九年级-数学-知识点总结(沪科版)

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性

质：

上加下减。

3. ()2

y a x h =-的性质：

左加右减。 4.

()2

y a x h k =-+的性质：

三、二次函数图象的

平移

1. 平移步

骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2

y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；

⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：

⑴c bx ax y ++=2

沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2

变成

m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）

⑵c bx ax y ++=2

沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2

变成c m x b m x a y ++++=)()(2

（或

c m x b m x a y +-+-=)()(2）

四、二次函数()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较

从解析式上看，()2

y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即

2

2424b ac b y a x a a -⎛

⎫=++ ⎪⎝⎭

，其中2424b ac b h k a a -=-=

，．

五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，

关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.

六、二次函数2y ax bx c =++的性质

1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b

x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭

，．

当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b

x a

=-时，y 有最小值244ac b a -．

2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪

⎝⎭，．当2b

x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b

x a

=-时，y 有最大值244ac b a -．

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：2

y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；

2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线

与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．

⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．

总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b

在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，

当0b >时，02b

a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；

当0b =时，02b

a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；

当0b <时，02b

a

->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．

⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即

当0b >时，02b

a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；

当0b =时，02b

a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；

当0b <时，02b

a

-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．

总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．

ab 的符号的判定：对称轴a

b

x 2-

=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则03. 常数项c

⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；

⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称

2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；

()2

y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =---；

2. 关于y 轴对称

2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；

()2

y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =++；

3. 关于原点对称

2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2

y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =-+-；

4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

2

y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2

2

2b y ax bx c a

=--+-；

()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2

y a x h k =--+．

5. 关于点()m n ，对称

()2

y a x h k =-+关于点()m n ，

对称后，得到的解析式是()2

22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

十、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：

一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：

① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，

，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程

()2

00ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.

② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.

1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；

3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

二次函

数图像参考：

十一、函数的应用

二次函数应用⎧⎪

⎨⎪⎩

刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少

2-3

2

y=-2x 2

y=3(x+4)2

2

y=3x 2

y=-2(x-3)2

二次函数考查重点与常见题型

1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：

已知以x 为自变量的二次函数2)2(2

2

--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是

2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数

的图像，试题类型为选择题，如：

如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12

-+=bx kx y 的图像大致是（ ）

y y y y

1 1

0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D

3． 合题，如：

已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为3

5

=

x ，求这条抛物线的解析式。 4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 已知抛物线2

y ax bx c =++（a ≠0）与x 轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y 轴交点的纵坐标是－3

2

（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 【例题经典】

由抛物线的位置确定系数的符号

例1 （1）二次函数2y ax bx c =++的图像如图1，则点),(a

c b M 在（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

（2）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图2所示，•则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

(1) (2)

【点评】弄清抛物线的位置与系数a ，b ，c 之间的关系，是解决问题的关键．

例2.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于点(-2，O)、(x 1，0)，且12)的下方．下列结论：①aO；③4a+cO ，其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D ．4个 答案：D

会用待定系数法求二次函数解析式

例3.已知：关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( )

A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D ．(3，2)

答案：C

例4、如图（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重合．设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym 2．

（1）写出y 与x 的关系式；

（2）当x=2，3.5时，y 分别是多少？

（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，

三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、

对称轴.

例5、已知抛物线y=12x 2+x-52． （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴． （2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，求线段AB 的长．

【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．

例6、 “已知函数c bx x y ++=22

1的图象经过点A （c ，－2）， 求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。

（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。

（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。

点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A （c ，－2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。

[解答] （1）根据c bx x y ++=221的图象经过点A （c ，－2），图象的对称轴是x=3，得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=⋅--=++,

3212,

2212b c bc c 解得⎩⎨⎧=-=.

2,3c b 所以所求二次函数解析式为.23212+-=

x x y 图象如图所示。 （2）在解析式中令y=0，得0232

12=+-x x ，解得.53,5321-=+=x x 所以可以填“抛物线与x 轴的一个交点的坐标是（3+)0,5”或“抛物线与x 轴的一个交点的坐标是).0,53(-

令x=3代入解析式，得,2

5-=y 所以抛物线23212+-=x x y 的顶点坐标为),2

5,3(-

所以也可以填抛物线的顶点坐标为)2

5,3(-等等。

函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。

用二次函数解决最值问题

例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．

【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．

例2 某产品每件成本10y （件）之间的关系如下表：

若日销售量y 是销售价x （1）求出日销售量y （件）与销售价x （元）的函数关系式；

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？•此时每日销售利润是多少元？

【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b ．则1525,220

k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得k=-1，b=40，•即一次函数表达式为y=-x+40． （2）设每件产品的销售价应定为x 元，所获销售利润为w 元

w=（x-10）（40-x ）=-x 2+50x-400=-（x-25）2+225．

产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．

【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，•“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）•问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．

