...高二上数学选择性必修第一册:直线与圆的位置关系(附答案解析)_百度...

【考点梳理】

考点一：

直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系

位置关系相交相切相离公共点个数

2个

1个

0个

判断方法

几何法：设圆心到直线的距离为d ＝

|Aa ＋Bb ＋C |

A 2＋

B 2d r

代数法：

由

Ax ＋By ＋C ＝0，(x －a )2

＋(y －b )2

＝r 2

，

消元得到一元二次方

程，可得方程的判别式Δ

Δ>0Δ＝0Δ<0

考点二：直线与圆的方程解决实际问题

审题→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案．

【题型归纳】

题型一：判断直线与圆的位置关系

1．（2021·全国高二单元测试）直线10mx y -+=与圆22(2)(1)5x y -+-=的位置关系是（

）

A ．相交

B ．相切

C ．相离

D ．与m 的值有关

2．（2021·浙江高二期末）直线:1l y ax a =-+与圆224x y +=的位置关系是（）

A ．相交

B ．相切

C ．相离

D ．与a 的大小有关

3．

（2021·北京房山·高二期末）已知直线10l kx y k -+-=：和圆C ：2240x y x +-=，则直线l 与圆C 的位置关系为（）

A ．相交

B ．相切

C ．相离

D ．不能确定

题型二：由直线与圆的位置关系求参数

4．

（2021·云南省云天化中学高二期末（文））直线30x y a ++=是圆22240x y x y ++-=的一条对称轴，则a =（）A ．1

-B ．1

C ．3

-D ．3

5．

（2021·内蒙古赤峰市·）若直线()200,0ax by a b --=>>被圆22 2210x y x y +-++=截得的弦长为2，则11

a b

+的最小值为（）A ．

14

B ．4

C ．1

2

D ．2

6．

（2020·大连市红旗高级中学）若直线:1l y kx =-与圆()()2

2

:212C x y -+-=相切，则直线l 与圆()2

2:23D x y -+=的位置关系是（）A ．相交

B ．相切

C ．相离

D ．不确定

题型三：圆的弦长问题

7．（2021·汕头市澄海中学高二月考）若圆22:160C x x y m +++=被直线3440x y ++=截得的弦长为6，则m =（）A ．26

B ．31

C ．39

D ．43

8．（2021·湖南长沙市·长郡中学高二期中）圆22:(2)4C x y -+=与直线40x y --=相交所得弦长为（）

A ．1

B ．2

C ．2

D ．22

9．（2021·湖北十堰市·高二期末）直线3410x y ++=被圆220x y x y +-+=所截得的弦长为（）

A ．

710

B ．

57

C ．

75

D ．

145

题型四：圆的弦长求参数或者切线方程

10．（2021·上海闵行中学高二期末）圆()()2

2

134x y -+-=截直线10ax y +-=所得的弦长为

23，则a =（

）A ．4

3

-

B ．34

-

C ．3

D ．2

11．（2021·广西河池市·高二期末（文））已知斜率为1-的直线l 被圆C ：

222430x y x y ++-+=截得的弦长为6，则直线l 的方程为（）

A ．2210x y ++=或2230x y +-=

B ．0x y +=或20x y +-=

C ．2220x y +-=或22320

x y ++=D ．20x y +-=或220

x y ++=12．

（2021·长春市第二十九中学高二期末（理））直线220ax by -+=被222440x y x y ++--=截得弦长为6，则ab 的最大值是（）

A ．9

B ．4

C ．1

2

D ．

1

4

题型五：直线与圆的应用

13．（2021·广东深圳市·高三月考）一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度最接近（

）

B ．13.7米

C ．13.2米

D ．13.6米

14．

（2021·渝中区·重庆巴蜀中学高一期中）如图，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度为（）

A ．230米

B ．202米

C ．430米

D ．125米

15．

（2020·重庆市万州沙河中学高二月考）一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26km 的圆形区域，

一艘外籍轮船从位于海监船正东40km 的A 处出发径直驶向位于海监船正北30km 的B 处岛屿，船速为10km/h 这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间长约为（）小时

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

题型六：直线与圆的位置关系的综合应用

16．（2021·贵州遵义市·高二期末（理））已知O 圆心在直线2y x =+上，且过点()1,0A 、()2,1B ．

（1）求O 的标准方程；

（2）已知过点()3,1的直线l 被所截得的弦长为4，求直线l 的方程．

17．（2020·永丰县永丰中学高二期中（文））已知圆C 经过点()()1,0,2,1A B ，且圆心在直线

:l y x =上．

（1）求圆C 的方程；

（2）若(,)P x y 为圆C 上的动点，求

2

2

y x +-的取值范围．18．（2020·黑龙江哈尔滨·哈九中高二期中（文））已知线段AB 的端点B 的坐标是()6,8，端点A 在圆2216x y +=上运动，M 是线段AB 的中点，且直线l 过定点()1,0.（1）求点M 的轨迹方程；

（2）记（1）中求得的图形的圆心为C ，（i ）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；

（ii ）若直线l 与圆C 交于,P Q 两点，求CPQ 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.

