变化时对函数值y的影响．必要时，对x，y可举出具体数值，进行引导、归纳和总结．这里的“都有”是对应于“任意”的．
2. 在学生讨论归纳函数单调性定义的基础上，教师明晰———抽象概括
设函数f（x）的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么我们就说函数f（x）在区间Ｄ上是增函数［如图8-2（1）］．
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么我们就说函数f（x）在区间Ｄ上是减函数［如图8-2（2）］．
如果函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么我们就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫作y＝f（x）的单调区间．
3. 提出问题，组织学生讨论
（1）定义在R上的函数f（x），满足f（2）＞f（1），能否判断函数f（x）在R是增函数？
（2）定义在R上函数f（x）在区间（－∞，0］上是增函数，在区间（0，＋∞）上也是增函数，判断函数f（s）在R上是否为增函数．
（3）观察问题情境1中气温变化图像，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．
强调：定义中x1，x2是区间D上的任意两个自变量；函数的单调性是相对于某一区间而言的．
三、解释应用
［例 题］
1. 证明函数f（x）＝2x＋1，在（－∞，＋∞）是增函数．
注：要规范解题格式．
2. 证明函数f（x）＝，在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数．
思考：能否说，函数f（x）＝在定义域（－∞，0）∪（0，＋∞）上是减函数？
3. 设函数y＝f（x）在区间D上保号（恒正或恒负），且f（x）在区间D上为增函数，求证：f（x）＝在区间D上为减函数．
证明：设x1，x2∈Ｄ，且x1＜x2，
∵f（x）在区间D上保号，∴f（x1）f（x2）＞0．
又f（x）在区间D上为增函数，∴f（x1）－f（x2）＜0，从而g（x1）－g（x2）＞0，∴g（x）在D上为减函数．
［练 习］
1. 证明：（1）函数f（x）＝在（0，＋∞）上是增函数．
（2）函数f（x）＝x2－x在（－∞，］上是减函数．
2. 判断函数的单调性，并写出相应的单调区间．
3. 如果函数y＝f（x）是R上的增函数，判断g（x）＝kf（x），（k≠0）在R上的单调性．
四、拓展延伸
1. 根据图像，简要说明近150年来人类消耗能源的结构变化情况，并对未来100年能源结构的变化趋势作出预测．
2. 判断二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，（a≠0）的单调性，并用定义加以证明．
3. 如果自变量的改变量Δx＝x2－x1＜0，函数值的改变量Δy＝f（x2）－f（x1）＞0，那么函数f（x）在区间D上是增函数还是减函数？
4. 函数值的改变量与自变量的改变量的比叫作函数f（x）在x1，x2之间的平均变化率．
（1）根据函数的平均变化率判断y＝f（x）在区间D上是增函数还是减函数．
（2）比值的大小与函数值增长的快慢有什么关系？
点 评
这篇案例设计完整，思路清晰．案例首先通过实例阐述了函数单调性产生的背景，归纳、抽象概括出了增函数、减函数的定义，充分体现了数学教学的本质是数学思维过程的教学，符合新课程标准的精神．例题与练习由浅入深，完整，全面．“拓展延伸”的设计有新意，有深度，为学生数学思维能力、创造能力的培养提供了平台．
这篇案例的突出特点，体现在如下几个方面：
1. 强调对基本概念和基本思想的理解和掌握
由于数学高度抽象的特点，注重体现基本概念的来龙去脉．在数学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质．
2. 注重联系，提高对数学整体的认识
数学的发展既有内在的动力，也有外在的动力．在高中数学的教学中，要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系，数学与日常生活的联系，数学与其他学科的联系．例如，通过研讨本节课“拓展延伸”中的第1个问题，可以大大提高了学生学习的积极性和主动性．
3. 注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力
在数学教学中，应注重发展学生的应用意识；通过丰富的实例引入数学知识，引导学生应用数学知识解决实际问题，经历探索、解决问题的过程，体会数学的应用价值，帮助学生认识到：数学与我有关，与实际生活有关；数学是有用的，我要用数学，我能用数学．
9 函数的奇偶性
教材分析
函数的奇偶性是函数的重要性质，是对函数概念的深化．它把自变量取相反数时函数值间的关系定量地联系在一起，反映在图像上为：偶函数的图像关于ｙ轴对称，奇函数的图像关于坐标原点成中心对称．这样，就从数、形两个角度对函数的奇偶性进行了定量和定性的分析．教材首先通过对具体函数的图像及函数值对应表归纳和抽象，概括出了函数奇偶性的准确定义．然后，为深化对概念的理解，举出了奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数的函数和非奇非偶函数的实例．最后，为加强前后联系，从各个角度研究函数的性质，讲清了奇偶性和单调性的联系．这节课的重点是函数奇偶性的定义，难点是根据定义判断函数的奇偶性．
教学目标
1. 通过具体函数，让学生经历奇函数、偶函数定义的讨论，体验数学概念的建立过程，培养其抽象的概括能力．
2. 理解、掌握函数奇偶性的定义，奇函数和偶函数图像的特征，并能初步应用定义判断一些简单函数的奇偶性．
3. 在经历概念形成的过程中，培养学生归纳、抽象概括能力，体验数学既是抽象的又是具体的．
任务分析
这节内容学生在初中虽没学过，但已经学习过具有奇偶性的具体的函数：正比例函数y＝kx，反比例函数，（k≠0），二次函数y＝ax2，（a≠0），故可在此基础上，引入奇、偶函数的概念，以便于学生理解．在引入概念时始终结合具体函数的图像，以增加直观性，这样更符合学生的认知规律，同时为阐述奇、偶函数的几何特征埋下了伏笔．对于概念可从代数特征与几何特征两个角度去分析，让学生理解：奇函数、偶函数的定义域是关于原点对称的非空数集；对于在有定义的奇函数y＝f（x），一定有f（0）＝0；既是奇函数，又是偶函数的函数有f（x）＝0，x∈R．在此基础上，让学生了解：奇函数、偶函数的矛盾概念———非奇非偶函数．关于单调性与奇偶性关系，引导学生拓展延伸，可以取得理想效果．
教学设计
一、问题情景
1. 观察如下两图，思考并讨论以下问题：
（1）这两个函数图像有什么共同特征？
（2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？
可以看到两个函数的图像都关于y轴对称．从函数值对应表可以看到，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相同．
对于函数f（x）＝x2，有f（－3）＝9＝f（3），f（－2）＝4＝f（2），f（－1）＝1＝f（1）．事实上，对于R内任意的一个x，都有f（－x）＝（－x）2＝x2＝f（x）．此时，称函数y＝x2为偶函数．
2. 观察函数f（x）＝x和f（x）＝的图像，并完成下面的两个函数值对应表，然后说出这两个函数有什么共同特征．
可以看到两个函数的图像都关于原点对称．函数图像的这个特征，反映在解析式上就是：当自变量ｘ取一对相反数时，相应的函数值f（x）也是一对相反数，即对任一x∈R都有f（－x）＝－f（x）．此时，称函数y＝f（x）为奇函数．
二、建立模型
由上面的分析讨论引导学生建立奇函数、偶函数的定义
1. 奇、偶函数的定义
如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫作奇函数．
如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫作偶函数．
2. 提出问题，组织学生讨论
（1）如果定义在R上的函数f（x）满足f（－2）＝f（2），那么f（x）是偶函数吗？
（f（x）不一定是偶函数）
（2）奇、偶函数的图像有什么特征？
（奇、偶函数的图像分别关于原点、y轴对称）
（3）奇、偶函数的定义域有什么特征？
（奇、偶函数的定义域关于原点对称）
三、解释应用
［例 题］
1. 判断下列函数的奇偶性．
注：①规范解题格式；②对于（5）要注意定义域x∈（－1，1］．
2. 已知：定义在R上的函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）＝x（1＋x），求f（x）的表达式．
解：（1）任取x＜0，则－x＞0，∴f（－x）＝－x（1－x），
而f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x）．∴f（x）＝x（1－x）．
（2）当x＝0时，f（－0）＝－f（0），∴f（0）＝－f（0），故f（0）＝0．
3. 已知：函数f（x）是偶函数，且在（－∞，0）上是减函数，判断f（x）在（0，＋∞）上是增函数，还是减函数，并证明你的结论．
解：先结合图像特征：偶函数的图像关于y轴对称，猜想f（x）在（0，＋∞）上是增函数，证明如下：
任取x1＞x2＞0，则－x1＜－x2＜0．
∵f（x）在（－∞，0）上是减函数，∴f（－x1）＞f（－x2）．
又f（x）是偶函数，∴f（x1）＞f（x2）．
∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数．
思考：奇函数或偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性有何关系？
［练 习］
1. 已知：函数f（x）是奇函数，在［a，b］上是增函数（b＞a＞0），问f（x）在［－b，－a］上的单调性如何．
2. f（x）＝－x3｜x｜的大致图像可能是（ ）
3. 函数f（x）＝ax2＋bx＋c，（a，b，c∈R），当a，b，c满足什么条件时，（1）函数f（x）是偶函数．（2）函数f（x）是奇函数．
4. 设f（x），g（x）分别是R上的奇函数和偶函数，并且f（x）＋g（x）＝x（x＋1），求f（x），g（x）的解析式．
四、拓展延伸
1. 有既是奇函数，又是偶函数的函数吗？若有，有多少个？
2. 设f（x），g（x）分别是R上的奇函数，偶函数，试研究：
（1）F（x）＝f（x）·g（x）的奇偶性．
（2）G（x）＝｜f（x）｜＋g（x）的奇偶性．
3. 已知a∈R，f（x）＝a－，试确定a的值，使f（x）是奇函数．
4. 一个定义在Ｒ上的函数，是否都可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和的形式？
点 评
这篇案例设计由浅入深，由具体的函数图像及对应值表，抽象概括出了奇、偶函数的定义，符合学生的认知规律，有利于学生理解和掌握．应用深化的设计层层递进，深化了学生对奇、偶函数概念的理解和应用．拓展延伸为学生思维能力、创新能力的培养提供了平台．
10 二 次 函 数
教材分析
二次函数是重要的基本函数之一，由于它存在最值，因此，其单调性在实际问题中有广泛的应用，并且它与前面学过的二次方程有密切联系，又是后面学习解一元二次不等式的基础．二次函数在初中学生已学过，主要是定义和解析式，这里，在此基础上，接着学习二次函数的性质与图像，进而使学生对二次函数有一个比较完整的认识．本节先研究特殊的二次函数y＝ax2，（a≠0）的图像与a值的关系，这可通过a在0的附近取值画图观察得到．然后，通过一个实例，如y＝x2＋4x＋6，研讨二次函数的性质与图像．最后，总结出一般性结论．这节内容的重点是二次函数的性质，即顶点坐标、对称轴方程、二次函数的单调性及其图像，难点是用配方法把y＝ax2＋bx＋c的形式转化为y＝a（x－h）2＋k的形式．
教学目标
1. 通过一个例子研究二次函数的图像和性质，得到一般性结论，培养学生归纳、抽象能力．
2. 掌握二次函数的概念、表达式、图像与性质．会用配方法解决有关问题，能熟练地求二次函数的最值．
3. 能初步运用二次函数解决一些实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力．
任务分析学习这节内容时要先复习一下学生初中学过的二次函数的有关问题．为了得到y＝ax2，（a≠0）的图像与a的关系以及二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质，这里遵循由特例到一般的原则，充分利用图像的直观性，以便学生接受．在这一过程中，应讲明配方法的操作过程．
教学设计
一、复习引申
1. 什么是二次函数？
2. 在同一坐标系中作出下列函数的图像．
（1）y＝－3x2． （2）y＝－2x2． （3）y＝－x2． （4）y＝－0.5x2．
（5）ｙ＝0.5x2． （6）y＝x2．（7）y＝2x2． （8）y＝3x2．
3. 学生讨论：函数y＝ax2中系数a的取值与它的图像形状有何关系？
4. 教师明晰：在a从－3逐渐变化到＋3的过程中，抛物线开口向下并逐渐变大，当a＝0时，y＝0，抛物线变为x轴，然后抛物线开口向上，并逐渐变小．
二、问题情境
已知二次函数f（x）＝x2＋4x＋6．
（1）求它与x轴的交点坐标．
（2）问：它有没有最值？若有最大（小）值，最大（小）值是多少？试求出此时对应的自变量ｘ的值．
（3）画出它的图像．
（4）它的图像有没有对称轴？如果有，位置如何？
（5）确定函数的单调区间．
1. 先让学生解答问题1，然后师生共同确定答案
（1）令y＝0，即x2＋4x＋6＝０，解得x1＝－6，x2＝－2．∴与ｘ轴交于两点（－6，0），（－2，0）．
（2）将原式配方，得f（x）＝x2＋4x＋6＝（x2＋8x＋12）＝
（x2＋8x＋16－16＋12）＝（x＋4）2－2．
∵对任意x∈R，都有（x＋4）2≥0，
∴f（x）≥－2，当且仅当x＝－4时，取“＝”号．
∴函数有最小值是－2，记作ymin＝－2，此时x＝－4．
（3）以x＝－4为中间值，取x的一些值列表如下：
表10-1
| ｘ | … | －7 | －6 | －5 | －4 | －3 | －2 | －1 | … |
| ｙ | … | 0 | － | －2 | － | 0 | … |
（4）由上表及图像推测：二次函数f（x）的图像存在对称轴，并且对称轴过点（－4，－2），与y轴平行．
（5）观察图像知：二次函数f（x）在（－∞，－4］上是减函数，在（－4，＋∞）上是增函数．
2. 相关问题
（1）对称轴与图像（抛物线）的交点叫抛物线的顶点，函数f（x）＝x2＋4x＋6的顶点坐标是（－4，－2）．
（2）如果将过点（x1，0）平行于ｙ轴的直线记作x＝x1，则函数f（x）＝x2＋4x＋6的对称轴为x＝－4．
（3）把f（x）＝x2＋4x＋6转化为f（x）＝（x＋4）2－2，采用的是“配方法”．
（4）思考：怎样证明函数f（x）＝x2＋4x＋6的图像关于直线x＝－4对称？
［提示：证明f（－4＋h）＝f（－4－h）］
（5）类似地，再对二次函数f（x）＝－x2－4x＋3研讨上面四个方面的问题．
三、建立模型
对任何二次函数y＝f（x）＝ax2＋bx＋c，（a≠0）都可以通过配方法化为y＝a（x＋）2＋的形式，并且有如下性质：
1. 二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，（a≠0）的图像是一条抛物线，对称轴方程为x＝－，顶点坐标是（－，）．
2. （1）当a＞0时，抛物线开口向上，函数在（－∞，－］上递减，在［－，＋∞）上递增，当x＝－时，［f（x）］min＝．
（2）当a＜0时，抛物线开口向下，函数在（－∞，－］上递增，在［－，＋∞）上递减，当x＝－时，［f（x）］max＝．
思考：（1）二次函数的图像一定与x轴或y轴相交吗？
（2）函数y＝（x－1）2＋2，x∈［2，3］的最小值是2吗？
四、解释应用
［例 题］
1. 求函数y＝3x2＋2x＋1的最小值和它的图像的对称轴，并指出它的单调性．
注：可利用上面的性质直接写出答案．
2. 某商品在最近一个月内价格f（t）与时间t的函数关系式是f（t）＝＋22，（0≤t≤30，t∈N），售量g（t）与时间t的函数关系是g（t）＝－，（0≤t≤30，t∈N）．求这种商品的日销售额的最大值．
解：设该商品的日销售额为S，则
∵t∈N，
∴当t＝10或t＝11时，Smax＝808.5．
答：这种商品日销额的最大值是808.5．
注：本题是应用题，自变量t∈N，不能使．
［练 习］
1. 已知函数f（x）＝x2－2x－3，不计算函数值，试比较f（－2）和f（4），f（－3）和f（3）的大小．
2. 二次函数y＝f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），且方程f（x）＝0有两个实根x1，x2，求x1＋x2．
3. 已知函数f（x）＝2x2＋（a－1）x＋3在［2，＋∞）上递增，求a的取值范围．
4. 抛物线y＝ax2＋bx与直线y＝ax＋b，（ab≠0）的图像（如下图）只可能是（ ）．
四、拓展延伸
1. 如果已知二次函数的图像（抛物线）的顶点坐标为（h，k），那么它的解析表达式如何？如果已知二次函数的图像（抛物线）与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0），它的解析表达式又如何？
2. 用函数单调性的定义研究f（x）＝ax2＋bx＋c，（a＜0）的单调性．
3. 证明函数f（x）＝ax2＋bx＋c，（a≠0）的图像关于直线x＝－对称．
点 评
这篇案例讲述了两个方面的知识点，一是特殊的二次函数y＝ax2，（a≠0）的图像随ａ值变化的规律性，二是二次函数的性质与图像．设计恰当，重点突出，即重点讲解二次函数的性质与图像．遵循由特殊到一般、由具体到抽象的原则，使结论便于被学生理解．例题与练习的选配难易适中，代表广泛，并有利于巩固本课重点知识．拓展延伸中提出的三个问题都是二次函数的重要特征，实用性强，并且所得结论对解决有关问题能起到事半功倍的效果．
11 指 数 函 数
教材分析
指数函数是基本初等函数之一，在数学中占有重要地位，在实际中有着十分广泛的应用，如细胞、考古中所用的14C的衰减、放射性物质的剩留量等都与指数函数有关．有理指数幂及其运算是学习指数函数的基础．
教材首先通过实例引入什么是指数函数．然后给出三个具体例子y＝2x，y＝10x，y＝（）x，用描点法画其图像，并借助图像，观察得出指数函数的定义域、值域、图像过定点（1，0）及单调性．最后配备恰当的习题及练习．在知识的形成过程中，体现图像观察、归纳猜想的思想．这节内容的重点是指数函数的图像与性质，难点是应用指数函数的性质解决相关问题．
教学目标
1. 了解指数函数模型的实际背景．
2. 理解并掌握指数函数的定义、图像及性质．
3. 通过对指数函数的概念、性质的归纳、抽象和概括，体验数学知识的产生和形成的过程，培养学生的抽象概括能力．
4. 在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的数学模型，培养学生的应用意识．
任务分析
学生在学习本节内容时，已学过了一些基本函数，如二次函数，并且学过有理指数幂及其运算，这均为学生学习这节内容奠定了基础．由应用问题建立指数函数模型是个难点，为此一定要使学生理解问题的意义，进而由少到多、由浅入深逐步建立起两个变量间的关系．要重视列表、画图像的过程，这样才有利于观察、归纳出指数函数的性质．要充分显示出知识的形成过程．
教学设计
一、问题情境
某种细胞时，由1个成2个，2个成4个，4个成8个……如果1个这样的细胞x次后，得到细胞的个数为ｙ，试求y关于x的函数关系式．
先由学生解答，然后教师明晰细胞的规律是：每次每个细胞为2个．
当x＝0时，y＝1＝20；
当x＝1时，y＝20×2＝21；
当x＝2时，y＝21×2＝22；
当x＝3时，y＝22×2＝23；
……
归纳：x次，得到细胞的个数y＝2x，其中x∈N．
二、建立模型
1. 学生讨论
上面得到的函数y＝2x有何特点？
（底数为常数，自变量在指数的位置上）
2. 教师明晰
一般地，函数y＝ax，（a＞0且a≠1，x∈R）叫作指数函数．
思考：为什么要a＞0且a≠1？
（理由：当a＝0，x≤0时，ax无意义；当a＜0时，如y＝（－2）无意义；当a＝1时，y＝1x＝1是常数函数．没有研究的必要．）
3. 练 习
在同一坐标系内，画出下面三个指数函数的图像．
（1）y＝2x． （2）y＝10x． （3）y＝（）x．
解：列表：
描点，画图：
4. 观察上面的函数的图像，结合列表，归纳总结出指数函数y＝ax的性质
（1）定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，＋∞）．
（2）函数图像在x轴的上方且都过定点（0，1）．
（3）当a＞1时，函数在定义域上是增函数，且当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1．
当0＜a＜1时，函数在定义域上是减函数，且当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1．
5. 提出问题，组织学生讨论
（1）函数y＝2x与y＝x2的图像有何关系？试对你的结论加以证明．
（2）试举一个在生活、生产、科技等实际中与指数函数有关的例子．
三、解释应用
［例 题］
1. 利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
（1）1.72.5与1.73． （2）0.8-0.1与0.8-0.2．
解：（1）考查指数函数y＝1.7x．
∵1.7＞1，∴y＝1.7x在（－∞，＋∞）是增函数．
又2.5＜3，∴1.72.5＜1.73．
（2）类似（1），得0.8-0.1＜0.8-0.2．
思考：怎样比较1.70.3与0.93.1的大小？
2. 某种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%．画出这种物质的剩留量随时间变化的图像，并根据图像求出经过多少年，剩留量是原来的一半．（结果保留1个有效数字）
解：设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y，则
经过1年，剩留量y＝1×84%＝0.841；
经过2年，剩留量y＝0.84×0.84＝0.842；
……
经过x年，剩留量y＝0.84x．
列表：
表11-3
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| y | 1 | 0.84 | 0.71 | 0.59 | 0.50 | 0.42 |
由图上看出y＝0.5时，x≈4．
答：约经过4年，剩留量是原来的一半．
说明：为便于观察，两轴上的单位长度可不相等．
3. 说明下列函数的图像与指数函数y＝2x的图像的关系，并画出它们的草图．
（1）y＝2x＋1． （2）y＝2x－2．
解：（1）比较函数y＝2x＋1与y＝2x的关系，知y＝2-1+1与y＝x0相等．
∴函数y＝2x＋1中的x＝－1时的y值，与函数y＝2x中的x＝0时的y值相等．
又y＝20+1与y＝x1相等；
y＝23+1与y＝x4相等；
……
∴将指数函数y＝2x的图像向左平行移动1个单位长度，即可得到函数y＝2x＋1的图像．
（2）将指数函数y＝2x的图像向右平行移动2个单位长度，即可得到函数y＝2x-2的图像．
［练 习］
1. 比较大小：
（1）1.01-2与1.01-3.5． （2）0.75-0.1与0.750.1．
2. 画出下列函数的图像．
（1）y＝3x． （2）y＝（）x．
3. 求下列函数的定义域．
（１）y＝． （2）y＝．
4. 已知函数f（x）＝ax在［0，1］上的最大值与最小值之和为3，求a的值．
5. 用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，试写出存留污垢y与漂洗次数x的函数关系式．如果要使存留的污垢不超过原有的1%，那么至少要漂洗几次？
四、拓展延伸
1. 在例题2中，函数y＝0.84x与函数y＝0.5的图像的交点横坐标是方程0.84x＝0.5的解吗？
思考：你能判断出方程2x＋x2－2＝0有几个实数根吗？
2. 以下是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值表：
表11-4
| 身高／cm | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 |
| 体重／kg | 6.13 | 7.90 | 9.99 | 12.15 | 15.02 | 17.50 |
| 身高／cm | 120 | 130 | 140 | 150 | 160 | 170 |
| 体重／kg | 20.92 | 26.86 | 31.11 | 38.85 | 47.25 | 55.05 |
（2）如果体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地区某中学一男生身高为175cm，体重为78kg，问：他的体重是否正常？
解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图如下．根据图，可考虑用函数y＝abx，反映上述数据之间的对应关系．
把x＝70，y＝7.90和x＝160，y＝47.25两组数据代入y＝a·bx，得
利用计算器计算，得a＝2，b＝1.02．
所以，该地区未成年男性体重关于身高的近似函数式可选为y＝2×1.02x．
将已知数据代入所得的函数解析式或作出所得函数的图像，可知所求函数能较好地反映该地区未成年男性体重与身高的关系．
（2）把x＝175代入y＝2×1.02x，得
y＝2×1.02175．
利用计算器计算，得y＝63.98．
由于78÷63.98≈1.22＞1.2，
因此，这名男生体型偏胖．
点 评
这节课的中心问题有三个，即指数函数的定义、图像与性质，围绕这三个问题，这篇案例进行了精心设计：首先通过实例引入了指数函数的概念，再通过画具体的指数函数的图像归纳出一般指数函数的性质．这样安排有利于学生理解指数函数的概念，掌握指数函数的性质．选配的例题难易适中，具有典型性和代表性．练习由易到难，既可以巩固基础知识，又可以提高学生的解题技能．“拓展延伸”对本节中心内容进行了拓展，有用图像法求方程的解，判断方程根的个数；有函数图像的平移；还有应用题．这些都是数学中经常遇到的问题，它们的解决将有利于学生今后的学习．
12 对 数 函 数
教材分析
对数函数是一类重要的函数模型，它与指数函数互为反函数．教材是在学生学过指数函数、对数及其运算的基础上引入对数函数的概念的．须要说明的是，这里与传统的教材有所不同，即没有先学习反函数，这对学生学习对数函数的概念、图像及性质有较大影响，使指数函数的知识点不能直接应用于对数函数的知识点，但从对数的定义中知道：指数式与对数式可互化．因此，在某些方面，如在画对数函数y＝log2x的图像列表时，可以把画指数函数y＝2x图像时列的表中的x与y的值对调．这节内容的重点是对数函数的概念、图像及性质，难点是对数函数与指数函数的关系．
教学目标
1. 通过具体实例，直观了解对数函数模型刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，并能画出具体对数函数的图像，掌握对数函数的图像和性质．
2. 知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数（a＞0且a≠1）．
3. 能应用对数函数的性质解有关问题．
任务分析
首先复习指数函数、对数的定义及对数的性质，这也是学习本节内容的基础．解析式x＝logay是函数，叫作对数函数，为了符合习惯，常写成y＝logax．这些内容学生较难理解，教学时要引起重视．教学中，要注意从实例出发，使学生从感性认识提高到理性认识；要注意运用对比的方法；要结合对数函数的图像抽象概括对数函数的性质．注意：不要求讨论形式化的函数定义，也不要求求已知函数的反函数，只须知道对数函数与指数函数互为反函数．
教学设计
一、问题情境
同指数函数中的细胞问题，即：某种细胞时，由1个成2个，2个成4个，4个成8个……1个这样的细胞x次后，得到的细胞的个数为y．
我们已经知道，个数y是次数x的函数，解析式是y＝2x．形式上是指数函数（这里的定义域是N）．
思考：在这个问题中，细胞的次数x是不是细胞个数y的函数？若是，这个函数的解析式是什么？
x也是y的函数，由对数的定义得到这个新函数是x＝log2y．其中，细胞的个数y是自变量，细胞的次数x是函数．
二、建立模型
1. 学生讨论
（1）函数x＝log2y与指数函数y＝2x有何关系？
（2）函数ｘ＝log2y中的自变量、字母与我们以前所学的函数有何区别？
结论：问题（1）：两函数中的x表示的都是细胞的次数，y表示的都是细胞的个数，对应法则都是以2为底数，一个是取对数，一个是取指数，正好相逆．
注意：这里不能说它们互为反函数，因为还没有学习反函数的概念．
问题（2）：这里的自变量所用字母是y，以前学习的函数的自变量常用字母x，即这里的用法不合习惯．
2. 教师明晰
定义：函数x＝long2y，（a＞0，且a≠1）叫作对数函数，它的定义域是（0，＋∞），值域是（－∞，＋∞）．
由对数函数的定义可知，在指数函数y＝ax和对数函数x＝logay中，x，y两个变量之间的关系是一样的．不同的只是在指数函数y＝ax里，x是自变量，y是因变量，而在对数函数x＝logay中，y是自变量，x是因变量．习惯上，我们常用x表示自变量，y表示因变量，因此，对数函数通常写成y＝logay，（a＞0且a≠1，x＞0）．
3. 练 习
在同一坐标系中画出下列函数的图像．
（1）y＝long2x． （2）y＝．
解：列表：
表12-1
思考：上表中的x，y的对应值与指数函数中所列表的对应值有何关系？
描点，画图：
4. 观察上面的函数图像，结合列表，仿照指数函数的性质，归纳总结出对数函数的性质
（1）定义域是（0，＋∞），值域是（－∞，＋∞）．
（2）函数图像在y轴的右侧且过定点（1，0）．
（3）当a＞1时，函数在定义域上是增函数，且当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0．
当0＜a＜1时，函数在定义域上是减函数，且当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0．
三、解释应用
［例 题］
1. 求下列函数的定义域．
（1）y＝log2x2． （2）y＝loga（4－x）． （3）y＝．
解：（1）｛x｜x≠0｝． （2）（－∞，4）． （3）（0，1）．
2. 比较下列各组数的大小．
（1）log23与log23.5．
（2）loga5.1与loga5.9，（a＞0且a≠1）．
（3）log67与log76．
解：（1）考查对数函数y＝log2x．
∵2＞1，∴它在（0，＋∞）上是增函数．
又3＜3.5，
∴log23＜log23.5．
（2）当a＞1时，loga5.1＜loga5.9；
当0＜a＜1时，loga5.1＞loga5.9．
（3）log67＞1＞log76．
总结：本例是利用对数的单调性比较两个对数的大小，当底数与1的大小不确定时，要分类讨论；当不能直接进行比较时，可在两个数中间插入一个已知数间接比较两个数的大小．
3. 溶液的酸碱度是通过pH值来刻画的，pH值的计算公式为pH＝－lg［H+］，其中［H+］表示溶液中氢离子的浓度，单位是mol／L．
（1）根据对数函数性质及上述pH值的计算公式，说明溶液的酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系．
（2）已知纯净水中氢离子的浓度为［H+］＝10-7mol／L，计算纯净水的pH值．
解：（1）根据对数的性质，有
pH＝－lg［H+］＝lg［H+］－1＝lg，
所以溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸度就越小．
（2）当［H+］＝10-7时，pH＝－lg10-7＝7，所以，纯净水的pH值是7．
4. 设函数f（x）＝lg（ax－bx），（a＞1＞b＞0），问：当a，b满足什么关系时，f（x）在（1，＋∞）上恒取正值？
解：当x∈（1，＋∞）时，lg（ax－bx）＞0恒成立ax－bx＞1恒成立．
令g（x）＝ax－bx．
∵a＞1＞b＞0，
∴g（x）在（0，＋∞）上是增函数，
∴当x＞1时，g（x）＞g（1）＝a－b，
∴当a－b≥1时，f（x）在（1，＋∞）上恒取正值．
［练 习］
1. 求函数y＝的定义域．
2. 比较log0.50.2与log0.50.3的大小．
3. 函数y＝lg（x2－2x）的增区间是 ____________ ．
4. 已知a＞0，且a≠1，则在同一直角坐标系中，函数y＝a-x和y＝loga（－x）的图像有可能是（ ）．
5. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2000m，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现，一岁鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是m／s，其中Q表示鲑鱼的耗氧量．
（1）当一条鲑鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速是多少？
（2）计算一条鲑鱼的最低耗氧量．
四、拓展延伸
1. 作出对数函数y＝logax，（a＞1）与y＝logax，（0＜a＜1）的草图．
2. 说出指数函数与对数函数的关系．
以指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x为代表加以说明．
（1）对数函数y＝log2x是把指数函数y＝2x中自变量与因变量对调位置而得出的．
教师明晰：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量．我们称这两个函数互为函数．函数y＝f（x）的反函数记作：y＝f-1（x）．
对数函数y＝log2x与指数函数y＝2x互为反函数．
（2）对数函数y＝log2x与指数函数y＝2x的图像关于直线y＝x对称．
（3）指数函数与对数函数对照表．
表12-2
点 评
这篇案例首先通过细胞问题说明了对数函数的意义，这样安排既有利于学生理解对数函数的概念，又有利于学生了解了它与指数函数的关系．其次通过画具体的对数函数的图像，归纳总结出对数函数的性质，体现了由特殊到一般的认识规律，知识传授较为自然．性质的列举模仿了指数函数的性质．通过对比，便于学生理解、记忆．例题、练习的选配注意了题目的代表性，并且由易到难，注重学生解题能力的提高．拓展延伸侧重于指数函数与对数函数的图像、性质方面的关系，加深了学生对这两个函数的理解，并使学生从中了解了反函数的概念．
13 幂 函 数
教材分析
幂函数是基本初等函数之一，是在学生系统学习了函数概念与函数性质之后，全面掌握有理指数幂和根式的基础上来研究的一种特殊函数，是对函数概念及性质的应用．从教材的整体安排看，学习了解幂函数是为了让学生进一步获得比较系统的函数知识和研究函数的方法，为今后学习三角函数等其他函数打下良好的基础．在初中曾经研究过y＝x，y＝x2，y＝x－1三种幂函数，这节内容，是对初中有关内容的进一步的概括、归纳与发展，是与幂有关知识的高度升华．知识的安排环环紧扣，非常紧凑，充分体现了知识的发生、发展过程．对幂函数进行系统的理论研究，在研究过程中得出相应的结论固然重要，但更为重要的是，要让学生了解系统研究一类函数的方法．这节课要特别让学生去体会研究的方法，以便能将该方法迁移到对其他函数的研究．
教学目标
1. 通过对幂函数概念的学习以及对幂函数图像和性质的归纳与概括，让学生体验数学概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力．
2. 使学生理解并掌握幂函数的图像与性质，并能初步运用所学知识解决有关问题，培养学生的灵活思维能力．
任务分析
学生对抽象的幂函数及其图像缺乏感性认识，不能够在理解的基础上来运用幂函数的性质．为此，在教学过程中让学生自己去感受幂函数的图像和性质是这一堂课的突破口．因此，这节课的难点是幂函数图像和性质的发现过程，教学重点是幂函数的性质及运用．首先，从学生已经掌握的最简单的幂函数y＝x，y＝x2和y＝x-1的知识出发，利用实例，由师生共同归纳、总结出幂函数的定义，认清幂函数的特点，深刻理解其定义域．其次，举出几个简单的幂函数引导学生从定义出发研究其定义域、值域、奇偶性、单调性、是否过公共定点这几个性质，让学生自己去探究，把主动权交给学生．然后，再由学生自己结合性质去画幂函数的图像，让学生在获得一定的感性认识的基础上，通过归纳、比较上升为理性认识，从而形成对概念与性质的完整认识．最后通过例题3与练习，让学生利用图像与性质，比较两个数的大小，从而提高学生获取知识的能力．
教学设计
一、问题情景
下列问题中的函数各有什么共同特征？
（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w（kg），那么她应支付p＝w元．这里p是w的函数．
（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积为S＝a2．这里S是a的函数．
（3）如果立方体的边长为a，那么立方体的体积为V＝a3．这里V是a的函数．
（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长为a＝．这里a是S的函数．
（5）如果某人t（s）内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度为v＝t-1（km／s）．这里v是t的函数．
由学生讨论，总结，即可得出：p＝w，s＝a2，a＝，v＝t-1都是自变量的若干次幂的形式．
教师指出：我们把这样的都是自变量的若干次幂的形式的函数称为幂函数．
二、建立模型
定义：一般地，函数y＝xa叫作幂函数，其中x是自变量，a是实常数．
教师指出：由于无理指数幂的意义我们还没学到，因此目前只讨论a是有理数的情况．
思考讨论：在幂函数y＝xn中，当n＝0时，其表达式怎样？定义域、值域、图像如何？
教师指出：此时y＝x0＝1；定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），特别强调，当x为任何非零实数时，函数的值均为1，图像是从点（0，1）出发，平行于x轴的两条射线，但点（0，1）要除外．
三、解释应用
［例题一］
1. 求下列函数的定义域．
解：（1）R． （2）R． （3）｛x｜x≥0｝． （4）｛x｜x∈R且x≠0）．（5）｛x｜x＞0｝．
2. 求下列函数的定义域，并判断函数的奇偶性．
解：（1）｛x｜x∈R且x≠0）｝，偶函数．（2）R，非奇非偶函数．（3）R，奇函数．（4）｛x｜x＞0｝，非奇非偶函数．