二次函数对应练习试题 一、选择题

1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )

A.(2,－11)

B.（－2，7）

C.（2，11）

D. （2，－3）

2. 把抛物线2

2y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）

A. 22(1)y x =-+

B. 22(1)y x =--

C. 221y x =-+

D. 221y x =--

3.函数2y kx k =-和(0)k y k x =≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )

4.已知二次函数

2(0)

y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时,

x 的值只能取0.其中正确的个数是( )

A.1个

B.2个

C. 3个

D. 4个

5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图

象可

知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ） Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3

6. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

7.方程222x x x

-=的正根的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个

8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为

A. 22y x x =--

B. 2

2y x x =-++

C. 22y x x =--或22y x x =-++

D. 22y x x =---或22y x x =++

二、填空题

9．二次函数2

3y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。

10．已知抛物线y=-2（x+3）²+5，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是_______.

11．一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当x ＜0时，函数值y 随自变量x 的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）。

12．抛物线22(2)6y x =--的顶点为C ，已知直线3y kx =-+过点C ，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。

13. 二次函数2241y x x =--的图象是由22y x bx c =++的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= 。

14．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB 上离中心M 处5米的地方，桥的高度是 (π取3.14).

三、解答题：

15.已知二次函数图象的对称轴是30x +=,图象经过(1,-6),且与y 轴的交点为(0,52

-

). (1)求这个二次函数的解析式;

(2)当x 为何值时,这个函数的函数值为0?

(3)当x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大?

16.某种爆竹点燃后，其上升高度h （米）和时间t （秒）符合关系式2012

h v t gt =- （0（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？

（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.

17.如图，抛物线2y x bx c =+-经过直线3y x =-与坐标轴的两个交点

A 、

B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为

C ，抛物线顶点为D.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P 为抛物线上的一个动点，求使APC S ∆：ACD S ∆=5 ：4的点P

的坐标。

18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x （元），该经销店的月利润为y （元）．

（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；

（2）求出y 与x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；

（3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？

（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．

相似三角形基本知识

知识点一：放缩与相似形

1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。

2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。

注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。

⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．

⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．

3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.

知识点二：比例线段有关概念及性质

（1）有关概念

1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或n m b a =）

2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。

说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d c b a =

4、比例外项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。

5、比例内项：在比例d

c b a =（或a ：b ＝c ：

d ）中b 、c 叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例

d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。

8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即d c b a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）

（2）比例性质

1.基本性质: bc ad d c b a =⇔= （两外项的积等于两内项积）

2.合比性质：d d c b b a d c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变）

．

注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间

发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d

c d c b a b a c c d a a b d c b a ．

3.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）

如果

)0(≠++++====n f d b n

m f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．

(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．

知识点三：黄金分割

1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果AC

BC AB AC =，即AC 2=AB×BC，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。其中AB AC 2

15-=≈0.618AB 。 2）黄金分割的几何作图：已知：线段AB.求作：点C 使C 是线段AB 的黄金分割点.

作法：①过点B 作BD ⊥AB ，使

；

②连结AD ，在DA 上截取DE=DB ； ③在AB 上截取AC=AE ，则点C 就是所求作的线段AB 的黄金分割点.黄金分割的比值为：

.（只要求记住）

3）矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形。

知识点四：平行线分线段成比例定理

(一)平行线分线段成比例定理

1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比.

例. 已知l 1∥l 2∥l 3,

.AB DE AB DE

BC EF AC DF ==或等 A D l 1 B E l 2

C F l 3

可得

2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.

由DE ∥BC 可得：

AC

AE

AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD =

==或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. 3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行

于三角形的第三边. (即利用比例式证平行线)

4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角．．．形三边．．．对应成比例.

5.平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线,如果在一条直线上截得的线段相等，难么在另一条直线上截得的线段也相等。

★★★三角形一边的平行线性质定理

定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例。

几何语言 ∵ △ABE 中BD ∥CE

∴DE AD

BC AB =

简记：

下上下上= 归纳：AE AD AC AB = 和AE DE AC BC =推广：类似地还可以得到全上全上=

和

全下

全下=

E

D

A

B C

A

B

E

C

★★★三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.

★★★三角形一边的平行线的判定定理

（1）是“A ”字型 （2）是“8”字型 经常考，关键在于找

E

D C

B

A

三角形一边平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

.