【双基达标】

一、单选题19．（2021·嘉兴市第五高级中学高二期中）直线:1l y x =-截圆22:1O x y +=所得的弦长是（）

A ．2

B ．3

C ．2

D ．1

20．（2021·陆良县中枢镇第二中学高二月考）经过点()2,3P -作圆22:224C x y x ++=的弦AB ，使得点P 平分弦AB ，则弦AB 所在直线的方程为（

）

B ．50x y +-=

C ．50x y -+=

D ．50

x y ++=21．

（2021·云南保山市·高二期末（文））若直线m ：0kx y +=被圆()2

224x y -+=所截得的弦长为2，则点()

0,23A 与直线m 上任意一点P 的距离的最小值为（）

A ．1

B ．3

C ．2

D ．23

22．

（2021·四川省乐至中学高二期末）圆222410x y x y ++-+=关于直线220ax by -+=(),a b R ∈对称，则ab 的取值范围是（

）

A ．1,4⎛

⎤-∞ ⎥

⎝

⎦B ．10,4⎛⎤

⎥

⎝⎦

C ．1

,04⎛⎤- ⎥

⎝⎦

D ．1,4⎛

⎫-∞ ⎪

⎝

⎭23．

（2021·全国高二专题练习）直线3y kx =+与圆()()2

2

324x y -+-=相交于M ，N 两点，若23MN =，则k 的值是（）

A ．3

4

-

B ．0

C ．0或34

-

D ．

34

24．（2021·广西桂林市·（理））圆222420x x y y -+++=到直线2220x y -+=的距离为1的点有（）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．0个

25．

（2021·全国）已知圆C 的方程为22(3)(4)1x y -+-=，过直线:350l x ay +-=上任意一点作圆C 的切线．若切线长的最小值为15，则直线l 的斜率为（）A ．4

B ．-4

C ．3

4

-

D ．43

-

26．（2021·全国高二期中）在平面直角坐标系中，动圆222:(1)(1)C x y r -+-=与直线1(2)()y m x m R +=-∈相切，则面积最大的圆的标准方程为（

）

A ．22(1)(1)4x y -+-=

B ．22(1)(1)5x y -+-=

C ．22(1)(1)6

x y -+-=D ．22(1)(1)8

x y -+-=27．（2021·山西晋中·高二期末（理））已知圆22:20C x y x +-=，直线:10l x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线PA 、PB ，切点分别A 、B ，当·PC AB 最小时，直线AB 的方程为（）

A ．0x y +=

B ．0x y -=

C ．2210

x y -+=D ．2210

x y ++=28．（2021·克拉玛依市第一中学高二月考）已知圆22:4210C x y x y +--+=及直线

():2l y kx k k R =-+∈，设直线l 与圆C 相交所得的最长弦长为MN ，最短弦为PQ ，则四边

形PMQN 的面积为（）A ．42

B ．22

C ．8

D ．82

【高分突破】

一：单选题

29．

（2021·全国高二专题练习）已知圆()()222

24244100x y mx m y m m m +--++++=≠的圆心在直线70x y +-=上，则该圆的面积为（）

A ．4π

B ．2π

C ．π

D ．

2

π

30．（2021·南昌市豫章中学（文））若圆22224120x y ax y a +-++-=上存在到直线4320x y --=的距离等于1的点，则实数a 的取值范围是（

）

A ．2921,44⎡⎤-⎢⎥

⎣⎦

B ．91,44⎡⎤

-⎢⎥

⎣⎦

C ．91,,44⎛⎤⎡⎫

-∞-⋃+∞ ⎪

⎥⎢⎝⎦⎣⎭

D ．2921,,44⎛⎤⎡⎫

-∞-⋃+∞ ⎪

⎥⎢⎝⎦⎣⎭

31．

（2021·浙江丽水·高二期中）已知圆22:1O x y +=，直线:20l x y ++=，点P 为l 上一动点，过点P 作圆O 的切线PA ，PB （切点为A ，B ），当四边形PAOB 的面积最小时，直线AB

的方程为（）

A ．10

x y -+=B ．20

x y -+=C ．10

x y ++=D ．20

x y +-=32．（2021·云南师大附中（理））已知在圆()2

222x y r ++=上到直线40x y +-=的距离为2的点恰有三个，则r =（）

A ．23

B ．26

C ．42

D ．8

33．（2021·四川（理））已知圆221x y +=与直线310ax by ++=（a ，b 为非零实数）相切，则

2213

a b

+的最小值为（）

A ．10

B ．12

C ．13

D ．16

34．

（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高二其他模拟（理））若过点()4,3A 的直线l 与曲线()()

22

231x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（

）

A ．3,3⎡⎤-⎣⎦

B ．()

3,3-C ．33,33⎡⎤

-⎢⎥⎣

⎦D ．33,33⎛⎫

- ⎪ ⎪⎝⎭

35．（2021·全国高二专题练习）已知三条直线1:0l mx ny +=，2:30l nx my m n -+-=，3:0l ax by c ++=，其中m ，n ，a ，b ，c 为实数，m ，n 不同时为零，a ，b ，c 不同时为