［问题探究］
1. 对于幂函数y＝xa，讨论当a＝1，2，3，，－1时的函数性质．
表13-1
以上问题给学生留出充分时间去探究，教师引导学生从函数解析式出发来研究函数性质．
2. 在同一坐标系中，画出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x-1的图像，并归纳出它们具有的共同性质．
教师讲评：幂函数的性质．
（1）所有的幂函数在（0，＋∞）上都有定义，并且图像都过点（1，1）．
（2）如果a＞0，则幂函数的图像通过原点，并在区间［0，＋∞）上是增函数．
（3）如果a＜0，则幂函数在（0，＋∞）上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方无限地趋近y轴；当ｘ趋向于＋∞时，图像在x轴上方无限地趋近ｘ轴．
思考讨论：（1）在幂函数y＝xa中，当a是正偶数时，这一类函数有哪种重要性质？
（2）在幂函数y＝xa中，当a是正奇数时，这一类函数有哪种重要性质？
教师讲评：（1）在幂函数y＝xa中，当a是正偶数时，函数都是偶函数，在第一象限内是增函数．
（2）在幂函数y＝xa中，当a是正奇数时，函数是奇函数，在第一象限内是增函数．
［例题二］
比较下列各题中两个值的大小．
解：（1）∵幂函数y＝x1.5是增函数，又0.7＞0.6，∴0.71.5＞0.61.5．
（2）∵幂函数y＝是减函数，又2.2＞1.8，∴
注意：由于学生对幂函数还不是很熟悉，所以在讲评中要刻意体现出幂函数y＝x1.5与y＝的图像的画法，即再一次让学生体会根据解析式来画图像解题这一基本思路．
［练 习］
比较下列各题中两个值的大小．
四、拓展延伸
1. 如果把函数图像向上凸的函数称为凸函数，把函数图像向下凸的函数称为凹函数，对于幂函数y＝xa，x∈［0，＋∞），当a＞0且a≠1时，研究其凸凹性．
2. 研究幂指数与幂函数奇偶性的关系．
3. 研究幂指数与幂函数单调性的关系．
（以上问题的探究可以借助计算机来完成）
点 评
这篇案例的突出特点是，紧紧围绕教学目标，遵循直观式、启发式原则而展开．在这节课中，教师放手让学生去探索与研究，并在一旁适时地引导学生根据几个实例函数的公共特点归纳、总结幂函数的定义，对几个特殊幂函数的性质先进行初步探索，再根据研究的结果结合描点作图画出幂函数的图像，让学生观察和分析所作的图像，归纳得出图像特征，并由图像特征得到相应的函数性质，让学生充分体会系统研究函数的方法．整个教学过程的绝大部分时间都给了学生，让学生动脑动手．通过对同类旧知识的回忆，充分引导学生利用数形结合，找出与新知识的连接点，并在对照、类比分析中找出规律．这些均提高了学生学习的积极性和自学能力，培养了他们的科学精神和创新思维习惯．最后“拓展延伸”的设计又把学生的思维推向了更广阔的空间．
14 平面的基本性质
教材分析
这篇案例是在初中平面几何知识的基础上进一步研究平面的基本性质．平面的基本性质是研究立体几何的基本理论基础，这节课既是立体几何的开头课，又是基础课，学生对本节内容理解和掌握得如何，是能否学好立体几何的关键之一．这节课的教学重点是平面的基本性质，难点是平面的基本性质的应用及建立空间概念、正确应用符号语言．
教学目标
1. 在引导学生观察思考生活中的实例、实物模型等的基础上，总结和归纳出平面的基本性质，初步学会用数学的眼光去认识和感受现实的三维空间．
2. 会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述三个公理，能用公理及推论解决有关问题，提高学生的逻辑推理能力．
3. 通过画图和识图，逐步培养学生的空间想象能力，使学生在已有的平面图形知识的基础上，建立空间观念．
任务分析
这节课是立体几何学习的基础，但学生空间立体感还不强．为此，教学时要充分联系生活中的实例，如自行车有一个脚撑等，通过实例，使学生尽快形成对空间的正确认识，建立初步的空间观念；在联系实际提出问题和引入概念时，要合理运用教具，如讲解公理1时，可让学生利用手中的直尺去测桌面是不是平的；讲解公理2时可让学生观察教室的墙面的关系等．通过这些方式加强由模型到图形，再由图形返回模型的基本训练，逐步培养学生由图形想象出空间位置关系的能力．当用文字和符号描述对象时，必须紧密联系图形，使抽象与直观结合起来，即在图形的基础上发展其他数学语言．在阐述定义、定理、公式等重要内容时，宜先结合图形，再用文字和符号进行描述，综合运用几种数学语言，使其优势互补，这样，就有可能收到较好的效果，给学生留下较为深刻的印象．
教学设计
一、问题情景
1. 利用你手中的直尺，如何判定你课桌的桌面是不是平的．
2. 你骑的自行车有一个脚撑就可站稳，为什么？
3. 矩形硬纸板的一顶点放在讲台面上，硬纸板与讲台面不重合，能否说这两个平面只有一个公共点？
（利用多媒体屏幕呈现问题情景，即在屏幕上出现桌子与直尺、有一个脚撑的自行车、矩形硬纸与讲台面及相应的问题．与现实生活联系紧密的实物通过多媒体给出，能够活跃课堂气氛，激发学生学习兴趣，从而引导学生积极主动的去探究问题）
二、建立模型
1. 探究公理
（1）问题1的探究
教师提出问题，引发学生思考：
如何用直尺这个工具来判定你的桌面是不是平的呢？
（把直尺放在物体表面的各个方向上，如果直尺的边缘与物体的表面不出现缝隙，就可判断物体表面是平的）
教师点拔：这是判断物体表面是不是平的的一个常用方法．如果物体表面是平的，把直尺边缘无论如何放在平面上，则边缘与平面都没有缝隙，也就是说，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．由此，可以归纳出公理1．
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（如图14-1）．
这时我们说，直线在平面内或平面经过直线．这一性质是平面的主要特征．弯曲的面就不是处处具有这种性质．
教师进一步分析：为了书写的简便，我们把代数中刚学习过的有关集合的符号，引入立体几何中．把点作为基本元素，直线、平面即为“点的集合”，这样：
点A在直线a上，记作A∈a；
点A在直线a外，记作Aa；
点A在平面α内，记作A∈α；
点A在平面α外，记作Aα；
直线a在平面α内，记作aα；
直线a在平面α外，记作aα．
公理1用集合符号表示为：A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，则有ａα．
例：证明如果一个三角形的两边在一个平面内，那么第三边也在这个平面内．
注意：在分析过程中，一定要强调“要证明直线在平面内，则应该证明什么？条件中有没有，没有如何去创造”．通过这种逆推思路的分析，培养学生良好的思考习惯．
练习：判断下列命题的真假
① 如果一条直线不在平面内，则这条直线与平面没有公共点．
② 过一条直线的平面有无数多个．
③ 与一个平面没有公共点的直线不存在．
④ 如果线段AB在平面α内，则直线AB也在平面内a．
（2）问题2的探究
教师提出问题，引发学生思考：
自行车有一个脚撑就可站稳，为什么？
（因为前轮着地点、后轮着地点、脚撑着地点三点在一个平面上，而且为了站稳，前轮着地点、后轮着地点、脚撑着地点三点不共线，因此我们可以推测：过不共线的三点有且只有一个平面）
教师演示：用相交于一点的三根小棍的三个端点作为空间不在一直线上的三个点（如图14-2），当把作为平面的硬纸板放在上面时，这张作为平面的硬纸板不能再“动”了，因为一动就要离开其中的一个点，硬纸板所在平面就不能确定了，正如同刚才的发现：过不共线的三点有且只有一个平面．
公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．（如图14-3）
公理2也可以简单地说成：不共线的三点确定一个平面．
教师演示课件：在空间给定不共线的三点A，B，C（如图14-4），作直线AB，BC，CA，再在直线BC，CA，AB上分别取动点P，Q，R，作直线AP，BQ，CR，让P，Q，R分别在直线BC，CA，AB上运动，我们可以看到这些直线“编织”成一个平面．
教师出示问题：试举出一个应用公理2的实例．
（例如，一扇门用两个合页和一把锁就可以固定了）
（3）问题3的探究
教师将矩形硬纸板的一顶点放在讲台面上，让学生观察，并同时提出问题：能否说这两个平面只有一个公共点？
（不能，因为平面是无限延展的，所以这两个平面应该有一条经过这公共点的直线）
教师点拔：我们只能用有限的模型或图形来表示无限延展的平面，所以我们有时要看模型或图形，但又不能受模型或图形的来影响我们对平面的无限延展的了解．这个实例说明了平面具有如下性质．
公理3 如果两个不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．（如图14-5）
公理3的数学符号语言：
P∈α，P∈β α∩β＝a，P∈a．
教师进一步概括：为了简便，以后说到两个平面，如不特别说明，都是指两个不重合的平面．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交．这条公共直线叫作这两个平面的交线．由公理３可见，两个平面如果有一个公共点，那么就有无穷多个公共点，所有公共点在公共直线上，即它们的交线上；交线上的每一个点都是两平面的公共点．
练习：判断下列命题的真假．
①如果两个平面有两个公共点A，B，那么它们就有无数个公共点，并且这些公共点都在直线AB上．
②两个平面的公共点的集合可能是一条线段．
2. 推出结论
教师明晰：由于两点确定一条直线，根据公理2容易得出如下推论：
推论1 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．
已知：点A，直线a，Aa．（如图14-6）
求证：过点A和直线a可以确定一个平面．
分析：“确定一个平面”包含两层意思：一是存在，二是唯一．这两层都应证明．
（说明：这个证明可以由教师引导学生一起分析完成，但步骤教师一定要板书）
证明：存在性．
因为Aa，在a上任取两点B，C，
所以过不共线的三点A，B，C有一个平面α．（公理2）
因为B∈α，C∈α，
所以a∈α．（公理1）
故经过点A和直线a有一个平面α．唯一性．如果经过点A和直线a的平面还有一个平面β，那么Ａ∈β，ａβ，
因为B∈ａ，C∈ａ，
所以B∈β，B∈β．（公理1）
故不共线的三点A，B，C既在平面α内又在平面β内．
所以平面α和平面β重合．（公理2）
所以经过点A和直线ａ有且只有一个平面．有时“有且只有一个平面”，我们也说“确定一个平面”．
类似地可以得出下面两个推论：
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．（如图14-7）
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．（如图14-8）
三、解释应用
［例 题］
两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．（如图14-9）
已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C．
求证：直线AB，BC，AC共面．
证法1：因为AB∩AC＝A，
所以直线AB，AC确定一个平面α．（推论2）
因为B∈AB，C∈AC，
所以B∈α，C∈α，
故BCα．（公理1）
因此，直线AB，BC，CA都在平面α内，即它们共面．
证法2：因为A直线BC，
所以过点A和直线BC确定平面α．（推论1）
因为A∈α，B∈BC，所以B∈α．
故ABα，
同理ACα，
所以AB，AC，BC共面．
证法3：因为A，B，C三点不在一条直线上，
所以过A，B，C三点可以确定平面α．（公理2）
因为A∈α，B∈α，所以ABα．（公理1）
同理BCα，ACα，所以AB，BC，CA三直线共面．
思考：在这道题中“且不过同一点”这几个字能不能省略，为什么？
（不能，如果三条直线两两相交且过同一点，则这三条直线可以不共面）
［练 习］
1. 三角形、梯形是平面图形吗？
2. 已知：平面α外有一个△ABC，并且△ABC三条边所在的直线分别与平面α交于三个点P，Q，R．求证P，Q，R三点共线．
四、拓展延伸
1. 四条直线两两相交且不过同一点，这四条直线是否一定共面？
2. 两个平面最多可以把空间分成几个部分？三个平面呢？四个平面呢？
点 评
这篇案例在教师指导下，从现实生活中选择和确定问题进行研究，以类似科学家探究的方式使学生主动地解决问题，获取知识，应用知识，并在探究过程中充分利用模型、进行数学实验等多种渠道．在问题探究的过程中，学生的空间想象能力、动手能力、解题能力等得到了提高．
这篇案例充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，让学生参与到问题的探究中，让学生成为“演员”，变成主角，成为解决问题的决策者，而教师只是充当配角．这样做不仅激发了学生的学习兴趣，活跃了课堂气氛，还充分发挥了学生的主体意识和主观能动性，能让学生从具体问题的分析过程中得到启发，让学生在互相讨论的过程中学会自己分析转换问题，解决问题．
15 异面直线
教材分析
异面直线是立体几何中十分重要的概念．研究空间点、直线和平面之间的各种位置关系必须从异面直线开始．
教材首先通过实例让学生弄懂“共面”、“异面”的区别，正确理解“异面”的含义，进而介绍异面直线所成角及异面直线间的距离，这样处理完全符合学生的认知规律．处理好这节内容，可以比较容易地引导学生实现由平面直观到空间想象的过渡．
教学重点是异面直线的概念，求异面直线所成的角和异面直线间的距离是这节的难点．
教学目标
1. 理解异面直线的概念，了解空间中的直线的三种位置关系．
2. 理解异面直线所成的角、异面直线间的距离的意义，体会空间问题平面化的基本数学思想方法．
3. 通过异面直线的学习，使学生逐步养成在空间考虑问题的习惯，培养学生的空间想象能力．
任务分析
空间中的两条直线的位置关系，是在平面中两条直线位置关系及平面的基本性质基础上提出来的．学生对此已有一定的感性认识，但是此认识是肤浅的．同时，学生空间想象能力还较薄弱．因此，这节内容课应从简单、直观的图形开始介绍．“直观”是这节内容的宗旨．多给学生思考的时间和空间，以有助于空间想象能力的形成．异面直线所成的角的意义及求法，充分体现了化归的数学思想．要让学生通过基本问题的解决，进一步体会异面直线所成的角、异面直线间的距离的意义及其基本求法．
教学设计
一、问题情境（１）
1. 同一平面内的两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？观察教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在直线的位置或观察天安门广场上旗杆所在直线与长安街所在直线的位置．
2. 如图15-1，长方体ABCD—A1B1C1D1中，线段A1B所在直线与线段C1C所在直线的位置关系如何？
二、建立模型（１）
1. 首先引导学生观察实例或几何模型，进而发现，空间两直线除平行或相交外，还有一种位置关系：存在两条直线既不平行又不相交，即不能共面的两直线，并在此基础上总结出异面直线的定义．
2. 在学生讨论归纳异面直线定义的基础上，教师概括：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线．
强调：（1）所谓异面，即不共面，所以它们既不平行，也不相交．
（2）“不共面”，指不在任何一个平面内，关键是“任何”二字．
3. 先让学生总结空间中两条直线的位置关系，然后教师明晰．
（1）共面与异面．共面分为平行和相交．
（2）有无公共点．有且仅有一个公共点———相交直线，无公共点 ____________ 平行直线和异面直线．
4. 异面直线的画法．
先让学生体会下列图形，并让其指出哪些更为直观．
显然，图15-2或图15-3较好．
因此，当表示异面直线时，以平面衬托可以显示得更清楚．
三、问题情境（2）
刻画两条平行直线位置通常用距离，两条相交直线通常用角度，那么，如何刻画两条异面直线的相对位置呢？容易想象要用角和距离，如何定义异面直线的角和距离呢？下面探究一个具体的问题：
如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
1. 我们知道AB与A1B是共面的，它们成的角是45°，那么异面直线AB与D1C所成的角定义为多少度的角比较合理呢？
2. 回忆我们已学过的“距离”概念，发现“距离”具有“最小性”，现在直线AB和D1C上各取一点，这两点必然存在距离，试问在这所有可能的距离中，是否存在两点，这两点间距离最短？
进一步思考：如何定义异面直线AB和D1C间的距离？
四、建立模型（2）
在学生充分讨论、探究的基础上，抽象概括出异面直线所成的角和异面直线间的距离的概念．
1. 异面直线a与b所成的角
已知两条异面直线a，b．经过空间任一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角（或直角），叫作异面直线a与b所成的角．
强调：（1）“空间角”是通过“平面角”来定义的．
（2）“空间角”的大小，与空间点O的选取无关，依据是“等角定理”．为简便，点O常取在两条异面直线中的一条上．
（3）异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°．
（4）异面直线垂直的意义．今后所说的两直线垂直，可能是相交直线，也可能是异面直线．
2. 对于问题2，学生讨论，可以发现：线段BC是在异面直线AB和D1C上各任取一点，且两点间的距离为异面直线AB和D1C间的最小值．此时，我们就说BC的长度就是AB和D1C的距离．
引导学生观察、分析线段BC与AB，D1C之间的关系，得出公垂线段定义：和两条异面直线都垂直且相交的线段．
强调：（1）“垂直”与“相交”同时成立．
（2）公垂线段的长度定义为异面直线间的距离．
五、解释应用
［例 题］
1. 如图，点D是△ABC所在平面外一点，求证直线AB与直线CD是异面直线．
注：主要考查异面直线的定义，这里可考虑用反证法证明．要让学生体会用反证法的缘由．
2. 已知：如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′．
（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？
（3）哪些棱所在直线与直线AA′垂直？
（4）直线BB′与DC间距离是多少？注：主要是理解、巩固有关异面直线的一些基本概念．解题格式要规范，合理．
［练 习］
1. 如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？
2. 垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
3. 与两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是怎样的？
4. 已知：如图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，AB＝2 ，AD＝2，AA′＝2．
（1）BC和A′C′所成角是多少度？
（2）AA′和BC′所成角是多少度？
（3）AA′和BC所成的角和距离是多少？
（4）A′B与B′C所成的角是多少？
（5）AC′与BD所成的角是多少？
四、拓展延伸
1. 判断异面直线除了定义之外，还有如下依据：过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线．请给以证明．
2. 设点P是直线l外的一定点，过P与l成30°角的异面直线有 ____________ 条．（无数）
3. 已知异面直线a与b成50°角，P为空间任一点，则过点P且与a，b所成的角都是30°的直线有 ____________ 条．（2）
若a与b所成的角是60°，65°和70°呢？
点 评
这篇案例设计思路完整，条理清晰．案例首先通过直观的图形引出定义，这样有利于学生的接受．然后探索了异面直线所成角与异面直线间距离的概念．探索过程有利于激发了学生的学习热情，体验科学思维方法．列举的例题有针对性，对知识的巩固和形成起到了很好的作用．“拓展延伸”中提出的问题旨在开拓学生解题思路，增强学生空间想象能力．
16 直线与平面平行
教材分析
直线与平面平行是在研究了空间直线与直线平行的基础上进行的，它是直线与直线平行的拓广，也是为今后学习平面与平面平行作准备．在直线与平面的三种位置关系中，平行关系占有重要地位，是今后学习的必备知识．所以直线与平面平行的判定定理和性质定理是这节的重点，难点是如何解决好直线与直线平行、直线与平面平行相互联系的问题．突破难点的关键是直线与直线平行和直线与平面平行的相互转化．
教学目标
1. 了解空间直线和平面的位置关系，理解和掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，进一步熟悉反证法的实质及其证题步骤．
2. 通过探究线面平行的定义、判定、性质及其应用，进一步培养学生观察、发现问题的能力和空间想象能力．
3. 培养学生的逻辑思维和合情推理能力，进而使其养成实事求是的学习态度．
任务分析
这节的主要任务是直线与平面平行的判定定理、性质定理的发现与归纳，证明与应用．学习时，要引导学生观察实物模型，分析生活中的实例，进而发现、归纳出数学事实，并在此基础上分析和探索定理的论证过程，区分判定定理和性质定理的条件和结论，理解定理的实质和直线与平面平行的判定．在运用性质时，要引导学生完成对“过直线———作平面———得交线———直线与直线平行”这一过程的理解和掌握．
教学设计
一、问题情境
教室内吊在半空的日光灯管、斜靠在墙边的拖把把柄，都可以看作直线的一部分，这些直线与地平面有何位置关系？
二、建立模型
［问题一］
1. 空间中的直线与平面有几种位置关系？
学生讨论，得出结论：
直线与平面平行、直线与平面相交（学生可能说出直线与平面垂直的情况，教师可作解释）及直线在平面内．
2. 在上述三种位置中，直线与平面的公共点的个数各是多少？
学生讨论，得出相关定义：
若直线a与平面α没有公共点，则称直线与平面α平行，记作a∥α．若直线a与平面α有且只有一个公共点，则称直线a与平面α相交．当直线a与平面α平行或相交时均称直线a不在平面α内（或称直线a在平面α外）．若直线a与平面α有两个公共点，依据公理1，知直线a上所有点都在平面α内，此时称直线a在平面α内．
3. 如何对直线与平面的位置关系的进行分类？
学生讨论，得出结论：
方法1：按直线与平面公共点的个数分：
［探 索］
直线与平面平行、相交的画法．
教师用直尺、纸板演示，引导学生说明画法．
1. 画直线在平面内时，要把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形内部，如图16-1．
2. 画直线与平面相交时要画出交点，如图16-2．
3. 画直线与平面平行时，一般要把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形外，并使它与平行四边形的一组对边或平面内的一条直平行，如图16-3．
［问题二］
1. 如何判定直线与平面平行？教师演示：（1）教师先将直尺放在黑板内，然后慢慢平移到平面外．
（2）观察教室的门，然后教师转动的门的一条门边给人平行于墙面的感觉．
学生讨论，归纳和总结，形成判定定理．
定理 如果不在平面内的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
已知：ａα，ｂ α，ａ∥ｂ．
求证：ａ∥α．
分析：要证明直线与平面平行，根据定义，只要证明直线与平面没有公共点，这时可考虑使用反证法．
证明：假设ａ不平行于α，由ａα，得ａ∩α＝A．若A∈ｂ，则与已知ａ∥ｂ矛盾；若Ab，则a与b是异面直线，与a∥b矛盾．所以假设不成立，故ａ∥α．
总结：此定理有三个条件，（1）ａα，（2）ｂα，（3）ａ∥ｂ．三个条件缺少一个就不能推出ａ∥α这一结论．此定理可归纳为“若线线平行，则线面平行”．
2. 当直线与平面平行时，直线与平面内的直线有什么位置关系？是否平行？
教师演示：教师先让直尺平行于讲桌面，再将纸板经过直尺，慢慢绕直尺旋转使纸板与桌面相交．
学生讨论得出：直尺平行于纸板与桌面的交线．
师生共同归纳和总结，形成性质定理．
定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行．
已知：l∥a，lβ，α∩β＝ｍ．
求证：l∥m．
证明：因为l∥α，所以l∩α＝，又因为ｍα，所以l∩ｍ＝，由于l，ｍ都在β内，且没有公共点，所以l∥m．
总结：此定理的条件有三个：
（1）l∥α，即线面平行．
（2）lβ，即过线作面．
（3）β∩α＝ｍ，即面面相交．
三个条件缺一不可，此定理可简记为“若线面平行，则线与交线平行”．
三、解释应用
［例 题］
1. 已知：如图16-5，空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点．求证：EF∥平面BCD．
证明：连接BD，在△ABD中，
因为E，F分别是AB，AD的中点，
所以EF∥BD．
又因为BD是平面ABD与平面BCD的交线，EF∥平面BCD，所以EF∥平面BCD．
2. 求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内．
已知：l∥α，点P∈α，Ｐ∈ｍ，ｍ∥l（如图16-6）．
求证；mα．
证明：设l与P确定的平面为β，且α∩β＝ｍ′，则ｌ∥ｍ′．又知ｌ∥ｍ，ｍ∩ｍ′＝Ｐ，由平行公理可知，ｍ与ｍ′重合．所以mα．
［练 习］
1. 已知：如图16-7，长方体AC′．求证：B′D′∥平面ABCD．
2. 如图16-8，一个长方体木块ABCD－A1B1C1D1，如果要经过平面A1C1内一点P和棱BC将木块锯开，那么应该怎样画线？
四、拓展延伸
1. 教室内吊在半空中的日光灯管平行于地面，也平行于教室的一墙面，试探讨它和这个墙面与地面的交线之间有什么样的位置关系？
2. 已知：如图16-9，正方形ABCD和正方形ABEF不在同一平面内，点M，N分别是对角线AC，BF上的点．问：当M，N 满足什么条件时，MN∥平面BCE．
3. 如果三个平面两两相交于三条直线，那么这三条直线有怎样的位置关系．
点 评
这篇案例从学生身边的实例出发，引导学生抽象出直线与平面平行、相交的定义，又通过演示，总结和归纳出直线与平面平行的判定及性质定理，整个过程都把学科理论和学生面临的实际生活结合起来，使学生能较好地理解和把握学科知识．同时，培养了学生的探索创新能力和实践能力，激发了学生的学习兴趣．
17 平面与平面平行
教材分析
这节课的主要内容是两个平面平行的判定定理、性质定理及其应用，它是继学生学习了直线与平面的位置关系之后，又一种图形之间的位置关系的研究．判定是由“直线与直线平行”转化为“直线与平面平行”，进而转化为“两平面平行”．两性质则是由“两平面平行”转化为“直线与平面平行”或“直线与直线平行”．由此，突破问题的关键在于抓住“转化”这个中心．这节课的重点是两个平面平行的性质定理和判定定理及两定理的应用，难点是结合问题的特点如何正确而合理地选择方法，准确地使用符号语言进行推理论证．
教学目标
1. 了解平面与平面的位置关系，掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，进一步培养学生的空间想象能力和推理能力．
2. 通过实验、探索、发现、证明、应用这一学习过程，激发学生学习数学的自信心和积极性，端正他们学习数学的科学态度，培养他们良好的思维习惯，进一步培养他们的探索精神和创新意识，同时让他们感受到数学体系在内容上的严谨与和谐．
任务分析
这节内容结论较多，若平铺直叙，则显得零乱而无章法．为了充分调动学生的积极性，发挥学生的主动性，采用设问方式，引导学生自己发现问题，分析推理，归纳结论，从而加速学生的理解和掌握．
教学设计
一、问题情境
通过前面的学习，对直线与平面的位置关系有了一个明确的认识，那么空间中的两个平面的位置关系又有几种可能呢？让学生观察教室的墙面、屋顶和地面，给学生以感性认识，让学生讨论．
［平面与平面平行，平面与平面相交（个别学生可能会说平面与平面垂直，教师可作相应的解释）］
二、建立模型
［问 题］
1. 空间中两个平面的位置关系有几种？
通过上面的讨论学生能回答出：平行、相交．
2. 两种位置关系中，其公共点的个数各是多少个？
学生讨论，教师总结，得出：
若两平面α，β无公共点，则称两平面α、β平行，记作α∥β．
若两个平面有公共点，依据公理3，这些公共点组成了两个平面的公共直线，这时称两个平面相交．
3. 怎么画两个平行平面？
学生分析讨论，教师总结，得出：画两平行平面时应使两个表示平面的平行四边形的对应边平行，并尽量使两平行四边形不重叠．如图17-1．
4. 如何判断两平面平行？
教师演示，学生讨论：将两个相交的直尺慢慢从讲桌上往上平移，让学生分析平移后的相交直线确定的平面与讲桌面的位置关系．
如图17-2，在平面α内，作两条相交直线a，b，并且ａ∩ｂ＝P，平移这两条相交直线ａ，ｂ到直线ａ′，ｂ′的位置，设ａ′∩ｂ′＝P′，由直线与平面平行的判定定理可知ａ′∥α，ｂ′∥α．
由相交直线ａ′，ｂ′确定的平面β与平面α不会有公共点．否则，如图17-2，如果两平面相交，交线是ｃ，这时，过点P′有两条直线平行于交线ｃ，根据平行公理，这是不可能的．
由此，我们得出两平面平行的判定定理．
定理 如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
思考：（1）如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行吗？
（2）如果一个平面内的两条平行直线，分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行吗？
对于判定，我们可简记为：“线面平行，则面面平行”．
5. 观察教室的天花板面和地面，知道它们是平行的平面，并且这两个平行平面与墙面相交，试分析这两条交线有什么样的位置关系．学生会答出“平行”．于是有：
定理 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
事实上，由于两条交线分别在两个平行平面内，所以它们不相交，它们又都同在一个平面内，由平行线的定义可知，它们是平行的．如图17-3．
思考：（1）如果两个平面平行，那么一个平面内的直线是否必平行于另一个平面？
（2）分别位于两平行平面内的两条直线是否必平行？
三、解释应用
［例 题］
1. 已知：三棱锥P—ABC，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点（如图17-4）．
求证：平面DEF∥平面ABC．
证明：在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB．又知DE∥平面ABC，因此DE∥平面ABC．同理EF∥平面ABC．又因为DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC．
2. 已知：平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F（如图17-5）．求证：
证明：连接DC，设DC与平面β相交于点G，则平面ACD与平面α，β分别相交于直线AD，BG．平面DCF与平面β，γ分别相交于直线GE，CF．因为α∥β，β∥γ，所以BG∥AD，GE∥CF．于是，得
由此例可得如下结论：两直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
3. 已知：如图17-6，平面α∥平面β，AB与CD是两条异面直线，ABα，CDβ．若E，F，G分别为AC，CB，BD的中点，求证平面EFG∥α∥β
证明：因为EF∥AB，AB∥α，EFα，所以EF∥α．
又FG∥CD，设FG与CD确定的平面为γ，且γ∩α＝BM，因为α∥β，γ∩β＝CD，故BM∥CD，所以FG∥BM，BM α，FGα，所以FG∥BM，所以FG∥α．
又由EF∩GF＝F，故平面EFG∥а，同理平面EFG∥β．
［练 习］
1. 如图17-7，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F．已知AC＝15cm，DE＝5cm，AB∶BC＝1∶3，求AB，BC，EF的长．
2. 如图17-8，空间四边形ABCD，E在AB上．
（1）过E作平行于对角线AC，BD的截面，并判定它的形状．
（2）设BD＝a，AC＝b，AC，BD所成的角为Q，且AE∶EB＝k，求（1）中截面的面积．
（3）当Q为定值时，求（1）中所能画出的最大的截面面积．
四、拓展延伸
1. 设a，b是两条异面直线，A为不在a，b上的空间一点，问过点A能否作一平面与直线a，b都平行．
2. 怎样使用水平仪来检测桌面是不是平的？
点 评
这个案例把问题作为教学的出发点，通过教师的课堂演示及提问，引导学生探索，分析，类比，化归；通过学生的讨论，发言，让学生主动发现规律．整个教学过程抓住了“类比和转化”这一数学方法的运用．
这个案例设计完整，思路清晰．一开始便在上节的基础上引入了两平面平行的背景，然后总结归纳出两平面平行的定义．又在演示实验的基础上得出两平面平行的判定定理及性质定理．整个过程充分体现了由特殊到一般、再由一般到特殊的辩证思维过程，给学生创造了较大的思维空间和探索求知的机会，同时关注了学生的情感、态度和价值观的培养．
18 直线与平面垂直
教材分析
直线与平面垂直是在研究了直线与直线垂直、直线与平面平行、平面与平面平行的基础上进行的．它是直线与直线垂直的延伸，是学习平面与平面垂直以及有关距离、空间角、多面体、旋转体的基础．这节内容的学习可完善知识结构，并对进一步培养学生观察、发现问题的能力和空间想象能力，起着十分重要的作用．
直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理是这节课的重点．
学习直线与平面垂直的性质定理时，应该注意引导学生把直线和直线的关系问题有目的地转化为直线与平面的关系问题，这是这节课的难点．
教学目标
1. 掌握直线与直线垂直，直线与平面垂直的定义，以及直线与平面垂直的判定与性质．
2. 通过探索线面垂直的定义、判定定理和性质定理及其证明，进一步培养学生观察问题、发现问题的能力和空间想象、计算能力，并且加强对思维能力的训练．
3. 激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神，渗透事物间相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过图形的立体美，对称美，培养教学审美意识．
任务分析
因为判定定理的证明有一定的难度，所以教材作为探索与研究来处理．又因为定理的论证层次多，构图复杂，辅助线多，运用平面几何的知识多，所以这节课的难点是判定定理的证明．突破难点的方法是充分运用实物模型演示，以具体形象思维支持逻辑思维．
教学设计
一、问题情境
上海的标志性建筑———东方明珠电视塔的中轴线垂直于地面，在这一点上，它与比萨斜塔完全不同．那么，直线与平面垂直如何定义和判定，又有什么性质呢？这将是本节课要研究的问题．
二、建立模型
我们先来研究空间中两条直线的垂直问题．
在平面内，如果两条直线互相垂直，则它们一定相交．在空间中，两条互相垂直相交的直线中，如果固定其中一条，让另一条平移到空间的某一个位置，就可能与固定的直线没有公共点，这时两条直线不会相交，也不会在同一平面内（为什么），我们同样称它们相互垂直．下面我们给出空间任意两条直线互相垂直的一般定义．
如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．
有了直线与直线垂直的概念，我们就可以利用直线与直线垂直来定义直线与平面垂直了．
［问 题］
1. 什么叫直线与平面垂直？
教师演示：如图，直线l是线段AB的中垂线．固定线段AB，让l保持与AB垂直并绕直线AB在空间旋转．
教师让学生讨论：（1）直线l的轨迹是怎样的图形？
（2）如何定义直线与平面垂直？
教师明晰：（1）线段AB所有垂直平分线构成的集合是一个平面．
（2）如果一条直线（AB）和一个平面（α）相交于点O，并且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，这条直线叫作平面的垂线，这个平面叫作直线的垂面．交点叫作垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫作这点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫作这个点到平面的距离．
2. 如图18-2，直线l⊥平面α，直线mα，问l与m的关系怎样．
学生讨论后，得出结论：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．
3. 怎么画直线与平面垂直？
学生讨论后，教师总结：画直线和平面垂直时，通常要把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如图18-2．
4. 如何判断直线与平面垂直？
教师引导：根据定义判定直线与平面垂直是困难的，如何用尽可能少的线线垂直来判定线面垂直呢？
学生讨论后，教师总结．
（1）因为两条相交直线确定一平面，所以只要直线和平面内的两条相交直线垂直，就可以判定直线和平面垂直．
（2）两条平行直线也确定一平面，直线和这两条平行直线垂直，不能判定直线就和平面垂直（教师作演示说明）．于是，归纳出直线和平面垂直的判定定理．
定理 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．
推论 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
如图18-3，如果直线l∥m，l⊥平面α，则l垂直于平面α内任意两条相交直线，如a，b．根据空间两直线垂直的定义，易知m⊥a，m⊥b，所以m⊥α．
让学生总结：判定直线与平面垂直的方法．
（1）定 义．
（2）判定定理．
（3）推 论．
4. 在平面几何中，同垂直于一条直线的两条直线平行，那么，在空间几何中，又有什么类似的结论呢？
学生讨论后，得出结论：同垂直于一个平面的两条直线平行．于是有直线和平面垂直的性质．
定理 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．
已知：如图18-4，直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，垂足分别为A，B．
求证：l∥m．
证明：假设直线ｍ不与直线l平行．过直线m与平面α的交点B，作直线m′∥l，
由直线与平面垂直的判定定理的推论可知，m′⊥α．设ｍ和m′确定的平面为β，α与β的交线为ａ，因为直线m和m′都垂直于平面α，所以直线m和m′都垂直于交线ａ．因为在同一平面内，通过直线上一点并与已知直线垂直的直线有且仅有一条，所以直线m和m′必重合，即l∥m．
三、解释应用
［例 题］
