小学三年级奥数讲义

第一讲 找规律（一）

事物的发展中存在着规律，只有认真观察事物，找到它们发展变化的规律，才能深入地了解和掌握它们，从而找到解决问题的方法和途径。在数学竞赛中，常常出现按规律填数的题目，找规律的方法是根据已知数的前后（可上下）之间的联系，找出其中的规律，求得相应的数。

例1.请找出下列各组数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。

1) 1，5，9，13，(17)，21，25.

2) 3，6，12，24，(48)，96，192.

3) 1，4，9，16，25，(36)，49，，81.

4) 2，3，5，8，12，17，(23)，30，38.

5) 21，4，16，4，11，4，(9)，(4)。

6) 1，6，5，10，9，14，13，(18)，(17)。

例2.根据下表中数的排列规律，在空格里填上适当的数。

1) (2)

2 4 7 5

1 3 2 0 7

3 6 1 2 6

9 1 7 8

1 4 1 6 5 9

例3.下面每个括号里两个数按一定规律组合，在括号里填上适当的数。

9，13)，(17，5)，(14，8)，(11，16)。

例4.根据前面两个圈里三个数的关系，在第三个圈里的（）里填上适当的数。

20 18 25

20 16 () 108 ()

练与思考

1.找出下面各组数排列的规律，并根据规律在括号里填上合适的数。

1.

1.4.3.6.5.(2)。(7).

2.

1.4.16..(256).

3.

11.3.8.3.5.3.(10)。(7).

4.

1.3.8.21.(55).

2.

8.1.7.5)。

7.1.4.2)。

10.1.1.9).

3.

8.7)。(6.9)。(10.5)。(12.13).

1.3)。(5.9)。(7.13)。(9.19).

4.

1.5.6)。(2.4.5)。(3.6.9).

例1.

1×8+1=9.

12×8+2=98.

123×8+3=987.

1234×8+4=9876.

×8+5=.

×8+6=.

xxxxxxx×8+7=xxxxxxx。

xxxxxxxx×8+8=xxxxxxxx。

xxxxxxxx9×8+9=xxxxxxxx1.

规律：第n个式子的结果为n个9组成的数乘以n。

例2.

xxxxxxxx×9=xxxxxxxx1.

xxxxxxx×27=xxxxxxxx3.

xxxxxxx×36=xxxxxxxx4.

xxxxxxxx×54=xxxxxxxx6.

xxxxxxxx×18=xxxxxxxx2.

xxxxxxxx×45=xxxxxxxx5.

xxxxxxxx×72=xxxxxxxx8.

xxxxxxxx×63=xxxxxxxx7.

xxxxxxxx×81=xxxxxxxx9.

规律：第n个式子的结果为n个1或9组成的数乘以n。

例3.

第六行：1 5 10 10 5 1.

第七行：1 6 15 20 15 6 1.

第八行：1 7 21 35 35 21 7 1.

规律：第n行的数字为杨辉三角第n行，第n个数字为第n-1个数字加上第n个数字。

例4.

第50组三个数之和为 1+1+1+2+4+16+3+9+81 = 117.

第100组三个数之和为 1+1+1+2+4+16+3+9+81 = 333.

两者之差为 333-117=216.

1.×=xxxxxxxx09，×=xxxxxxxx321，×=xxxxxxxx0009.

2.根据规律，填入括号内的数为：，，，.

3.规律为：每个数的个位数为3，十位数为3加上前一位数乘27.所以，3333=12+27×111，=15+27×123，=18+27×1234.

4.规律为：19+9×9=100，118+98×9=1000，1117+987×9=，所以，（）+（）×9=xxxxxxx，xxxxxxx+（）×9=（）的答案分别为：，.

5.规律为：第n行的第一个数为n，第二个数为n×2，第三个数为n×3，以此类推。所以，第5行应为5 10 15 20，第6行应为6 12 18 24.

6.例1中，将两个边长为4分米的正方形拼成一个长为8分米，宽为4分米的长方形，得到的长方形周长为16分米，即拼成的正方形的周长。所以，拼成的正方形的周长为16分米。

例2中，设一个正方形的边长为x，则原来两个正方形的周长和为8x，拼成的长方形的周长为2(x+2)+2(2x)=6x+4.根据题意，有6x+4=8x-6，解得x=5.所以，一个正方形的周长为20厘米。

例3中，图3的周长为10米，图4的周长为8米。

例4中，周长为12+8+6+10+10+8+6+8=68米。

例5中，周长为3+4+3+5+3+4+3+5=30米。

例6中，设正方形的边长为x，则有24=2(x+a)+2(x+b)+2(x+c)，其中a、b、c分别为三个长方形的宽。化简得到x+a+b+c=12.由于每个长方形的周长为24厘米，所以每个长方形的长和宽之和为12厘米，即x+a=12，x+b=12，x+c=12.解得x=8，a=2，b=4，c=6，所以正方形的周长为32厘米。

例7中，设每个长方形的长为a，宽为b，小正方形的边长为x，则有4x+4a=11，2x+2b+a=11，解得a=1，b=3，x=1/2.所以每个长方形的周长为2a+2b=8分米，大正方形的周长为4x+4a=8分米。