零，且2a c b +=．设直线1l ，2l 交于点P ，则点P 到直线3l 的距离的最大值是（）

A ．52

102

+

B ．

105822

+C ．58

102

+

D ．

105222

+二、多选题

36．

（2021·全国高二专题练习）已知直线:20l kx y k -+=和圆22:16O x y +=，则（）

A ．直线l 恒过定点()

2,0B ．存在k 使得直线l 与直线0:220l x y -+=垂直C ．直线l 与圆O 相交

D ．若1k =-，直线l 被圆O 截得的弦长为4

37．

（2020·河北武强中学高二月考）直线l 经过点()5,5P ，且与圆22:25C x y +=相交，截得弦长为45，则直线l 的方程为（）

A ．250x y --=

B ．250x y -+=

C ．250

x y -+=D ．250

x y --=38．（2021·全国高二专题练习）设直线():1l y kx k =+∈R 与圆22:5C x y +=，则下列结论正确的为（

）

A ．l 与C 可能相离

B ．l 不可能将

C 的周长平分

C ．当1k =时，l 被C 截得的弦长为

322

D ．l 被C 截得的最短弦长为4

39．（2021·山东菏泽·高二期末）已知直线:(2)10l mx m y m --+-=，圆22:20C x y x +-=，则下列结论正确的是（

）

A ．直线l 与圆C 恒有两个公共点

B ．圆心

C 到直线l 的最大距离是2C ．存在一个m 值，使直线l 经过圆心C

D ．当1m =时，圆C 与圆22(1)1y x +-=关于直线l 对称

三、填空题40．（2021·合肥百花中学高二期末（理））设直线1y x =+与圆22(1)4x y ++=交于,A B 两点，则AB =__________．

41．

（2021·绵阳市·四川省绵阳江油中学（文））已知点(),x y 在圆22(2)(3)1x y -++=上，则x y +的最大值是________．

42．

（2021·上海高二期中）在平面直角坐标系中，过点()2,2M 且与圆2220x y x +-=相切的直线方程为__________．

43．（2021·江苏南京市·南京一中高二期末）已知直线1l ：()0kx y k R +=∈与直线2l ：220x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆()()2

2

232x y +++=上的动点，则AB 的最大值为

___________.

四、解答题

44．（2021·合肥百花中学高二期末（理））已知圆22:20C x y x my +-+=，其圆心C 在直线y x =上．

（1）求m 的值；

（2）若过点(1,1)-的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程．

45．（2021·荆州市沙市第五中学高二期中）已知圆C 经过()2,4，()1,3两点，圆心C 在直线10x y -+=上，过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点.

（1）求圆C 的方程；

（2）若12OM ON ⋅=

（O 为坐标原点），求直线l 的方程.

46．

（2021·台州市书生中学高二期中）已知圆()2

2:15C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=．（1）求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同交点；

（2）设l 与圆C 交与不同两点,A B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程；（3）若直线过点()1,1P ，且P 点分弦AB 为

1

2

AP PB =，求此时直线l 的方程．47．

（2020·安徽六安市·立人中学高二期中（理））已知圆C 经过两点(1,3),(3,1)P Q ---，且圆心C 在直线240x y +-=上，直线l 的方程为(1)2530k x y k -++-=．（1）求圆C 的方程；

（2）证明：直线l 与圆C 一定相交；

（3）求直线l 被圆C 截得的弦长的取值范围．

48．（2020·吉安县立中学（文））已知两个定点(0,4)A ，(0,1)B ，动点P 满足||2||PA PB =，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：4y kx =-.（1）求曲线E 的轨迹方程；

（2）若l 与曲线E 交于不同的C 、D 两点，且120COD ∠=︒(O 为坐标原点)，求直线l 的斜率；

（3）若1k =，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM 、QN ，切点为M 、N ，探究：直线MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.

2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线与圆的位置关系

【答案详解】

1．A 【详解】

10mx y -+=过定点()0,1，且()2

2(214501)+-=<-，

故()0,1在圆内，故直线和圆相交.故选：A 2．A 【详解】

直线l ：1=-+y ax a ，即()11y a x =-+恒过()1,1，而221124+=<，故()1,1点在圆内，故直线与圆必然相交．故选：A ．3．A 【详解】

直线方程整理为(1)10k x y --+=，即直线过定点(1,1)P ，而22114120+-⨯=-<，P 在圆C 内，∴直线l 与圆C 相交．故选：A ．4．B 【详解】