1. 过一点和已知平面垂直的直线只有一条．已知：平面α和一点P（如图18-5）．求证：过点P与α垂直的直线只有一条．
证明：不论点P在α外或内，设PA⊥α，垂足为A（或P）．如果过点P，除直线PA⊥α外，还有一条直线PB⊥α，设PA，PB确定的平面为β，且α∩β＝ａ，于是在平面β内过点P有两条直线PA，PB垂直于交线ａ，这是不可能的．所以过点P与α垂直的直线只有一条．
2. 如图18-6，有一根旗杆AB高8m，它的顶端Ａ挂着两条长10m的绳子．拉紧绳子，并把它的下端放在地面上的两点C，D（和旗杆脚不在同一条直线上）．如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？
解：在△ABC和△ABD中，
因为AB＝8m，BC＝BD＝6m，AC＝AD＝10m，
所以AB2＋BC2＝82＋62＝102＝AC2，
AB2＋BD2＝62＋82＝102＝AD2．
所以∠ABC＝∠ABD＝90°，即AB⊥BC，AB⊥BD．
又知B，C，D三点不共线，
所以AB⊥平面BCD，即旗杆和地面垂直．
3. 已知：直线l⊥平面α，垂足为A，直线AP⊥l（如图18-7）．
求证：AP在α内．
证明：设AP与l确定的平面为β．如果AP不在α内，则可设α与β相交于直线AM，
因为l⊥α，AMα，所以l⊥AM．又已知AP⊥l，于是在平面β内，过点Ａ有两条直线垂直于l．这是不可能的，所以AP一定在α内．
［练 习］
1. 已知：如图18-8，在平面α内有ABCD，O是它对角线的交点，点P在α外，且PA＝PC，PB＝PD．求证：PO⊥α．
2. 已知：空间四边形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，求证：BC⊥AD．
3. 已知两个平行平面中，有一个平面与一条已知直线垂直，问：另一平面与已知直线的位置关系怎样？
四、拓展延伸
1. 如图18-9所示，在空间，如果直线ｍ，ｎ都是线段AA′的垂直平分线，设ｍ，ｎ确定的平面为α，证明：
（1）在平面α内，通过线段AA′中点B的所有直线都是线段AA′的垂直平分线．
（2）线段AA′的任一条垂直平分线都在α内．
2. 如图18-10（1），如果平面α通过线段AA′的中点O，且垂直于直线AA′，那么平面α叫作线段AA′的垂直平分面（或中垂面），并称点A，A′关于平面α成镜面对称，平面α叫作A，A′的对称平面．
如图18-10（2），如果一个图形Ｆ内的所有点关于平面α的对称点构成几何图形F′，则称F，F′关于平面α成镜面对称．F到F′的图形变换称为镜面对称变换．
如果一个图形Ｆ通过镜面对称变换后的图形仍是它自身，则这个图形被称为镜面对称图形．
根据以上定义，探索与研究以下问题：
（1）线段的中垂面有哪些性质？
（2）你学过的空间图形，有哪些是镜面对称图形？
（3）写一篇研究镜面对称的小论文，探索镜面对称的性质和应用．
点 评
这篇案例设计完整，构思严谨，突出的特点是把学科灰色的理论和鲜活的实际生活相结合，使学生能较好地理解和把握学科知识．同时，这篇案例注意了美育、科学精神和人文精神的渗透，能较好地培养学生的探索创新能力和实践能力，符合新课改精神．
19 平面与平面垂直
教材分析
两个平面垂直的判定定理及性质定理是平面与平面位置关系的重要内容．通过这节的学习可以发现：直线与直线垂直、直线与平面垂直及平面与平面垂直的判定和性质定理形成了一套完整的证明体系，而且可以实现利用低维位置关系推导高维位置关系，利用高维位置关系也能推导低维位置关系，充分体现了转化思想在立体几何中的重要地位．这节课的重点是判定定理及性质定理，难点是定理的发现及证明．
教学目标
1. 掌握两平面垂直的有关概念，以及两个平面垂直的判定定理和性质定理，能运用概念和定理进行有关计算与证明．
2. 培养学生的空间想象能力，逻辑思维能力，知识迁移能力，运用数学知识和数学方法观察、研究现实现象的能力，整理知识、解决问题的能力．
3. 通过对实际问题的分析和探究，激发学生的学习兴趣，培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神．
任务分析
判定定理证明的难点是画辅助线．为了突破这一难点，可引导学生这样分析：在没有得到判定定理时，只有根据两平面互相垂直的定义来证明，那么，哪个平面与这两个平面都垂直呢？对性质定理的引入，不是采取平铺直叙，而是根据数学定理的教学是由发现与论证这两个过程组成的，所以应把“引出命题”和“猜想”作为本部分的重要活动内容．
教学设计
一、问题情境
1. 建筑工人在砌墙时，常用一根铅垂的线吊在墙角上，这是为什么？（为了使墙面与地面垂直）
2. 什么叫两个平面垂直？怎样判定两平面垂直，两平面垂直有哪些性质？
二、建立模型
如图19-1，两个平面α，β相交，交线为CD，在CD上任取一点B，过点B分别在α，β内作直线BA和BE，使BA⊥CD，BE⊥CD．于是，直线CD⊥平面ABE．
容易看到，∠ABE为直角时，给我们两平面垂直的印象，于是有定义：
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，并且这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．
平面α，β互相垂直，记作α⊥β．
［问 题］
1. 建筑工人在砌墙时，铅垂线在墙面内，墙面与地面就垂直吗？
如图19-1，只要α经过β的垂线BA，则BA⊥β，∴BA⊥BE，∠ABE＝Rt∠．依定义，知α⊥β．于是，有判定定理：
定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．
2. 如果交换判定定理中的条件“BA⊥β”和结论“α⊥β”．即，也就是从平面与平面垂直出发，能否推出直线与平面垂直？
平面α内满足什么条件的直线才能垂直于平面β呢？让学生用教科书、桌面、笔摆模型．通过模型发现：当α⊥β时，只有在一个平面（如α）内，垂直于两平面交线的直线（如BA）才会垂直于另一个平面（如β）．
于是，有定理：
定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
（先分析命题的条件和结论，然后画出图形，再结合图形，写出已知，求证）
已知：如图，α⊥β，α∩β＝CD，ABα，AB⊥CD，求证：AB⊥β．
分析：要证AB⊥β，只需在β内再找一条直线与ＡＢ 垂直，但β内没有这样的直线，如何作出这条直线呢？因为α⊥β，所以可根据二面角的定义作出这个二面角的平面角．在平面β内过点B作BE⊥CD．因为AB⊥CD，所以∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，并且∠ABE＝90°，即AB⊥BE．又因为CDβ，BEβ，所以AB⊥β．
三、解释应用
［例 题］
1. 已知：如图，平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB＝4cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3cm，BD＝12cm，求CD长．
解：连接BC．
因为AC⊥AB，
所以AC⊥β，AC⊥BD．
因为BD⊥AB，
所以BD⊥α，BD⊥BC．
所以，△CBD是直角三角形．
在Rt△BAC中，BC＝＝5（cm），
在Rt△CBD中，CD＝＝13（cm）．
2. 已知：在Rt△ABC中，AB＝AC＝ａ，AD是斜边BC的高，以AD为折痕使∠BDC折成直角（如图19-4）．
求证：（1）平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC．
（2）∠BAC＝60°．
证明：（1）如图19-4（2），
因为AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BDC．
因为平面ABD和平面ACD都过AD，
所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC．
（2）如图19-4（1），在Rt△BAC中，
因为AB＝AC＝ａ，
所以BC＝ａ，BD＝DC＝．
如图19-4（2），△BDC是等腰直角三角形，
所以BC＝BD＝2×＝ａ．
得AB＝AC＝BC．所以∠BAC＝60°．
［练 习］
1. 如图19-5，有一个正三棱锥体的零件，P是侧面ACD上一点．问：如何在面ACD上过点P画一条与棱AB垂直的线段？试说明理由．
2. 已知：如图19-6，在空间四边形ABCD中，AC＝AD，BC＝BD，E是CD 的中点．
求证：（1）平面ABE⊥平面BCD．（2）平面ABE⊥平面ACD．
四、拓展延伸
能否将平面几何中的勾股定理推广到立体几何学中去？试写一篇研究性的小论文．
点 评
这篇案例结构完整，构思新颖．案例开始以一个生活中常见的例子引入问题，得到了两平面垂直的定义．还是这个例子，改变了问法又得到了两平面垂直的判定定理．即把学科理论和学生的生活实际相结合，激起了学生探索问题的热情．对性质定理和判定定理的引入和证明也不是平铺直叙，而是充分展现了定理的发现和形成过程．通过学生的认真参与，师生之间的民主交流，培养了学生的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神．
20 柱、锥、台体的体积
教材分析
这节内容是在学完多面体与旋转体的概念、性质、画法、侧面积、表面积以后，在体积概念与体积公理的基础上，研究柱、锥、台体的体积．其中柱体体积是基础，并且由柱体体积可推导出锥体体积，而根据锥体体积又可得出台体体积．柱、锥、台体的体积是立体几何的重要内容，是历年高考的重点．通过这节知识的学习，既要使学生知道三种几何体体积的公式，又要让学生知道这些公式是怎么得出的．三种几何体的体积公式的推导是教学的重中之重．
教学目标
1. 使学生掌握柱、锥、台体的体积公式及其初步应用．
2. 通过对三种几何体体积公式的探索，使学生学会观察、类比、归纳、猜想等方法，培养学生分析、抽象、概括及逻辑推理能力．
3. 通过三种几何体体积公式的探索，培养学生思考、刻苦钻研、孜孜以求的毅力及勇于探索、创新的精神．
任务分析
对于体积这一内容，学生早在小学就有了初步认识，如长方体的体积公式．但如何推导锥、台体体积是目前的重要任务．三种几何体的体积公式的推导有着密切的联系，教学时要不断强化三者之间的关系，强化借助用已知来研究未知这种探索问题的一般性的研究方法．柱、锥体体积公式推导的理论基础是祖 原理．为此，必须将祖 原理要求的三个条件务必要落实到位，只有这样，棱柱、圆柱与长方体之间的体积转化以及一般棱锥与三棱锥之间的体积转化才能水到渠成．三棱锥体积公式的推导是本节的重点，也是难点．要充分利用多媒体，通过课件演示，生动形象地表现三棱锥与三棱柱体积之间的关系，让学生充分体会割补变换这一数学思想．最后，利用台体的定义，并紧扣台体与锥体的关系，求出台体体积．
教学设计
一、问题情景
在多媒体屏幕上播出阿基米德利用水来辨别金王冠纯度高低的故事．通过这个故事教师指出，在古代，人们就对体积的求法进行了探索．接着指出我国古代在公元5世纪对体积曾进行过比较深入的研究，引出祖 原理．
二、建立模型
（一）祖 原理
在屏幕上显示祖 原理．
教师强调这个原理在欧洲直到17世纪才被意大利的卡瓦列里提出，比祖 之晚1100年以上，目的在于激发学生的爱国热情．
1. 学生讨论
教师启发能否根据原理的思想，利用手中的课本等道具把这个原理解释一下．
2. 练 习
设有底面积与高都相等的长方体和六棱柱，思考这两个几何体的体积有何关系．
说明：由于祖 原理条件比较复杂，学生不易弄清，教师要把已知条件分析清：（1）这两个几何体夹在两个平行平面之间．（2）用平行于两个平行平面的任一平面去截两几何体可得两个截面．（3）两个截面的面积相等．只有这三个条件都具备，才能得出两个几何体的体积相等．
（二）柱体体积公式的推导
［问 题］
设有底面积都等于S，高都等于h的任意一个棱柱，一个圆柱，如何求这两个几何体的体积？
为了把这个问题让学生水到渠成地想出来，可以提出以下几个阶梯性的问题．
（1）柱体体积公式目前不知道，那么同学们会求什么特殊几何体的体积呢？
（2）根据刚才对祖 原理的研究发现，如果两个几何体满足祖 原理中的三个条件，那么这两个几何体的体积就可以相互转化．柱体的体积公式目前不会求，能否利用祖 原理把目标几何体的体积转化为长方体的体积呢？教师进一步引导：构造一长方体，使已知的棱柱、圆柱与构造的长方体满足祖 原理的条件．
（3）长方体如何出现呢？
让学生讨论得出：已知棱柱、圆柱目前已经夹在两平行平面之间，并且底面积相等，所以只要在两平行平面之间放一个与前面两几何体底面积相等、高相等的长方体即可．根据祖 原理这三个几何体的体积相等，而长方体体积可以利用底面积乘高求得，故两目标几何体的体积也就得出了．
教师在大屏幕上显示推导过程：先把棱柱放在两平行平面之间，然后再让长方体出现，最后动态地显示三个几何体被平行于两个平行平面的任一平面去截两几何体可得三个截面；三个截面的面积相等．
教师明晰：柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S和高h的积，即V柱体＝Sh．
［练 习］
已知一圆柱的底面半径r，高是h，求圆柱的体积．
教师明晰：底面半径为r，高为h的圆柱的体积V圆柱＝Sh＝πr2h．
（三）锥体体积公式的推导
1. 等底面积等高的两个锥体的体积的关系
［问 题］
（1）刚才我们利用祖 原理获得了等底面积等高的柱体与长方体（两个柱体）等体积，那么等底面积等高的两个锥体的体积之间有什么关系呢？
（2）你们怎么知道它们的体积是相等的？
（有的学生会说是估计的）
（3）能证实你们估计的结论（猜想）吗？
（有了前面连续两次用祖 原理证明等底等高的两个柱体体积相等，学生的这个猜想就比较容易再次利用祖 原理来证明）
师生共同分析：用祖 原理．
设有任意两个锥体，不妨选取一个三棱锥，一个圆锥，并设它们的底面积都是S，高都是h（如图20-1）．
（1）把这两个锥体的底面放在同一个平面α上．由于它们的高相等，故它们的顶点必在与α平行的同一个平面β上，即这两个锥体可夹在两个平行平面α，β之间．
（2）用平行于平面α的任意平面去截这两个锥体，设截面面积分别为S1，S2，截面和顶点的距离是h1，体积分别为V1，V2，则由锥体平行于底面的截面性质，知．所以，故S1＝S2．由祖 原理，知V1＝V2．
（学生叙述，教师板书）
结论：如果两个锥体的底面积相等，高也相等，那么它们的体积相等．
教师明晰：等底面积等高的两个锥体的体积相等．
（由学生提出问题、分析问题并解决问题，这是对学生高层次的要求．当学生达不到这个层次时，可由教师提出问题，学生分析问题和解决问题．教师提出问题后要给学生观察、比较、分析、归纳、猜想、发现的时间．著名数学教育家波利亚曾提出：只要数学的学习过程稍能反映出数学发明的过程，那么就应当让猜想、合情推理占有适当的位置．猜想后还要严格地证明，合情推理与逻辑推理并重，既教证明又教猜想，这才是解决问题的完整过程）
2. 锥体体积公式的推导
教师启发：上述定理只是回答了具有等底面积、等高的两个锥体的体积之间的相等关系，但这个体积如何求出，能否像柱体那样有一个体积公式仍然是一个谜．然而它给了我们一个求锥体体积的有益启示：只须找到一个“简单”的锥体作为代表，如果这个代表的体积求出来了，那么，根据等底面积等高的两个锥体的体积即可获得其他锥体的体积．
［问 题］
（1）用怎样的“简单”锥体作代表来研究呢？
（2）如何求这类锥体的体积呢？
（此时学生思考受阻，可由教师启发）
（3）任何新知识都是在已知旧知识的基础上发展起来的，现在我们已经能求出柱体的体积．那么三棱锥的体积能否借助柱体的体积公式来求呢？
教师启发：可以尝试补成三棱柱，然后考虑三棱锥与三棱柱之间体积的关系．
此时应该给学生留出充分的时间，让他们在练习本上把如图20-2三棱锥A′—ABC以底面△ABC为底面，AA′为侧棱补成一个三棱柱ABC—A′B′C′．
教师利用多媒体把这个三棱柱补出来（在屏幕上动态地补出）．
（4）在三棱柱中，除三棱锥A′—ABC外的几何体是不规则的，如能转化成规则的就好了，如何转化呢？
教师启发：连接点B′，C，就可把这个不规则的几何体分割成两个三棱锥．
教师利用屏幕动态显示分割过程［分割三棱柱ABC—A′B′C′得三棱锥（1），（2），（3）．如图20-3．
（5）思考一下分割而得的三个三棱锥之间有何关系？
学生讨论得出：体积相等．
（6）为什么相等？试简要证明．
（引导学生思考两个锥体等体积的依据———前面定理的条件：
（1）等底面积．（2）等高）
师生共同分析，同时教师板书：在三棱锥（2），（3）中，S△ABA′＝S△B′A′B，又由于它们有相同顶点C，故高也相等，所以V（2）＝V（3）．又在三棱锥（3），（4）中，SBCB′＝S△B′C′C，它们有相同顶点A′，故高也相等，所以V（3）＝V（4），所以V（2）＝V（3）＝V（4）＝V棱柱ABC—A′B′C′＝Sh．
（7）一般锥体的体积又如何呢？
设一般锥体的底面积为S，高为h．师生共同得出V锥体＝Sh（师板书）．
（8）如何对这一结果进行证明？
教师引导：构造一个三棱锥，使其底面积为S，高为h，由于等底面积等高的锥体的体积相等，故V锥体＝V三棱锥＝Sh．
三、应用与拓展
台体体积公式的推导．已知棱台ABCDE—A1B1C1D1E1的上下底面积为S上，S下，高为h，求证V棱台＝（S上＋＋S下）．
为了解决台体体积的求法可问学生下列阶梯性问题：
（1）台体是如何定义的？
（2）台体与被截的棱锥的体积有何关系？
（3）要求的台体体积，只要求出棱锥与截后所得小棱锥的体积即可，要求棱锥的体积，有那些条件，还缺什么条件，如何求呢？
随着问题的一个个解决，思路也就水到渠成了．
（分析完思路后，解题过程在大屏幕上打出）
教师明晰：台体体积公式：一般地，棱台的体积公式是V棱台＝h（S上＋＋S下），其中S上，S下和ｈ分别为棱台上底面积、下底面积和高．
点 评
这篇案例重在教师启发下，让学生进行一定量的思维活动．在公式的推导过程中，由于教师的阶梯式提问，不断创设思维情景，使学生积极参与教学活动，从而使学生的思维品质得到了锻炼和提高．
在锥体体积公式推导的过程中，教师不断渗透联系和转化等数学思想．在这篇案例中，体现了两次重要的转化，一次是利用祖 原理将锥体体积公式的推导转化为三棱锥体积公式的推导，简化了研究系统；一次是利用割补变换建立了三棱锥与三棱柱之间的体积关系．其中，第一次转化是通过逻辑推理实现的，第二次转化是通过图形变换实现的．
这篇案例之所以突出公式形成的过程，是为了使学生在参与公式的推导过程中能在数学内容、数学方法和思维教育等方面吸收更多的营养．
这篇案例使用了计算机辅助教学，特别是在体现三棱锥与三棱柱两种之间几何体之间的体积关系时使用，使三棱锥与三棱柱之间割补变换显得直观，生动，形象，弥补了在黑板上画图动感差且又浪费时间的不足，也有利于学生对两种几何体之间关系的深刻认识，发挥了计算机的良好辅助作用．
美中不足的是，作为反映新理念的教学案例，如果能从学生可以直接操作的有关模型入手，通过多媒体的三维动态演示，使学生从直观思维上升到空间的想象和逻辑推导，教学效果会更好．
21 空间几何体的三视图
教材分析
前面我们认识了柱体、锥体、台体、球体以及简单的组合体，如何将这些空间几何体画在纸上，并体现立体感呢？我们常用三视图表示空间几何体．三视图是观察者从不同位置观察同一个几何体，画出的平面图形．视图在现实生活中有着广泛的应用，同时是培养空间观念的基本素材，因此视图知识进入了高中数学课程．由于教材编写比较简明，而多数学生在初中没有学过视图，因此，在设计时，补充了视图的一些初步知识，便于学生的学习．
教学重点是能画出一些简单空间几何体的三视图，难点是由三视图识别出所表示的立体模型．
教学目的
1. 了解投影、视图的一些概念，掌握画简单空间几何体的三视图的方法，能画出一些空间几何体的三视图．
2. 能由三视图识别出其表示的立体模型．
3. 通过视图的学习，培养学生的空间想象能力和动手操作能力．
任务分析
画空间几何体的三视图是学习立体几何的基本任务之一，也是学好立体几何的基本功，对空间能力的培养有很大帮助．如何画好空间几何体的视图呢？首先要明确视图的一些概念，掌握正投影的规律：平行，形不变；倾斜，形改变；垂直，成一点（或线段）．掌握三视图的画法规则：长对正，宽平齐，高相等，以及画图中的注意事项．画好视图，还要亲自动手画图，不必画很多，但一定要规范，用心体会方法．同时，要适当进行由三视图所表示的立体模型的识别训练，逐步培养空间观念．这节课大约为2课时．
教学过程
一、问题情景
1. 把一个圆柱形的木块，投影到相互垂直的三个墙面上，阴影分别是什么图形？
2. 一个机器零件，分别从正面、上面、左面观察是下图中的三个平面图形，你能想象出这个机器零件的大致形状吗？
本节主要解决类似上面的这些问题．
二、建立模型
物体在灯光或日光照射下，会在地面或墙壁上产生影子，这是一种自然现象．投影就是由这类自然现象抽象出来的．投影是光线（投射线）通过物体，向选定的面（投影面）投射，并在该平面上得到图形的方法．
投影线相互平行的投影称为平行投影．平行投影按投射方向是否正对着投影面，分为斜投影和正投影两种．
视图是指将物体按正投影面投射所得到的图形，光线自物体的前面向后投射所得的投影称为主视图或正视图，自上而下投射所得的投影称为俯视图，自左向右投射所得的投影称为左视图．用这三种视图刻画空间几何体的结构，称之为三视图．
如上图，是圆柱在三个相互垂直的投影面上进行正投影得到的三视图．将几何体拿走后，把投影面H向下旋转90°，投影面Ｗ 向后旋转90°，使三个投影面摊平在同一个平面上，如图21-4．
三视图的位置是：俯视图在主视图的下面，左视图在主视图的右面，主视图反映出物体的 ___________ ，俯视图反映出物体的 ___________ ，左视图反映出物体的 ___________ ．
因此，三视图的画法规则可归纳为长对正，宽平齐，高相等．具体为
（1）画辅助线XY，YZ（图画好后可擦去）．
（2）确定主视图位置，画出主视图．
（3）根据“长对正”与物体的宽度画出俯视图．
（4）再根据“高平齐”与“宽相等”画出左视图（宽度：可通过以点O为中心旋转画出）．
（5）标注尺寸，擦去不必要的辅助线．
注意：为了正确表达空间几何体的内外形状，使图形清楚易识，绘图中使用的轮廓线，应符合统一标准：看得见部分的轮廓用粗实线、看不见部分的轮廓用虚线、尺寸用细实线、对称轴用点画线等．
三、解释应用
［例 题］
1. 画出下列几何体的三视图．
2. 根据三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图．
分析：由俯视图并结合其中两个视图可以看出，这个物体是由一个圆柱和一个正四棱柱组合而成，圆柱的下底面圆和正四棱柱的上底面正方形内切，这样便可确定物体原形．
解：根据三视图想象物体原形如下：
注意：根据三视图想象原形，要综合视图全面考虑．
［练 习］
1. 找出与下列几何体对应的三视图，并在对应的三视图下面的括号中填上对应的数码．
2. 添线补全下列三视图．
3. 画出下列几何体的三视图．
4. 根据三视图想象物体原形，并画出该物体的实物图．
5. 完成问题情景中的问题2．
四、拓展延伸
1. 一个正三棱柱（底面是正三角形，高等于侧棱长）的三视图如图21-13所示，求这个正三棱柱的表面积．
2. 某几何体的三视图如图21-14所示，问：该几何体是棱台吗？
3. 某楼房由相同的若干个房间组成，该楼的三视图如图21-15所示，问：
（1）该楼有几层？从前往后最多要走过几个房间？
（2）最高一层的房间在什么位置？试画出该楼的大致形状．
4. 根据图21-16中一个几何体的三视图，制作一个实物模型．
附：过关检测
（一）选择题．
1. 下列给出的空间几何体中，在任意方向上的视图是全等图形的是（ ）
A. 正方体 B. 圆柱 C. 圆台 D. 球
2. 如图所示为一个简单几何体的三视图，则对应的实物是（ ）
（二）填空题．
3. 在绘制三视图时，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，分界线和可视轮廓线都用 ___________ 画出，不可见轮廓线用 ___________ 画出．
4. 如图，下列三视图表示的几何体是 ___________ ．
（三）解答题．
5. 在下面的两个小题中，图②是根据图①中实物画出的主视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误处并改正，然后分别画出它们的左视图．
点 评
视图是高中数学课程中新增的内容．各种版本的新教材都是在学生初中学习视图的基础上展开的．这篇案例首先通过设置问题，把学生引向要学习的情景，明确本节要解决的主要问题．视图的画法以实例呈现，便于学生理解掌握．例题与练习的设计，有梯度，全面．最后给出了具有一定难度的问题，有利于培养学生的探索与研究能力，数学思维能力．
22 直线方程的概念与直线的斜率
教材分析
这节内容从一个具体的一次函数及其图像入手，引入直线方程和方程的直线的概念．从研究直线方程的需要出发，引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率的概念．然后建立了过两点的直线的斜率公式．直线方程的概念是通过初中学过的一次函数的图像引入的，是将一次函数与其图像的关系转换成直线方程与直线的对应关系．对这种关系的学习，要通过观察图像，研究图像，利用数形结合的思想，归纳和概括出什么是直线的方程和方程的直线，使学生对直线和直线方程的关系有一个初步了解．倾斜角和斜率公式都是反映直线相对于ｘ轴正方向的倾斜程度的，确切地说，倾斜角是直接反映这种倾斜程度的，斜率公式是利用直线上点的坐标来研究直线的倾斜程度的．解析几何是用数来研究形的，在研究直线时，使用斜率公式比使用倾斜角更方便，因此正确理解斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，是学习这节内容的重点，也是学好平面解析几何的关键．
教学目标
1. 通过对本节的学习，了解直线的方程和方程的直线的概念，理解直线的倾斜角和斜率的概念，会准确地表述直线的倾斜角和斜率的意义．
2. 理解并掌握过两点的直线的斜率公式，并能用其解决有关的数学问题．
3. 初步培养学生数形结合的思想，提高学生联系、转化、归纳、概括的思维能力，进一步培养学生的创新意识和分析问题、解决问题的能力．
任务分析
这节内容是在一次函数的基础上，通过研究一次函数和它的图像的关系，而引入的直线和方程的关系．对于直线和方程的关系，学生接受起来可能比较困难，因此在学习时要始终结合具体的直线方程和它的图像来研究，以增强直观性，便于被学生理解．直线的倾斜角和斜率是描述直线倾斜程度的，在学习过程中，一方面要注意有关概念之间的区别，另一方面要突出它们之间的联系，要充分利用图像进行具体分析，让学生注意斜率的变化和倾斜角的关系，特别是当直线的倾斜角为直角时，直线的斜率不存在的情况，进一步强调：有斜率必有倾斜角与之对应；反之，有倾斜角必有斜率与之对应是不够确切的．在这节的学习中，要让学生体会“形”与“数”相互转化的思想，培养学生分析、联想、抽象、概括的能力．
教学设计
一、问题情境
1. 在初中，我们学习过一次函数y＝kx＋b，（k≠0），知道它的图像是一条直线l，那么满足y＝kx＋b的有序实数对（x，y）与直线l上的点的坐标有什么关系？能否把它推广到一般的二元一次方程和直线？
2. 作出函数y＝2x＋1的图像，研究满足y＝2x＋1的有序实数对与y＝2x＋1的图像上点的坐标的关系．
二、建立模型
1. 学生分析讨论，师生共同总结
（1）有序实数对（0，1）满足函数y＝2x＋1，在直线l上就有一点A，它的坐标是（0，1）；又如有序实数对（2，5）满足函数y＝2x＋1，在直线l上就有一点B，它的坐标是（2，5）．
（2）在直线l上取一点P（1，3），则有序实数对（1，3）就满足函数y＝2x＋1；又如在直线l上取一点Q（－1，－1），则有序实数（－1，－1）就满足函数y＝2x＋1．
结论：一般地，满足函数式y＝kx＋b的每一对x，y的值，都是直线l上的点的坐标；反之，直线l上每一点的坐标（x，y）都满足函数式y＝kx＋b，因此，一次函数y＝kx＋b的图像是一条直线，它是以满足y＝kx＋b的每一对x，y的值为坐标的点构成的．
2. 教师明晰
从方程的角度看，函数y＝kx＋b可以看作二元一次方程y－kx－b＝0，这样“满足一次函数y＝kx＋b的每一对（x，y）的值”，就是“二元一次方程y－kx－b＝0的解x，y”；以方程y－kx－b＝0的解为坐标的点就在函数y＝kx＋b的图像上；反过来，函数y＝kx＋b的图像上的任一点的坐标满足方程y－kx－b＝0，这样直线和方程就建立了联系．
一般地，如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫作这条直线的方程；这条直线叫这个方程的直线．由于方程y＝kx＋b的图像是一条直线，因而我们今后就常说直线y＝kx＋b．
练习：已知方程2x＋3y＋6＝0．
（1）把这个方程改写成一次函数．
（2）画出这个方程对应的直线l．
（3）判定点（，1），（－3，0）是否在直线ｌ上．
进一步思考如下问题：
哪些条件可以确定一条直线？在平面直角坐标系中，过点Ｐ的任何一条直线l，对x轴的相应位置有哪些情形？如何刻画它们的相对位置？
3. 通过学生讨论，师生共同总结
直线相对x轴的情形有四种，如图所示：
通过分析四种情形，师生共同得出：直线相对ｘ轴的位置情形，可用直线l和x轴所成的角来描述．我们规定：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫作这条直线的倾斜角，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．
问题：（1）在直角坐标系中，画出过点P（－1，2），倾斜角分别为45°，150°，0°，90°的四条直线．
（2）直线的倾斜角的取值范围是怎样的？
通过讨论师生共同明确：直线的倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．在此范围的直角坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角确定一条直线的方向．倾斜角直观地表示了直线相对x轴正方向的倾斜程度．
从上面的讨论可以看出，直线在坐标系中的倾斜程度可以用倾斜角直观地来表示．我们知道，当一条直线上的两个点确定时，这条直线也就随之确定了，那么现在的问题是：如果已知直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），那么如何用x1，y1，x2，y来量化直线P1P2的倾斜程度呢？
在教师的启发下，引导学生作如下探索：
直线y＝kx＋b被其上的任意两个不同的点唯一确定（如图22-3）．因此，由该直线上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）的坐标可以计算出k的值．
由于x1，y1和x2，y2是直线方程的两组解，所以
y1＝kx1＋b，
y2＝kx2＋b．
两式相减，得y2－y1＝kx2－kx2＝k（x2－x1）．
所以
由直线上两点的坐标求该直线的斜率ｋ与这两点在直线上的顺序无关，可知
如果令Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1，则Δx表示变量x的改变量，Δy表示相应的y的改变量．于是
因此，我们把直线y＝kx＋b中的系数k叫作该直线的斜率．垂直于x轴的直线不存在斜率．
想想看：（1）在函数方程y＝kx中，如果ｘ表示某物体运动的时间（t），y表示在时刻x时运动过的距离（m），那么k表示的意义是什么？k＝60，120，…的具体意义是什么？
（2）如果在函数方程y＝120x中，x表示某商店销售某个商品的数量，y表示销售所得的总收入（元），那么斜率k＝120表示的意义是什么？
进一步引导学生明确下列事实：
除去垂直于x轴的直线外，只要知道直线上两个不同点的坐标，由（*）式就可以算出这条直线的斜率．
方程y＝kx＋b的图像是通过点（0，b）且斜率为k的直线．
对一次函数确定的直线，它的斜率等于相应函数值的改变量与自变量改变量的比值．直观上可使我们感知到斜率k的值决定了这条直线相对于x轴的倾斜程度．
当k＝0时，直线平行于x轴或与x轴重合，直线的倾斜角等于0°．
当k＞0时，直线的倾斜角为锐角；k值增大，直线的倾斜角也随着增大．当k＜0时，直线的倾斜角为钝角；k值增大，直线的倾斜角也随着增大．
垂直于ｘ轴的直线的倾斜角等于90°．
三、解释应用
［例 题］
1. 求经过A（－2，0），B（－5，3）两点的直线的斜率k．
解：x1＝－2，x2＝－5，y1＝0，y2＝3；
Δx＝－2－（－5）＝3，Δy＝0－3＝－3．
故k＝＝－1，即k＝－1．
2. 画出方程3x＋6y－8＝0的图像．
解：由已知方程解出y，得y＝
这是一次函数的表达式，它的图像是一条直线．当x＝0时，y＝；当x＝2时y＝．
在坐标平面内描出点A（0，），B（2，），则经过A，B两点的直线即为所求一次方程的图像（如图22-4）．
3. 若三点A（－2，3），B（3，－2），C（，m）共线，求m的值．解：因为A，B，C三点共线，所以kAC＝kAB，
即，解得m＝.
思考总结：研究三点共线的常用方法．
［练 习］
1. 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．
（1）（1，－1），（－3，2）． （2）（1，－2），（5，－2）．
（3）（3，4），（－2，5）． （4）（3，0），（0，）．
2. 已知过点P（－2，m）和Q（m，4）的直线的斜率等于1，求m的值．
3. 过点P（－1，2）的直线l与x轴和y轴分别交于A，B两点．若点P恰为线段AB的中点，求直线l的斜率．
四、拓展延伸
1. 直线的斜率k与直线的倾斜角α之间的关系怎样？
2. 已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P1P2的斜率为k，求证：｜P1P2｜＝｜x1－x2｜＝｜y1－y2｜．
3. 某城市出租汽车所收租车费y（元）与行驶路程x（km）之间的关系可用下列关系式表示
你能用斜率来解释这一实际问题吗？
点 评
这篇案例首先通过实例一次函数的图像和一次函数的解析式的关系，引入了直线的方程和方程的直线的概念，在概念的建立上充分利用了图像的直观性，注重了数形结合的思想，注意了概念的严谨性．接着由直线相对x轴的位置关系引入了直线的倾斜角和斜率的概念，为了用数研究形，又引入了过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线的斜率公式k＝，通过师生共同探索明确了倾斜角和斜率是表现直线在坐标系中倾斜程度的．例题与练习的设计由浅入深，有利于巩固所学内容．拓展延伸的设计注意了前瞻性和创新，有利于加深理解所学内容和培养学生探究问题的能力．总之，这篇案例的设计比较好地体现了新课程的理念．
23 直线方程的几种形式
教材分析
这节内容介绍了直线方程的几种主要形式：点斜式、两点式和一般式，并简单介绍了斜截式和截距式．直线方程的点斜式是其他直线方程形式的基础，因此它是本节学习的重点．在推导直线方程的点斜式时，要使学生理解：（1）建立点斜式的主要依据是，经过直线上一个定点与这条直线上任意一点的直线是唯一的，其斜率等于k．（2）在得出方程后，要把它变成方程y－y1＝k（x－x1）．因为前者表示的直线缺少一个点P1（x1，y1），而后者才是这条直线的方程．（3）当直线的斜率不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为x＝x1．在学习了点斜式的基础上，进一步介绍直线方程的其他几种形式：斜截式、两点式、截距式和一般式，并探索它们的适用范围和相互联系与区别．通过研究直线方程的几种形式，指出它们都是关于x，y的二元一次方程，然后从两个方面进一步研究直线和二元一次方程的关系，使学生明确一个重要事实：在平面直角坐标系中，任何一条直线的方程，都可以写成关于x，y的一次方程；反过来，任何一个关于x，y的一次方程都表示一条直线，为以后继续学习“曲线和方程”打下基础．因为这部分内容较为抽象，所以它是本节学习的难点．
教学目标
1. 在“直线与方程”和直线的斜率基础上，引导学生探索由一个点和斜率推导出直线方程，初步体会直线方程建立的方法．
2. 理解和掌握直线方程的点斜式，并在此基础上研究直线方程的其他几种形式，掌握它们之间的联系与区别，并能根据条件熟练地求出直线方程．
3. 理解直线和二元一次方程的关系，并能用直线方程解决和研究有关问题．
4. 通过直线方程几种形式的学习，初步体会知识发生、发展和运用的过程，培养学生多向思维的能力．
任务分析
这节内容是在学习了直线方程的概念与直线的斜率基础上，具体地研究直线方程的几种形式，而这几种形式的关键是推导点斜式方程．因此，在推导点斜式方程时，要使学生理解：已知直线的斜率和直线上的一个点，这条直线就确定了，进而直线方程也就确定了．求直线方程就是把直线上任一点用斜率和直线上已知点来表示，这样由两点的斜率公式即可推出直线的点斜式方程．在直线的点斜式方程基础上，由学生推出直线方程的其他几种形式，并使学生明确直线方程各种形式的使用范围，以及它们之间的联系与区别．对于直线和方程的一一对应关系是本节课的难点，在论证直线和方程的关系时，一方面分斜率存在与斜率不存在两类，另一方面又分B≠0与B＝0两类．这种“两分法”的分类，科学严密，可培养学生全面系统和周密地讨论问题的能力．
教学设计
一、问题情境
飞逝的流星形成了一条美丽的弧线，这条弧线可以看作满足某种条件的点的集合．在平面直角坐标系中，直线也可以看作满足某种条件的点的集合．为研究直线问题，须要建立直线的方程．直线可由两点唯一确定，也可由一个点和一个方向来确定．如果已知直线上一个点的坐标和斜率，那么如何建立这条直线的方程呢？
二、建立模型
1. 教师提出一个具体的问题若直线l经过点A（－1，3），斜率为－2，点P在直线l上运动，那么点P的坐标满足什么条件？
设点P的坐标为（x，y），那么当P在直线l上运动时（除点A外），点P与定点A确定的直线就是l，它的斜率恒为－2，所以＝－2，即2x＋y－1＝0．
显然，点A（－1，3）满足此方程，因此，当点P在直线l上运动时，其坐标（x，y）满足方程2x＋y－1＝0．
2. 教师明晰一般地，设直线l经过点P1（x1，y1），且斜率为k，对于直线l上任意一点P（x，y）（不同于点P1），当点P在直线l上运动时，PP1的斜率始终为k，则，即y－y1＝k（x－x1）．
可以验证：直线l上的每个点（包括点P1）的坐标都是这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，这个方程就是过点P1、斜率为k的方程，我们把这个方程叫作直线的点斜式方程．
当直线l与x轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为直线l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x＝x1．
思考：（1）方程与方程y－y1＝k（x－x1）表示同一图形吗？
（2）每一条直线都可用点斜式方程表示吗？
［例 题］
求满足下列条件的直线方程．
（1）直线l1：过点（2，5），k＝－1．
（2）直线l2：过点（0，1），k＝－.
