高中数学椭圆练习题(含答案)

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中有只有一项是符合题目要求的．） 

1．椭圆的焦距是（    ）

    A．2    B．    C．    D．

2．F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是（    ）

    A．椭圆    B．直线    C．线段    D．圆

3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是    （    ）

A．    B．    C．    D．

4．方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（    ）

    A．    B．（0，2）    C．（1，+∞）    D．（0，1）

5． 过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于、两点，则、与椭圆的另一焦点构成，那么的周长是（    ）

A．         B． 2             C．           D． 1

6．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（    ）

A．   或           B． 

C． 或                D． 或

7． 已知＜4，则曲线和有（    ）

A． 相同的短轴       B． 相同的焦点       C． 相同的离心率      D． 相同的长轴

8．椭圆的焦点、，P为椭圆上的一点，已知，则△的面积为（   ）     

　　A．9                 B．12                C．10                 D．8

9．椭圆的焦点为和，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，那么是的（  ）

A．4倍              B．5倍              C．7倍                D．3倍

10．椭圆内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（    ）

    A．    B．

    C．    D． 

11．椭圆上的点到直线的最大距离是        （    ）

 A．3    B．    C．    D．

12．过点M（－2，0）的直线M与椭圆交于P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线M的斜率为k1（），直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为（    ）

A．2               B．－2          C．              D．－

二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．）

13．椭圆的离心率为，则                     ．

14．设是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则的最大值为        ；最小值为         ．

15．直线y=x－被椭圆x2+4y2=4截得的弦长为           ．

16．已知圆为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程为                ．

三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．）

17．已知三角形的两顶点为，它的周长为,求顶点轨迹方程．

18．椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．

19．点P到定点F（2，0）的距离和它到定直线x=8的距离的比为1：2，求点P的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．

20．中心在原点，一焦点为F1（0，5）的椭圆被直线y=3x－2截得的弦的中点横坐标是，求此椭圆的方程．

21.已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求椭圆方程  

22．椭圆＞＞与直线交于、两点，且，其中为坐标原点．

（1）求的值；

（2）若椭圆的离心率满足≤≤，求椭圆长轴的取值范围． 

椭圆练习题参

17、

18、解：（1）当A(2,0)为长轴端点时，a=2 , b=1，

　　椭圆的标准方程为： ；

　　（2）当 为短轴端点时， ， ，

椭圆的标准方程为： ；

19．解：设P（x，y），根据题意，|PF|=,d=|x-8|,因为=,所以= .化简，得3x2+4y2=48,整理，得=1,所以，点P的轨迹是椭圆。

20. 解：解法一：根据题意，设椭圆的方程为=1,设交点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)

将椭圆方程与直线y=3x-2联立，消去y，得：=1,化简，整理，得：

(10a2-450)x2+(600-12a2)x+(-a4+54a2-200)=0,

所以，x1,x2为这个方程的两根，因为相交线段中点横坐标为,所以x1+x2=— = -1,解得，a2=75.于是，因为c=5,所以，b2=25，所以椭圆的方程为=1.

解法二：设椭圆：（a＞b＞0），则a2-b2=50…①

          又设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点（x0，y0）

          ∵x0=，∴y0=－2=－

          由…②

         解①，②得：a2=75，b2=25，椭圆为：=1

21.解  设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由 得(m+n)x2+2nx+n－1=0,

Δ=4n2－4(m+n)(n－1)＞0,即m+n－mn＞0,由OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,

∴+1=0,∴m+n=2      ①又22,将m+n=2,代入得m·n=②

由①、②式得m=,n=或m=,n=故椭圆方程为+y2=1或x2+y2=1  

22、（1）设，由OP ⊥ OQ  x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

   又将

，

代入①化简得 .

    (2) 又由（1）知

，∴长轴 2a ∈ [].