由22240x y x y ++-=，得22(1)(2)5x y ++-=，则圆心坐标为(1

2)-，又直线30x y a ++=是圆22240x y x y ++-=的一条对称轴，由圆的对称性可知，该圆的圆心(1

2)-，在直线30x y a ++=上，则3(1)121a =-⨯--⨯=，故选：B ．5．D 【详解】

由圆的方程22 2210x y x y +-++=，可得圆心坐标为(1,1)-，半径为1r =，

因为直线20ax by --=被圆截得的弦长为2，

可直线20ax by --=必过圆心(1,1)-，代入可得2a b +=，又因为0,0a b >>，则1111111()()(2)(22)2222b a b a

a b a b a b a b a b

+=⋅++=⋅++≥⋅+⋅=，当且仅当b a

a

b

=时，即1a b ==时，等号成立，所以

11

a b

+的最小值为2.故选：D.6．A 【详解】

由圆C 方程知其圆心()2,1C ，半径为2，

直线l 与圆C 相切，2

21121

k k --∴

=

+，解得：23k =±，

由圆D 方程知其圆心()2,0D ，半径3r =，

∴圆心D 到直线l 距离2

211

k d k -=

+；

当23k =+时，()

(

)

2

22

2

323

3

30843

231

d r +-=

-=-

<+++，即d r <，

此时圆D 与直线l 相交；

当23k =-时，(

)

()2

22

2

323

3

30843

231

d r --=

-=-

<--+，即d r <，

此时圆D 与直线l 相交；综上所述：圆D 与直线l 相交.故选：A.

7．C 【详解】

将圆化为22(8)()x y m m ++=-<，所以圆心到直线3440x y ++=的距离d =

244

45

-+=，该距离与弦长的一半及半径组成直角三角形，所以2243m +=-，解得39.

m =

故选：C 8．D 【详解】

圆22:(2)4C x y -+=的圆心坐标为()20，

，半径为2，圆心到直线40x y --=的距离为204211

d --==+，

故弦长为：24222-=，故选：D.9．C 【详解】

由2

2

0x y x y +-+=可得22

111222x y ⎛

⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭，

则圆心坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径2

2

r =，

所以圆心到直线3410x y ++=的距离为

22

1134122110

34d ⎛⎫⨯+⨯-+ ⎪⎝⎭

=

=

+，

所以所求弦长为22

7

25

r d -=

.故选：C.

10．B 【详解】

由题意圆心到直线的距离为

()()2

2

22

2222222322

411

1

1

a a a d r d a a a a +++=

∴=-=-

∴

=∴=+++3

4

-

故选：B 11．B 【详解】

圆C 的标准方程为22(1)(2)2x y ++-=，设直线l 的方程为0x y m ++=，可知圆心到直线l 的

距离为2

262

(2)22⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭

，有|1|222m +=，有0m =或2-，直线l 的方程为0x y +=或20x y +-=．

故选：B

12．D 【详解】

将222440x y x y ++--=化为标准形式：22(1)(2)9x y ++-=，故该圆圆心为(1,2)-，半径为3.因为直线截圆所得弦长为6，故直线过圆心，所以2220a b --+=，

即1a b +=，所以2

124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭

（当且仅当12a b ==时取等号），故选：D.13．C 【详解】

如图建立平面直角坐标系，则圆心在y 轴上，设圆的半径为r ，则圆的方程为222(+)x y r r +=，∵

拱顶离水面3米，水面宽12米，

∴圆过点(6,3)-,∴2236(3+)r r +-=，

∴15

2

r =∴

圆的方程为2

215225(+

)24

x y +=，当水面下降1米后，可设水面的端点坐标为(,4)t -，则244t =，∴

211t =±，

∴

当水面下降1米后，水面宽度为411，约为13.2，

故选：C.

14．C 【详解】

以圆拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

则圆拱所在圆的圆心位于y 轴负半轴上，设该圆的圆心为()0,a -，0a >，则该圆的方程为()2

22x y a a ++=，

记水面下降前与圆的两交点为A ，B ；记水面下降1米后与圆的两交点为C ，D ；由题意可得，()10,4A --，则()()2

2

2104a a -+-+=，解得29

2

a =，所以圆的方程为2

22

292922x y ⎛

⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭，

水面位下降1米后，可知C 点纵坐标为5y =-，所以2

2

2

2929522x ⎛

⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭，解得2120x =，

则此时的桥在水面的跨度为22120430CD x ===米.故选：C.15．B

根据题意以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，

所以()()40,0,0,30A B ，圆22:676O x y +=，记从N 处开始被监测，到M 处监测结束，所以:

14030

AB x y l +=，即:341200AB l x y +-=，因为O 到:341200AB l x y +-=的距离为2

2

1202434

OO -'=

=+，

所以22220MN MO OO '=-=，所以监测时间持续20

10

=2小时，故选：B.

16．

（1）()2

225x y +-=；（2）1y =或34130x y +-=.由点(

)1,0A 、()2,1B 可得AB 中点坐标为31,22⎛⎫

⎪⎝⎭

，10121AB k -==-，所以直线AB 的垂直平分线的斜率为1-，可得直线AB 的垂直平分线的方程为：1322y x ⎛

⎫-

=-- ⎪⎝

⎭即20x y +-=，由202x y y x +-=⎧⎨=+⎩可得：0

2x y =⎧⎨=⎩

，所以圆心为()0,2O ，

()()

22

10025r OA ==-+-=，

所以O 的标准方程为()2

225x y +-=，

（2）设直线的方程为()13y k x -=-即310kx y k --+=，圆心()0,2O 到直线的距离2

131k d k --=

+，

则()

2

2

2

2

134521k k ⎛⎫--⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭

+⎝⎭

可得

()2

22135211k k +=-=+，即2430k k +=，解得：0k =或3

4

k =-，

所以直线l 的方程为10y -=或()3

134

y x -=--，即1y =或34130

x y +-=17．（1）22(1)(1)1x y -+-=；（2）4,3⎛

⎤-∞- ⎥⎝

⎦.