（3）直线l3：过点（2，1）和点（3，4）．
（4）直线l4：过点（2，3）平行于y轴．
（5）直线l5：过点（2，3）平行于x轴．
参：（1）x＋y－7＝0．（2）y＝－x＋1．（3）3x－y－5＝0．（4）x＝2．（5）y＝3．
［练 习］
求下列直线方程．
（1）已知直线l的斜率为k，与y轴的交点P（0，b）．
（如果直线l的方程为y＝kx＋b，则称b是直线l在y轴上的截距，这个方程叫直线的斜截式方程）
（2）已知直线l经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）．
（如果直线l的方程为y－y1＝（x－x1），（x1≠x2），则这个方程叫直线的两点式方程）
（3）已知直线l经过两点A（ａ，0），B（0，b），其中ab≠0．
（如果直线l的方程为，（ab≠0），则a，b分别称为直线l在x轴、y轴上的截距，这个方程叫直线的截距式方程）
进一步思考讨论：前面所学的直线方程的几种形式都是关于x，y的二元一次方程，那么任何一条直线的方程是否为关于x，y的二元一次方程？反过来，关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？
通过学生讨论后，师生共同明晰：
在平面直角坐标系中，每一条直线的方程都是关于x，y的二元一次方程．
事实上，当直线斜率存在时，它的方程可写成y＝kx＋b，它可变形为kx－y＋b＝0，若设A＝k，B＝－1，C＝b，它的方程可化为Ax＋By＋C＝0；当直线斜率不存在时，它的方程可写成x＝x1，即x－x1＝0，设A＝1，B＝0，C＝－x1，它的方程可化为Ax＋By＋C＝0．即任何一条直线的方程都可以表示为Ax＋By＋C＝0；反过来，关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0，（A，B不全为0）的图像是一条直线．
事实上，对于方程Ax＋By＋C＝0，（A，B不全为0），当B≠0时，方程可化为y＝－x－，它表示斜率为－，在y轴上截距为－的直线；当B＝0时，A≠0，方程可化为x＝－，它表示一条与ｙ轴平行或重合的直线．
综上可知：在平面直角坐标系中，直线与关于x，y的二元一次方程是一一对应的．我们把方程Ax＋By＋C＝0，（A，B不全为0）叫作直线的一般式方程．
三、解释应用
［例 题］
1. 已知直线l通过点（－2，5），且斜率为－．
（1）求直线的一般式方程．
（2）求直线在x轴、y轴上的截距．
（3）试画出直线l．解答过程由学生讨论回答，教师适时点拨．
2. 求直线l：2x－3y＋6＝0的斜率及在x轴与y轴上的截距．
解：已知直线方程可化为y＝x＋2，所以直线l的斜率为，在y轴上的截距为2．在方程2x－3y＋6＝0中，令y＝0，得x＝－3，即直线在x轴上的截距为－3．
［练 习］
1. 求满足下列条件的直线方程，并画出图形．
（1）过原点，斜率为－2．
（2）过点（0，3），（2，1）．
（3）过点（－2，1），平行于x轴．
（4）斜率为－1，在y轴上的截距为5．
（5）在x轴、y轴上的截距分别为3，－5．
2. 求过点（3，－4），且在两条坐标轴上的截距相等的直线方程．
3. 设直线l的方程为（m2－2m－3）x＋（2m2＋m－1）y＝2m－6，根据下列条件确定m的值．
（1）直线l在x轴上的截距为－3．
（2）直线l的斜率为1．
（3）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为10．
四、拓展延伸
1. 在直线方程y－1＝k（x－1）中，k取所有实数，可得到无数条直线，这无数条直线具有什么共同特点？
2. 在直线方程Ax＋By＋C＝0中，当A，B，C分别满足什么条件时，直线有如下性质：
（1）过坐标原点． （2）与两坐标轴都相交．
（3）只与x轴相交． （4）只与y轴相交．
（5）与x轴重合． （6）与y轴重合．
3. 直线方程的一般式与几种特殊形式有什么区别与联系？你能说明它们的适用范围以及相互转化的条件吗？
参：
1. 直线过点（1，1），它不包括直线x＝1．
2. （1）C＝0．A，B不全为0； （2）A，B都不为0．
（3）A≠0，B＝0，C≠0． （4）A＝0，B≠0，C≠0．
（5）A＝0，B≠0，C＝0． （6）A≠0，B＝0，C＝0．
3. 略．
点 评
这篇案例在直线与方程和直线的斜率基础上，通过实例探索出过一点且斜率已知的直线的方程，然后按照由特殊到一般的方程建立了直线的点斜式方程，在点斜式方程的基础上由学生自主的探究出直线方程的其他形式，并研究了几种直线方程的联系与区别以及它们的适用范围．在案例的设计上注意了知识的发生、发展和适用的过程．在例题与练习的设计上，注意了层次性和知识的完整性的结合，在培养学生的能力上，注意了数学的本质是数学思维过程的教学，体现了数形结合、化归、转化、抽象、概括以及函数与方程的思想．在培养学生创新意识、探索研究、分析解决问题的能力等方面，做了一些尝试，体现了新课程的教学理念，能够较好地完成本节的教育教学任务．
24 点到直线的距离
教材分析
点到直线的距离是解析几何的重要内容之一，它的应用十分广泛．点到直线的距离是指由点向直线引垂线的垂线段的长．我们知道，求点到点的距离，有“工具”———两点间的距离公式可用，同样有必要创造出一套“工具”来方便地解决点到直线的距离问题，也就是说：已知点P（x1，y1）和直线l：Ax＋By＋C＝0，（A，B不全为0），目标是设法用已知的量x1，y1，A，B，C把点P到l的距离表示出来，当作公式用．教材上公式的推导运用了两点间的距离公式，具体做法是作直线m过点P与l垂直，设垂足为Po（xo，yo），Po满足直线m的方程，也满足直线l的方程，将Po的坐标分别代入直线m和直线l的方程，通过恒等变形利用两点间的距离公式，推出点到直线的距离公式．这种方法思路清晰，学生易于接受，但恒等变形较抽象，学生难于掌握，故教学中应注意启发学生怎样想到这样变形．这样既可以活跃学生的思维，又可以锻炼其发现问题、研究问题、解决问题的能力．公式的推导方法还有很多，对学有余力的同学可加以启发，展开讨论，以培养其数学思维能力．
这节课的重点是理解和掌握点到直线的距离公式，并能熟练地应用公式求点到直线的距离，难点是点到直线的距离公式的推导．
教学目标
1. 通过探索点到直线距离公式的思维过程，培养学生探索与研究问题能力．
2. 理解和掌握点到直线的距离公式，体会知识发生、发展、运用的过程，数形结合、化归和转化的数学思维，培养学生科学的思维方法和发现问题、解决问题的能力．
任务分析
这节课是在学习了“两点间的距离公式”、“两条直线的位置关系”的基础上引入的，通过复习两直线垂直、两直线相交及两点间的距离公式，学生容易想到把点到直线的距离问题转化为两点间的距离问题．为了利用两点间的距离公式，须要求垂足的坐标．若利用垂线与已知直线相交解出垂足的坐标，想法自然，但求解较繁，为了简化解题过程，自然要想其他方法，教材采用了设而不求，整体代换来解决问题，简单明了，但恒等变形较难，因此，通过分析两点间的距离公式与点到直线距离的联系和区别，找到恒等变形的思路是解决问题的关键．本课通过观察、分析掌握两点间距离公式的特点，总结应用两点间距离公式的步骤；通过例题和练习使学生掌握并能应用两点间距离公式解决有关问题；通过探索和研究有关问题培养学生的数学思维能力．
教学设计
一、问题情境
1. 某供电局计划年底解决本地区一个村庄的用电问题，经过测量，若按部门内部设计好的坐标图（以供电局为原点，正东方向为x轴的正半轴，正北方向为ｙ轴的正半轴，长度单位为km），则这个村庄的坐标是（15，20），它附近只有一条线路通过，其方程为3x－4y－10＝0．问：要完成任务，至少需要多长的电线？
这实际上是一个求点到直线的距离问题，那么什么是点到直线的距离，如何求村庄到线路的距离呢？
2. 在学生思考讨论的基础上，教师收集学生各种的求法，得常见求法如下：
（1）设过点P（15，20）与l：3x－4y－10＝0垂直的直线为m，易求m的方程为4x＋3y－120＝0．由
解得即m与l的交点
由两点间的距离公式，得
故要完成任务，至少需要9km长的电线．
（2）设直线l：3x－4y－10＝0与x轴的交点为Q，则Q（，0）．在直线l上任取一点M（0，－），易让向量＝（，）与向量n＝（3，－4）垂直．
设向量与向量n的夹角为θ，点P到直线l的距离为d，由向量的数量积的定义易知
（3）设过点P（15，20）与l：3x－4y－10＝0垂直的直线为ｍ，易求ｍ的方程为4（x－15）＋3（y－20）＝0．
设垂足为Po（xo，yo），则4（xo－15）＋3（yo－20）＝0， ①
又因为点Po在l上，所以3xo－4yo－10＝0，即3xo－4yo＝10，
而3×15－4×20－10＝3×15－4×20－3xo＋4yo＝－3（xo－15）＋4（yo－20），
即3（xo－15）－4（yo－20）＝45． ②
把等式①和等式②两边相加，得
25［（xo－15）2＋（yo－20）2］＝452，
∴（xo－15）2＋（yo－20）2＝，
3. 教师展现学生们的求法，师生共同点评各种求法，得出：求垂线与直线的交点坐标，再用两点间的距离公式使问题得解，想法虽自然，但计算量较大；不求垂足的坐标，设出垂足的坐标代入直线方程，进而通过等式变形，利用两点间的距离公式求得结果，想法既巧妙，又简单明了．
二、建立模型
设坐标平面上（如图24-1），有点P（x1，y1）和直线l：Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）．
我们来寻求点到直线l距离的算法．
作直线m通过点P（x1，y1），并且与直线l垂直，设垂足为P0（x0，y0）．容易求得直线m的方程为
B（x－x1）－A（y－y1）＝0．
由此得B（x0－x1）－A（y0－y1）＝0．①
由点P0在直线l上，可知Ax0＋By0＋C＝0，
即C＝－Ax0－By0．
所以Ax1＋By1＋C＝Ax1＋By1－Ax0－By0，
即A（x1－x0）＋B（y1－y0）＝Ax1＋By1＋C．②
把等式①和②两边平方后相加，整理可得
（A2＋B2）［（x1－x0）2＋（y1－y0）2］＝（Ax1＋By1＋C）2，
即（x1－x0）2＋（y1－y0）2＝
容易看出，等式左边即为点P（x1，y1）到直线l距离的平方．由此我们可以得到点P（x1，y1）到直线l的距离d的计算公式：
归纳求点P（x1，y1）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离的计算步骤如下：
（1）给出点的坐标x1和y1赋值．
（2）给A，B，C赋值．
（3）计算
注意：（1）在求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式．
（2）当直线与x轴或y轴平行时，公式也成立，但此时求距离一般不用公式．
三、解释应用
［例 题］
1. 求点P（－1，2）到下列直线的距离：
l1：2x＋y＝5， l2：3x＝2．
注意：规范解题格式．
2. 求两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝０，（C1≠C2）之间的距离．
分析：求两条平行线间的距离，就是在其中一条直线上任取一点，求该点到另一条直线的距离．
解：在l1上任取一点P（x1，y1），则Ax1＋By＝－C1，点P到l2的距离d＝
3. 建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
解：以等腰三角形底边所在的直线为x轴，底边上的高所在的直线为ｙ轴，建立直角坐标系（如图24-2）．
不妨设底边｜AB｜＝2a，高｜OC｜＝b，则直线AC：
即bx－ay＋ab＝0；
直线BC：，即bx＋ay－ab＝0，
∴点B（a，0）．
在线段AB上任取一点D（m，0），
则－a≤m≤a．
∴d1＋d2＝，即等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
［练 习］
1. 求下列点到直线的距离．
（1）0（0，0），l1：3x＋4y－5＝0．
（2）A（1，0），l2：x＋y－＝0．
（3）B（1，2），l3：3x＋y＝0．
（4）C（－2，3），l4：y－7＝0．
2. 求两条平行直线2x＋3y－8＝0和2x＋3y＋18＝0之间的距离．
3. （1）求过点A（－1，2），且与原点的距离为的直线方程．
（2）若点P（x，y）在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求OP的最小值．
（3）若△ABC的三顶点分别为A（7，8），B（0，4），C（2，－4），求△ABC的面积．
（4）求点P（0，1）关于直线x－2y＋1＝0的对称点的坐标．
（5）求直线2x＋11y＋16＝0关于点P（0，1）对称的直线方程．
四、拓展延伸
1. 点到直线的距离公式应用非常广泛，你能举例说明它在解决实际问题中的应用吗？
2. 点到直线的距离公式的推导方法有很多，对学有余力的同学可探索其他推导方法，下面介绍两种常见的推导方法．
（1）如图，已知点P0（x0，y0），直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P0到直线l的距离．
不妨设A≠0，B≠0，这时l和x轴、y轴都相交．过点P0作直线l的垂线，交l于Q．令｜P0Q｜＝d，过P0作x轴的平行线交l于R（x1，y0），作y轴的平行线交l于S（x0，y2）．
由Ax1＋By0＋C＝0，Ax0＋By2＋C＝0得
易证A＝0或B＝0，公式也成立．
（2）点到直线的距离公式也可用向量的知识求得，此法更能体现出代数与几何的联系，比其他方法更简单，直观，易懂．求法如下：
①如图24-4，证明向量n＝（A，B）与直线l垂直．
不妨设A≠0，直线l与x轴的交点是Q（－，0）．
如果P1（x1，y1）是直线l上不同于Q的点，则Ax1＋By1＋C＝0．
∴A（x1＋）＋B（y1－0）＝0，
即（A，B）·（x1＋，y1－0）＝0，
∴向量n＝（A，B），与向量＝（x1＋，y1－0）垂直，即向量n与直线l垂直．
②求点P0到直线l的距离d．
由数量积的定义，如果向量与向量n的夹角为θ，那么
易证当A＝0或B＝0时，公式也成立．
点 评
这节课首先通过实例阐述了点到直线距离的产生背景，并通过学生思考讨论，归纳和概括出了求点到直线的距离的常用方法，然后按照由特殊到一般的思路，找出了推导点到直线距离公式的方法．这种安排充分体现了新课程标准的教学理念，符合新课程标准精神．例题与练习的设计由浅入深，完整，全面．解释应用深有新意，有深度．拓展延伸活跃了学生思维，培养了学生发现问题、研究问题、解决问题的能力．总之，这篇案例较好地体现了高中数学教育发展的一丝新理念．
25 圆的方程
教材分析
圆是学生比较熟悉的曲线，在初中几何课中就已学过圆的定义及性质．这节主要是用坐标的方法画圆———建立圆的方程．首先是根据圆的定义，建立圆的标准方程，进而研究圆的一般方程，并在此基础上，运用坐标法，探讨直线与圆、圆与圆的位置关系．由于圆是一种对称、和谐的图形，有很多优美的几何性质，因此，在运用坐标法解决问题的同时，充分利用了圆的几何性质．这节课的重点是圆的两种方程的求法及互化，直线与圆位置关系、数量关系的判定与求解．难点是对待定系数法、数形结合等方法的理解及灵活应用．
教学目标
1. 理解和掌握圆的标准方程和一般方程，并会熟练地进行方程的互化，能根据条件灵活选用适当的方法建立圆的方程．
2. 在直线的方程、圆的方程的基础上，用代数、几何两种方法研究直线与圆的位置关系．
3. 初步学会用待定系数法、数形结合法解决与圆有关的一些简单问题．
4. 能应用圆的方程解决一些简单的实际问题，培养学生应用数学分析、解决实际问题的能力．
任务分析
圆是学生比较熟悉的一种曲线，建立圆的方程也比较容易．学习时，应根据问题条件，灵活适当地选取方程形式，否则，可能导致解题过程过于烦锁．在解决直线与圆、圆与圆位置关系问题时，要尽可能挖掘、应用关于圆的隐含条件，要注意数形结合、待定系数法的应用．
教学设计
一、问题情境
圆是最完美的曲线，它是平面内到一定点的距离等于定长的点的集合．定点是圆心，定长是半径．在平面直角坐标系中，怎样用坐标的方法刻画圆呢？
［问 题］
河北省赵县的赵州桥，是世界著名的古代石拱桥，也是造成后一直使用到现在的最古老的石桥．赵州桥的跨度是37.02m，圆拱高约为7.2m．建立适当的平面直角坐标系，写出这个圆拱所在的圆的方程．
解析：要求圆的方程，只要确定圆心的位置和半径的大小．
第一步：以圆拱对的弦所在的直线为ｘ轴、弦的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．根据平面几何知识可知，圆拱所在圆的圆心O必在y轴上，故可设O1（0，b）．
第二步：设圆拱所在圆的半径为r，则圆上任意一点P（x，y）应满足O1P＝r，即
①
因此，只须确定b和r的值，就能写出圆的方程．
第三步：将点B（18.51，0），C（0，7.2）分别代入①，
得
解得
故赵州桥圆拱所在的圆的方程为x2＋（y＋20.19）2＝750.21．
二、建立模型
（1）一般地，设点P（x，y）是以C（a，b）为圆心、r为半径的圆上的任意一点，则CP＝r．
由两点间的距离公式，得， ①
即（x－a）2＋（y－b）2＝r2．
反过来，若点P1的坐标（x1，y1）是方程①的解，
则（x1－a）2＋（y1－b）2＝r2，即
这说明点P1（x1，y1）在以C（a，b）为圆心、r为半径的圆上．
结论：方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2叫作以（a，b）为圆心、r为半径的圆的标准方程．
特别地，当圆心为原点O（0，0）时，圆的方程为x2＋y2＝r2．
三、解释应用（1）
［例 题］
1. 已知两点M（4，9），N（2，6），求以MN为直径的圆的方程．
分析：先利用两点间距离公式求出半径r，然后分别将两点的坐标代入圆的标准方程，解方程组求出a，b．
2. 已知动点M（x，y）与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为1∶2，那么点M的坐标应满足什么关系？请你根据这个关系，猜想动点M的轨迹方程．
解：根据题意，得
即x2－2x＋y2－3＝0， ①
变形，得（x－1）2＋y2＝4． ②
由方程①通过配方化为②，可知动点M的轨迹是以（1，0）为圆心、2为半径的圆．
思考：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否都表示圆呢？
［练 习］
写出满足下列条件的圆的方程．
（1）圆心在原点，半径为５．
（2）圆心在C（6，－2），经过点P（5，1）．
思考：点P（x0，y0）与（x－a）2＋（y－b）2＝r2位置关系的判断方法是什么？
四、建立模型（2）
将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方，得，与圆的标准方程比较，可知
（1）当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以（－，－）为圆心、以为半径的圆．
（2）当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0只有一个解，表示一个点（－，－）.
（3）当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0无实数解，不表示任何图形．
结论：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，（D2＋E2－4F＞0）叫作圆的一般方程．
思考：（1）圆的标准方程与一般方程的特点．
圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心及半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：x2，y2的系数相同且不等于0，没有xy这样的项，是特殊的二元一次方程．
（2）探讨一般的二元一次方程：Ax2＋Cy2＋Bxy＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件．
Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件为A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4F＞0．
五、解释应用（2）
［例 题］
1. 求过三点O（0，0），M1（1，1），M2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．
分析：确定圆的一般方程，只要确定方程中三个常数D，E，F，为此，用待定系数法．
解：设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
因为O，M1，M2在圆上，所以它们的坐标是方程的解．把它们的坐标依次代入上面的方程，得
于是，得到所求圆的方程：x2＋y2－8x＋6y＝0．
由前面的讨论可知，所求的圆的半径，圆心坐标是（4，－3）．
思考：本题能否利用圆的标准方程求解？有无其他方法？
2. 已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶．问：一辆宽为2.7m、高为3m的货运车能不能驶入这个隧道？
解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系如图25.2，那么半圆的方程为x2＋y2＝16，（y≥0）．
将x＝2.7代入，得
即离中心线2.7m处，隧道的高度低于货车的高度．
因此，货车不能驶入这个隧道．
思考：假设货车的最大宽度为am，那么货车要驶入该隧道，限高至少为多少米？
［练 习］
1. 求经过三点A（－1，5），B（5，5），C（6，2）的圆的方程．
2. 求过两点A（3，1），B（－1，3）且圆心在直线3x－y－2＝0上的圆的方程．
六、拓展延伸
1. 自点A（－1，4）作圆（x－2）2＋（y－3）2＝1的切线，求切线l的方程．
思考：（1）当点Ａ的坐标为（2，2）或（1，1）时，讨论该切线l与圆的位置关系分别有什么变化？
（2）如何判定直线与圆的位置关系的判定方法．
直线与圆的位置关系的判定常用两种方法：
几何法和代数法．若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆C的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2．
①几何法
设圆心（a，b）到直线l的距离为d，则
d＞ｒl与c相离；
d＝rl与c相切；
d＜rl与c相交．
②代数法
Δ＞0方程有两个不同解方程组有两个不同解l与C有两个不同交点相交；Δ＝0相切；Δ＜０相离．
2. 若圆x2＋y2＝m与圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，求ｍ的取值范围．
思考：如何判定圆与圆的位置关系．
圆与圆的位置关系的判定主要就是几何法．
已知
，则
d＞r1＋r2C1与C2外离；
d＝r1＋r2C1与C2相外切；
d＝｜r1－r2｜C1与C2相内切；
｜r1－r2｜＜d＜r1＋r2C1与C2相交；
d＜｜r1－r2｜C1与C2内含．
3. 画出方程：｜x｜－1＝表示的曲线．
4. 已知圆C：x2＋y2＝r2，直线l：ax＋by＝r2．当点P（a，b）在圆C上、圆C内和圆C外时，分别研究直线l与C具有怎样的位置关系．
5. 已知：足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y＝0的距离为．求该圆的方程．
点 评
这节课重点研究了圆方程的两种表示形式，突出了利用待定系数法、几何法来确定圆的方程，及利用圆的方程解决简单的实际问题，对圆与直线、圆与圆位置关系稍作涉列．由于初中几何中研究这些知识较多，所以对这些内容的探究放手于学生，对学生能力的培养与锻炼大有好处．此外，例题和练习的选取配置较好，突出了与实际问题的联系，易激发学生的学习兴趣．这篇案例在继承中国传统的“双基”同时，着眼于在体现课程新理念上（尤其是体现新的探究、自主学习理念）有所突破．
26 空间直角坐标系
教材分析
这节课是在学生已经学过的二维的平面直角坐标系的基础上的推广，是以后学习“空间向量”等内容的基础．通过建立空间直角坐标系，可以将空间内任一点用有序数组来表示；反过来，任一有序数组就对应一个点，这样空间直角坐标系中的点就有了坐标表示．在空间中引入坐标的目的和物理学中引入单位制一样，是提供一个度量几何对象的方法．因此，研究空间图形就可以代数化，实现了形向数的转化，将数与形紧密地结合起来．这节课学完后，如把几何体放入空间直角坐标系中来研究，几何体上的点就有了坐标表示，一些题目如两点间距离、异面直线成的角、二面角的平面角等就可借助于空间向量来解答，所以，这节课对于沟通高中各部分知识，完善学生的认知结构，起到了很重要的作用．
教学目标
1. 让学生经历用类比的数学思想方法探索空间直角坐标系的建立方法，进一步体会数学概念、方法产生和发展的过程，学会科学的思维方法．
2. 理解空间直角坐标系与点的坐标的意义，掌握由空间直角坐标系内的点确定其坐标或由坐标确定其在空间直角坐标系内的点，认识空间直角坐标系中的点与坐标的关系．
3. 进一步培养学生的空间想象能力与确定性思维能力．
任务分析
点在三维空间内位置的确定是一个比较抽象的过程，学生在这个方面还没有形成清晰的认识，教学时应充分类比以往点在直线、点在平面内位置的确定方式．通过实例，激发学生的学习兴趣与探索欲望，充分发挥学生的主体作用，引导学生顺理成章地得出通过建立空间直角坐标系利用点的坐标来确定点在空间内的位置．要特别强调点与坐标的一一对应关系，来强化对点的坐标的理解．围绕在空间直角坐标系中点的坐标的确定这一教学重点，通过巩固与练习反复强化如何在坐标系中利用点的坐标的概念来确定点的坐标这一过程，以巩固学生对新知识的理解，实现从感性认识到理性认识的飞跃．
教学设计
一、问题情景
1. 确定一个点在一条直线上的位置的方法．
2. 确定一个点在一个平面内的位置的方法．
例：如图26-1，要在一块长10cm、宽5cm的铁板上钻一个孔．若孔中心到铁板左边为2cm，到下边为4cm（铁板摆放位置已定），问孔中心的位置是否确定．
3. 如何确定一个点在三维空间内的位置？
例：如图26-2，在房间（立体空间）内如何确定电灯位置？
在学生思考讨论的基础上，教师明确：确定点在直线上，通过数轴需要一个数；确定点在平面内，通过平面直角坐标系需要两个数．那么，要确定点在空间内，应该需要几个数呢？通过类比联想，容易知道需要三个数．要确定电灯的位置，知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可．
（此时学生只是意识到需要三个数，还不能从坐标的角度去思考，因此，教师在这儿要重点引导）
教师明晰：在地面上建立直角坐标系xOy，则地面上任一点的位置只须利用x，y就可确定．为了确定不在地面内的电灯的位置，须要用第三个数表示物体离地面的高度，即需第三个坐标z．因此，只要知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可．例如，若这个电灯在平面xOy上的射影的两个坐标分别为4和5，到地面的距离为3，则可以用有序数组（4，5，3）确定这个电灯的位置（如图26-3）．
这样，仿照初中平面直角坐标系，就建立了空间直角坐标系O—xyz，从而确定了空间点的位置．
二、建立模型
1. 在前面研究的基础上，先由学生对空间直角坐标系予以抽象概括，然后由教师给出准确的定义．
从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O—xyz，点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xO平面，yO平面，zOx平面．
教师进一步明确：
（1）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向则称这个坐标系为右手坐标系，课本中建立的坐标系都是右手坐标系．
（2）将空间直角坐标系O—xyz画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴成135°，而y轴垂直于z轴，y轴和z轴的单位长度相等，但x轴上的单位长度等于y轴和z轴上的单位长度的，这样，三条轴上的单位长度直观上大致相等．
2. 空间直角坐标系O—xyz中点的坐标．
思考：在空间直角坐标系中，空间任意一点Ａ与有序数组（x，y，z）有什么样的对应关系？
在学生充分讨论思考之后，教师明确：
（1）过点A作三个平面分别垂直于x轴，y轴，z轴，它们与x轴、y轴、z轴分别交于点P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，这样，对空间任意点A，就定义了一个有序数组（x，y，z）．
（2）反之，对任意一个有序数组（x，y，z），按照刚才作图的相反顺序，在坐标轴上分别作出点P，Q，R，使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x，y，z，再分别过这些点作垂直于各自所在的坐标轴的平面，这三个平面的交点就是所求的点A．
这样，在空间直角坐标系中，空间任意一点A与有序数组（x，y，z）之间就建立了一种一一对应关系：A（x，y，z）．
教师进一步指出：空间直角坐标系O—xyz中任意点A的坐标的概念
对于空间任意点A，作点A在三条坐标轴上的射影，即经过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴、z轴分别交于点P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序数组（x，y，z）叫作点A的坐标，记为A（x，y，z）．（如图26-4）
三、解释应用
［例 题］
1. 在空间直角坐标系O—xyz中，作出点P（5，4，6）．
注意：在分析中紧扣坐标定义，强调三个步骤，第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位，第二步沿与ｙ轴平行的方向向右移动4个单位，第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位（如图26-5）．
2. （1）在空间直角坐标系中，坐标平面xOy，xOz，yOz上点的坐标有什么特点？
（2）在空间直角坐标系中，x轴、y轴、z轴上点的坐标有什么特点？
解：（1）xOy平面、xOz平面、yOz平面内的点的坐标分别形如（x，y，0），（x，0，z），（0，y，z）．
（2）x轴、y轴、z轴上点的坐标分别形如（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z）．
3. 已知长方体ABCD－A′B′C′D′的边长AB＝12，AD＝8，AA′＝5，以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求这个长方体各个顶点的坐标．
注意：此题可以由学生口答，教师点评．
解：A（0，0，0），B（12，0，0），D（0，8，0），A′（0，0，5），C（12，8，0），B′（12，0，5），D′（0，8，5），C′（12，8，5）．
讨论：若以C点为原点，以射线CB，CD，CC′方向分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么各顶点的坐标又是怎样的呢？
得出结论：建立不同的坐标系，所得的同一点的坐标也不同．
［练 习］
1. 在空间直角坐标系中，画出下列各点：A（0，0，3），B（1，2，3），C（2，0，4），D（－1，2，－2）．
2. 已知：长方体ABCD－A′B′C′D′的边长AB＝12，AD＝8，AA′＝7，以这个长方体的顶点B为坐标原点，射线AB，BC，BB′分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求这个长方体各个顶点的坐标．
3. 写出坐标平面yOz上∠yOz平分线上的点的坐标满足的条件．
四、拓展延伸
1. 分别写出点（1，1，1）关于各坐标轴和各个坐标平面对称的点的坐标．
2. 设ｚ为任意实数，相应的所有点P（1，2，z）的集合是什么图形？
3. 试将平面直角坐标系中的两点间距离公式类比到空间直角坐标系中去．
点 评
这篇案例主要采用启发式教学方法，通过激发学生学习的求知欲望，使学生主动参与教学实践活动．首先，为了使学生比较顺利地实现从线到平面、再从平面到空间的变化，即从一维到二维、再从二维到三维向量的变化，采用了类比的数学教学手段，顺利地引导学生实现了这一变化，同时引起了学生的兴趣．
在整个教学过程中，内容由浅入深，环环相扣，不仅使学生在学习过程中了解了知识的发生、发展的过程，也使学生尝到了成功的喜悦．这对增强学生的学习信心，起到了很好的作用．在研究过程中，充分运用了类比、交换、数形结合等数学思想方法，有效地培养了学生的思想品质．在求空间直角坐标系中点的坐标时，学生不仅会很自然地运用类比的思想方法，也锻炼了他们的空间思维能力．
就整体而言，空间直角坐标系是空间向量的根基，这种课属于典型的起始课教学．这篇案例在体现坐标思想、概念教学等方面做了成功的探究．
27 随机抽样
教材分析
这节课是学生在初中已学过一些统计知识、了解统计的基本思想方法的基础上，进一步研究怎样通过样本去统计总体的相应情况，即怎样从总体中抽取样本才能更充分地反映总体的情况．教材首先通过学生熟悉的问题情境给出抽样方法，然后对三种抽样方法进行比较，归纳出三种抽样的特点、联系及适用范围，使学生对三种抽样有一个较完整的认识．
教学目标
1. 了解统计的基本思想，会用简单随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本．
2. 通过抽样方法的学习，培养学生运用统计方法解决问题的能力．
任务分析
这节课的重点是三种抽样方法，难点是三种抽样方法的特点，以及用三种抽样方法解决实际问题．
教学设计
一、问题情境
1. 从含有120个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，应怎样抽取？每个个体被抽取的概率是多少？
2. 为了了解参加某种知识竞赛的1000名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为50的样本，应怎样抽取？每个个体被抽取的概率是多少？
3. 一个单位的职工有500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人．为了解这个单位职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本，应怎样抽取？每个个体被抽取的概率是多少？
二、分组讨论
针对上述问题讨论：
1. 在上述三个问题中，总体的个数及组成上有何区别？
2. 如何抽样．
3. 每个个体在抽样过程中被抽取的概率是多少？
学生分组讨论后，教师明晰：
（1）上述三个问题在总体的个数上有明显不同，问题1中总体个数较少，问题2和3中总体个数较多；从组成上问题l，2与3有明显不同，问题3中总体由差异明显的三部分组成．
（2）问题1可用生活中常用的抽签法，而问题2和3个体的个数较多，并且问题3中的各个体间又存在明显差异，故用抽签法不方便．
（3）每个个体被抽取的概率均等．
三、建立模型
由问题1，2和3及讨论结果，归纳概括出三种抽样的概念．
1. 简单随机抽样
（1）定 义
一般地，设一个总体的个体数为Ｎ，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，并且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样．
（2）抽样方法
①抽签法
对总体中的所有个体（共N个）编号，号码从1到N，并把号码写在形状、大小相同的签上．抽签时，每次从中抽出1个签，连续抽n次，就可得到一个容量为n的样本．
②随机数表法
第一步：编号．
第二步：在随机数表中任选一个数作为起始数．
第三步：从选定的数开始向任一方向读下去，到ｎ个号码读完为止．
教师明晰：
第一，当总体中的个体数不多时，适宜抽签法．
第二，从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本，每个个体被抽到的概率都等于．
3. 系统抽样
（1）定 义
当总体中的个体数较多时，采用简单随机抽样，就显得烦锁．这时，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分中抽取一个个体，得到需要的样本，这种抽样叫作系统抽样．
（2）系统抽样的步骤
第一步：采用随机的方式将总体中的个体编号．为简便起见，有时可直接利用个体带有的号码编号，如考生的准考证号、街道上各户的门牌号等．
第二步：为将整个的编号进行分段（即分成几个部分），要确定分段的间隔k．当（N为总体中的个体数，n为样本容量）是整数时，k＝；当Ｎn不是整数时，通过从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体个数N′能被n整除，这时．
第三步：在第1段用简单随机抽样确定起始的个体编号l．
第四步：按照事先确定的规则抽取样本（通常是将l加上间隔k，得到第2个编号l＋k，再将（l＋k）加上k，得到第3个编号l＋2k，这样继续下去，直到获取整个样本）．
教师明晰：
第一，编号的方式可酌情决定，如100个个体可以编号为1～100，也可以编号为（1，1），（1，2），…，（10，10）等．
第二，系统抽样与简单随机抽样的联系在于：将总体均分后的每一部分进行抽样时，采用简单随机抽样．
4. 分层抽样
（1）定 义
当总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫作分层抽样，其中所分成的各部分叫作层．
教师明晰：
第一，由于各部分抽取的个体数与这一部分个体数的比等于样本容量与总体的个体数的比，故分层抽样时，每一个个体被抽到的概率都是相等的．
第二，由于分层抽样充分利用了我们掌握的信息，使样本具有较好的代表性，而且在各层抽样时，可以根据具体情况采取不同的抽样方法，所以分层抽样在实践中有着非常广泛的应用．
5. 三种抽样方法的比较
教师引导学生分组讨论，归纳，并填写下表：
表26-1
| 类 别 | 共同点 | 各自特点 | 相互联系 | 适用范围 |
| 简单随机抽样 | 抽样过程中每个个体被抽取的概率相等 | 从总体中逐个抽取 | 总体中的个体数较少 | |
| 系统抽样 | 将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取 | 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 | 总体中的个体数较多 | |
| 分层抽样 | 将总体分成几层，分层进行抽取 | 各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 | 总体由差异明显的几部分组成 |
1. 将全班女学生（或男学生）按座位编号，制作相应的卡片签，放入同一个箱子里均匀搅拌，从中抽出8个签，就相应的8名学生对看足球比赛的喜爱程度（很喜爱、喜爱、一般、不喜爱、很不喜爱）进行调查，还可对其他感兴趣的问题进行调查．
2. （1）在上面用随机数表抽取样本的例子中，再按照下面的规则来抽取容量为10的样本：从表中的某一个两位数字号码开始依次向下读数，到头后再转向它左面的两位数字号码，并向上读数，以此下去，直到取足样本．
（2）自己设计一个抽样规则，抽取上面要求的样本．
3. 一个礼堂有30排座位，每排有40个座位．一次报告会，礼堂内坐满了听众．会后，为听取意见，留下了座位号为14的所有30名听众进行座谈．这里运用了哪种抽取样本的方法？
4. 10000个有机会中奖的号码（编号为0000～9999）中，有关部门按照随机抽取的方式确定，后两位数字是37的号码为中奖号码．这是运用哪种抽样方法来确定中奖号码的？试依次写出这100个中奖号码．
5. 一个田径队中有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从全队的运动员中抽出一个容量为28的样本．
6. 某市的3个区共有高中学生20000人，且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5．现要用分层抽样的方法从所有学生中抽取一个容量为200的样本，那么分别应从这3个区中抽取多少人？
四、拓展延伸
1. 运用本节知识在本校范围内就学生的某一指标进行抽样调查，并写出实习报告．
2. 利用系统抽样从总体数为3782的总体中抽取样本容量为15的样本时，每个个体被抽取的概率是多少？
分析：找间隔，此时k不为整数，须从总体中剔除2个个体，每个个体被剔除的概率为，被保留的概率为，所以每个个体被抽取的概率为
点 评
这篇案例主要研究了抽样的思想方法，属于概念课．案例首先从学生日常熟悉的问题情境入手，然后展开讨论，并让学生大胆设想抽样方法．虽然他们的方法并不完善，但可以充分使学生参与知识的形成，并形成合作学习的意识，最后的“拓展延伸”是本节内容的应用和深化．该案例充分体现了从具体到抽象又从抽象到具体的模式，符合学生的认知规律．
28 频率与概率
教材分析
频率与概率是两个不同的概念，但是二者又有密切的联系．如何从二者的异同点中抽象出概率的定义是本案例的主要内容．本节课蕴涵了具体与抽象之间的辩证关系．讲授过程中对教材处理稍有不当，可能直接影响学生对本节重点（即概念的理解）的掌握程度．因此，如何设计合适的实例，怎样引导学生理解和总结是处理好本节的关键，也是处理好本节教材的难点．
教学目标
通过本节课教学，使学生能理清频率和概率的关系，并能正确理解概率的意义，增强学生的对立与统一的辩证思想意识．
任务分析
由于频率在大量重复试验的前提下可以近似地叫作这个事件的概率，因此本节课应从具有大量重复试验的实例入手．为加深学生的理解程度，可采用学生亲自参与到试验中去，从操作中去体会，去总结．概率可看作频率理论上的期望值，从数量上反映了随机事件发生的可能性大小．因此，为巩固学生总结出的知识，最后还要回归到实例中去，让学生去运用，以符合认知过程．
教学设计
一、问题情境
在日常生活中，我们经常遇到某某事件发生的概率是多少，如2004年2月5日《文汇报》登载的两则消息．
本报讯 记者梁红英报道：2月3日晚6点19分，一彩民购买的“江浙沪大乐透”彩票，同时投中10注一等奖，独揽48571620元巨额奖金，创下中国彩票史上个人一次性奖额之最．
……据有关人士介绍，该彩民当时花了200元买下100注“江浙沪大乐透”彩票，分成10组，每组10注，每组的自选号码相同．结果，其中1组所选号码与前晚“江浙沪大乐透”2004015期开奖号码完全一致．
本报讯 记者江世亮报道：……对这种似乎不可能发生事件的发生，从数学概率论上将作何解释？为此，记者于昨日午夜电话连线采访了本市一位数学建模专家，他说，以他现在不完全掌握的情况来分析，像这名幸运者同时获得10个大奖的概率，可称得上一次万亿分之一的事件，通俗地讲就是接近于零．
对文中的“万亿分之一”我们怎样理解呢？再如：天气预报说“明天降雨的概率是80%，我们明天出门要不要带伞？收音机里广播报道2004年冬某地“流行性感冒的发病率为10%”，我们这里要不要采取预防措施？……对这些在传播媒体上出现的数字80%，10%等，我们该作何理解呢？
二、建立模型
为了解决诸如以上的实际问题，我们不妨先从熟悉的频率的概念入手．首先，将全班同学平均分成三组，第一组做掷硬币试验，次数越多越好，观察掷出正面向上的次数，然后把试验结果和计算结果分别填入下表．
表28-1
| 小组编号 | 抛掷次数（n） | 正面向上的次数（m） | 正面向上的频率（ ） |
第三组做摸围棋子试验．预先准备黑、白围棋子若干，然后给该组学生黑子30粒，白子10粒，让该组学生有放回地摸，次数为100次，每次摸出1粒，并记录下每次摸到的棋子的颜色，求出白子出现的频率．
试验结束，让各组学生回答试验结果．第一组正面向上的频率必然接近，第二组结果肯定是每个号出现的频率接近，而第三组结果肯定位于附近．各组学生所得结果可能大于预定数，也可能小于预定数，但都比较接近．
让学生讨论：出现与上述结果比较接近的数字受何因素影响？
（学生思考，讨论，教师投影以下表格）
历史上有些学者还做了成千上万次掷硬币的试验，结果如下表所示：
表28-2
| 试验者 | 抛掷次数（n） | 正面向上的次数（m） | 正面向上的频率（ ） |
| 棣莫佛 | 2048 | 1061 | 0.5181 |
| 蒲 丰 | 4040 | 2048 | 0.5069 |
| 费 勒 | 10000 | 4979 | 0.4979 |
| 皮尔逊 | 12000 | 6019 | 0.5016 |
| 皮尔逊 | 24000 | 12012 | 0.5005 |
在多次重复试验中，同一事件发生的频率在某一个数值附近摆动，而且随着试验次数的增加，一般摆动幅度的越小，而且观察到的大偏差也越少，频率呈现一定的稳定性．
通过三组试验，我们可以发现：虽然，，三个数值不等，但是三个试验存在共性，即随机事件的频率随试验次数的增加稳定在某一数值附近．同时还可看出，不同的随机事件对应的数值可能不同．我们就用这一数值表示事件发生的可能性大小，即概率．（引出概率定义）
定义可采用学生口述、教师补充的方式，然后可以投影此定义：一般地，在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆度幅度越来越小，这时就把这个常数叫作事件A的概率，记为P（A）．
学生可考虑如下问题：（1）概率P（A）的取值范围是什么？
（2）必然事件、不可能性事件的概率各是多少？
（3）频率和概率有何关系？
其中重点是问题（3），应启发、引导学生总结出：在大量重复试验的前提下，频率可以近似地称为这个事件的概率，而概率可看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小．
为加深对二者关系的理解，可以进行如下类比：给定一根木棒，谁都不怀疑它有“客观”的长度，长度是多少？我们可以用尺或仪器去测量，不论尺或仪器多么精确，测得的数值总是稳定在木棒真实的“长度”值的附近．事实上，人们也是把测量所得的值当作真实的“长度”值．这里测量值就像本节中的频率，“客观”长度就像概率．
概率的这种定义叫作概率的统计定义．在实践中，经常采用这种方法求事件的概率．
三、解释应用
［例 题］
1. 把第三组试验中的黑棋子减少10粒，即20粒黑子，10粒白子，那么摸到黑子的概率约为多少？
学生通过多次试验，可以发现此概率约为.
