6、排列组合问题之分组分配问题(两个五个方面)

                 （一）（五个方面）

一、非均匀分组（分步组合法）

   “非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。

例1、人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法

   ①分成组，分别为人、人、人；

   ②选出个人分成组，一组人，另一组人。

解：①先选出人，有种，再由剩下的人选出人，有种，最后由剩下的人为一组，有种。由分步计数原理得分组方法共有（种）。

     ②可选分同步。先从人中选出人，有种，再由剩下的人中选出人，有种，分组方法共有（种）。也可先选后分。先选出人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有（种）。

二、均匀分组（去除重复法）

   “均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。

㈠全部均匀分组（去除重复法）

例2、人参加义务劳动，选出个人，分成组，每组都是人，有多少种不同的分法

解：可选分同步。先选人为一组，有种；再选人为另一组，有种。又有组都是人，每种分法只能算一种，所以不同的分法共有（种）。

    也可先选后分。不同的分法共有（种）。

㈡部分均匀分组（去除重复法）

例3、个不同零件分成堆，每堆分别有、、、个，有多少种不同的分法

解：分成、、、个元素的堆，分别有、、、种，又有堆都是个元素，每种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有（种）。

    【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有个组的元素是均匀的，都有种顺序不同的分法只能算一种分法。】

三、编号分组

㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）

例4、人参加义务劳动，选出人一组、人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法

解：分组方法共有（种）。

㈡部分均匀编号分组（分组法）

例5、本不同的书全部分给人，每人至少本，有多少种不同的分法

解：分两类。①一类为一人本；剩两人各本。将本书分成本、本、本三组，再分给人，有种分法。②另一类为一人本，剩两人各本。将书分成本、本、本三组，再分给人，有种分法。共有种分法。

例6、 已知集合含有个元素，集合含有个元素。现建立从到的映射，使中的每个元素在中都有原象的映射有多少个

解：先把中的个元素分成组，即个、个、个，有种分组方法，再把中的个元素全排列，共有种分组方法。因此，使中的元素都有原象的映射有个。

                   （二）（五个方面）

一、平均分堆问题倍缩法（或缩倍法、除倍法、倍除法、除序法、去除重复法） 

1、 从个参加义务劳动的人中，选出个人，分成两组，每组人，有多少种不同的分法

   答案：（种）或（种）。

2、本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法

   答案：（种）。

附：6个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学教师任教，每人教两个班，有多少种不同的分派方法

   答案：（种）。

3、本书分三份，份本，份本，有多少种不同分法

   答案：（种）。

2、有序分配问题逐分法（或分步法）

4、①有甲、乙、丙三项任务，甲需人承担，乙、丙各需人承担，从人中选出人承担这三项任务，不同的选法种数是（     ）

     、种      、种      、种      、种

   答案：（种）。选。

   ②名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口人，则不同的分配方案有（     ）种。

     、种   、种   、种   、种

   答案： 选。

三、全员分配问题先组后排法

5、 ①名优秀学生全部保送到所学校，每所学校至少去名，不同的保送方案有多少种

   答案：（种）。

   ②本不同的书，全部分给个学生，每个学生至少本，不同的分法种数为（   ）。

     、种        、种        、种       、种

   答案：（种）。选。

四、名额分配问题隔板法（或元素相同分配问题隔板法、无差别物品分配问题隔板法）

6、个优秀学生名额分到个班级，每个班级至少个名额，有多少种不同分配方案

   答案：（种）。

五、条件分配问题分类法

7、 某高校从某系的名优秀毕业生中选人，分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案

   答案：甲、乙有条件，按照甲、乙是否参加分四类。①甲、乙都不参加，有派遣方案种；②甲参加乙不参加，先安排甲有种，再安排其余学生有种，共有种；③乙参加甲不参加，有种；④甲、乙都参加，先安排甲乙，有种（树图法），再安排其余学生有种，共有种。综上，不同的派遣方法总数为种。