【详解】

（1）设所求圆的方程为222

()()x a y b r -+-=由题意得222222

(1)(0)(2)(1)a b r a b r b a ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪=⎩

，解得1

a b r ===所以，圆的方程为22(1)(1)1

x y -+-=（2）由（1）得()()2

2

111x y -+-=，则圆心为()1,1，半径为1；

而

2

2

y x +-表示圆上的点(,)P x y 与定点()2,2M -连线的斜率，当过点()2,2M -的直线与圆相切时，不妨设直线方程为：()22y k x +=-，即220kx y k ---=，

则圆心()1,1到直线220kx y k ---=的距离为

2122

11

k k k ---=+，解得4

3

k =-，

因此

22y x +-的取值范围是4,3⎛

⎤-∞- ⎥⎝

⎦

；

18．【详解】

（1）设(),M x y ，()00,A x y ，

M 是线段AB 中点，006

2

82x x y y

+⎧=⎪⎪∴⎨

+⎪=⎪⎩，整理可得：002628x x y y =-⎧⎨=-⎩，A 在圆2216x y +=上，()()2

2

262816x y ∴-+-=，

整理可得M 点轨迹方程为：()()22

344x y -+-=.（2）（i ）由（1）知：圆心()3,4C ，半径2r =，

当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，是圆的切线，满足题意；当直线l 斜率存在时，设其方程为()1y k x =-，即kx y k 0--=，

∴圆心到直线l 距离23421

k k d k --=

=+，解得：34

k =，:3430l x y ∴--=；

综上所述：直线l 的方程为1x =或3430x y --=；

（ii ）由直线l 与圆C 交于,P Q 两点知：直线l 斜率存在且不为0，设其方程为：()1y k x =-，即kx y k 0--=，∴圆心到直线l 距离2

2

34241

1

k k k d k k ---=

=

++，

()2

22222

21

4422

2CPQ

d d S PQ d d r d d d

⎡⎤

-+=⋅=-=-≤

=⎢⎥⎣⎦

（当且仅当224d d -=，即22d =时取等号），由2

2d

=得：

()2

22421

k k -=+，解得：1k =或7k =，

∴CPQ 面积的最大值为2，此时l 方程为：10x y --=或770x y --=.

19．C

圆心（0,0）到直线10x y --=的距离|1|1

22

d -==，因为圆的半径为1，则弦长为2

2

12122⎛⎫

-= ⎪⎝⎭

.

故选：C.20．A 【详解】

由题意，圆22:224C x y x ++=，可得圆心坐标为(1,0)C -，

点()2,3P -在圆C 内，则过点P 且被点P 平分的弦所在的直线和圆心与P 的连线垂直，又由30

12(1)

CP k --=

=---，所以所求直线的斜率为1，且过点()2,3P -，

可得所求直线方程为(3)1(2)y x --=-⨯-，即50x y --=．故选：A 21．B 【详解】

根据题意，圆()2

224x y -+=的圆心为()2,0，半径为2，

设圆心到直线0kx y +=的距离为d ，则2

21k d k =

+，

若直线0kx y +=被圆()2

224x y -+=所截得的弦长为2，则2222r d =-，

所以214d +=，又0d >，解得3d =，所以2

321k d k

=

=+，解得3k =±，

点()

0,23A 与直线m 上任意一点P 的最小值为点到直线的距离12

2331d k ==+，

故选:B ．22．A 【详解】

解：把圆的方程化为标准方程得：22(1)(2)4x y ++-=，

∴圆心坐标为(1,2)-，半径2r =，

根据题意可知：圆心在已知直线220ax by -+=上，把圆心坐标代入直线方程得：2220a b --+=，即1b a =-，

则设2

2

11(1)24m ab a a a a a ⎛

⎫==-=-+=--+ ⎪⎝

⎭，

∴当12a =

时，m 有最大值，最大值为14，即ab 的最大值为1

4

，则ab 的取值范围是(-∞，1

]4

．故选：A ．23．C

由题意，知23MN =，圆心为(3，2).设圆的半径为r ，则2r =，所以圆心到直线的距离2

2

4312MN d r ⎛⎫

=-=

-= ⎪⎝⎭

.

由点到直线的距高公式，得2323

11

k k -+=+，解得0k =或3

4k =-.