2. 为确定某类种子的发芽率，从一批种子中抽出若干批做发芽试验，其结果如下：
表28-3
| 种子粒数（n） | 25 | 70 | 130 | 700 | 2000 | 3000 |
| 发芽粒数（m） | 24 | 60 | 116 | 639 | 1806 | 2713 |
| 发芽率（ ） | 0.96 | 0.857 | 0.2 | 0.913 | 0.903 | 0.904 |
［练 习］
某射击手在同一条件下进行射击，结果如下：
表28-4
| 射击次数（n） | 10 | 20 | 50 | 100 | 200 | 500 |
| 击中靶心次数（m） | 8 | 19 | 44 | 92 | 178 | 455 |
| 击中靶心频率（ ） |
（表中各频率分别为0.8，0.95，0.88，0.92，0.，0.91）
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
（由此（1）可知，这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9）
四、拓展延伸
“某彩票的中奖概率为”是否意味着买1000张彩票就一定能中奖？
从概率的统计定义出发，我们先来考虑此题的简化情形：在投掷一枚均匀硬币的随机试验中，正面出现的概率是，这是否意味着投掷2次硬币就会出现1次正面呢？
根据经验，我们投掷2次硬币有可能1次正面也不出现，即出现2次反面的情形，但是在大量重复掷硬币的试验中，如掷10000次硬币，则出现正面的次数约为5000次．
买1000张彩票相当于做1000次试验，结果可能是一次奖也没中，或者中一次奖，或者多次中奖．所以“彩票中奖概率为”并不意味着买1000张彩票就一定能中奖．只有当所买彩票的数量n非常大时，才可以将大量重复买彩票这个试验看成中奖的次数约为（比如说买1000000张彩票，则中奖的次数约为1000），并且n越大，中奖次数越接近于.
由此我们可以说，对于小概率事件，从理论上来讲，发生的可能性很小，甚至在一定条件下可能不会发生．但是，实际上小概率事件仍有发生的可能，如本节开头提到的万亿分之一的概率事件就发生了．
点 评
针对这节课以概念为主，而又抽象的特点，案例设计了以学生动手试验为主，引导学生体会概念的教学方法，同时对这节中较抽象的内容：频率和概率的关系做了形象的类比，以便学生理解．这篇案例增加了试验内容，其目的是更有力地帮助学生理解定义．另外，例题与练习的配备有利于学生加深对这节内容的理解．因此，这节课的整体设计符合学生对新知识认识的规律，符合新课程标准的精神．
29 古典概型
教材分析
古典概型是概率中最基本、最常见而又最重要的类型之一．这节内容是在一般随机事件的概率的基础上，进一步研究等可能性事件的概率．教材首先通过一些熟悉的例子，归纳出古典概型的特征，进而给出古典概型的定义，这里渗透了从特殊到一般的思想．这节课的重点内容是古典概型的概念，难点是利用古典概型的概念求古典概率．
教学目标
1. 通过实例对古典概型概念的归纳和总结，使学生体验知识产生和形成的过程，培养学生的抽象概括能力．
2. 理解古典概型的概念，能运用所学概念求一些简单的古典概率，并通过实例归纳和总结出概率的一般加法公式．
3. 通过对古典概型的学习，使学生进一步体会随机事件概率的实际意义．
任务分析
这节内容在学生已理解随机事件概率的基础上，由具体的例子抽象出古典概型的概念．在这里，一个试验是否为古典概型是难点，故要通过具体例子总结古典概型的两个共同特征，特别要注意反例的列举．
教学设计
一、问题情境
1. 掷一颗骰子，观察出现的点数．这个试验的基本事件空间Ω＝｛1，2，3，4，5，6｝．它有6个基本事件．由于骰子的构造是均匀的，因而出现这６种结果的机会是均等的，均为．
2. 一先一后掷两枚硬币，观察正反面出现的情况．这个试验的基本事件空间Ω＝｛（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）｝．它有4个基本事件．因为每一枚硬币“出现正面”与“出现反面”的机会是均等的，所以可以近似地认为出现这4种结果的机会是均等的，均为．
3. 在适宜的条件下“种下一粒种子观察它是否发芽”．这个试验的基本事件空间为Ω＝｛发芽，不发芽｝，而这两种结果出现的机会一般是不均等的．
二、建立模型
1. 讨论以上三个问题的特征
在这里，教师可引导学生从试验可能出现的结果上以及每个结果出现的可能性上讨论．
结论：（1）问题1，2与问题3不相同．
（2）问题1，2有两个共同特征：
①有限性．在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件．
②等可能性．每个基本事件发生的可能性是均等的．
2. 古典概型的定义
通过学生的讨论，归纳出古典概型的定义．
如果一个随机试验有上述（2）中的两个共同特征，我们就称这样的试验为古典概型，上述前2个例子均为古典概型．
一个试验是否为古典概型在于这个试验是否具有古典概型的两个特征———有限性和等可能性，并不是所有的试验都是古典概型．例如，第3个例子就不属于古典概型．
3. 讨论古典概型的求法
充分利用问题1，2抽象概括出古典概型的求法．
一般地，对于古典概型，如果试验的n个事件为A1，A2，…，An，由于基本事件是两两互斥的，则由互斥事件的概率加法公式，得
P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）＝P（A1∪A2∪…∪An）＝P（Ω）＝1．
又∵P（A1）＝P（A2）＝…＝P（An），
∴代入上式，得nP（A1）＝1，即P（A1）＝．
∴在基本事件总数为n的古典概型中，每个基本事件发生的概率为．
如果随机事件Ａ包含的基本事件数为m，同样地，由互斥事件的概率加法公式可得P（A）＝mn，即.
三、解释应用
［例题一］
1. 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率．
注：规范格式，熟悉求法．
2. 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
［练习一］
在例2中，把“每次取出后不放回”换成“每次取出后放回”，其余条件不变，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
注意：放回抽样与不放回抽样的区别．
［例题二］
甲、乙两人做出拳游戏（锤子、剪刀、布）．求：
（1）平局的概率．
（2）甲赢的概率．
（3）乙赢的概率．
解：把甲、乙出的“锤子”、“剪刀”、“布”分别标在坐标轴上．
其中△为平局，⊙为甲赢，※为乙赢，一次出拳共有3×3＝9种，结果如图29-1．设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C．
由古典概率的计算公式，得
思考：例3这类概率问题的解法有何特点？
［练习二］
抛掷两颗骰子，求：（1）点数之和出现7点的概率．（2）出现两个4点的概率．
［例题三］
掷红、蓝两颗骰子，事件A＝｛红骰子的点数大于3｝，事件B＝｛蓝骰子的点数大于3｝，求事件A∪B＝｛至少有一颗骰子点数大于3｝发生的概率．
教师明晰：古典概型的情况下概率的一般加法公式．
设A，B是Ω中的两个事件．
P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B），
特别地，当A∩B＝时，P（A∪B）＝P（A）＋P（B）．
［练习三］
一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63．问：至少有一根熔断的概率是多少？
四、拓展延伸
每个人的基因都有两份，一份来自父亲，另一份来自母亲．同样地，他的父亲和母样的基因也有两份．在生殖的过程中，父亲和母亲各自随机地提供一份基因给他们的后代．
以褐色的眼睛为例，每个人都有一份基因显示他眼睛的颜色：
（1）眼睛为褐色．
（2）眼睛不为褐色．
如果孩子得到父母的基因都为“眼睛为褐色”，则孩子的眼睛也为褐色．如果孩子得到父母的基因都为“眼睛不为褐色”，则孩子眼睛不为褐色（是什么颜色取决于其他的基因）．如果孩子得到的基因中一份为“眼睛为褐色”，另一份为“眼睛不为褐色”，则孩子的眼睛不会出现两种可能，而只会出现眼睛颜色为褐色的情况．生物学家把“眼睛为褐色”的基因叫作显性基因．
为方便起见，我们用字母B代表“眼睛为褐色”这个显性基因，用b代表“眼睛不为褐色”这个基因．每个人都有两份基因，控制一个人眼睛颜色的基因有BB，Bb（表示父亲提供基因B，母亲提供基因b），bB，bb．注意在BB，Bb，bB和bb这4种基因中只有bb基因显示为眼睛颜色不为褐色，其他的基因都显示眼睛颜色为褐色．
假设父亲和母亲控制眼睛颜色的基因都为Bb，则孩子眼睛不为褐色的概率有多大？
点 评
这篇案例设计思路清晰，重点突出，目标明确，为分散难点案例采用了从具体到抽象的方法，充分展示了知识的形成过程，使学生感到自然，没有突兀感，符合学生的认知规律．例题的设计有梯度，跟踪练习有针对性，教学过程充分发挥了学生自主学习和合作学习的学习方式，对学生后继学习能力的培养有积极的作用．
30 几何概型
教材分析
和古典概型一样，在特定情形下，我们可以用几何概型来计算事件发生的概率．它也是一种等可能概型．
教材首先通过实例对比概念给予描述，然后通过均匀随机数随机模拟的方法的介绍，给出了几何概型的一种常用计算方法．与本课开始介绍的P（A）的公式计算方法前后对应，使几何概型这一知识板块更加系统和完整．
这节内容中的例题既通俗易懂，又具有代表性，有利于我们的教与学生的学．教学重点是几何概型的计算方法，尤其是设计模型运用随机模拟方法估计未知量；教学难点是突出用样本估计总体的统计思想，把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题．
教学目标
1. 通过这节内容学习，让学生了解几何概型，理解其基本计算方法并会运用．
2. 通过对照前面学过的知识，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法，设计估计未知量的方案，培养学生的实际操作能力．
3. 通过学习，让学生体会试验结果的随机性与规律性，培养学生的科学思维方法，提高学生对自然界的认知水平．
任务分析
在这节内容中，介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，因此，教学重点是随机模拟部分．这节内容的教学需要一些实物模型作为教具，如教科书中的转盘模型、例2中的随机撒豆子的模型等．教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果．随机模拟的教学中要充分使用信息技术，让学生亲自动手产生随机数，进行模拟活动．有条件的学校可以让学生用一种统计软件统计模拟的结果．
教学设计
一、问题情境
如图，有两个转盘．甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向Ｂ区域时，甲获胜，否则乙获胜．
问题：在下列两种情况下分别求甲获胜的概率．
二、建立模型
1. 提出问题
首先引导学生分析几何图形和甲获胜是否有关系，若有关系，和几何体图形的什么表面特征有关系？学生凭直觉，可能会指出甲获胜的概率与扇形弧长或面积有关．即：字母B所在扇形弧长（或面积）与整个圆弧长（或面积）的比．接着提出这样的问题：变换图中B与N的顺序，结果是否发生变化？（教师还可做出其他变换后的图形，以示决定几何概率的因素的确定性）．
题中甲获胜的概率只与图中几何因素有关，我们就说它是几何概型．
注意：（1）这里“只”非常重要，如果没有“只”字，那么就意味着几何概型的概率可能还与其他因素有关，这是错误的．
（2）正确理解“几何因素”，一般说来指区域长度（或面积或体积）．
2. 引导学生讨论归纳几何概型定义，教师明晰———抽象概括
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：
3. 再次提出问题，并组织学生讨论
（1）情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少？
（2）在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率．
（3）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10min的概率．
通过以上问题的研讨，进一步明确几何概型的意义及基本计算方法．
三、解释应用
［例 题］
1. 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少．
分析：我们有两种方法计算事件的概率．
（1）利用几何概型的公式．
（2）利用随机模拟的方法．
解法1：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间，纵坐标表示父亲离开家去工作的时间．假设随机试验落在方形内任一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A发生，所以
解法2：设X，Y是0～1之间的均匀随机数．X＋6.5表示送报人送到报纸的时间，Y＋7表示父亲离开家去工作的时间．如果Y＋7＞X＋6.5，即Y＞X－0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸．用计算机做多次试验，即可得到P（A）．
教师引导学生解答，充分调动学生自主设计随机模拟方法，并组织学生展示自己的解答过程，要求学生说明解答的依据．教师总结，并明晰用计算机（或计算器）产生随机数的模拟试验．强调：这里采用随机数模拟方法，是用频率去估计概率，因此，试验次数越多，频率越接近概率．
2. 如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率的值．
解：随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即
假设正方形的边长为2，则
由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以
这样就得到了π的近似值．
另外，我们也可以用计算器或计算机模拟，步骤如下：
（1）产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND；
（2）经平移和伸缩变换，a＝（a1－0.5）*2，b＝（b1－0.5）*2；
（3）数出落在圆内a2＋b2＜1的豆子数N1，计算（N代表落在正方形中的豆子数）．
可以发现，随着试验次数的增加，得到π的近似值的精度会越来越高．
本例启发我们，利用几何概型，并通过随机模拟法可以近似计算不规则图形的面积．
［练 习］
1. 如图30-4，如果你向靶子上射200镖，你期望多少镖落在黑色区域．
2. 利用随机模拟方法计算图30-5中阴影部分（y＝1和y＝x2围成的部分）的面积．
3. 画一椭圆，让学生设计方案，求此椭圆的面积．
四、拓展延伸
1. “概率为数‘0’的事件是不可能事件，概率为1的事件是必然事件”，这句话从几何概型的角度还能成立吗？
2. 你能说一说古典概型和几何概型的区别与联系吗？
3. 你能说说频率和概率的关系吗？
点 评
这篇案例设计完整，整体上按知识难易逐渐深入，同时充分调动了学生的积极性，以学生之间互动为主，教师引导为辅．例题既有深化所学知识的，又有应用所学知识的．“拓展延伸”既培养了学生的思维能力，又有利于学生从总体上把握这节课所学的知识．
31 角的概念的推广
教材分析
这节课主要是把学生学习的角从不大于周角的非负角扩充到任意角，使角有正角、负角和零角．首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了几个与之相关的概念：象限角、终边相同的角等．在这节课中，重点是理解任意角、象限角、终边相同的角等概念，难点是把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来．理解任意角的概念，会在平面内建立适当的坐标系，通过数形结合来认识角的几何表示和终边相同的角的表示，是学好这节的关键．
教学目标
1. 通过实例，体会推广角的必要性和实际意义，理解正角、负角和零角的定义．
2. 理解象限角的概念、意义及表示方法，掌握终边相同的角的表示方法．
3. 通过对“由一点出发的两条射线形成的图形”到“射线绕着其端点旋转而形成角”的认识过程，使学生感受“动”与“静”的对立与统一．培养学生用运动变化的观点审视事物，用对立统一规律揭示生活中的空间形式和数量关系．
任务分析
这节课概念很多，应尽可能让学生通过生活中的例子（如钟表上指针的转动、体操运动员的转体、自行车轮子上的某点的运动等）了解引入任意角的必要性及实际意义，变抽象为具体．另外，可借助于多媒体进行动态演示，加深学生对知识的理解和掌握．
教学设计
一、问题情境
［演 示］
1. 观览车的运动．
2. 体操运动员、跳台跳板运动员的前、后转体动作．
3. 钟表秒针的转动．
4. 自行车轮子的滚动．
［问 题］
1. 如果观览车两边各站一人，当观览车转了两周时，他们观察到的观览车上的某个座位上的游客进行了怎样的旋转，旋转了多大的角？
2. 在运动员“转体一周半动作”中，运动员是按什么方向旋转的，转了多大角？
3. 钟表上的秒针（当时间过了1.5min时）是按什么方向转动的，转动了多大角？
4. 当自行车的轮子转了两周时，自行车轮子上的某一点，转了多大角？
显然，这些角超出了我们已有的认识范围．本节课将在已掌握的0°～360°角的范围的基础上，把角的概念加以推广，为进一步研究三角函数作好准备．
二、建立模型
1. 正角、负角、零角的概念
在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个方向：顺时针方向和逆时针方向．习惯上规定，按逆时针旋转而成的角叫作正角；按顺时针方向旋转而成的角叫作负角；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫作零角．
2. 象限角
当角的顶点与坐标原点重合、角的始边与ｘ轴正半轴重合时，角的终边在第几象限，就把这个角叫作第几象限的角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．
3. 终边相同的角
在坐标系中作出390°，－330°角的终边，不难发现，它们都与30°角的终边相同，并且这两个角都可以表示成0°～360°角与k个（k∈Z）周角的和，即
390°＝30°＋360°，（k＝1）；
－330°＝30°－360°，（k＝－1）．
设S＝｛β｜β＝30°＋k·360°，k∈Z｝，则390°，－330°角都是S中的元素，30°角也是S中的元素（此时k＝0）．容易看出，所有与30°角终边相同的角，连同30°角在内，都是S中的元素；反过来，集合S中的任一元素均与30°角终边相同．一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝｛β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝，即任一与α终边相同的角，都可以表求成角α与整数个周角的和．
三、解释应用
［例 题］
1. 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角．
（1）－150°． （2）650°． （3）－950°5′．
2. 分别写出与下列角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素写出来．
（1）60°． （2）－21°． （3）363°14′．
3. 写出终边在y轴上的角的集合．
解：在0°～360°范围内，终边在ｙ轴上的角有两个，即90°，270°．因此，与这两个角终边相同的角构成的集合为
S1＝｛β｜β＝90°＋k·360°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z｝，而所有与270°角终边相同的角构成的集合为
S2＝｛β｜β＝270°＋k·360°，k∈Z｝＝
｛β｜β＝90°＋（2k＋1）·180°，k∈Z｝．
于是，终边在y轴上的角的集合为
S＝S1∪S2＝｛β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z｝∪｛β｜β＝90°＋（2k＋1）·180°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋n·180°，n∈Z｝．
注：会正确使用集合的表示方法和符号语言．
［练 习］
1. 写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．
（1）45°． （2）－30°． （3）420°． （4）－225°．
2. 辨析概念．（分别用集合表示出来）
（1）第一象限角． （2）锐角． （3）小于90°的角． （4）0°～90°的角．
3. 一角为30°，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为．
4. 终边在x轴上的角的集合为；终边在第一、三象限的角的平分线上的角集合为．
四、拓展延伸
1. 若角α与β终边重合，则α与β的关系是；若角α与β的终边互为反向延长线，则角α与β的关系是．
2. 如果α在第二象限时，那么2α，是第几象限角？
注：（1）不能忽略2α的终边可能在坐标轴上的情况．
（2）研究在哪个象限的方法：讨论k的奇偶性．（如果是呢？）
点 评
这篇案例运用多媒体展示了生活中常见的实例，极易激发学生学习的兴趣和热情．在对知识的探讨过程中，特别注意了知识的形成过程，重点突出．例题的设置比较典型，难易度适中．练习题注重基础，但也有一定的梯度，利于培养学生灵活处理问题的能力，并为学生学习以后章节做了较好的铺垫．
32 任意角的三角函数
教材分析
这节课是在初中学习的锐角三角函数的基础上，进一步学习任意角的三角函数．任意角的三角函数通常是借助直角坐标系来定义的．三角函数的定义是本章教学内容的基本概念和重要概念，也是学习后续内容的基础，更是学好本章内容的关键．因此，要重点地体会、理解和掌握三角函数的定义．在此基础上，这节课又进一步研讨了三角函数的定义域，函数值在各象限的符号，以及诱导公式（一），这既是对三角函数的简单应用，也是为学习后续内容做了必要准备．
教学目标
1. 让学生认识三角函数推广的必要性，经历三角函数的推广的过程，增强对数的理解能力．
2. 理解和掌握三角函数的定义，在此基础上探索与研究三角函数定义域、三角函数值的符号和诱导公式（一），并能初步应用它们解决一些问题．
3. 通过对任意角的三角函数的学习，初步体会数学知识的发生、发展和运用的过程，提高学生的科学思维水平．
任务分析
在初中，我们只是学习了锐角三角函数，现在学习的是任意角的三角函数．定义的对象从锐角三角函数推广到任意角的三角函数，从四种三角函数增加到六种三角函数．定义的媒介则从直角三角形改为平面直角坐标系．为了便于学生体会和理解，突出定义适用于任意角，通常要把终边出现在四个象限的情况都画出来（注意表示角时不用箭头），学习时，必须弄清并强调：这六个比值的大小都与点P在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关，即它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，符合函数的定义，从而归纳和总结出任意角的三角函数的定义．对于三角函数的定义域、函数值在各象限内的符号和诱导公式（一），可放手让学生探索、研究、讨论和归纳，用以培养学生的数学思维能力．
教学设计
一、情景设置
初中我们学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，由其所在的直角三角形的对应边的比值为函数值，并且定义了角α的正弦、余弦、正切、余切的三角函数．这节课，我们研究当α是一个任意角时的三角函数的定义．
在初中，三角函数的定义是借助直角三角形来定义的．如图32-1，在Rt△ABC中，
现在，把三角形放到坐标系中．如图32-2，设点B的坐标为（x，y），则OC＝b＝x，CB＝a＝y，OB＝，从而
即角α的三角函数可以理解为坐标的比值，在此意义下对任意角α都可以定义其三角函数．
二、建立模型
一般地，设α是任意角，以α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为ｘ轴的正方向，建立直角坐标系xOy．P（x，y）为α终边上不同于原点的任一点．如图：
那么，OP＝，记作r，（r＞0）．
对于三个量x，y，r，一般地，可以产生六个比值：.当α确定时，根据初中三角形相似的知识，可知这六个比值也随之相应的唯一确定．根据函数的定义可以看出，这六个比值都是以角为自变量的函数，分别把称之为α角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函数，记为
对于定义，思考如下问题：
1. 当角α确定后，比值与P点的位置有关吗？为什么？
2. 利用坐标法定义三角函数与利用直角三角形定义三角函数有什么关系？
3. 任意角α的正弦、余弦、正切都有意义吗？为什么？
三、解释应用
［例 题］
1. 已知角α的终边经过P（－2，3），求角α的六个三角函数值．
思考：若P（－2，3）变为（－2m，3m）呢？（m≠0）
2. 求下列角的六个三角函数值．
注：强化定义．
［练 习］
1. 已知角α的终边经过下列各点，求角α的六个三角函数值．
（1）P（3，－4）． （2）P（m，3）．
2. 计 算．
（1）5sin90°＋2sin0°－3sin270°＋10cos180°．
四、拓展延伸
1. 由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，三角函数可以看成以实数为自变量的函数，如sina＝，不论α取任何实数，恒有意义，所以sina的定义域为｛α｜α∈R｝．类似地，研究cosa，tana，cota的定义域．
2. 根据三角函数的定义以及x，y，r在不同象限内的符号，研究sina，cosa，tana，cota的值在各个象限的符号．
3. 计算下列各组角的函数值，并归纳和总结出一般性的规律．
（1）sin30°，sin390°． （2）cos45°，cos（－315°）．
规律：终边相同的角有相同的三角函数值，
即sin（α＋k360°）＝sina，
cos（α＋k·360°）＝cosa，
tan（α＋k·360°）＝tana，（k∈Z）．
五、应用与深化
［例 题］
1. 确定下列三角函数值的符号．
2. 求证：角α为第三象限角的充要条件是sinθ＜0，并且tanθ＞0．
证明：充分性：如果sinθ＜0，tanθ＞0都成立，那么θ为第三象限角．
∵sinθ＜0成立，所以θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y轴的负半轴上．
又∵tanθ＞0成立，∴θ角的终边可能位于第一或第三象限．
∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立，∴θ角的终边只能位于第三象限．
必要性：若θ为第三象限角，由三角函数值在各个象限的符号，知sinθ＜0，tanθ＞0．
从而结论成立．
［练 习］
1. 设α是三角形的一个内角，问：在sina，cosa，tana，tan中，哪些三角函数可能取负值？为什么？
2. 函数的值域是 ____________ ．
点 评
这节课在设计上特别注意了以下几点：①前后知识的联系，知识的产生、发展过程，如任意角的三角函数的定义，由初中所讲“0°～360°”的情况逐渐过渡到“任意角”的情况，讲清了推广的必要性及意义．②注重了知识的探究，如三角函数值在各象限的符号，及诱导公式（一）．这里由学生自己去研究，讨论，探索得出一般性结论，培养了学生获取知识、探究知识的能力，强化了自主学习的意识．③注意了跟踪练习的设计．
例题典型，练习有层次和变化，巩固知识到位．
总体来说，这是一节实用较强，形式又不乏新颖的较好案例．
33 同角三角函数的基本关系式
教材分析
这节课主要是根据三角函数的定义，导出同角三角函数的两个基本关系式sin2a＋cos2a＝1与，并初步进行这些公式的两类基本应用．教学重点是公式sin2a＋cos2a＝1与的推导及以下两类基本应用：
（1）已知某角的正弦、余弦、正切中的一个，求其余两个三角函数．
（2）化简三角函数式及证明简单的三角恒等式．
其中，已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时，正负号的选择是本节的一个难点，正确运用平方根及象限角的概念是突破这一难点的关键；证明恒等式是这节课的另一个难点．课堂上教师应放手让学生解决问题，优化自己的解题过程．
教学目标
1. 让学生经历同角三角函数的基本关系的探索、发现过程，培养学生的动手实践、探索、研究能力．
2. 理解和掌握同角三角函数的基本关系式，并能初步运用它们解决一些三角函数的求值、化简、证明等问题，培养学生的运算能力，逻辑推理能力．
3. 通过同角三角函数基本关系的学习，揭示事物之间的普遍联系规律，培养学生的辩证唯物主义世界观．
任务分析
这节课的主要任务是引导学生根据三角函数的定义探索出同角三角函数的两个基本关系式：sin2a＋cos2a＝1及，并进行初步的应用．由于该节内容比较容易，所以，课堂上无论是关系式的探索还是例、习题的解决都可以放手让学生完成，即由学生自己把要学的知识探索出来，并用以解决新的问题．必要时，教师可以在以下几点上加以强调：（1）“同角”二字的含义．（2）关系式的适用条件．（3）化简题最后结果的形式．（4）怎样优化解题过程．
教学设计
一、问题情境
教师出示问题：上一节内容，我们学习了任意角α的六个三角函数及正弦线、余弦线和正切线，你知道它们之间有什么联系吗？你能得出它们之间的直接关系吗？
二、建立模型
1. 引导学生写出任意角α的六个三角函数，并探索它们之间的关系
在角α的终边上任取一点P（x，y），它与原点的距离是r（r＞0），则角α的六个三角函数值是
2. 推导同角三角函数关系式
引导学生通过观察、分析和讨论，消元（消去x，y，r），从而获取下述基本关系．
（1）平方关系：sin2a＋cos2a＝1．
（2）商数关系：t：
说明：①当放手让学生推导同角三角函数的基本关系时，部分学生可能会利用三角函数线，借助勾股定理及相似三角形的知识来得出结论．对于这种推导方法，教师也应给以充分肯定，并进一步引导学生得出｜sinα｜＋｜cosα｜≥1．
②除以上两个关系式外，也许部分学生还会得出如下关系式：.
教师点拨：这些关系式都很对，但最基本的还是（1）和（2），故为了减少大家的记忆负担，只须记住（1）和（2）即可．以上关系式均为同角三角函数的基本关系式．
教师启发：（1）对“同角”二字，大家是怎样理解的？
（2）这两个基本关系式中的角α有没有范围？
（3）自然界的万物都有着千丝万缕的联系，大家只要养成善于观察的习惯，也许每天都会有新的发现．刚才我们发现了同角三角函数的基本关系式，那么这些关系式能用于解决哪些问题呢？
三、解释应用
［例 题］
1. 已知sinα＝，且α是第二象限角，求角α的余弦值和正切值．
2. 已知tanα＝－，且α是第二象限角，求角α的正弦和余弦值．
说明：这两个题是关系式的基本应用，应让学生完成．可选两名同学到黑板前板书，以便规范解题步骤．
变式1 在例2中若去掉“且α是第二象限角”，该题的解答过程又将如何？
师生一起完成该题的解答过程．
解：由题意和基本关系式，列方程组，得
由②，得sinα＝－cosα，
代入①整理，得6cos2α＝1，cos2α＝．
∵tanα＝－＜０，∴角α是第二或第四象限角．
当α是第二象限角时，cosα＝－，
代入②式，得；
当α是第四象限角时，cosα＝，
代入②式，得.