三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

★★★平行线分线段成比例定理

1．平行线分线段成比例定理：

两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.

用符号语言表示：AD ∥BE ∥CF,,,AB DE BC EF AB DE

BC EF AC DF AC DF

∴

===

. 2．平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得

的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等.

用符号语言表示：AD BE CF AB BC DE DF ⎫

⇒=⎬=⎭

.

重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.

重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.

知识点三：相似三角形

1、 相似三角形

1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。 几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。

两个等腰直角三角形一定相似。 两个等边三角形一定相似。

两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。

补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）； 2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。

3）相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。 如△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC ∽△DEF 。相似比为k 。 4）判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

三角形相似的判定定理：

判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用的最多)

判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹

判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这

两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．

直角三角形相似判定定理:

○1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

○2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

相似三角形的性质

①相似三角形对应角相等、对应边成比例.

②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比).

③相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.

2、相似的应用：位似

1）定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。

②两个位似图形的位似中心只有一个。

③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。

④位似比就是相似比。

2）性质：①位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。

②位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距

离等于位似比（相似比）。

③每对位似对应点与位似中心共线，不经过位似中心的对应线段平行。

直角三角形的性质

1、直角三角形的两个锐角互余

可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30°

可表示如下： ⇒BC=

2

1AB ∠C=90°

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90°

可表示如下： ⇒CD=2

1

AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理

直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2

2

2

c b a =+ 5、摄影定理

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条

直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ∙=2

⇒ AB AD AC ∙=2

CD ⊥AB AB BD BC ∙=2

6、常用关系式

由三角形面积公式可得： AB ∙CD=AC ∙BC

二、直角三角形的判定

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2

2

2

c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

三、锐角三角函数的概念 （3~8分）

1、如图，在△ABC 中，∠C=90°

①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即

c a

sin =∠=

斜边的对边A A

②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即

c b

cos =∠=

斜边的邻边A A

③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即

b

a

tan =∠∠=

的邻边的对边A A A

④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即a

b

cot =∠∠=的对边的邻边A A A

2、锐角三角函数的概念

锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值

三角函数 0° 30°

45°

60° 90° sinα

21 22

23 1

cos α 1

23 2

2

2

1 0

tan α 0

3

3 1

3 不存在

cot α 不存在

3

1 3

3 0

4、锐角三角函数的增减性

当角度在0°~90°之间变化时，

（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

《圆》

圆的周长： C=2πr 或C=πd 、圆的面积：S=πr²

圆环面积计算方法：S=πR² -πr²或S=π（R ² - r ²）(R 是大圆半径，r 是小圆半径）

二、点与圆的位置关系

d

A

2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；

3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；

三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；

2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；

3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；

四、圆与圆的位置关系

外离（图1）⇒无交点⇒d R r

>+；

外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r

=+；

相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r

-<<+；

内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r

=-；

内含（图5）⇒无交点⇒d R r

<-；

五、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②AB CD

⊥③CE DE

=④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD

中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O中，∵AB∥CD

∴弧AC=弧BD

六、圆心角定理

顶点到圆心的角，叫圆心角。

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距

图4

图5

D

第 19 页 共

相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；

③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 七、圆周角定理

顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠

2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆

周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角

∴C D ∠=∠

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△ABC 中，∵OC OA OB == ∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的

一半的逆定理。

八、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙O 中，

∵四边形ABCD 是内接四边形 ∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠

九、切线的性质与判定定理

（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；

两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线

（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最

后一个。

十、切线长定理 切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相

等，这点和圆心的连线平分

A B O

第 20 页 共 20 页

两条切线的夹角。

即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB =

PO 平分BPA ∠

十三、圆的公切线

两圆公切线长的计算公式：

（1）公切线长：12Rt O O C ∆

中，221AB CO = （2）外公切线长：2CO 是半径之差； 内公切线长：2CO 是半径之和 。 十四、圆内正多边形的计算 （1）正三角形

在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆

中进行：

::2OD BD OB =；

（2）正四边形

同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行

，

::OE AE OA =

（3）正六边形

同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆

中进行，::2AB OB OA =.

十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式

1、扇形：（1）弧长公式：180

n R

l π=；

（2）扇形面积公式： 21

3602

n R S lR π==

n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面

积

2、圆柱：

（1）A 圆柱侧面展开图

2S S S =+侧表底=2

22rh r ππ+

B 圆柱的体积：2

V r h π= （2）A 圆锥侧面展开图

S S S =+侧表底=2

Rr r ππ+

B 圆锥的体积：213

V r h π=

C 1

D 1