故选：C.24．B 【详解】

由222420x x y y -+++=，得22(1)(2)3x y -++=，则圆心为(1,2)-，半径3r =，因为圆心(1,2)-到直线2220x y -+=的距离为2222

224

33

81

d +++==

>+，且22422433

33133

d ++--=

-=<，所以圆222420x x y y -+++=到直线2220x y -+=的距离为1的点有2个，故选：B

25．C 【详解】

解：由22(3)(4)1x y -+-=，得圆心(3,4)C ，过直线:350l x ay +-=上任意一点作圆C 的切线，要使切线长最小，即要使圆心到直线l 的距离最小，根据题意作图，如图所示：

圆的半径为1，切线长为15，

∴圆心到直线l 的距离等于221(15)4+=，∴由点到直线的距离公式得

2

|3345|

49a a ⨯+-=+，解得4a =，此时直线l 的斜率为3

4

-．

故选：C ．26．B 【详解】

解：根据题意，直线1(2)y m x +=-，恒过定点(2,1)-，动圆222:(1)(1)C x y r -+-=，其圆心为(1,1)，半径为r ，

若圆的面积最大，即圆心到直线l 的距离最大，且其最大值22(12)(11)5CP =-++=，即圆的面积最大时，圆的半径5r =，此时圆的方程为：22(1)(1)5x y -+-=，故选：B ．27．A 【详解】

圆C 的标准方程为()2

211x y -+=，圆心为()1,0，半径为1r =.

依圆的知识可知，四点P ，A ，B ，C 四点共圆，且AB ⊥PC ，所以1

4422

PAC PC AB S PA AC PA ⋅==⨯⨯⋅=△，而2

1PA PC =

-，

当直线PC ⊥l 时，PA 最小，此时PC AB ⋅最小.

结合图象可知，此时切点为()()0,0,1,1-，所以直线AB 的方程为y x =-，即0x y +=.故选：A

28．A 【详解】

将圆C 方程整理为：()()2

2

214x y -+-=，则圆心()2,1C ，半径2r =；

将直线l 方程整理为：()12y k x =-+，则直线l 恒过定点()1,2，且()1,2在圆C 内；最长弦MN 为过()1,2的圆的直径，则4MN =；最短弦PQ 为过()1,2，且与最长弦MN 垂直的弦，

21

112

MN k -=

=-- ，1PQ k ∴=，∴直线PQ 方程为21y x -=-，即10x y -+=，∴圆心C 到直线PQ 的距离为211

22

-+==

d ，22224222PQ r d ∴=-=-=；

∴四边形PMQN 的面积11

4224222

S MN PQ =

⋅=⨯⨯=.故选：A.29．A 【详解】

圆的方程可化为()()()2

2

2210x m y m m m -+--=≠，其圆心为(),21m m +.

依题意得，2170m m ++-=，解得2m =，

∴圆的半径为2，面积为4π，

故选：A 30．A 【详解】

解:将圆的方程化为标准形式得圆()()22

216x a y -++=,所以圆心坐标为(),2a -,半径为4

r =因为圆22224120x y ax y a +-++-=上存在到直线4320x y --=的距离等于1的点，所以圆心到直线的距离d 满足15d r ≤+=,即4455

a d +=≤,解得:2921,44a ⎡⎤

∈-⎢⎥

⎣⎦故选:A

31．C 【详解】

设四边形PAOB 的面积为S ，

2||||||PAO S S AO AP AP === ，222||||||||1AP OP OA OP =-=-，

所以，当||OP 最小时，||AP 就最小，|002|

||22

min o l OP d -++===，所以||211min min S AP ==-=．此时OP l ⊥.

所以||||||||1OA AP PB OB ====，四边形PAOB 是正方形，由题得直线OP 的方程为y x =，联立20y x x y =⎧⎨++=⎩得(1,1)--P ，

所以线段OP 的中点坐标为11(,)22

--，

由题得直线AB 的斜率为1,

-所以直线AB 的方程为11

()[()]22

y x --=---，

化简得直线AB 的方程为10x y ++=.

故选：C 32．C 【详解】

解：因为圆()2

222x y r ++=的圆心为()2,0-，半径为r ，

圆心()2,0-到直线40x y +-=的距离22432

d --=

=，

因为在圆()2

222x y r ++=上到直线40x y +-=的距离为2的点恰有三个，所以32242r =+=．故选：C ．33．D 【详解】

因为圆221x y +=与直线310ax by ++=相切，所以

2

2

00113a b

++=+，所以2231a b +=，

所以()2222222222222213133310616310a b a b a b a

b b a b b a a ⎛⎫+=+=++≥+⋅= ⎪⎭+⎝，取等号时22

14

a b ==

，所以

22

13a b +的最小值为16.故选：D.34．C 【详解】

由题意，易知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()34y k x -=-，即340kx y k -+-=曲线()()2

2

231x y -+-=表示圆心()2,3，半径为1的圆，

圆心()2,3到直线340kx y k -+-=的距离应小于等于半径1，

2

233411k k

k

-+-∴

≤+，即221k k -≤+，解得3333

k -≤≤.