小结：由平方关系求值时，要涉及开方运算，自然存在符号的选取问题．由于本题没有具体指明α是第几象限角，因此，应针对α可能所处的象限，分类讨论．
变式2 把例2变为：
已知tanα＝－，求的值．
解法1：由tanα＝－及基本关系式可解得
针对两种情况下的结果居然一致的情况，教师及时点拨：
观察所求式子的特点，看能不能不通过求sinα，cosα的值而直接得出该分式的值．
学生得到如下解法：
由此，引出变式3．
已知：tanα＝－，求（sinα－cosα）2的值．
有了上一题的经验，学生会得到如下解法：
教师归纳、启发：这个方法成功地避免了开方运算，因而也就避开了不必要的讨论．遗憾的是，因为它不是分式形式，所以解题过程不像“变式2”那样简捷．那么，能解决这一矛盾吗？
学生得到如下解法：
教师引导学生反思、总结：（1）由于开方运算一般存在符号选取问题，因此，在求值过程中，若能避免开方的应尽量避免．
（2）当式子为分式且分子、分母都为三角函数的n（n∈N且n≥1）次幂的齐次式时，采用上述方法可优化解题过程．
［练 习］
当学生完成了以上题目后，教师引导学生讨论如下问题：
（1）化简题的结果一定是“最简”形式，对三角函数的“最简”形式，你是怎样理解的？
（2）关于三角函数恒等式的证明，一般都有哪些方法？你是否发现了一些技巧？
四、拓展延伸
教师出示问题，启发学生一题多解，并激发学生的探索热情．
已知sinα－cosα＝－，180°＜α＜270°，求tanα的值．
解法1：由sinα－cosα＝－，得
反思：（1）解法1的结果比解法2的结果多了一个，看来产生了“增根”，那么，是什么原因产生了增根呢？
（2）当学生发现了由sinα－cosα＝－得到sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝的过程中，α的范围变大了时，教师再点拨：
怎样才能使平方变形是等价的呢？
由学生得出如下正确答案：
∵180°＜α＜270°，且sinα－cosα＝－＜0，∴sinα＜0，cosα＜0，且｜sinα｜＞｜cosα｜，因此｜tanα｜＞1，只能取tanα＝2．
强调：非等价变形是解法1出错的关键！
点 评
这篇案例力求体现新课程理念下的以人为本的思想，充分发挥了学生的主体作用．教师充当着学生学习的引导者、支持者和帮助者的角色．教师和学生是本课的共同参与者，共同努力完成了这一节课的教学活动．在这节课上，学生的积极性被充分调动起来，从而使学生在积极思维的活动中取得了成功并饱尝到了成功的喜悦．案例中的教学活动体现了研究性学习和探索性学习的方法．
总之，充分调动学生数学学习的主动性，强调质疑和化疑，是这篇案例的成功之处．
34 诱导公式
教材分析
这节内容以学生在初中已经学习了锐角的三角函数值为基础，利用单位圆和三角函数的定义，导出三角函数的五组诱导公式，即有关角k·360°＋α，180°＋α，－α，180°－α，360°－α的公式，并通过运用这些公式，把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，从而渗透了把未知问题化归为已知问题的化归思想．这节课的重点是后四组诱导公式以及这五组公式的综合运用．把这五组公式用一句话归纳出来，并切实理解这句话中每一词语的含义，是切实掌握这五组公式的难点所在．准确把握每一组公式的意义及其中符号语言的特征，并且把公式二、三与图形对应起来，是突破上述难点的关键．
教学目标
1. 在教师的引导下，启发学生探索发现诱导公式及其证明，培养学生勇于探求新知、善于归纳总结的能力．
2. 理解并掌握正弦、余弦、正切的诱导公式，并能应用这些公式解决一些求值、化简、证明等问题．
3. 让学生体验探索后的成功喜悦，培养学生的自信心．
4. 使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途径，进一步树立化归思想．
任务分析
诱导公式的重要作用之一就是把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值．在五组诱导公式中，关于180°＋α与－α的诱导公式是最基本的，也是最重要的．在推导这两组公式时，应放手让学生探索，寻求“180°＋α与角α的终边”及“－α与角α的终边”之间的位置关系，从而完成公式的推导．此外，要把90°～360°范围内的三角函数转化为锐角的三角函数，除了利用第二、四、五个公式外，还可以利用90°＋α，270°±α与α的三角函数值之间的关系．应引导学生在掌握前五组诱导公式的基础上进一步探求新的关系式，从而使学生在头脑中形成完整的三角函数的认知结构．
教学设计
一、问题情境
教师提出系列问题
1. 在初中我们学习了求锐角的三角函数值，现在角的概念已经推广到了任意角，能否把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值呢？
2. 当α＝390°时，能否求出它的正弦、余弦和正切值？
3. 由2你能否得出一般性的结论？试说明理由．
二、建立模型
1. 分析1
在教师的指导下，学生推出公式（一），即
2. 应用1
在公式的应用中让学生体会公式的作用，即把任意角的三角函数值转化为0°～360°范围内的角的三角函数值．
练习：求下列各三角函数值．
（1）cosπ． （2）tan405°．
3. 分析2
如果能够把90°～360°范围内的角的三角函数值转化为锐角的三角函数值，即可实现“把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值”的目标．例如，能否将120°，240°，300°角与我们熟悉的锐角建立某种联系，进而求出其余弦值？
引导学生利用三角函数的定义并借助图形，得到如下结果：
cos120°＝cos（180°－60°）＝－cos60°＝－，
cos240°＝cos（180°＋60°）＝－cos60°＝－，
cos300°＝cos（360°＋60°）＝cos60°＝．
4. 分析3
一般地，cos（180°＋α），cos（180°－α），cos（360°－α）与cosα的关系如何？你能证明自己的结论吗？由学生完成下述推导：
设角α的终边与单位圆交于点P（x，y）．由于角180°＋α的终边就是角α的终边的反向延长线，则角180°＋α的终边与单位圆的交点P′与点P关于原点O对称．
由此可知，点P′的坐标是（－x，－y）．
又∵单位圆的半径r＝1，∴cosα＝x，sinα＝y，tanα＝，cos（180°＋α）＝－x，sin（180°＋α）＝－y，tan（180°＋α）＝．
从而得到：
5. 分析4
在推导公式三时，学生会遇到如下困难，即：若α为任意角，180°－α与角α的终边的位置关系不容易判断．这时，教师可引导学生借助公式二，把180°－α看成180°＋（－α），即：先把180°－α的三角函数值转化为－α的三角函数值，然后通过寻找－α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系，使原问题得到解决．
由学生完成如下推导：
如图，设任意角α的终边与单位圆相交于P（x，y），角－α的终边与单位圆相交于点P′．∵这两个角的终边关于ｘ轴对称，∴点P′的坐标是（x，－y）．又∵r＝1，∴cos（－α）＝x，
sin（－α）＝－y，tan（－α）＝
从而得到：
进而推出：
注：在问题的解决过程中，教师要注意让学生充分体验成功的快乐．
6. 教师归纳
公式（一）、（二）、（三）、（四）、（五）都叫作诱导公式，利用它们可以把k·360°＋α，180°±α，－α，360°－α的三角函数转化为α的三角函数．那么，在转化过程中，发生了哪些变化？这种变化是否存在着某种规律？
引导学生进行如下概括：α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．为了便于记忆，还可编成一句口诀“函数名不变，符号看象限”．
三、解释应用
［例 题］
1. 求下列各三角函数值．
通过应用，让学生体会诱导公式的作用：
①把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，其一般步骤为
评注：本题中，若代入cosα·cot3α形式，就须先求得cosα的值．由于不能确定角α所在象限，解题过程将变得烦锁．以此提醒学生注意选取合理形式解决问题．
四、拓展延伸
教师出示问题：前面我们利用三角函数的定义及对称性研究了角α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函数与角α的三角函数之间的关系，这些角有一个共同点，即：均为180°的整数倍加、减α．但是，在解题过程中，还会遇到另外的情况，如前面遇到的120°角，它既可以写成180°－60°，也可以写成90°＋30°，那么90°＋α的三角函数与α的三角函数有着怎样的关系呢？
学生探究：经过探求后，有学生可能会得到如下结果：
设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），角90°＋α的终边与单位圆交于点P′（x′，y′）（如图），则cosα＝x，sinα＝y，cos（90°＋α）＝x′，sin（90°＋α）＝y′．
过P作PM⊥x轴，垂足为M，过P′作P′M′⊥y轴，垂足为M′，则△OPM≌△OP′M′，∴OM＝OM′，MP＝M′P′，即x＝y′，y＝x′．
进而得到cos（90°＋α）＝sinα，sin（90°＋α）＝cosα．对此结论和方法，教师不宜作任何评论，而应放手让学生展开辩论和交流，最后得到正确结果：
由于OM与OM′，MP与M′P′仅是长度相等，而当点P在第一象限时，P′在第二象限，∴x′＜0，y′＞0，
又∵x＞0，y＞0，∴x′＝－y，y′＝x．
从而得到：
教师进一步引导：
（1）推导上面的公式时，利用了点P在第一象限的条件．当点Ｐ不在第一象限时，是否仍有上面的结论？
（通过多媒体演示角α的终边在不同象限的情景，使学生理解公式六中的角α可以为任意角）
（2）推导公式六时，采用了初中的平面几何知识．是否也能像推导前五组公式那样采用对称变换的方式呢？
学生探究：学生先针对α为锐角时的情况进行探索，再推广到α为任意角的情形．
设角α的终边与单位圆交点为P（x，y），＋α的终边与单位圆的交点为P′（x′，y′）（如图）．由于角α的终边经过下述变换：2（－α） ＋2a＝，即可得到＋α的终边．这是两次对称变换，即先作P关于直线y＝x的对称点M（y，x），再作点M关于y轴的对称点P′（－y，－x），∴x′＝－y，y′＝x．
由此，可进一步得到：
教师归纳：公式六、七、八、九也称作诱导公式，利用它们可以把90°±α，270°±α的三角函数转化为α的三角函数．
引导学生总结出：
90°±α，270°±α的三角函数值等于α的余名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．
两套公式合起来，可统一概括为
对于k·90°±α（k∈Z）的各三角函数值，当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的余名函数值．然后，均在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．为了便于记忆，也可编成口诀：“奇变偶不变，符号看象限”．
点 评
这篇案例从学生的实际出发，充分尊重学生的思维特点，通过创设问题情境，引发认知冲突，较好地调动了学生的积极性和主动性，符合新课程理念的精神．在教学设计中，教师以学生活动为主，注意师生互动，体现学生的自主学习．实际的课堂教学表明，在教学过程中，教师对每名同学的发言都给以充分地鼓励，即使他的解法不完美，甚至不正确．这对保护学生大胆尝试、认真思考的积极性至关重要．只有这样，才能将教学效果落实到学生个体的学习行为上，进而实现预期的教学目标．总之，这篇案例的突出特点就是，注意通过问题驱动的方式，激发学生主动探究的热情，完成五组诱导公式的推导．缺陷是，在关注五组诱导公式推导的“一气呵成”的同时，巩固、强化工作显得单薄．这是一对棘手的矛盾！
35 向量的概念
教材分析
向量是近代数学中重要和基本概念之一，它集“大小”与“方向”于一身，融“数”、“形”于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是高中数学重要的知识网络的交汇点，也是数形结合思想的重要载体．这节通过对物理中的位移和力的归纳，抽象、概括出向量的概念、有向线段、向量的表示、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的准确含义．与数学中的许多概念一样，都可以追溯它的实际背景．这节的重点是向量的概念、相等向量的概念和向量的几何表示等．难点是向量的概念．
教学目标
1. 通过对平面向量概念的抽象概括，体验数学概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力和科学的思维方法，使学生逐步由感性思维上升为理性思维．
2. 理解向量的概念，会用有向线段表示向量，会判断零向量，单位向量，平行的、相等的、共线的向量．
任务分析
在这之前，学生接触较多的是只有大小的量（数量）．其实生活中还有一种不同于数量的量———向量．刚一开始，学生很不习惯，但可适时地结合实例，逐步让学生理解向量的两个基本要素———大小和方向，再让学生于实际问题中识别哪些是向量，哪些是数量．这样由具体到抽象，再由抽象到具体；由实践到理论，再由理论到实践，可使学生比较容易地理解．紧紧抓住向量的大小和方向，便于理解两个向量没有大小之分，只有相等与不相等、平行与共线等．要结合例、习题让学生很好地理解相等向量（向量可以平移）．这些均可为以后用向量处理几何等问题带来方便．
教学设计
一、问题情景
数学是研究数量关系和空间形式的科学．思考以下问题：
1. 在数学或其他学科中，你接触过哪些类型的量？这些量本质上有何区别？试描述这些量的本质区别．
2. 既有大小又有方向的量应如何表示？
二、建立模型
1. 学生分析讨论
学生回答：人的身高，年龄，体重；……图形的面积，体积；物体的密度，质量；……物理学中的重力、弹力、拉力，速度、加速度，位移……
引导学生慢慢抽象出数量（只有大小）和向量（既有大小又有方向）的概念．
2. 教师明晰
人们在长期生产生活实践中，会遇到两种不同类型的量，如身高、体重、面积、体积等，在规定的单位下，都可以用一个实数表示它们的大小，我们称之为数量；另一类，如力、速度、位移等，它们不仅有大小，而且有方向．作用于某物体上的力，它不仅有大小，而且有作用方向；物体运动的速度既有快慢之分，又有方向的区别．这类既有数量特性又有方向特性的量，就是我们要研究的向量．
在数学上，往往用一条有方向的线段，即有向线段来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．向量不仅可以用有向线段表示，也可用a，b，c，…表示，还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如，向量的大小就是向量的长度（模），记作.长度为零的向量叫零向量，记作0或.长度等于1的向量叫作单位向量．
方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作a∥b，规定0∥a（a为任一向量）
长度相等且方向相同的向量叫作相等的向量，记作a＝b．任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在同一平面上，两个平行的长度相等且指向一致的有向线段可以表示同一向量．因为向量完全由它的方向和模决定．
任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫“共线向量”．
3. 提出问题，组织学生讨论
（1）时间、路程、温度、角度是向量吗？速度、加速度、物体所受重力是向量吗？
（2）两个单位向量一定相等吗？
（3）相等向量是平行向量吗？
（4）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量吗？
（5）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量吗？强调：大小、方向是向量的两个基本要素，当且仅当两个向量的大小和方向两个要素完全相同时，两个向量才相等．注意：相等向量、平行向量、共线向量之间的异同．
三、解释应用
［例 题］
如图，边长为1的正六边形ABCDEF的中心为O，试分别写出与相等、平行和共线的向量，以及单位向量．
解：都是单位向量．
［练 习］
1. 如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，试写出图中与相等的向量．
2. 如果四边形ABCD满足，那么四边形ABCD的形状如何？
3. 设E，F，P，Q分别是任意四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，对于，哪些是相等的向量，哪些方向是相反的向量？
4. 在平面上任意确定一点O，点P在点O“东偏北60°，3cm”处，点Q在点O“南偏西30°，3cm”处，试画出点P和Q相对于点O的向量．
5. 选择适当的比例尺，用有向线段分别表示下列各向量．
（1）在与水平成120°角的方向上，一个大小为50N的拉力．
（2）方向东南，8km／h的风的速度．
（3）向量
四、拓展延伸
1. 如图，在ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，在向量中相等的向量是哪些？为什么？
2. 数能进行运算，那么与数的运算类比，向量是否也能进行运算？
案例点评
这篇案例设计完整，思路清晰．该案例首先通过实例阐述了向量产生的背景，然后归纳、抽象了向量、平行向量、相等向量等概念，充分体现了数学教学的本质是教学思维过程的教学，符合新课程标准的精神．例题与练习由浅入深，完整，全面．“拓展延伸”的设计有新意，有深度．为学生数学思维能力、创造能力的培养提供了平台．
36 向量的概念
教材分析
向量是近代数学中重要和基本概念之一，它集“大小”与“方向”于一身，融“数”、“形”于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是高中数学重要的知识网络的交汇点，也是数形结合思想的重要载体．这节通过对物理中的位移和力的归纳，抽象、概括出向量的概念、有向线段、向量的表示、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的准确含义．与数学中的许多概念一样，都可以追溯它的实际背景．这节的重点是向量的概念、相等向量的概念和向量的几何表示等．难点是向量的概念．
教学目标
1. 通过对平面向量概念的抽象概括，体验数学概念的形成过程，培养学生的抽象概括能力和科学的思维方法，使学生逐步由感性思维上升为理性思维．
2. 理解向量的概念，会用有向线段表示向量，会判断零向量，单位向量，平行的、相等的、共线的向量．
任务分析
在这之前，学生接触较多的是只有大小的量（数量）．其实生活中还有一种不同于数量的量———向量．刚一开始，学生很不习惯，但可适时地结合实例，逐步让学生理解向量的两个基本要素———大小和方向，再让学生于实际问题中识别哪些是向量，哪些是数量．这样由具体到抽象，再由抽象到具体；由实践到理论，再由理论到实践，可使学生比较容易地理解．紧紧抓住向量的大小和方向，便于理解两个向量没有大小之分，只有相等与不相等、平行与共线等．要结合例、习题让学生很好地理解相等向量（向量可以平移）．这些均可为以后用向量处理几何等问题带来方便．
教学设计
一、问题情景
数学是研究数量关系和空间形式的科学．思考以下问题：
1. 在数学或其他学科中，你接触过哪些类型的量？这些量本质上有何区别？试描述这些量的本质区别．
2. 既有大小又有方向的量应如何表示？
二、建立模型
1. 学生分析讨论
学生回答：人的身高，年龄，体重；……图形的面积，体积；物体的密度，质量；……物理学中的重力、弹力、拉力，速度、加速度，位移……
引导学生慢慢抽象出数量（只有大小）和向量（既有大小又有方向）的概念．
2. 教师明晰
人们在长期生产生活实践中，会遇到两种不同类型的量，如身高、体重、面积、体积等，在规定的单位下，都可以用一个实数表示它们的大小，我们称之为数量；另一类，如力、速度、位移等，它们不仅有大小，而且有方向．作用于某物体上的力，它不仅有大小，而且有作用方向；物体运动的速度既有快慢之分，又有方向的区别．这类既有数量特性又有方向特性的量，就是我们要研究的向量．
在数学上，往往用一条有方向的线段，即有向线段来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．向量不仅可以用有向线段表示，也可用a，b，c，…表示，还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如，向量的大小就是向量的长度（模），记作.长度为零的向量叫零向量，记作0或.长度等于1的向量叫作单位向量．
方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作a∥b，规定0∥a（a为任一向量）
长度相等且方向相同的向量叫作相等的向量，记作a＝b．任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在同一平面上，两个平行的长度相等且指向一致的有向线段可以表示同一向量．因为向量完全由它的方向和模决定．
任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫“共线向量”．
3. 提出问题，组织学生讨论
（1）时间、路程、温度、角度是向量吗？速度、加速度、物体所受重力是向量吗？
（2）两个单位向量一定相等吗？
（3）相等向量是平行向量吗？
（4）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量吗？
（5）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量吗？强调：大小、方向是向量的两个基本要素，当且仅当两个向量的大小和方向两个要素完全相同时，两个向量才相等．注意：相等向量、平行向量、共线向量之间的异同．
三、解释应用
［例 题］
如图，边长为1的正六边形ABCDEF的中心为O，试分别写出与相等、平行和共线的向量，以及单位向量．
解：都是单位向量．
［练 习］
1. 如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，试写出图中与相等的向量．
2. 如果四边形ABCD满足，那么四边形ABCD的形状如何？
3. 设E，F，P，Q分别是任意四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，对于，哪些是相等的向量，哪些方向是相反的向量？
4. 在平面上任意确定一点O，点P在点O“东偏北60°，3cm”处，点Q在点O“南偏西30°，3cm”处，试画出点P和Q相对于点O的向量．
5. 选择适当的比例尺，用有向线段分别表示下列各向量．
（1）在与水平成120°角的方向上，一个大小为50N的拉力．
（2）方向东南，8km／h的风的速度．
（3）向量
四、拓展延伸
1. 如图，在ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，在向量中相等的向量是哪些？为什么？
2. 数能进行运算，那么与数的运算类比，向量是否也能进行运算？
案例点评
这篇案例设计完整，思路清晰．该案例首先通过实例阐述了向量产生的背景，然后归纳、抽象了向量、平行向量、相等向量等概念，充分体现了数学教学的本质是教学思维过程的教学，符合新课程标准的精神．例题与练习由浅入深，完整，全面．“拓展延伸”的设计有新意，有深度．为学生数学思维能力、创造能力的培养提供了平台．
37 向量加法运算及其几何意义
教材分析
引入向量后，考查向量的运算及运算律，是数学研究中的基本的问题．教材中向量的加法运算是以位移的合成、力的合成等物理模型为背景引入的，在此基础上抽象概括了向量加法的意义，总结了向量加法的三角形法则、平行四边形法则．向量加法的运算律，教材是通过“探究”和构造图形引导学生类比数的运算律，验证向量的交换律和结合律．例2是一道实际问题，主要是要让学生体会向量加法的实际意义．这节课的重点是向量加法运算（三角形法则、平行四边形法则），向量的运算律．难点是对向量加法意义的理解和认识．
教学目标
1. 通过物理学中的位移合成、力的合成等实例，认识理解向量加法的意义，体验数学知识发生、发展的过程．
2. 理解和掌握向量加法的运算，熟练运用三角形法则和平行四边形法则作向量的和向量．
3. 理解和掌握向量加法的运算律，能熟练地运用它们进行向量运算．
4. 通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生的探究能力，使学生数学地思考问题，数学地解决问题．
任务分析
这节的主要内容是向量加法的运算和向量加法的应用．对向量加法运算，学生可能不明白向量可以相加的道理，产生疑惑：向量既有大小、又有方向，难道可以相加吗？为此，在案例设计中，首先回顾物理学中位移、力的合成，让学生体验向量加法的实际含义，明确向量的加法就是物理学中的矢量合成．在此基础上，归纳总结向量加法的三角形法则和平行四边形法则．向量加法的运算律发现并不困难，主要任务是让学生对向量进行探究，构造图形进行验证．关于例2的教学，主要是帮助学生正确理解题意，把问题转化为向量加法运算．
教学设计
一、问题情境
1. 如图，某物体从A点经B点到C点，两次位移，的结果，与A点直接到C点的位移结果相同．
2. 如图，表示橡皮筋在两个力F1，F2的作用下，沿GE的方向伸长了EO，与力F的作用结果相同．
位移与合成为等效，力F与分力F1，F2的共同作用等效，这时我们可以认为：，F分别是位移与、分力F1与F2某种运算的结果．数的加法启发我们，位移、力的合成可看作数学上的向量加法．
2. 在师生交流讨论基础上，归纳并抽象概括出向量加法的定义
已知非零向量a，b（如图37-3），在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量叫a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.
求两个向量和的运算，叫作向量的加法．这种求向量和的作图法则，称为向量求和的三角形法则，我们规定0＋a＝a＋0＝ａ．
3. 提出问题，组织学生讨论
（1）根据力的合成的平行四边形法则，你能定义两个向量的和吗？
（2）当a与b平行时，如何作出a＋b？
强调：向量的和仍是一个向量．用三角形法则求和时，作图要求两向量首尾相连；而用平行四边形法则求和时，作图要求两向量的起点平移在一起．
（3）实数的运算和运算律紧密联系，类似地，向量的加法是否也有运算律呢？首先，让学生回忆实数加法运算律，类比向量加法运算律．向量加法的交换律由平行四边形法则容易验证．向量加法的结合律的验证则比较困难，教学时，应放手让学生进行充分探索．最后通过下面的两个图形验证加法结合律．
三、解释应用
［例 题］
1. 已知非零向量a，b，就（1）a与b不共线，（2）a与b共线，分别求作向量a＋b．
注：要求写出作法，规范解题格式．
2. 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输．一艘轮船从长江南岸Ａ点出发，以5km／h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km／h．
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度．
（2）求船实际航行的速度的大小与方向（速度的大小保留2个有效数字，方向用与江水速度间的夹角表示，精确到度）．
［练 习］
1. 如图，已知a，b，画图表示a＋b．
2. 已知两个力F1，F2的夹角是直角，合力F与F1的夹角是60°，｜F｜＝10N，求F1和F2的大小．
3. 在△ABC中，求证.
4. 在n边形A1A2…An中，计算
四、拓展延伸
1. 对于任意向量a，b，探索｜a＋b｜与｜a｜＋｜b｜的大小，并指出取“＝”号的条件．
2. 在求作两个向量和时，你可能选择不同的始点求和．你有没有想过，选择不同的始点作出的向量和都相等吗？你可能认为，这是“显然”对的，你能证明这个问题吗？
点 评
向量的加法运算是向量的基本运算．为了正确认识理解向量加法的运算，案例首先回顾了的物理学中的位移、力的合成．在此基础上，使学生认识到：物理学中的矢量合成可抽象为数学中的向量加法运算，进而总结出向量加法的三角形法则，平行四边形法则，这样设计自然，流畅，全面．向量加法的运算律的教学，是引导学生通过类比方法发现的，并让学生自主探索，构造图形验证，这样不仅体现了学生的主体地位，同时还能培养学生科学的探究能力．例题与练习、“拓展延伸”的设计，有层次，有力度，深入浅出，能较好地培养学生的创新能力．这是一篇优秀的案例设计．
38 平面向量的基本定理
教材分析
平面向量的基本定理是说明同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合，它是平面向量坐标表示的基础，也是平面图形中任一向量都可由某两个不共线向量量化的依据．这节内容以共线向量为基础，通过把一个向量在其他两个向量上的分解，说明了该定理的本质．教学时无须严格证明该定理，只要让学生弄清定理的条件和结论，会用该定理就可以了．
向量的加法、减法、实数与向量的积的混合运算称为向量的线性运算，也叫“向量的初等运算”．由平面向量的基本定理，知任一平面内的直线型图形都可表示为某些向量的线性组合，这样在证明几何命题时，可先把已知和结论表示成向量形式，再通过向量的运算，有时能很容易证明几何命题．因此，向量是数学中证明几何命题的有效工具之一．为降低难度，目前要求用向量表示几何关系，而不要求用向量证明几何命题．
平面向量的基本定理的理解是学习的难点，而应用基本向量表示平面内的某一向量是学习的重点．
教学目标
1. 了解平面向量基本定理的条件和结论，会用它来表示平面图形中任一向量，为向量坐标化打下基础．
2. 通过对平面向量基本定理的归纳、抽象和概括，体验数学定理的产生、形成过程，提升学生的抽象和概括能力．
3. 通过对平面向量基本定理的运用，增强向量的应用意识，进一步体会向量是处理几何问题的强有力的工具之一．
任务分析
这节课是在学生熟悉向量加、减、数乘线性运算的基础上展开的，为了使学生理解和掌握好平面向量的基本定理，教学时，常应用构造式的作图方法，同时采用师生共同操作，增强直观认识，归纳和总结出任意向量与基本向量的线性组合关系，并且通过适当的练习，使学生进一步认识和理解这一基本定理．
教学设计
一、问题情景
1. 在ABCD中，（1）已知＝ａ，＝ｂ，试用ｂ，ｂ来表示，，；
（2）已知＝ｃ，＝ｄ，试用ｃ，ｄ表示向量，.
2. 给定平面内任意两个不共线向量e1，e2，试作出向量3e1＋2e2，e1－2e2．
3. 平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示？
二、建立模型
1. 学生回答
（1）由向量加法，知＝ａ＋ｂ；由向量减法，知＝ａ－ｂ，＝ａ＋0·ｂ．
（2）设AC，BD交于点O，由向量加法，知
2. 师生总结
以ａ，ｂ为基本向量，可以表示两对角线的相应向量，还可表示一边对应的向量，估计任一向量都可以写成ａ·ｂ的线性表达．
任意改成另两个不共线向量ｃ，ｄ作基本向量，也可表示其他向量．
3. 教师启发
通过了e1＋2e2，e1－2e2的作法，让学生感悟通过改变λ1，λ2的值，可以作出许多向量ａ＝λ1e1＋λ2e2．在此基础上，可自然形成一个更理性的认识———平面向量的基本定理．
4. 教师明晰
如图，设e1，e2是平面内两个不共线的向量，ａ是这一平面内的任一向量．
在平面内任取一点O，作＝e1，＝e2，＝ａ；过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于N．这时有且只有实数λ1，λ2，使＝λ1e1，＝λ2e2．由于＝＋，所以ａ＝λ1e1＋λ2e2，也就是说任一向量ａ都可表示成λ1e1＋λ2e2的形式，从而有
平面向量的基本定理 如果e1，e2是一平面内的两个不平行向量，那么该平面内的任一向量ａ，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使ａ＝λ1e1＋λ2e2．
我们把不共线向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底，有序实数对（λ1，λ2）叫ａ在基底e1，e2下的坐标．
三、解释应用
［例 题］
1. 已知向量e1，e2（如图38-3），求作向量－2.5e1＋3e2．
注：可按加法或减法运算进行．
2. 如图38-4，，不共线，＝t（t∈R），用，表示．
解：∵
［练 习］
1. 已知：不共线向量e1，e2，求作向量ａ＝e1－2e2．
2. 已知：不共线向量e1，e2，并且e1－3e2＝λ1e1＋λ2e2，求实数λ1，λ2．
3. 已知：基底｛a，b｝，求实数ｘ，ｙ满足向量等式：3xa＋（10－y）b＝（4y＋7）a＋2xb．
4. 在△ABC中，＝ａ，＝ｂ，点G是△ABC的重心，试用ａ，ｂ表示．
5. 已知：ABCDEF为正六边形，＝ａ，＝ｂ，试用a，b表示向量．
6. 已知：M是平行四边形ABCD的中心，求证：对于平面上任一点O，都有.
四、拓展延伸
点 评
这篇案例由向量加、减、数乘运算过渡到平面向量的基本定理，引入比较自然，合理，使学生由感性认识上升为理性认识这种既重结果又重过程的教学理念符合新课程标准的精神．同时，有关向量基本定理的应用的例、习题的设计也较有梯度和力度，强化了知识的应用，为提高学生的分析问题和解决问题的能力打下了一定的基础．如果能把多媒体教学等信息技术用于向量的分解，那么会使问题更为直观，进而学生更易于接受．
39 平面向量的正交分解与坐标运算
教材分析
这节课通过建立直角坐标系，结合平面向量基本定理，给出了向量的另一种表示———坐标表示，这样使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应关系，然后导出了向量的加法、减法及实数与向量的积的坐标运算，这就为利用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，更突出也更简化了向量的应用．所以，一定要让学生重点掌握向量的坐标运算，以利于掌握坐标形式下的向量的一些关系式及运用．教学难点是让学生建立起平面向量的坐标概念．
教学目标
1. 理解平面向量坐标概念，领会它的引入过程，进一步体会一一对应的思想意识．
2. 理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算，并能应用坐标运算解决一些问题．
3. 增强数形结合意识，领会“没有运算，向量只是一个‘路标’，因为有了运算，向量的力量无限”的说法．
任务分析
1. 有了平面向量的基本定理，就不难有平面向量的正交分解，有了坐标系下点与坐标的一一对应关系，也就容易有在直角坐标平面内的向量与坐标的一一对应．
2. 可以从两个角度来理解平面向量的坐标表示：
（1）设i，j为x，y轴方向上的单位向量，则任一向量ａ可唯一地表示为xi＋yj，即唯一对应数对（x，y），所以可以说a＝（x，y）．
（2）任一向量ａ可平移成，一一对应点A（x，y），从而可说a＝（x，y）．
3. 在接触过xOy平面内一点到它的坐标的这种形、数过渡的基础上，容易接受由向量到坐标的这种代数化的过渡．
教学设计
一、问题情景
1. 光滑斜面上的木块所受重力可以分解为平行斜面使木块下滑的力F1和木块产生的垂直于斜面的压力F2（如图）．
一个向量也可以分解为两个互相垂直的向量的线性表达，这种情形叫向量的正交分解．以后可以看到，在正交分解下，许多有关向量问题将变得较为简单．
2. 在平面直角坐标系中，每一个点可用一对有序实数（即它的坐标）表示，那么对平面直角坐标内的每一个向量，可否用实数对来表示？又如何表示呢？
二、建立模型
1. 如图，在直角坐标系中，先分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面上一个向量a，由平面向量的基本定理，知有且只有一对实数x，y使ａ＝xi＋yj，这样平面内任一向量a都可由x，y唯一确定，（x，y）叫a的坐标，记作a＝（x，y）．
显然，i＝（1，0），j＝（0，1），0＝（0，0）．
若把ａ的起点平移到坐标原点，即ａ＝，则点A的位置由ａ唯一确定．设＝xi＋yj，则的坐标就是点A的坐标；反过来，点A的坐标（x，y）也就是的坐标．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数（即坐标）唯一表示．
2. 学生思考讨论
已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），你能得出a＋b，a－b，λa的坐标吗？
∵ａ＝（x1，y1），b＝（x2，y2），
∴ａ＝x1ｉ＋y1ｊ，b＝x2ｉ＋y2ｊ．
∴ａ＋ｂ＝（x1＋x2）i＋（y1＋y2）j，
∴ａ＋ｂ＝（x1＋x2，y1＋y2）．
同理ａ＋ｂ＝（x1－x2，y1－y2），λａ＝（λx1，λy1）．
上述结论可表述为：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
三、解释应用
［例 题］
1. 已知A（x1，y1），B（x2，y2），求AB→的坐标．
解：如图39-3，AB→＝－＝（x2，y2）－（x1，y1）＝（x2－x1，y2－y1）．
总结：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．
思考：能在图中标出坐标为（x2－x1，y2－y1）的P点吗？
平移到，则P（x2－x1，y2－y1）．
2. 已知A（－2，1），B（－1，3），C（3，4）．
（1）求－的坐标． （2）求ABCD中D点的坐标．
放开思考，展开讨论，看学生们有哪些不同方法．
（1）解法1：∵＝（1，2），＝（5，3），
∴－＝（1，2）－（5，3）＝（－4，－1）．
解法2：－＝＝（－4，－1）．
（2）解法1：设D（x，y），＝，即（1，2）＝（3－x，4－y），
∴x＝y＝2，D（2，2）．
思考：你能比较出对（2）的两种解法在思想方法上的异同点吗？
（解法1是间接的思想，即方程的思想，解法2是直接的思想）
3. 在直角坐标系xOy中，已知点A（3，2），点B（－2，4），求向量＋的方向和长度．
解：由已知，得＝（3，2），＝（－2，4）．
设＝＋，则＝＋＝（3，2）＋（－2，4）＝（1，6）．
由两点的距离公式，得
设相对x轴正向的转角为α，则
查表或使用计算器，得α＝80°32′．
答：向量的方向偏离ｘ轴正向约为80°32′，长度等于，向量的方向偏离x轴正向约为116°34′，长度等于2．
［练 习］
1. 已知a＝（2，1），b＝（－3，4），求3a＋4b的坐标．
2. 设a＋b＝（－4，－3），a－b＝（2，1），求a，b．
解法1：∵2a＝（－4，－3）＋（2，1）＝（－2，－2），
2b＝（－4，－3）－（2，1）＝（－6，－4），
∴a＝（－1，－1），b＝（－3，－2）．
解法2：设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则
3. 已知ａ＝（1，1），ｂ＝（1，－1），ｃ＝（－1，2），试以ａ，ｂ为基底来表示ｃ．
解：设c＝k1a＋k2a，即（－1，2）＝k1（1，1）＋k2（1，－1），即（－1，2）＝（k1＋k2，k1－k2），
四、拓展延伸
1. 在直角坐标系xOy中，已知A（x1，y1），B（x2，y2），求线段AB中点的坐标．
解：设点M（x，y）是线段AB的中点（如图39-5），则＝（＋）．
将上式换为向量的坐标，得
（x，y）＝［（x1，y1 ）＋（x2，y2 ）］．
即.
这里得到的公式叫作线段中点的坐标计算公式，简称中点公式．
2. 对于向量a，b，c，若存在不全为0的实数k1，k2，k3，使k1a＋k2b＋k3c＝0，则称a，b，c三个向量线性相关，试研究三个向量＝（3，5），＝（0，－1），＝（－3，－4）是否线性相关．
解法1：显然有＋＋＝0，∴三者线性相关．
解法2：由k1＋k2＋k3＝0，
即k1（3，5）＋k2（0，－1）＋k3（－3，－4）＝0，
即（3k1－3k3，5k1－k2－4k3）＝（0，0），
取k1＝k2＝k3＝1，则＋＋＝0，故三个向量线性相关．
点 评
这篇案例设计完整，思路自然．由斜边上物体所受重力的分解，联想到向量应有常见的正交分解；由点的坐标表示，结合平面向量基本定理联想到向量也有坐标形式．这为锻炼学生的类比联想能力，增强数学地提出问题、解决问题的能力提供了平台．向量用坐标表示即把向量代数化，增强了学生数形结合的意识，也增强了一一对应的意识，为提高学生的数学素质打下了良好的基础．
40 平面向量的数量积
教材分析
两个向量的数量积是中学代数以往内容中从未遇到过的一种新的乘法，它区别于数的乘法．这篇案例从学生熟知的功的概念出发，引出平面向量数量积的概念和性质及其几何意义，介绍向量数量积的运算律及坐标表示．向量的数量积把向量的长度和三角函数联系在一起，这为解决三角形的有关问题提供了方便，特别是能有效解决线段的垂直等问题．这节内容是整个向量部分的重要内容之一，对它的理解与掌握将直接影响向量其他内容的学习．这节内容的教学难点是对平面向量数量积的定义及运算律的理解和对平面向量数量积的应用．
教学目标
1. 理解并掌握平面向量的数量积、几何意义和数量积的坐标表示，会初步使用平面向量的数量积来处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．
2. 通过对数量积的引入和应用，初步体会知识发生、发展的过程和运用过程，培养学生的科学思维习惯．
任务分析
两个向量的数量积从形式和实质上都与数的乘法有区别，这就给理解和掌握这个概念带来了一些困难．在学习时，要充分让学生理解、明白两个向量的数量积是一个数量，而不是向量．两个向量的数量积的值是这两个向量的模与两个向量夹角余弦的乘积，其符号由夹角余弦值的正负而确定．
两向量的数量积“a·b”不同于两实数之积“ab”．
通过实例理解a·b＝b·c与a＝c的关系，a·b＝0与a＝0或b＝0的关系，以及（a·b）c＝a（b·c）与（ab）c＝a（bc）的不同．
教学设计
一、问题情景
如图40-1所示，一个力f作用于一个物体，使该物体发生了位移s，如何计算这个力所做的功．由于图示的力f的方向与前进方向有一个夹角θ，真正使物体前进的力是f在物体前进方向上的分力，这个分力与物体位移的乘积才是力f做的功．即力f使物体位移x所做的功W可用下式计算．
W＝｜s｜｜f｜cosθ．
其中｜f｜cosθ就是f在物体前进方向上的分量，也就是力f在物体前进方向上正射影的数量．
问题：像功这样的数量值，它由力和位移两个向量来确定．我们能否从中得到启发，把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？
二、建立模型
1. 引导学生从“功”的模型中得到如下概念：
已知两个非零向量a与b，把数量｜a｜｜b｜cosθ叫a与b的数量积（内积），记作a·b＝｜a｜｜b｜cosθ．其中θ是a与b夹角，｜a｜cosθ（｜b｜cosθ）叫a在b方向上（b在a方向上）的投影．
规定0与任一向量的数量积为０．
由上述定义可知，两个向量ａ与ｂ的数量积是一个实数．
说明：向量a与b的夹角θ是指把a，b起点平移到一起所成的夹角，其中0≤θ≤π．当θ＝时，称a和b垂直，记作a⊥b．为方便起见，a与b的夹角记作〈a，b〉．
2. 引导学生思考讨论
根据向量数量积的定义，可以得出
（1）设e是单位向量，a·e＝｜a｜cos〈a，e〉．
（2）设a·b是非零向量，则a⊥ba·b＝0．
（3）a·a＝｜a｜2，于是｜a｜＝.