故选：C.35．D 【详解】

由于1:0l mx ny +=，2:30l nx my m n -+-=，且()0mn n m +⋅-=，12l l ∴⊥，易知直线1l 过原点，

将直线2l 的方程化为()()130n x m y ---=，由10

30x y -=⎧⎨-=⎩，解得13

x y =⎧⎨=⎩，

所以，直线2l 过定点()1,3M ，所以10OM =，因为2a c b +=，则2

a c

b +=

，直线3l 的方程为02a c ax y c +++=，直线3l 的方程可化为1022y y a x c ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭，由0210

2

y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以，直线3l 过定点()1,2N -

，如下图所示：

设线段OM 的中点为点E ，则13,22E ⎛⎫

⎪⎝⎭

，

若点P 不与O 或M 重合，由于OP PM ⊥，由直角三角形的性质可得EP EO EM ==；若点P 与O 或M 重合，满足12l l ⊥.

由上可知，点P 的轨迹是以OM 为直径的圆E ，该圆圆心为13,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为10

2

.

设点E 到直线3l 的距离为d ，当3EN l ⊥时，d EN =；当EN 不与3l 垂直时，d EN <.

综上，2

2

1352

12222d EN ⎛⎫⎛⎫≤=-+--=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

.所以，点P 到直线3l 的距离的最大值为5210

2

2

OM EN ++=

.故选：D.36．BC 【详解】

解：对于A 、C ，由:20l kx y k -+=，得(2)0k x y +-=，令200

x y +=⎧⎨-=⎩，解得2

0x y =-⎧⎨=⎩，

所以直线l 恒过定点(2,0)-，故A 错误；

因为直线l 恒过定点(2,0)-，而()2

220416-+=<，即(2,0)-在圆22:16O x y +=内，所以直线l 与圆O 相交，故C 正确；

对于B ，直线0:220l x y -+=的斜率为1

2，则当2k =-时，满足直线l 与直线0:220l x y -+=垂直，故B 正确；

对于D ，1k =-时，直线:20l x y ++=，圆心到直线的距离为2

2

002211

d ++==

+，

所以直线l 被圆O 截得的弦长为()

2

2222242

214r d -=-=，故D 错误.

故选：BC.37．BD 【详解】

圆心为原点，半径为5，依题意可知直线l 的斜率存在，

设直线l 的方程为()55y k x -=-，即550kx y k -+-=，所以

()

2

22

55525

21k k k -=-⇒=+或1

2

k =

.所以直线l 的方程为25520x y -+-⨯=或11

55022

x y -+-⨯=，

即250x y --=或250x y -+=.故选：BD

38．BD 【详解】

对于A 选项，直线l 过定点()0,1，且点()0,1在圆C 内，则直线l 与圆C 必相交，A 选项错误；对于B 选项，若直线l 将圆C 平分，则直线l 过原点，此时直线l 的斜率不存在，B 选项正确；对于C 选项，当1k =时，直线l 的方程为10x y -+=，圆心C 到直线l 的距离为2

2

d =，所以，直线l 被C 截得的弦长为2

225322⎛⎫

-= ⎪ ⎪⎝⎭

，C 选项错误；

对于D 选项，圆心C 到直线l 的距离为21

11d k =≤+，

所以，直线l 被C 截得的弦长为2254d -≥，D 选项正确.

故选：BD.

39．AD

【详解】

解：由直线:(2)10l mx m y m --+-=，即(1)210m x y y +--+=，

得10210x y y +-=⎧⎨-+=⎩，解得121

2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

，则直线l 过定点1(2P ，1)2，圆22:20C x y x +-=化为22(1)1x y -+=，圆心坐标为(1,0)C ，

22112||(1)(0)1222

PC =-+-=< ，点P 在圆C 内部，∴直线l 与圆C 恒有两个公共点，故A 正确；

圆心C 到直线l 的最大距离为2||2

PC =，故B 错误； 直线系方程(2)10mx m y m --+-=不包含直线10x y +-=（无论m 取何值），而经过1(2P ，1)2

的直线只有10x y +-=过(1,0)C ，故C 错误；当1m =时，直线l 为0x y -=，圆C 的圆心坐标为(1,0)，半径为1，

圆22(1)1y x +-=的圆心坐标为(0,1)，半径为1，两圆的圆心关于直线0x y -=对称，半径相等，

则当1m =时，圆C 与圆22(1)1y x +-=关于直线l 对称，故D 正确．

故选：AD ．

40．22

【详解】

圆22(1)4x y ++=的圆心为()0,1-，半径为2，

则圆心()0,1-到直线的距离为

()22011211++=+-，所以()2222222AB =-=，

故答案为：22

41．21

-【详解】

令t x y =+，则y x t =-+，t 表示直线在y 轴上的截距，

所以x y +的最大值是直线在y 轴上截距的最大值，

此时直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即2312t d --=

=，解得21t =-.故答案为：21

-42．x =2或3420x y +=-.

【详解】

圆2220x y x +-=的标准式为：()2211x y -+=，容易验证x =2与圆相切，若切线的斜率存在，则设其方程为：()22220y k x kx y k -=-⇒-+-=，于是圆心到直线的距离2|2|

3141k d k k -+==⇒=+，则切线：310342042

x y x y -+=⇒-+=.故答案为：x =2或3420x y +=-.