（4）cos〈a，b〉＝.
（5）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（这与实数｜ab｜＝｜a｜｜b｜不同）．
三、解释应用
［例 题］
已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，〈a，b〉＝120°，求a·b．
解：a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉＝5×4×cos120°＝－10．
［练 习］
1. 已知｜a｜＝3，ｂ在ａ上的投影为－2，求：（1）a·ｂ． （2）a在b上的投影．
2. 已知：在△ABC中，a＝5，b＝8，c＝60°，求·．
四、建立向量数量积的运算律
1. 出示问题：从数学的角度考虑，我们希望向量的数量积运算，也能像数量乘法那样满足某些运算律，这样数量积运算才更富有意义．回忆实数的运算律，你能类比和归纳出向量数量积的一些运算律吗？它们成立吗？为什么？
2. 运算律及其推导
已知：向量a，b，c和λ∈R，则
（1）a·b＝b·a（交换律）．
证明：左＝｜a｜｜b｜cosθ＝右．
（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）（数乘结合律）．
证明：设a，b夹角为θ，当λ＞0时，λa与b的夹角为θ，
∴（λa）·b＝（λa）·｜b｜cosθ＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）；
当λ＜0时，λa与b的夹角为（π－θ），
∴（λa）·b＝｜λa｜｜b｜cos（π－θ）＝－λ｜a｜｜b｜（－cosθ）＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）；
当λ＝0时，（λa）·b＝0·b＝0＝λ（a·b）．
总之，（λa）·b＝λ（a·b）；
同理a·（λb）＝λ（a·b）．
（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（乘法对加法的分配律）．
证明：如图40-2，任取一点O，作＝a，＝ｂ，＝c．
∵a＋b（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即
｜a＋b｜cosθ＝｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2，
∴｜c｜｜a＋b｜cosθ＝｜c｜（｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2）＝
｜c｜｜a｜cosθ1＋｜c｜｜b｜cosθ2＝c·a＋c·b，
∴（a＋b）·c＝a·c＋b·c．
思考：（1）向量的数量积满足结合律，即（a·b）c＝a（b·c）吗？
（2）向量的数量积满足消去律，即如果a·b＝c·b，那么a＝c吗？
五、应用与深化
［例 题］
1. 对实数a，b，有（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，（a＋b）（a－b）＝a2－b2．类似地，对任意向量a，b，也有类似结论吗？为什么？
解：类比完全平方和公式与平方差公式，有
（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2，（a＋b）·（a－b）＝a2－b2．
其证明是：（a＋b）2＝（a＋b）·（a＋b）＝
a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝
a2＋2a·b＋b2，
（a＋b）·（a－b）＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝
a2－b2．
∴有类似结论．
2. 已知｜a｜＝6，｜b｜＝4，〈a，b〉＝60°，求（a＋2b）·（a－3b）．
解：（a＋2b）·（a－3b）＝
a2－3a·b＋2b·a－6b2＝
｜a｜2－｜a｜｜b｜cos60°－6｜b｜2＝－72．
3. 已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a与b不共线．当k为何值时，（a＋kb）⊥（a－kb）？
解：（a＋kb）⊥（a－kb），即（a＋kb）·（a－kb）＝0，即a2－k2b2＝0，即9－k2×16＝0，k＝±．
因此，当k＝±时，有（a＋kb）⊥（a－kb）．
4. 已知：正方形ABCD的边长为1，并且＝a，＝b，＝c，求｜a＋b＋c｜．
解法1：∵a＋b＋c＝＋＋＝2，
∴｜a＋b＋c｜＝2＝2．
解法2：｜a＋b＋c｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋2＋2×1×1×cos90°＋2×1× ×＋2×1××＝8，∴｜a＋b＋c｜＝2．
［练 习］
1. ｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝61，求a与b的夹角θ．
2. 在边长为2的正三角形ABC中，求·＋·＋·．
六、拓展延伸
1. 当向量a，b的夹角为锐角时，你能说明a·b的几何意义吗？
如图40-3，a·b，即以b在a上射影的长和ａ的长为两邻边的矩形面积（OA＝OA1）．
2. 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，如图40-4，＝＋，＝－．试说明平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系．
3. 三个单位向量a，b，c有相同终点且a＋b＋c＝0，问：它们的起点连成怎样的三角形？
解法1：如图40-5，∵｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴（a＋b）2＝（－c）2，
∴a2＋b2＋2a·b＝c2，∴2｜a｜·｜b｜cos∠AOC＝－1，cos∠AOC＝，∠AOC＝120°．
同理∠BOC＝∠AOC＝120°，故△AOB，△BOC，△BOC全等，∴AB＝AC＝BC，即该△ABC为等边三角形．
解法2：如图40-6，＝c，＝－a，＝－b，由a＋b＋c＝0，即＝＋．
∵｜a｜＝｜b｜＝1，∴OADB为菱形．
又｜｜＝1，∴∠AOB＝120°．
同理∠AOC＝∠BOC＝120°，…
4. 在△ABC中，·＝·＝·，问：O点在△ABC的什么位置？
解：由·＝·，即·（－）＝0，即·＝0，∴⊥，同理⊥，⊥．故O是△ABC的垂心．
点 评
这篇案例的一个突出特点是使用类比方法，即在研究向量的数量积的性质及运算律时，经常以实数为对象进行类比．以物理学中的力对物体做功的实例，引入数量积的过程比较自然，学生容易接受．在“拓展延伸”中，较多地展示了向量的综合应用．这都充分体现了向量是数形结合的重要载体．运用向量方法解决与向量有关的综合问题，越来越成为考查学生数学思维能力的一个重要方面．认识向量并会使用向量是这一部分的基础，也是重点．总之，这篇案例较好地实现了教学目标，同时，关注类比方法的运用，以及学生数学思维水平的提高．美中不足的是，对学生的自主探究的引导似乎有所欠缺．
41 两角和与差的余弦
教材分析
这节内容是在掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示的两角和与差的三角函数．这些内容在高等数学、电功学、力学、机械设计与制造等方面有着广泛的应用，因此要求学生切实学好，并能熟练的应用，以便为今后的学习打下良好的基础．
“两角差的余弦公式”在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时成立．对于α，β为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了探究．同时，补充了用向量的方法推导过程中的不严谨之处，这样，两角差的余弦公式便具有了一般性．
这节课的重点是两角差的余弦公式的推导，难点是把公式中的α，β角推广到任意角．
教学目标
1. 通过对两角差的余弦公式的探究过程，培养学生通过交流，探索，发现和获得新知识的能力．
2. 通过两角差的余弦公式的推导，体会知识的发生、发展的过程和初步的应用过程，培养学生科学的思维方法和勇于探索的科学精神．
3. 能正确运用两角差的余弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式证明．
任务分析
这节内容以问题情景中的问题作为教学的出发点，利用单位圆中的三角函数线和平面向量的数量积的概念推导出结论，并不断补充推导过程中的不严谨之处．推导过程采用了从特殊到一般逐层递进的思维方法，学生易于接受．整个过程始终结合单位圆，以强调其直观性．对于公式中的α和β角要强调其任意性．数学中要注意运用启发式，切忌把结果直接告诉学生，尽量让学生通过观察、思考和探索，自己发现公式，使学生充分体会到成功的喜悦，进一步激发学生的学习兴趣，调动他们学习的积极性，从而使其自觉主动地学习．
教学过程
一、问题情景
我们已经学过诱导公式，如
可以这样来认识以上公式：把角α转动，则所得角α＋的正弦、余弦分别等于cosα和－sinα．把角α转动π，则所得角α＋π的正弦、余弦分别等于－sinα和－cosα．
由此，使我们想到一个一般性的问题：如果把角α的终边转动β（度或弧度），那么所得角α＋β的正弦、余弦如何用α或β的正弦、余弦来表示呢？
出示一个实际问题：
右图41-1是架在小河边的一座吊桥的示意图．吊桥长AB＝ａ（m），A是支点，在河的左岸．点C在河的右岸，地势比A点高．AD表示水平线，∠DAC＝α，α为定值．∠CAB＝β，β随吊桥的起降而变化．在吊桥起降的过程中，如何确定点B离开水平线AD的高度BE？
由图可知BE＝asin（α＋β）．
我们的问题是：如何用α和β的三角函数来表示sin（α＋β）．如果α＋β为锐角，你能由α，β的正弦、余弦求出sin（α＋β）吗？
引导学生分析：事实上，我们在研究三角函数的变形或计算时，经常提出这样的问题：能否用α，β的三角函数去表示α±β的三角函数？为了解决这类问题，本节首先来探索α－β的余弦与α，β的函数关系式．
更一般地说，对于任意角α，β，能不能用α，β的三角函数值把α＋β或α－β的三角函数值表示出来呢？
二、建立模型
1. 探 究
（1）猜想：cos（α－β）＝cosα－cosβ．
（2）引导学生通过特例否定这一猜想．
例如，α＝60°，β＝30°，可以发现，左边＝cos（60°－30°）＝cos30°＝，右边＝cos60°－cos30°＝－．显然，对任意角α，β，cos（α－β）＝cosα－cosβ不成立．
（3）再引导学生从道理上否定这一猜想．
不妨设α，β，α－β均为锐角，则α－β＜α，则cos（α－β）＞cosα．又cosβ＞０，所以cos（α－β）＞cosα－cosβ．
2. 分析讨论
（1）如何把α，β，α－β角的三角函数值之间建立起关系？要获得相应的表达式需要哪些已学过的知识？
（2）由三角函数线的定义可知，这些角的三角函数值都与单位圆中的某些有向线段有关系，那么，这些有向线段之间是否有关系呢？
3. 教师明晰
通过学生的讨论，教师引导学生作出以下推理：
设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么，OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．
过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是
OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝
cosβcosα＋sinβsinα．
4. 提出问题，组织学生讨论
（1）当α，β，α－β为任意角时，上述推导过程还能成立吗？
若要说明此结果是否对任意角α，β都成立，还要做不少推广工作，可引导学生思考．
事实上，根据诱导公式，总可以把α，β的三角函数化为（0，）内的三角函数，再根据cos（－β）＝cosβ，把α－β的余弦，化为锐角的余弦．因此，
三、解释应用
［例 题］
1. 求cos15°及cos105°的值．
分析：本题关键是将15°角分成45°与30°的差或者分解成60°与45°的差，再利用两角差的余弦公式即可求解．对于cos105°，可进行类似地处理，cos105°＝cos（60°＋45°）．
2. 已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝－，且β是第三象限的角，求cos（α＋β）的值．
分析：观察公式Cα＋β与本题已知条件应先计算出cosα，cosβ，再代入公式求值．求cosα，cosβ的值可借助于同角三角函数的平方关系，并注意α，β的取值范围来求解．
［练 习］
1. （1）求sin75°的值．
（2）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°的值．
（3）化简cos（A＋B）cosB＋sin（A＋B）sinB．
（4）求cos215°－sin215°的值．
分析：对于（1），可先用诱导公式化sin75°为cos15°，再用例题1中的结果即可．对于（2），逆向使用公式Cα-β，即可将原式化为cos30°．对于（3），可以把A＋B角看成一个整体，去替换Cα-β中的α角，用B角替换β角．
2. （1）求证：cos（－α） ＝sinα．
（2）已知sinθ＝，且θ为第二象限角，求cos（θ－）的值．
（3）已知sin（30°＋α）＝，60°＜α＜150°，求cosα．
分析：（1）和（差）公式可看成诱导公式的推广，诱导公式是和（差）公式的特例．
（2）在三角函数求值问题中，变角是一种常用的技巧，α＝（30°＋α）－30°，这样可充分利用题中已知的三角函数值．
3. 化简cos（36°＋α）cos（α－54°）＋sin（36°＋α）sin（α－54°）．
分析：这里可以把角36°＋α与α－54°均看成单角，进而直接运用公式Cα-β，不必将各式展开后再计算．
分析：本题是一道综合题，由于cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，欲求cos（α－β）的值，只须将已知两式平方相加求出cosαcosβ＋sinαsinβ即可．
四、拓展延伸
1. 由任意角三角函数定义，可知角α，β的终边与单位圆交点的坐标均可用α，β的三角函数表示，即α－β角与，两向量的夹角有关，那么能否用向量的有关知识来推导公式Cα-β呢？
教师引导学生分析：在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点为A，B，则＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ）．
由向量数量积的概念，有
·＝｜｜｜｜cos（α－β）＝cos（α－β）．
由向量的数量积的坐标表示，有
·＝cosαcosβ＋sinαsinβ．
于是，有
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ．
依据向量数量积的概念，角α－β必须符合０≤α－β≤π，即在此条件下，以上推导才是正确的．
由于α，β都是任意角，α－β也是任意角，因此，须研究α－β为任意角时，以上推导是否正确．
当α－β为任意角时，由诱导公式总可以找到一个角θ，θ∈［0，2π），使cosθ＝cos（α－β）．
若θ∈［0，π］，则·＝cosθ＝cos（α－β）；
若θ∈［π，2π］，则2π－θ∈［0，π］，且
·＝cos（2π－θ）＝cosθ＝cos（α－β）．
于是，对于任意角α，β都有
2. 教师提出进一步拓展性问题：本节问题情景中，涉及如何用sinα，sinβ，cosα，cosβ来表示sin（α＋β）的问题，试探索与研究sin（α＋β）的表达式．
点 评
这篇案例设计完整，思路清晰．案例首先通过问题情景阐述了两角和、差、三角函数公式的产生背景，然后通过组织学生分析，讨论，并借助于单位圆中的三角函数线对α，β，α－β为锐角时给出证明，进而用向量知识探究任意角的情形．这些均体现了数学中从特殊到一般的思想方法，符合新课改的基本理念．同时，例题与练习由浅入深，完整，全面．
总之，关注学生的已有基础，充分利用归纳、类比等方法激发学生进一步探究的欲望，建立Cα±β模型．这种设计思路有利于学生数学思维水平的提高，同时及时巩固，应用，拓展延伸，体现了对传统的中国式数学教学精华的继承．如果能在结束时再创设引导学生自我小结、反思的环节，可能会锦上添花．
42 两角和与差的正弦
教材分析
在这节内容中，公式较多，一旦处理不当，将成为学生学习的一种负担．针对这个特点，应充分揭示公式的内在联系，使学生理解公式的形成过程及其使用条件，在公式体系中掌握相关的公式．同时，通过练习使学生能够熟练地运用这些公式．当然，这些公式的基础是两角和差的余弦公式．通过诱导公式sin（－α） ＝sinα，sinπ（－α ）＝cosα（α为任意角），可以实现正、余弦函数间的转换，也可推广为sin（α＋β）＝ｃｏｓ［－（α＋β）］＝cos［（－α）－β］，sin（α－β）＝［－（α－β）］＝cos［（－α）＋β］.借助于Cα+β和Cα-β即可推导出公式Sα+β和Sα-β．Cα+β，Cα-β，Sα+β和Sα-β四个公式的左边均为两角和与差的正、余弦，右边均为单角α，β的正、余弦形式．不同点为公式Sα+β，Sα-β两边的运算符号相同，Cα+β与Cα-β两边的运算符号相反．Sα+β与Sα-β中右边是两单角异名三角函数的乘积，而Cα-β与Cα+β的右边是两单角同名三角函数的乘积．
任务分析
这节课计划采用启发引导和讲练结合的教学方式，对三角函数中的每一个公式要求学生会推导，会使用，要求不但掌握公式的原形，还应掌握它们的变形公式，会把“asinｘ＋bcosｘ”类型的三角函数化成一个角的三角函数．在课堂教学中，将采用循序渐进的原则，设计有一定梯度的题目，以利于培养学生通过观察、类比的方法去分析问题和解决问题的能力，培养学生良好的思维习惯．在教学中，及时提醒学生分析、探索、化归、换元、类比等常用的基本方法在三角变换中的作用．这节课的重点是准确、熟练、灵活地运用两角和差的正、余弦公式进行三角函数式的求值、化简和证明，难点是公式的变形使用和逆向使用．
教学目标
1. 能用两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，两角和差的正弦公式，并了解各个公式之间的内在联系．
2. 能运用两角和差的正、余弦公式进行三角函数式的化简、求值和证明．
3. 通过公式的推导过程，培养学生的逻辑思维能力，同时渗透数学中常用的换元、整体代换等思想方法．
教学过程
一、问题情景
如图42-1，为了保持在道路拐弯处的电线杆OB的稳固性，要加一根固定钢丝绳，要求钢丝绳与地面成75°角．已知电线杆的高度为5m，问：至少要准备多长的钢丝绳？
设电线杆与地面接触点为B，顶端为O，钢丝绳与地面接触点为A．
在Rt△AOB中，
如果能求出sin75°的值，那么即可求出钢丝绳的长度．75°角可表示成两个特殊角45°与30°的和，那么sin75°的值能否用这两特殊角的三角函数值来表示呢？
二、建立模型
1. 探 究
已知cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，则sin（α＋β），sin（α－β）中的角及函数名与cos（α＋β）和cos（α－β）有何关系？
通过诱导公式可实现正、余弦函数的转换，即sin（α＋β）＝
推导以上公式的方法并不是唯一的，其他推导方法由学生课后自己探索．
3. 分析公式的结构特征
Sα+β与Sα-β中两边的加减运算符号相同，右边为α与β角的异名三角函数的乘积．应特别注意公式两边符号的差异．
三、解释应用
［例题一］
已知sinα＝－，且α为第四象限角，求sin（－α）cos（＋α）的值．
分析：本题主要训练公式Sα-β与Sα+β的使用．
由sinα＝－及α为第四象限角，可求出cosα＝，再代入公式求值．
［练习一］
分析：1. （1）强调公式的直接运用，寻找所求角与已知角之间的关系，α＝（30°＋α）－30°，再利用已知条件求出cos（30°＋α）．
2. 应注意三角形的内角之间的关系，C＝π－（A＋B），再由诱导公式cos（π－α）＝－cosα，要求cosＣ即转化为求－cos（A＋B）．
3. 应注意分析角之间的关系，2β＝（α＋β）－（α－β），因此，求cos2β还应求出sin（α－β）和cos（α＋β）．解此题时，先把α＋β与α－β看成单角，然后把2β用这两个单角来表示．
4. 该题是在已有知识的基础上进一步深化，引导学生分三步进行：（1）求出α＋β角的某个三角函数值．（2）确定角的范围．（3）确定角的值．其中，求α＋β的某个三角函数值时，应分清是求cos（α－β）还是求sin（α－β）．
已知向量＝（3，4），若将其绕原点旋转45°到′→的位置，求点P′（x′，y′）的坐标．
解：设∠ｘOP＝α，∵｜OP｜＝5，
∴cosα＝，sinα＝．
∵x′＝5cos（α＋45°）＝5（cosαcos45°－sinαsin45°）＝－，
y′＝5sin（α＋45°）＝5（sinαcos45°＋cosαsin45°）＝，
∴P′ －，．
已知向量＝（4，3），若将其绕原点旋转60°，－135°到1，2的位置，求点P1，P2的坐标．
［例题三］
求下列函数的最大值和最小值．
（1）y＝cosｘ－sinx．
（2）y＝3sinx＋4cosx．
（3）y＝asinx＋bcosx， （ａｂ≠０）．
注：（1），（2）为一般性问题，是为（3）作铺垫，推导时，要关注解题过程，以便让学生充分理解辅助角φ满足的条件．
（3）解：考查以（ａ，ｂ）为坐标的点P（ａ，ｂ），设以OP为终边的一个角为φ，则
［练习三］
求下列函数的最大值和最小值．
（1）y＝cosx－sinx．
（2）y＝sinx－sin（x＋）
（3）已知两个电流瞬时值函数式分别是I1＝12sin（ωt－45°），I2＝10sin（ωt＋30°），求合成的正弦波I＝I1＋I2的函数式．
四、拓展延伸
出示两道延伸性问题，引导学生思考，然后师生共同解决．
1. 已知三个电流瞬时值的函数式分别为I1＝5sinωt，I2＝6sin（ωt－60°），I3＝10sin（ωt＋60°），求它们合成后的电流瞬时值的函数式I＝I1＋I2＋I3，并指出这个函数的振幅、初相和周期．
2. 已知点P（x，y），与原点的距离保持不变绕原点旋转θ角到点P′（x′，y′）（如图42-2），求证：
点 评
这篇案例设计完整，思路清晰．案例首先通过问题情景阐述了两角和、差正弦公式产生的背景，然后引导学生体会公式的形成过程，进一步理解和分析化归、换元、类比等数学常用思想方法在三角变换中的作用．例题的设计由浅入深，完整，全面．“拓展延伸”的设计有新意，有一定深度，为学生的数学思维能力和创造力的培养提供了平台．
整篇案例紧紧围绕Sα+β的推导和应用，内容充实，环节紧凑，关注及时的巩固和深化，同时，注意拓展延伸的难度和思维深度．应该说，这是一篇比较成功的教学设计案例．值得推敲的是，“问题情景”似乎有些牵强．
43 三角形边和角关系的探索
教材分析
初中已研究过解直角三角形，这节所研究的正、余弦定理是解直角三角形知识的延伸与推广，它们都反映了三角形边、角之间的等量关系，并且应用正、余弦定理和三角形内角和定理，可以解斜三角形．正弦定理的推证运用了从特殊到一般的方法，把直角三角形中得到的边角关系式推广到锐角三角形，再推广到钝角三角形，进而得出一般性的结论．余弦定理的推证采用向量的数量积做工具，将向量的长度与三角形的边长、向量的夹角与三角形的内角联系起来．对于正、余弦定理的推论，除了这节课的证法之外，还有其他的一些推证方法．教材中还要求，在证明了正、余弦定理之后，让学生尝试用文字语言叙述两个定理，以便理解其实质．当然，就知识而言，正弦定理有三个等式，可视为三个方程；余弦定理的三个式子也可看成三个方程，每个方程中均有四个量，知道其中任意三个量便可求第四个量．
这节课的重点是正、余弦定理的证明，以及用正、余弦定理解斜三角形，难点是发现定理、推证定理以及用定理解决实际问题．
任务分析
这节内容是在初中对三角形有了初步认识的基础上，进一步研究三角形的边、角之间的等量关系．对正弦定理的推导，教材中采用了从特殊到一般的方法，逐层递进，学生易于接受，而余弦定理的证明采用了向量的方法．应用两个定理解三角形时，要分清它们的使用条件．将正、余弦定理结合起来应用，经常能很好地解决三角形中的有关问题．
教学目标
1. 理解正、余弦定理的推证方法，并掌握两个定理．
2. 能运用正、余弦定理解斜三角形．
3. 理解并初步运用数学建模的思想，结合解三角形的知识，解决生产、生活中的简单问题．
教学设计
一、问题情景
1. A，B两地相距2558m，从A，B两处发出的两束探照灯光照射在上方一架飞机的机身上（如图43-1），问：飞机离两探照灯的距离分别是多少？
2. 如图43-2，自动卸货汽车的车厢采用液压机构，设计时应计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平的夹角为6°20′，AC长为1.40m，计算BC的长．（精确到0.01m）
问题：（1）图中涉及怎样的三角形？
（2）在三角形中已知什么？求什么？
二、建立模型
1. 教师引导学生分析讨论
在问题情景（1）中，已知在△ABC中，∠A＝72.3°，∠B＝76.5°，AB＝2558m．求AC，BC的长．
组织学生讨论如何利用已知条件求出AC，BC的长度．（让学生思考，允许有不同的解法）
结论：如图40-3，作AD⊥BC，垂足为D．由三角函数的定义，知AD＝AC·sinC，AD＝AB·sinB．
由此可得AC·sinC＝AB·sinB．
又由∠A，∠B的度数可求∠C的度数，代入上式即可求出AC的长度，同理可求BC的长度．
教师明晰：
（1）当△ABC为直角三角形时，由正弦函数的定义，得
（2）当△ABC为锐角三角形时，设AB边上的高为CD，根据三角函数的定义，得CD＝asinB＝bsinA，所以，同理.
（3）当△ABC为钝角三角形时，结论是否仍然成立？引导学生自己推出．（详细给出解答过程）
事实上，当∠A为钝角时，由（2）易知.
设BC边上的高为CD，则由三角函数的定义，得
CD＝asinB＝bsin（180°－A）．
根据诱导公式，知sin（180°－A）＝sinA，
∴asinB＝bsinA，即.
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.
正弦定理指出了任意三角形中三条边与它对应角的正弦之间的一个关系式，描述了任意三角形中边、角之间的一种数量关系．
思考：正弦定理可以解决有关三角形的哪些问题？
2. 组织学生讨论问题情景（2）
这一实际问题可化归为：已知△ABC的边AB＝1.95，AC＝1.4，夹角为6°20′，求BC的长．
组织学生讨论：能用什么方法求出BC？（学生有可能有多种不同的解法）
教师明晰：如果已知三角形的两边和夹角，这个三角形为确定的三角形，那么怎样去计算它的第三边呢？由于涉及边长及夹角的问题，故可以考虑用平面向量的数量积．（也可用两点间的距离公式）
如图，设＝a，＝b，＝c，则c＝a－b．
∵｜c｜2＝c·c＝（a－b）·（a－b）＝ａ2＋ｂ2－2abcosC，
∴c2＝ａ2＋b2－2abcosC．
同理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB．
于是得到以下定理：
余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
a2＝b2＋c2－2bccosA，
b2＝c2＋a2－2accosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC．
思考：余弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题？
3. 进一步的问题
勾股定理指出了直角三角形中三边之间的等量关系，余弦定理则指出了一般三角形三边之间的等量关系，那么这两个定理之间存在怎样的关系？如何利用余弦定理来判断三角形是锐角三角形还是钝角三角形？
三、解释应用
［例 题］
1. （1）已知：在△ABC中，A＝32.0°，B＝81.8°，ａ＝42.9cm，解三角形．
（2）已知：在△ABC中，ａ＝20cm，ｂ＝28cm，A＝40°，解三角形．（角精确到1°，边长精确到1cm）
分析：（1）本题为给出三角形的两角和一边解三角形问题，可由三角形内角和定理先求出第三个角，再两次利用正弦定理分别求出另两边．
（2）本题给出了三角形的两边及其中一边的对角，于是可用正弦定理求出b边的对角B的正弦，sinB≈0.99，但0＜B＜π，故Ｂ角有两个值（如图43-8），从而C角与c边的取值也有两种可能．学生在解题时容易丢掉一组解，应引导学生从图形上寻找漏掉的解．
2. （1）已知：在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，A＝41°，解三角形．（角精确到1°，边长精确到1cm）
（2）已知：在△ABC中，ａ＝134.6cm，ｂ＝87.8cm，ｃ＝161.7cm，解三角形．（角精确到1′）．
分析：本例中的（1）题，给出了两边及其夹角，可先用余弦定理求出第三边，求其他两角时既可用余弦定理也可用正弦定理．（2）题给出了三边长，可先用余弦定理求出其中一角，然后同样既可用正弦定理，也可用余弦定理求出其他两角．
3. AB是底部B不可到达的建筑物，A为建筑物的最高点．设计一种测量建筑物高度AB的方法．
分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高．由解直角三角形的知识，只要能知道一点C到建筑物顶部A的距离CA，并能测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高．为了求出CA的长，可选择一条水平基线HG（如图43-9），使H，G，B三点在同一条直线上．在G，H两点用测角仪器测得A的仰角分别为α，β，设CD＝ａ，测角仪器的高为ｈ，则在△ACD中，由正弦定理，得，sin（α－β），从而可求得AB＝AE＋h＝ACsinα＋h＝＋h．
［练 习］
1. 在△ABC中，已知下列条件，解三角形．（角精确到1°，边长精确到1cm）
（1）A＝45°，C＝30°，ｃ＝10cm．
（2）A＝60°，B＝45°，ｃ＝20cm．
（3）ａ＝20cm，ｂ＝11cm，B＝30°．
（4）ｃ＝54cm，ｂ＝39cm，ｃ＝115°．
2. 在△ABC中，已知下列条件，解三角形．（角精确到0.1°，边长精确到0.1cm）
（1）ａ＝2.7cm，ｂ＝3.696cm，C＝82.2°．
（2）ｂ＝12.9cm，ｃ＝15.4cm，A＝42.3°．
（3）ａ＝7cm，ｂ＝10cm，ｃ＝6cm．
四、拓展延伸
1. 在△ABC中，有正弦定理
这涉及比值的连等式．请探索并研究是一个什么样的量，并加以证明．
2. 在△ABC中，已知三边的长为ａ，ｂ，ｃ，如何判定△ABC的形状？
3. 已知：在△ABC中，ａ＝60，ｂ＝50，Ａ＝38°，求B．（精确到1°）
分析：.
∵0°＜B＜180°，∴B≈31°或B≈149°，
但当B≈149°时，A＋B＝187°，这与A，B为三角形内角矛盾，故B角只能取31°．
由此题与例1中的（2）题的分析可以发现，在已知三角形两边及其一边对角解三角形时，在某些条件下会出现一解或两解的情形，那么会不会出现无解的情形呢？
（1）当A为钝角或直角，必须满足ａ＞ｂ才有解（ａ≤ｂ无解），并且由sinB＝计算B时，只能取锐角，因此，只有一解，如图43-10．
（2）当A为锐角时，
①若ａ＞ｂ或ａ＝ｂ，则由sinB＝计算B时，只能取锐角的值，因此，只有一解，如图40-11．
②若ａ＜ｂsinA，则由sinB＝，得sinB＞1，因此，无解．如图43-12．
③若ａ＝bsinA，则由sinB＝，得sinB＝1，即Ｂ为直角，故只有一解，如图43-13．
④若ｂ＞ａ＞bsinA，则sinB＜1，故B可取一个锐角和一个钝角的值，如图43-14．
思考：若已知三角形的两角和一边、三边、两边及其夹角来解三角形时，它们的解会是怎样的？
点 评
这篇案例设计，思路清晰，突出现实．首先通过恰当的问题情景阐述三角形边角关系产生的背景，使学生体会到了数学在解决实际问题中的作用．然后通过探究、推导活动，使学生体会到了数学知识的发现和发展的历程．例题与练习的配备由浅入深，注重了教学与自然界的关系．拓展延伸有深度，为提高学生的思维能力和创造力提供了良好平台．
总之，从现实出发建立正、余弦定理的模型，又在现实应用中升华有关正、余弦定理的理解，是这篇案例的突出特点．
44 数列
教材分析
这节课主要研究数列的有关概念，并运用概念去解决有关问题，其中，对数列概念的理解及应用，既是教学的重点，也是教学的难点．
教学目标
1. 理解数列及数列的通项公式等有关概念，会根据一个数列的有限项写出这个数列的一个通项公式．
2. 了解递推数列，并会由递推公式写出此数列的若干项．
3. 进一步培养学生观察、归纳和猜想的能力．
任务分析这节内容以往很少涉及，对学生来说，既新又抽象，所以，须要依靠实例进行教学．数列与函数的关系应在函数定义的基础上加以理解．由若干项写出数列的一个通项公式是难点，但这又是锻炼学生的归纳、猜想能力的极好机会，应大胆让学生亲自归纳和猜想．
教学设计
一、问题情景
传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们研究过1，3，6，10，…由于这些数都能够表示成三角形（如图44-1），他们就将其称为三角形数．类似地，1，4，9，16，…能够表示成正方形（如图44-2），他们就将其称为正方形数．
二、建立模型
1. 引导学生观察、分析数列的顺序要求，设法用自己的语言描述出数列的定义及有穷数列、无穷数列、递增数列、摆动数列等有关概念像1，4，9，16，…等按照一定规律排列的一列数，就叫作数列．
［练 习］
下面的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列和摆动数列？
（1）全体自然数构成数列
0，1，2，3，…
（2）1996～2002年某市普通高中生人数（单位：万人）构成数列
82，93，105，119，129，130，132．
（3）无穷多个3构成数列
3，3，3，3，…
（4）目前通用的人民币面额按从大到小的顺序构成数列（单位：元）
100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01．
（5）－1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，……构成数列
－1，1，－1，1，…
（6）的精确到1，0.1，0.01，0.001，…的不足近似值与过剩近似值分别构成数列
1，1.4，1.41，1.414，…
2，1.5，1.42，1.415，…
2. 引导学生根据实例、项和第n项等概念发现数列与函数的关系
如：数列1，2，0，－1，3，8，…，第1项是1，第4项是－1，……由此可以发现，对于一个给定的数列，当确定了项的位置后，这个数列的项也随之唯一确定．一般地，数列可以看作定义域为Ｎ（或其子集）的函数当自变量依次为1，2，3，…时的一系列函数值．
［问 题］
数列既然可以看作一列函数值，那么“这个函数”可以如何表示？一定有解析式吗？你能举出一些有解析式的例子吗？根据学生的讨论，探究，得出：数列可以用列表、图像和函数解析式来表示，从而，解析式即为数列的通项公式．
三、解释应用
［例 题］
1. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数．
（1）1，－，，－．
（2）2，0，2，0．
解：（1）.