43．522

+解：因为直线1l ：()0kx y k R +=∈恒过定点(0,0)O ，直线2l ：

220x ky k -+-=恒过定点(2,2)C ，且12l l ⊥，

所以两直线的交点A 在以OC 为直径的圆D 上，且圆的方程为22:(1)(1)2D x y -+-=，要求AB 的最大值，转化为在22:(1)(1)2D x y -+-=上找上一点A ，在()()22232x y +++=上找一点B ，使AB 最大，根据题意可知两圆的圆心距为22(12)(13)5+++=，所以AB 的最大值为522+，故答案为：522

+44．（1）2m =-；（2）20x y -+=或0x y +=．

【详解】

解：（1）圆C 的标准方程为：222(1)()124

m m x y -++

=+，所以，圆心为(1,)2m -由圆心C 在直线y x =上，得2m =-．

所以，圆C 的方程为：22(1)(1)2x y -+-=．

（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：1(1)y k x -=+，即10kx y k -++=，由于直线l 和圆C 相切，得2|2|21

k k =

+解得：1k =±

所以，直线方程为：20x y -+=或0x y +=．

45．（1）()()22

231x y -+-=；（2）1y x =+.【详解】

解：（1）设圆C 的方程为()()22

2x a y b r -+-=，则依题意，得()()()()22222224,13,10,a b r a b r a b ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+=⎪⎩

解得2,3,1,a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴圆C 的方程为()()22231x y -+-=（2）设直线l 的方程为1y kx =+，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，将1y kx =+，代入22(2)(3)1x y -+-=并整理，得22(1)4(1)70k x k x +-++=，∴1224(1)1k x x k

++=+，12271x x k =+∴()()()2121212122

41118121k k OM ON x x y y k x x k x x k +⋅=+=++++=+=+ ，即()

24141k k k +=+，解得1k =，

又当1k =时0∆>，∴1k =，∴直线l 的方程为1

y x =+46．

（1）圆()2

2:15C x y +-=的圆心()0,1C ，半径为5，所以圆心()0,1C 到直线l 的距离为22151m

m

d m m --=<=<+，所以直线l 与圆C 相交，故对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不

同交点；

（2

）

当M 与P 不重合时，连接,CM CP ，则CM MP ⊥，所以222

CM MP CP +=，设()(),1M x y x ≠，则()()()22221111x y x y +-+-+-=，

整理得()222101x y x y x +--+=≠，

当M 与P 重合时，1x y ==也满足22210x y x y +--+=，

故弦AB 的中点M 的轨迹方程为22210x y x y +--+=;

（3）设()()1122,,,A x y B x y ，由12AP PB =，得12

AP PB = ，所以()121112x x -=-，即2132x x =-，又()221015mx y m x y -+-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩

，消去y 得()22221250m x m x m +-+-=，所以212221m x x m +=+，()()4222441516200m m m m ∆=-+-=+>，由2121223221x x m x x m =-⎧⎪⎨+=⎪+⎩得21231m x m +=+，将21231m x m

+=+带入()22221250m x m x m +-+-=得1m =±，所以此时直线l 的方程为0x y -=或20x y +-=.

47．

（1）因为(1,3),(3,1)P Q ---，

所以PQ 的中垂线为11(2)2

y x +=+上，由24011(2)2x y y x +-=⎧⎪⎨+=+⎪⎩

，解得21x y =⎧⎨=⎩，所以圆心为()2,1C ，又半径||5r PC ==，

∴圆C 的方程为22(2)(1)25x y -+-=．

（2）直线l 的方程可化为(3)(25)0k x x y ----=，

令30250x x y -=⎧⎨--=⎩

可得3x =，1y =-，∴直线l 过定点(3,1)M -，

由22(32)(11)25-+--<可知M 在圆内，

∴直线l 与圆C 一定相交．

（3）设圆心C 到直线l 的距离为d ，弦长为L ，则2222225L r d d =-=-，

∵0||d CM ≤≤，即05d ≤≤，∴4510L ≤≤，即弦长的取值范围是[45,10]．

48．

（1）224x y +=；（2）15±；（3）存在，(1,1)-.（1）由题，设点P 的坐标为(,)x y ，

因为||2||PA PB =，即2222(4)2(1)x y x y +-=+-，

整理得224x y +=，

所以所求曲线E 的轨迹方程为224x y +=．

（2）依题意，2OC OD ==，且120COD ∠= ，

由圆的性质，可得点O 到边CD 的距离为1，

即点(0,0)O 到直线:40l kx y --=的距离为

2411k =+，解得15k =±，

所以所求直线l 的斜率为15±．

（3）依题意，,ON QN OM QM ⊥⊥，则,M N 都在以OQ 为直径的圆F 上，Q 是直线:4l y x =-上的动点，设(,4)Q t t -，

则圆F 的圆心为4(,)22t t -，且经过坐标原点，即圆的方程为22(4)0x y tx t y +---=，

又因为,M N 在曲线22:4E x y +=上，

由22224(4)0

x y x y tx t y ⎧+=⎨+---=⎩，可得(4)40tx t y +--=，即直线MN 的方程为(4)40tx t y +--=，

由t R ∈且()440t x y y +--=，可得0440

x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，所以直线MN 过定点(1,1)-．