（2）可以写成也可以写成an＝1＋（－1）n-1，（其中n＝1，2，…）．
注：对于（2），可以引导学生得到不同的结论，从而发现，根据数列的前若干项写出的通项公式不一定唯一．
2. 下图中的三角形称为希尔宾斯基三角形．在下图4个三角形中，黑色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图像．
解：如图44-3，这4个三角形中的黑色三角形的个数依次为1，3，9，27，则所求数列的前4项都是3的指数幂，并且指数为序号减1．所以，这个数列的一个通项公式是an＝3n-1．
在直角坐标系中的图像见下图：
3. 设数列满足
试写出这个数列的前5项．
解：∵a1＝1，
注：像这样给出数列的方法叫逆推法．
［练 习］
1. 数列的前5项分别是以下各数，试分别写出各数列的一个通项公式．
2. 已知数列｛an｝满足a1＝1，an＝－1（n＞1），试写出它的前5项．
3. 已知数列的通项公式为an＝n2－10n＋10，那么这个数列从第n项起各项的数值是否逐渐增大？从第n项起各项的数值是否均为正数？
四、拓展延伸
教师引导学生分析思考下面的两个问题（可以在课堂上或课后完成）：
1. 已知数列｛an｝满足，问：此数列有无最大项和最小项？
2. 通常用Sn表示数列｛an｝的前n项的和，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an．已知｛an｝的前n项和Sn＝n2－3n＋2，试求｛an｝的通项公式．一般地，如何用Sn表示an呢？
点 评
这篇案例通过实例阐述了数列的有关概念，注意揭示了知识发生、发展的过程，比较好地调动了学生参与探索的积极性和主动性．问题情景设计新颖，合理；问题提出得准确，恰当；总体设计完整，清晰．另外，该案例还关注了学生科学地提出和解决问题的能力的培养．
美中不足的是，自“问题情景”到“建立模型”两个环节的“交接处”显得有些跳跃，步骤有些过简．
45 等差数列
教材分析
等差数列是高中阶段研究的两种最常见的数列之一．这节内容在一些具体实例的基础上，归纳、抽象、概括出了等差数列的定义及其通项公式．教学重点是等差数例的定义及通项公式的发现过程及有关知识的应用．教学难点是理解公式的实质并加以灵活运用．
教学目标
1. 理解等差数列的概念，掌握其通项公式及实质并会熟练应用．
2. 通过对等差数列概念及通项公式的归纳、抽象和概括，体验等差数列概念的形成过程，培养学生的抽象、概括能力．
3. 培养从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想，并锻炼学生归纳、猜想、论证的能力．
任务分析
这节课是在实例的基础上，采用从特殊到一般，再从一般到特殊的思想，对此，学生接受起来并不太困难．对于等差数列的定义及通项公式的发现，要完全地放给学生自己讨论，探究，以便于充分调动学生的主观能动性，使其充分体验到成功的乐趣．对于通项公式，不要只看表面，更要看到公式的实质———四个量之间的一个等量关系，以便于以后运用方程思想灵活解决有关问题．
教学设计
一、问题情景
在现实生活中，经常会遇到下面的特殊数列．
1. 我们经常这样数数，从0开始，每隔5个数一次，可以得到数列：
0.5， ______________ ， ______________ ， ______________ ， ______________ ，…
2. 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼．如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m，那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：
18， ______________ ， ______________ ， ______________ ， ______________ ，5.5．
3. 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息．按照单利计算本利和的公式是：
本利和＝本金×（1＋利率×存期）．
例如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和组成的数列是
______________ ， ______________ ， ______________ ， ______________ ， ______________ ．
问题：上面的数列有什么共同特点？
你能用数学语言（符号）描述这些特点吗？
二、建立模型
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示，即ａn＋1－ａn＝d（n∈N＋）．
［问 题］
（1）如果三个数ａ，A，ｂ成等差数列，那么A叫ａ，ｂ的等差中项．你能用ａ，ｂ表示A吗？
（2）你能猜想出问题情景中的3个数列各自的通项公式吗？
（3）一般地，对于等差数列｛ａn｝，你能用基本量ａ1，ｄ来表示其通项吗？
解法1：归纳：ａ1＝ａ1，ａ2＝ａ1＋ｄ，ａ3＝ａ1＋2ｄ，…，
ａn＝ａ1＋（ｎ－1）d．
解法2：累加：ａ2－ａ1＝ｄ，ａ3－ａ2＝ｄ，…，ａn－ａn-1＝ｄ，各式相加，得ａn－ａ1＝（ｎ－1）ｄ，
∴ａn＝ａ1＋（ｎ－1）ｄ．
［思 考］
（1）这个通项公式有何特点？是关于n的几次式的形式？ｄ可以等0吗？
（2）此公式中有几个量？
［结 论］
（1）等差数列通项公式是关于n的一次式的形式，ｎ的系数为ｄ．当ｄ＝0时，该数列为常数列．
（2）此公式中有四个量，即ａn，ａ1，ｎ，ｄ，知道其中任何三个可求另外一个，所以，通项公式实质是四个量之间的关系．
三、解释应用
［例 题］
1. （1）求等差数列8，5，2，…的第20项．
（2）－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？
2. 某市出租车的计价标准为1.2元／千米，起步价为10元，即最初的4km（不含4km）计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，须要支付多少车费？
解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客须要支付1.2元．所以，可建立一个等差数列｛ａn｝来计算车费．
令ａ1＝11.2，表示4km处的车费，公差ｄ＝1.2．那么，当出租车行至14km处时，ｎ＝11，此时须要支付车费ａ11＝11.2＋（11－1）×1.2＝23.2（元）．
答：须要支付车费23.2元．
3. 已知数列｛ａn｝的通项公式为ａn＝pn＋ｑ，其中ｐ，ｑ为常数，且ｐ≠０，那么这个数列一定是等差数列吗？
分析：判定｛ａn｝是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看ａn－ａn-1（ｎ＞1）是不是一个与ｎ无关的常数．
解：取数列｛ａn｝中的任意相邻两项ａn与ａn-1（ｎ＞1），求差，得
ａn－ａn-1＝（ｐｎ＋ｑ）－［ｐ（ｎ－１）＋ｑ］＝
ｐｎ＋ｑ－（ｐｎ－ｐ＋ｑ）＝ｐ．
它是一个与ｎ无关的数．所以｛ａn｝是等差数列．
［练 习］
1. 在等差数列中，
（1）已知ａ5＝－1，ａ8＝2，求ａ1与ｄ．
（2）已知ａ1＋ａ6＝12，ａ4＝7，求ａ9．
2. 已知｛ａn｝是等差数列．
（1）2ａ5＝ａ3＋ａ7是否成立？2ａ5＝ａ1＋ａ9是否成立？
（2）2ａn＝ａn－2＋ａn＋２（ｎ＞2）是否成立？2ａn＝ａn－k＋ａn＋k（ｎ＞ｋ＞0）是否成立？
3. 已知数列｛ａn｝，｛bn｝的通项公式分别为ａn＝ａn＋2，bn＝bn＋1（ａ，ｂ是常数），且ａ＞ｂ，那么这两个数列中的序号与数值均相等的项的个数有几个？
四、拓展延伸
（1）在直角坐标系中，画出通项公式为ａn＝3n－5的数列的图像，并说出这个数列的图像有什么特点．该图像与ｙ＝3ｘ－5的图像有什么关系？据此，你能得出一般性的结论吗？
（2）通项公式的四个量中知道其中三个量可求另一个量，你能据此编出一些不同的题目吗？
（3）对于两个次数相同的等差数列｛ａn｝和｛bn｝，｛ａn＋bn｝，｛ａn·bn｝，（ｂｎ≠0）是否为等差数列？
点 评
教师能否调动学生的积极性和能否真正培养学生能力，提高课堂效率，很大程度上取决于教师能否设计出既符合教材要求又符合学生的认知水平的问题．这节课正是通过恰当地设计一系列问题，层层递进，使问题得到了全面解决，这样不仅锻炼了学生思维，培养了学生能力，而且也充分体现了新课程的理念．
值得一提的是，利用归纳的方式引导学生建立概念并及时在应用中深化，是这篇案例的突出特点．
46 等差数列的前n项和
教材分析
等差数列的前ｎ项和是数列的重要内容，也是数列研究的基本问题．在现实生活中，等差数列的求和是经常遇到的一类问题．等差数列的求和公式，为我们求等差数列的前ｎ项和提供了一种重要方法．
教材首先通过具体的事例，探索归纳出等差数列前ｎ项和的求法，接着推广到一般情况，推导出等差数列的前ｎ项和公式．为深化对公式的理解，通过对具体例子的研究，弄清等差数列的前ｎ项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系，并能熟练地运用等差数列的前ｎ项和公式解决问题．这节内容重点是探索掌握等差数列的前ｎ项和公式，并能应用公式解决一些实际问题，难点是前ｎ项和公式推导思路的形成．
教学目标
1. 通过等差数列前ｎ项和公式的推导，让学生体验数学公式产生、形成的过程，培养学生抽象概括能力．
2. 理解和掌握等差数列的前ｎ项和公式，体会等差数列的前ｎ项和与二次函数之间的联系，并能用公式解决一些实际问题，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力．
3. 在研究公式的形成过程中，培养学生的探究能力、创新能力和科学的思维方法．
任务分析
这节内容主要涉及等差数列的前ｎ项公式及其应用．
对公式的推导，为便于学生理解，采取从特殊到一般的研究方法比较适宜，如从历史上有名的求和例子1＋2＋3＋……＋100的高斯算法出发，一方面引发学生对等差数列求和问题的兴趣，另一方面引导学生发现等差数列中任意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和等于首项与末项的和这个规律，进而发现求等差数列前ｎ项和的一般方法，这样自然地过渡到一般等差数列的求和问题．对等差数列的求和公式，要引导学生认识公式本身的结构特征，弄清前ｎ项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系．为加深对公式的理解和运用，要强化对实例的教学，并通过对具体实例的分析，引导学生学会解决问题的方法．特别是对实际问题，要引导学生从实际情境中发现等差数列的模型，恰当选择公式．对于等差数列前ｎ项和公式和二次函数之间的联系，可引导学生拓展延伸．
教学设计
一、问题情景
1. 在200多年前，有个10岁的名叫高斯的孩子，在老师提出问题：“1＋2＋3＋…＋100＝？”时，很快地就算出了结果．他是怎么算出来的呢？他发现1＋100＝2＋99＝3＋97＝…＝50＋51＝101，于是1＋2＋…＋100＝101×50＝5050．
2. 受高斯算法启发，你能否求出1＋2＋3＋…＋ｎ的和．
3. 高斯的方法妙在哪里呢？这种方法能否推广到求一般等差数列的前ｎ项和？
二、建立模型
1. 数列的前ｎ项和定义
对于数列｛ａn｝，我们称ａ1＋ａ2＋…＋ａn为数列｛ａn｝的前ｎ项和，用Sn表示，即Sn＝ａ1＋ａ2＋…＋ａn．
2. 等差数列的求和公式
（1）如何用高斯算法来推导等差数列的前ｎ项和公式？
对于公差为ｄ的等差数列｛ａn｝：
Sn＝ａ1＋（ａ1＋ｄ）＋（ａ1＋2ｄ）＋…＋［ａ1＋（ｎ—1）ｄ］， ①
依据高斯算法，将Sn表示为Sn＝ａn＋（ａn—ｄ）＋（ａn—2ｄ）＋…＋［ａn—（ｎ—1）ｄ］． ②
由此得到等差数列的前ｎ项和公式
小结：这种方法称为反序相加法，是数列求和的一种常用方法．
（2）结合通项公式ａn＝ａ1＋（ｎ—1）ｄ，又能得怎样的公式？
（３）两个公式有什么相同点和不同点，各反映了等差数列的什么性质？
学生讨论后，教师总结：相同点是利用二者求和都须知道首项ａ1和项数ｎ；不同点是前者还须要知道ａn，后者还须要知道ｄ．因此，在应用时要依据已知条件合适地选取公式．公式本身也反映了等差数列的性质：前者反映了等差数列的任意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和都等于首、末两项之和，后者反映了等差数的前ｎ项和是关于ｎ的没有常数项的“二次函数”．
三、解释应用
［例 题］
1. 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛ａn｝的前ｎ项和Sn．
（1）ａ1＝ —4，ａ8＝ —18，ｎ＝8．
（2）ａ1＝14．5，ｄ＝0.7，ａn＝32．
注：恰当选用公式进行计算．
2. 已知一个等差数列｛ａn｝前10项的和是310，前20项的和是1220．由这些条件能确定这个等差数列的前ｎ项和的公式吗？
分析：将已知条件代入等差数列前ｎ项和的公式后，可得到两个关于ａ1与ｄ的关系式，它们都是关于ａ1与ｄ的二元一次方程，由此可以求得ａ1与ｄ，从而得到所求前ｎ项和的公式．
解：由题意知
注：（1）教师引导学生认识到等差数列前ｎ项和公式，就是一个关于ａn，ａ1，ｎ或者ａ1，ｎ，ｄ的方程，使学生能把方程思想和前ｎ项和公式相结合，再结合通项公式，对ａ1，ｄ，ｎ，ａn及Sn这五个量知其三便可求其二．
（2）本题的解法还有很多，教学时可鼓励学生探索其他的解法．例如，
3. 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》．某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
教师引学生分析：每年“校校通”工程的经费数构成公差为５０的等差数列．问题实质是求该数列的前10项的和．
解：根据题意，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元．所以，可以建立一个等差数列｛ａn｝，表示从2001年起各年投入的资金，其中，ａ1＝500，ｄ＝50．
那么，到2010年（ｎ＝10），投入的资金总额为
答：从2001～2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元．
注：教师引导学生规范应用题的解题步骤．
4. 已知数列｛ａn｝的前ｎ项和Sn＝ｎ2＋ｎ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
解：根据
由此可知，数列｛ａn｝是一个首项为，公差为2的等差数列．
思考：一般地，数列｛ａn｝前ｎ项和Sn＝Aｎ2＋Bｎ（A≠０），这时｛ａn｝是等差数列吗？为什么？
［练 习］
1. 一名技术人员计划用下面的办法测试一种赛车：从时速10ｋｍ／ｈ开始，每隔2ｓ速度提高20ｋｍ／ｈ．如果测试时间是30ｓ，测试距离是多长？
2. 已知数列｛ａn｝的前ｎ项的和为Sn＝ｎ2＋ｎ＋4，求这个数列的通项公式．
3. 求集合M＝｛ｍ｜ｍ＝2ｎ—1，ｎ∈N*，且ｍ＜60｝的元素个数，并求这些元素的和．
四、拓展延伸
1. 数列｛ａn｝前ｎ项和Sn为Sn＝pn2＋qn＋ｒ（ｐ，ｑ，ｒ为常数且ｐ≠０），则｛ａn｝成等差数列的条件是什么？
2. 已知等差数列5，4，3，…的前ｎ项和为Sn，求使Sn最大的序号ｎ的值．
分析1：等差数列的前ｎ项和公式可以写成Sn＝ｎ2＋ （ａ1－）ｎ，所以Sn可以看成函数ｙ＝x2＋（ａ1－ ）ｘ（ｘ∈N*）．当ｘ＝ｎ时的函数值．另一方面，容易知道Sn关于ｎ的图像是一条抛物线上的一些点．因此，我们可以利用二次函数来求ｎ的值．
解：由题意知，等差数列5，4，3，…的公差为－，所以
于是，当ｎ取与最接近的整数即7或8时，Sn取最大值．
分析2：因为公差ｄ＝ －＜０，所以此数列为递减数列，如果知道从哪一项开始它后边的项全为负的，而它之前的项是正的或者是零，那么就知道前多少项的和最大了．即使然后从中求出ｎ．
点 评
这篇案例从具体的实例出发，引出等差数列的求和问题，在设计上，设计者注意激发学生的学习兴趣和探究欲望，通过等差数列求和公式的探索过程，培养学生观察、探索、发现规律、解决问题的能力．
对例题、练习的安排，这篇案例注意由浅入深，完整，全面．拓展延伸的设计有新意，有深度，符合学生的认识规律，有利于学生理解、掌握这节内容．
就总体而言，这篇案例体现了新课程的基本理念，尤其关注培养学生的数学思维能力和创新能力．另外，这篇案例对于继承传统教学设计注重“双基”、关注学生的落实，同时注意着眼于学生的全面发展，有比较好的体现。
47 等比数列
教学内容分析
这节课是在等差数列的基础上，运用同样的研究方法和研究步骤，研究另一种特殊数列———等比数列．重点是等比数列的定义和通项公式的发现过程及应用，难点是应用．
教学目标
1. 熟练掌握等比数列的定义、通项公式等基本知识，并熟练加以运用．
2. 进一步培养学生的类比、推理、抽象、概括、归纳、猜想能力．
3. 感受等比数列丰富的现实背景，进一步培养学生对数学学习的积极情感．
任务分析
这节内容由于是在等差数列的基础上，运用同样的方法和步骤，研究类似的问题，学生接受起来较为容易，所以应多放手让学生思考，并注意运用类比思想，这样不仅有利于学生分清等差和等比数列的区别，而且可以锻炼学生从多角度、多层次分析和解决问题的能力．另外，与等差数列相比等比数列须要注意的细节较多，如没有零项、ｑ≠0等，在教学中应注意加以比较．
教学设计
一、问题情景
在前面我们学习了等差数列，在现实生活中，我们还会遇到下面的特殊数列：
1. 在现实生活中，经常会遇到下面一类特殊数列．下图是某种细胞的模型．
细胞个数可以组成下面的数列：
1，2，4，8，…
2. 一种计算机病毒可以查找计算机中的地址薄，通过电子函件进行传播．如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，函件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推．假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么，在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是
1，20，202，203，…
（3）除了单利，银行还有一种支付利息的方式———复利，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”．按照复利计算本利和的公式是
本利和＝本金×（1＋利率）存期
例如，现在存入银行10000元钱，年利率是1.98%，那么按照复利，5年内各年末得到的本利和分别是（计算时精确到小数点后2位）：
表47-1
| 时 间 | 年初本金（元） | 年末本利和（元） |
| 第1年 | 10000 | 10000×1.0198 |
| 第2年 | 10000×1.0198 | 10000×1.01982 |
| 第3年 | 10000×1.01982 | 10000×1.01983 |
| 第4年 | 10000×1.01983 | 10000×1.01984 |
| 第5年 | 10000×1.01984 | 10000×1.01985 |
１００００×１ ０１９８，１００００×１ ０１９８２，１００００×１ ０１９８３，１００００×１ ０１９８４，１００００×１ ０１９８５．
问题：回忆等差数列的研究方法，我们对这些数列应作如何研究？
二、建立模型
结合等差数列的研究方法，引导学生运用从特殊到一般的思想方法分析和探究，发现这些数列的共同特点，从而归纳出等比数列的定义及符号表示：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示（ｑ≠0）．即
［问 题］
1. ｑ可以为0吗？有没有既是等差，又是等比的数列？
2. 运用类比的思想可以发现，等比数列的定义是把等差数列的定义中的“差”换成了“比”，同样，你能类比得出等比数列的通项公式吗？如果能得出，试用以上例子加以检验．
对于2，引导学生运用类比的方法：等差数列通项公式为ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ，即ａ１与（ｎ－１）个ｄ的和，等比数列的通项公式应为ａｎ等于ａ１与（ｎ－１）个ｑ的乘积，即ａｎ＝ａ１ｑｎ－１．上面的几个例子都满足通项公式．
3. 你如何论证上述公式的正确性．
证法1：同等差数列———归纳法．
证法2：类比等差数列，累乘可得，即
各式相乘，得ａn＝ａ1ｑn－1．
归纳特点：（1）ａn是关于ｎ的指数形式．
（2）和等差数列类似，通项公式中有ａn，ａ1，ｑ，ｎ四个量，知道其中三个量可求另一个量．
三、解释应用
［例 题］
1. 某种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%，问：这种物质的半衰期为多长？
解：设这种物质最初的质量是1，经过ｎ年，剩留量是ａn．由已知条件，得数列｛ａn｝是一个等比数列，其中ａ1＝0.84，ｑ＝0.84．
设ａn＝0.5，则0.84n＝0.5．
两边取对数，得ｎｌｇ0.84＝ｌｇ0.5．
用计算器计算，得ｎ≈4．
答：这种物质的半衰期大约为4年．
2. 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项与第2项．
解：设这个等比数列的第1项是ａ1，公比是ｑ，那么
注：例1、例2体现了方程思想的应用，这也是有关等差、等比数列运算中常用的思想方法．
3. 已知数列｛ａn｝，｛bn｝是项数相同的等比数列，那么｛ａnbn｝是否为等比数列？如果是，证明你的结论；如果不是，说明理由．
解：可以得到：如果｛ａn｝，｛bn｝是项数相同的等比数列，那么｛ａn·bn｝也是等比数列．
证明如下：
设数列｛ａn｝的公比为ｐ，｛bn｝的公比为ｑ，那么数列｛ａn·bn｝的第n项与第n＋1项分别为ａ1ｐn－1·ｂ1ｑn－1与ａ1ｐn·ｂ1ｑn，即ａ1ｂ1（ｐｑ）n－1与ａ1ｂ1（ｐｑ）n．两项相比，得
显然，它是一个与ｎ无关的常数，所以｛ａn·bn｝是一个以ｐｑ为公比的等比数列．
特别地，如果｛ａn｝是等比数列，ｃ是不等于0的常数，那么数列｛ｃ·ａn｝也是等比数列．
［练 习］
1. 在等比数列｛ａn｝中，
（1）ａ5＝４，ａ7＝６，求ａ9．
（2）ａ5－ａ1＝１５，ａ4－ａ2＝６，求ａ3．
2. 设｛ａn｝是正项等比数列，问：是等比数列吗？为什么？
3. 三个数成等比数列，并且它们的和等于14，它们的积等于，求这三个数．
4. 设等比数列｛ａn｝，｛bn｝的公比分别是ｐ，ｑ．
（1）如果ｐ＝ｑ，那么｛ａn＋bn｝是等比数列吗？
（2）如果ｐ≠ｑ，那么｛ａn＋bn｝是等比数列吗？
四、拓展延伸
引导学生分析思考如下三个问题：
（1）如果三个数ａ，G，ｂ成等比数列，则G叫作ａ，ｂ的等比中项，那么如何用ａ，ｂ表示G呢？这个式子是三个数ａ，G，ｂ成等比数列的什么条件？
（2）在直角坐标系中，画出通项公式为ａn＝2n的数列的图像和函数y＝2x－1的图像．对比一下，你发现了什么？
（3）已知数列｛ａn｝满足ａn－ａn－1＝2n（ｎ≥2），数列｛bn｝满足，你会求它们的通项公式吗？
五、回顾反思
1. 在这节课上，你有哪些收获？
2. 你能用几个概念、几个公式来概括等比数列的有关内容吗？试试看．
点 评
这是一节典型的类比教学的案例，这节课的内容与等差数列的内容和研究方法非常相似，但设计者从类比入手，让学生亲自去发现，猜想，解决，无论从问题的提出，还是在解决方式、细节的处理上，和上节均有较大不同．相信这节课除了使学生可以更加熟练地掌握等差数列、等比数列的有关知识及常用的解题思想方法外，对类比思想的运用还会有所感悟和体会．
美中不足的是，等比数列的现实模型比较多，而这篇案例在对比方面的运用略显单薄．
48 不等式的性质
教材分析
这节的主要内容是不等式的概念、不等式与实数运算的关系和不等式的性质．这部分内容是不等式变形、化简、证明的理论依据及基础．教材通过具体实例，让学生感受现实生活中存在大量的不等关系．在不等式与实数运算的关系基础上，系统归纳和论证了不等式的一系列性质．
教学重点是比较两个实数大小的方法和不等式的性质，教学难点是不等式性质的证明及其应用．
教学目标
1. 通过具体情境，让学生感受现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等关系与不等式的联系，会用不等式表示不等关系．
2. 理解并掌握比较两个实数大小的方法．
3. 引导学生归纳和总结不等式的性质，并利用比较实数大小的方证这些性质，培养学生的合情推理和逻辑论证能力．
任务分析
这节内容从实际问题引入不等关系，进而用不等式来表示不等关系，自然引出不等式的基本性质．为了研究不等式的性质，首先学习比较两实数大小的方法，这是论证不等式性质的基本出发点，故必须让学生明确．在教师的引导下学生基本上可以归纳总结出不等式的一系列性质，但对于这些性质的证明有些学生认为没有必要或对论证过程感到困惑，为此，必须明确论证性质的方法和要点，同时引导学生认识到数学中的定理、法则等，通常要通过论证才予以认可，培养学生的数学理性精神．
教学设计
一、问题情境
教师通过下列三个现实问题创设不等式的情境，并引导学生思考．
1. 公路上限速40km／h的路标，指示司机在前方行驶时，应使汽车的速度v不超过40km／h，用不等式表达即为v≤40km／h．
2. 某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价改为x元，怎样用不等式表示销售的总收入的不低于20万元？
x·［80000－2000（x－25）］≥200000．
3. 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm的3倍，试写出满足上述所有不等关系的不等式．
设600mm钢管的数量为x，500mm的数量为y，则
通过上述实例，说明现实世界中，不等关系是十分丰富的，为了解决这些问题，须要我们学习不等式及基本性质．
二、建立模型
1. 教师精讲，分析
我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大，用不等式表示为ａ＞ｂ，即ａ减去ｂ所得的差是一个大于0的数．
一般地，设ａ，ｂ∈R，则
ａ＞ｂａ－ｂ＞0，
ａ＝ｂａ－ｂ＝0，
ａ＜ｂａ－ｂ＜0．
由此可见，要比较两个实数的大小，只要考查它们的差就可以了．例如，比较（ａ＋3）（ａ－5）与（ａ＋2）（ａ－4）的大小就可以作差变形，然后判断符号．
2. 通过问题或复习，引导学生归纳和总结不等式的性质
（1）对于“甲的年龄大于乙的年龄”，你能换一种不同的叙述方式吗？
（2）如果甲的身高比乙高，乙的身高比丙高，你能得出甲与丙哪个高吗？
（3）回忆初中已学过的不等式的性质，试用字母把它们表示出来．
用数学符号表示出上面的问题，便可得出不等式的一些性质：
定理1 如果ａ＞ｂ，那么ｂ＜ａ；如果ｂ＜ａ，那么ａ＞ｂ．
定理2 如果ａ＞ｂ，且ｂ＞ｃ，那么ａ＞ｃ．
定理3 如果ａ＞ｂ，那么ａ＋ｃ＞ｂ＋ｃ．
定理4 如果ａ＞ｂ，且ｃ＞０，那么ａｃ＞ｂｃ；
如果ａ＞ｂ，且ｃ＜０，那么ａｃ＜ｂｃ．
3. 定理1～4的证明
关于定理1～4的证明要注意：
（1）定理为什么要证明？
（2）证明定理的主要依据或出发点是什么？
（3）定理的证明要规范，每步推理要有根据．
（4）关于定理3的推论，定理4的推论1，可由学生完成证明．
4. 考虑定理4的推论2：“如果ａ＞ｂ＞０，那么ａn＞ｂn（ｎ∈N，且ｎ＞0）”的逆命题，得出定理5
定理5 如果ａ＞ｂ＞０，那么（ｎ∈N，且ｎ＞1）．
由于直接证明定理5较困难，故可考虑运用反证法．
三、解释应用
［例 题］
1. 已知ａ＞ｂ，ｃ＜ｄ，求证：ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．
证法1：∵ａ＞ｂ，∴ａ－ｂ＞0．又ｃ＜ｄ，∴ｄ－ｃ＞0．
∴（ａ－ｃ）－（ｂ－ｄ）＝（ａ－ｂ）＋（ｄ－ｃ）＞0，
∴ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．
证法2：∵ｃ＜ｄ，∴－ｃ＞－ｄ．又ａ＞ｂ，∴ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．
［练 习］
1. 判断下列命题的真假，并说明理由．
（1）如果ａｃ2＞ｂｃ2，那么ａ＞ｂ．
（2）如果ａ＞ｂ，ｃ＞ｄ，那么ａ－ｄ＞ｂ－ｃ．
四、拓展延伸
1. 如果30＜ｘ＜42，16＜ｙ＜24，求ｘ＋ｙ，ｘ－2ｙ及的取值范围．
2. 如果ａ1＞ｂ1，ａ2＞ｂ2，ａ3＞ｂ3，…，ａn＞ｂn，那么ａ1＋ａ2＋ａ3＋…＋ａn＞ｂ1＋ｂ2＋ｂ3＋…＋ｂn吗？为什么？
3. 如果ａ＞ｂ＞0，那么吗？（其中为正有理数）
点 评
这篇案例从实际问题引入不等关系，由如何求非不等关系引入不等式的求法，进而点出教学的主题———不等式性质，由学生熟悉的实数性质，及现实生活中的常识，将语言表达转化为数学符号的一般表示，进而得出不等式的常见性质．通过对不等式的证明，使学生理解对数学定理证明的必要性，增强学生的逻辑推理能力．就整个教学设计的效果看，这种设计是成功的，尤其是由定理的应用，达到了对性质的理解和升华，巩固了教学的重点，效果比较理想．此外，这篇案例也十分关注由学生自主探究去开发其潜在能力，培养其发散思维能力．
总之，这是一篇成功的教学设计案例，美中不足的是，对文初创设的现实情景利用的力度稍欠缺．
49 一元二次不等式
教材分析
一元二次不等式的解法是高中数学的一个重要内容，它是进一步学习不等式的基础，同时是解决有关实际问题的重要方法之一．这节课通过具体例子，借助二次函数的图像求解不等式，进而归纳、总结出一元二次不等式，一元二次方程与二次函数的关系，得到利用二次函数图像求解一元二次不等式的方法．最后，说明一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组，由此又引出了简单分式不等式的解法．这节内容的重点是一元二次不等式的解法，难点是弄清一元二次不等式、一元二次方程与二次函数的关系．
教学目标
1. 让学生经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程．
2. 通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，熟练掌握应用二次函数图像解一元二次不等式的方法．
3. 通过一元二次不等式转化为一元一次不等式组的解法，让学生体会等价转化的数学思想，培养学生的逻辑推理能力．
任务分析
这节课的主要任务是应用二次函数的图像解一元二次不等式．首先通过实例抽象出一元二次不等式模型，让学生感受到现实生活中存在大量的一元二次不等式，从而得出本节的主要任务．然后通过解决一些具体的一元二次不等式，让学生体会和总结出借助二次函数的图像解一元二次不等式的方法．最后抽象和概括出一元二次不等式与相应函数、方程的关系．学习方法是讲练结合，引导学生从具体到一般地总结出一元二次不等式的图像解法．
教学设计
一、问题情境
1. 出示问题
（1）某产品的总成本ｃ（万元）与产量ｘ（台）之间满足关系：ｃ＝3000＋20ｘ－0.1ｘ2，其中ｘ∈（0，240），ｘ∈Ｎ ，若每台产品售价25万元，试求生产者不亏本时的最低产量ｘ．
引导学生建立一元二次不等式模型：
由题意，得销售收入为25ｘ（万元），
要使生产者不亏本，必须使
3000＋20ｘ－0.1ｘ2≤25ｘ，即ｘ2＋50ｘ－30000≥0．
（2）国家为了加强对某特种商品生产的宏观管理，实行征收附加税．现知每件产品70元，不加收附加税时，每年大约产销100万件，若征收附加税，每销售100元要征税R元（即税率为R％），则每年的产销量要减少10R万件．要使每年在此项经营中所收取的附加税税金不少于112万元，问R应怎样确定．
2. 引导学生建立一元二次不等式模型
设产销量为每年x（万件），则销售收入为每年70x（万元），从中征收的税金为70x·R％（万元），并且ｘ＝100－10R．
由题意，知70（100－10R）·R％≥112，
即R2－10R＋16≤0．
如何求解以上两个一元二次不等式呢？
二、建立模型
1. 对于不等式ｘ2＋50ｘ－30000≥0，可以借助二次函数的图像来解决
设二次函数f（ｘ）＝ｘ2＋50ｘ－30000，抛物线开口向上，与ｘ轴交点的横坐标是相应二次方程ｘ2＋50ｘ－30000＝0的解．此时ｘ1＝－200，ｘ2＝150．如图，所谓解不等式ｘ2－50ｘ－30000≥0，就相当于求使函数f（ｘ）≥0的ｘ的集合．考虑图像在ｘ轴及其上方的部分，即f（ｘ）≥0，相应的ｘ的集合｛ｘ｜ｘ≤－200或ｘ≥150｝就是不等式的解集．结合实际，可知生产者不亏本时的最低产量为150台．
运用完全类似的方法，可以求解不等式R2－10R＋16≤0的解集为｛R｜2≤R≤8｝．
2. 教师明晰
设ａ＞0，解一元二次不等式ａx2＋ｂｘ＋ｃ＞0（＜0），
首先，设ｆ（ｘ）＝ａs2＋ｂｘ＋ｃ．
（1）计算Δ＝ｂ2－4ａｃ，判断抛物线ｙ＝ｆ（ｘ）与ｘ轴交点的情况．
（2）若Δ≥０，解一元二次方程ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝0，得两根为ｘ1，ｘ2，（ｘ1≤ｘ2）．
（3）结合（1）（2）画出ｙ＝ｆ（ｘ）的图像．
（4）解不等式ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＞0，就相当于使ｆ（ｘ）＞0．考虑图像在ｘ轴上方的部分，即ｆ（ｘ）＞0，相应的ｘ的集合就是ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＞０的解集．
解不等式ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＜0，就相当于使ｆ（ｘ）＜0．考虑图像在ｘ轴下方的部分，即ｆ（ｘ）＜0，相应的ｘ的集合就是ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜0的解集．
根据上述内容，结合图像写出不等式的解集．
思考：对于一元二次不等式的二次项系数ａ，如果ａ＜0，上述结论如何？
三、解释应用
［例 题］
1. 解不等式2ｘ2－3ｘ－2＞0．
解：∵Δ＝（－3）2－4×2×（－2）＝25＞0，
方程2ｘ2－3ｘ－2＝0的两根为ｘ1＝－，ｘ2＝2，
∴不等式2ｘ2－3ｘ－2＞0的解集为｛ｘ｜ｘ＜－或ｘ＞2｝．
2. 解不等式－ｘ2＋2ｘ－3≥0．
3. 已知不等式ｍｘ2－（ｍ－2）ｘ＋ｍ＞0的解集为R，求ｍ的取值范围．
解：（1）当ｍ＝0时，原不等式可化为2ｘ＞0，解集不是R．
（2）当ｍ＜0时，抛物线ｙ＝ｍｘ2－（ｍ－2）ｘ＋ｍ开口向下，解集也不是R．
（3）当ｍ＞0时，须满足
［练 习］
1. 解下列不等式．
（1）－3ｘ2＋6ｘ＞2． （2）4ｘ2－4ｘ－1＞0．
（3）ｘ2－3ｘ＋5＞0． （4）－6ｘ2－ｘ＋2≤0．
4. 以每秒ａ（ｍ）的速度从地面垂直向上发射子弹，t（ｓ）后，子弹上升的高度ｘ可由ｘ＝ａｂ－4.9ｔ2确定．已知发射后5ｓ，子弹上升的高度为245ｍ，问：子弹保持在245ｍ以上高度有多少秒？
四、拓展延伸
一元二次不等式（ａｘ＋ｂ）（ｃｘ＋ｄ）＞0（＜0）也可以根据实数运算的符号法则求解，如解不等式（ｘ＋4）（ｘ－１）＜0．
注意到不等式左边是两个ｘ的一次式的积，右边是0，那么它可以根据积的符号法则化为一次不等式组：
点 评
这篇案例设计完整，思想清晰．案例首先从实际问题情境引入，关注不等式从现实问题中的抽象过程，进而利用从已有知识，即二次方程的根的情况及一元二次函数的图像与一元二次不等式的解的关系归纳出一般结论，体现了用数形结合处理问题的思想方法，培养了学生的类比推理能力．例、习题的变形培养了学生灵活运用知识，处理问题的能力，既巩固了所学新知识，又培养了学生灵活解题的能力．“拓展延伸”开发了学生的内在潜力，培养了学生的等价转化意识，为将来处理较复杂问题提供了行之有效的方法．
50 基本不等式：
教材分析
“”的证明学生比较容易理解，学生难理解的是“当且仅当ａ＝ｂ时取‘＝’号”的真正数学内涵，所谓“当且仅当”就是“充分必要”．
教学重点是定理及其应用，难点是利用定理求函数的最值问题，进而解决一些实际问题．
教学目标
1. 理解两个实数的平方和不小于它们积的2倍这一重要不等式的证明，并能从几何意义的角度去解释，形成数形结合的完美统一．
2. 理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明，及其几何意义，会用这两个重要不等式解决简单的实际应用题．
3. 通过定理的证明培养学生的逻辑推理能力，通过定理的应用揭示数学的应用价值．
任务分析
这节内容从实际问题情境展开探讨，“如要围成面积为16ｍ2的一个矩形，所需绳子最短是多少？即设长为ｘ，宽为，则周长为l＝2ｘ＋2×，求当ｘ取何值时，l最小．”让学生去猜测，去思考，充分调动学生的积极性，激发学生的想象和猜想能力．当学生猜想它应为正方形这一结论时，教师适时引导如何去证明猜想的正确性，激发学生的求知欲望，从而达到由问题到结论的证明，开阔学生的思路，陶冶学生的情操．
教学设计
一、问题情境
教师出示问题，引导学生分析、思考：某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800ｍ3，深为3ｍ．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？
二、建立模型
1. 通过比较ａ2＋ｂ2与2ａｂ的大小，引入重要不等式．
∵ａ2＋ｂ2－2ａｂ＝（ａ－ｂ）2，
∴当ａ≠ｂ时，（ａ－ｂ）2＞0；
当ａ＝ｂ时，（ａ－ｂ）2＝0．
即（ａ－ｂ）2≥0，从而有ａ2＋ｂ2≥2ａｂ．
2. 结论明晰
定理1 如果ａ，ｂ∈Ｒ，那么ａ2＋ｂ2≥2ａｂ（当且仅当ａ＝ｂ时，取“＝”号）．
思考：对于定理1和定理2，当且仅当ａ＝ｂ时取“＝”号的具体含义是什么？
三、解释应用
［例 题］
1. 已知ｘ，ｙ都是正数，求证：
小结；上述结论是我们用定理求最值的依据，可简述为和为定值积最大，积为定值和最小．
2. 设法解决本节课开始提出的问题．
因此，当水池的底面是边长为40ｍ的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价为297600元．
3.0求证：在直径为ｄ的圆内接矩形中，面积最大的是正方形，并且这个正方形的面积等于ｄ2．
2. 设计一幅宣传画，要求画面面积为4840ｃｍ2，画面的宽与高的比为λ（λ＜１），画面的上、下各留8ｃｍ的空白，左、右各留5ｃｍ的空白．问：怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？
答：当画面高为88ｃｍ、宽为55ｃｍ时，所用纸张面积最小．
3. 用一段长为L（ｍ）的篱笆围成一个边靠墙的矩形菜园，问：当这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
上述两种解答的答案不同，哪一种方法是错误的，为什么？
四、拓展延伸
点 评
这篇案例由实际问题引入课题，既自然，又能引起学生的兴趣，激发起学生的求知欲望，为本节重点的突破打下良好的基础．由学生已有知识归纳和总结得到这节课的两个定理，使学生易于理解和接受．由典型例题的证明，归纳出一般结论，培养了学生的逻辑推理能力．由练习的变形培养了学生灵活处理问题的能力．对实际问题的解决体现了数学的应用价值．重要不等式灵活变形的使用不仅加深了对推理的理解，同时突破了对本节难点“等号成立的条件”的理解．“拓展延伸”给学生以发挥的空间，启发学生由已知到未知的探索能力．
总之，关注基本不等式与现实的联系是这篇案例的突出特点，“问题驱动式”的设计是这篇案例成功的关键，而“从问题出发构建模型，反过来，又利用建立的模型解决开始的问题”的设计又可以使学生领略到学习数学的成功和胜利喜悦．
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