例1.一块长方形土地，长是宽的2倍，中间有一座雕塑，雕塑的底面是一个正方形，周围是草坪。草坪的面积是多少平方米？

解：设长方形土地的长为2x，宽为x，则正方形雕塑的边长为x。整个图形的面积为长方形土地的面积减去正方形雕塑的面积，再减去四个直角三角形的面积。

长方形土地的面积为2x*x=2x^2平方米。

正方形雕塑的面积为x^2平方米。

直角三角形的面积为(1/2)*x*(2x-x)=x^2/2平方米，总共有4个，所以直角三角形的总面积为2x^2平方米。

因此，草坪的面积为2x^2-x^2/2=3x^2/2平方米。

例2.图2是由6个相等的三角形拼成的图形，求这个图形的面积。

解：由于6个三角形相等，所以这个图形可以看作是一个正六边形，每个角为120度。设正六边形的边长为a，则它可以分成6个等边三角形，每个三角形的面积为(1/2)*a*a*sin(120°)=a^2*sin(120°)/4平方米。因此，整个图形的面积为6*a^2*sin(120°)/4=3*a^2*sqrt(3)平方米。

例3.已知图3中大正方形比小正方形的边长多4厘米，大正方形面积比小正方形多96平方厘米。大正方形和小正方形的面积各是多少？

解：设小正方形的边长为x，则大正方形的边长为x+4.根据题意，有(x+4)^2-x^2=96，解得x=4，所以小正方形的边长为4厘米，面积为16平方厘米，大正方形的边长为8厘米，面积为平方厘米。

例4.如图4，正方形中套着一个长方形，正方形的边长是15厘米，长方形的四个角的顶点，恰好分别把正方形四条边都公成两段，其中长的一段是短的2倍。这个长方形的面积是多少？

解：设长方形的长为2x，宽为x，则正方形的边长为3x。根据题意，有2x+x=3x，解得x=15，所以长方形的长为30厘米，宽为15厘米，面积为450平方厘米。

例5.如图5，已知正方形ABCD的边长为6分米，长方形BCEF和长方形AGHD的面积分别为24平方分米和20平方分米，求阴影部分和面积。

解：长方形BCEF的长为6分米，宽为4分米，面积为24平方分米，所以EF=4分米。同理，长方形AGHD的长为6分米，宽为3⅓分米，面积为20平方分米，所以GH=3⅓分米。因此，阴影部分是由正方形ABCD去掉长方形BCEF和长方形AGHD得到的，面积为6*6-24-20=2平方分米。整个图形的面积为6*6=36平方分米。

例6.一个边长是7厘米的正方形纸片，最多能裁出多少个长是4厘米，宽是1厘米的纸条，请画图说明。

解：如图6所示，正方形纸片可以裁出7条长为4厘米，宽为1厘米的纸条，每条纸条的两个端点分别在正方形的相邻两个顶点上。

练与思考：

1.用长36厘米的一根铁丝围成一个正方形，它的面积是多少？用这根铁丝围成一个长12厘米的长方形，它的面积是多少？

解：（1）设正方形的边长为a，则a*4=36，解得a=9，所以正方形的面积为9*9=81平方厘米。

2）设长方形的长为l，宽为w，则2l+2w=36，l+w=18.根据题意，有2l+2w=12，l+w=6，解得l=3，w=3，所以长方形的面积为3*3=9平方厘米。

2.有一个长100米，宽80米的市民广场，中间留有宽4米的人行道，把广场平均分成四块。每一块的面积是多少？

3.图7是由12个相等的三角形拼成的，这个图形的面积是多少？

4.如图8，已知大正方形的面积比小正方形多52平方分米，大正方形比小正方形的边长多2分米。小正方形的面积是多少？大正方形的面积是多少？

5.图9是由9个小长方形组成的，按图中编号，第1，2，3，4，5号的面积分别是1平方米，2平方米，3平方米，4平方米，5平方米。那么，第6号长方形的面积是多少呢？

6.如图10，一个正方形中套着一个长方形，已知正方形的边长是16分米，长方形的四个角的顶点恰好把正方形四条边都分成两段，其中长的一段是短的3倍。阴影部分的面积是多少？

7.图11中阴影部分的面积是多少？

8.把一块长6分米，宽5分米的长方形钢板，截成长3分米，宽2分米的小长方形钢板，最多能截几块？请画图说明。

第5讲 算式谜（一）

算式谜是一种有趣的数学问题。它的特点是在算术运算的式子中，使一些数字或运算符号“残缺”，要我们根据运算法则，进行判断推理，从而把“残缺”的算式补充完整。研究和解决算式谜问题，有利于培养我们观察、分析、归纳、推理等思维能力。从这个意义上讲，算式谜问题是一种很好的锻炼思维的“体操”。

例1：在下面算式的括号里填上合适的数。

1）（）6（）（）+ 2（）1.5

8.0.9.1.

2）（）（）（）- 3（）1.6

4.8.5.7.

例2：A、B、C、D分别代表4个不同的数字，相同的字母代表相同的数字，求使得下面算式成立A、B、C、D各自代表的数字。

ABCD

ACD

CD

19

例3：A、B、C、D分别代表不同的数字，它们各是什么数字时同上面的算式成立？

A。B。C。D

C。D。C

A。B。C

例4：下面的算式中的“数”、“学”、“俱”、“乐”、“部”这五个汉字各应代表什么数字？

1数学俱乐部

3

数学俱乐部1

例5：下面算式中不同的字母所代表的数字均不同，当这些字母代表什么数时，算式成立？

A。B。C

D。C

B。E。A

F。A。G。H

F。I。G。A。A

第六讲 算式谜（二）

例1.在五个3之间，加上不适当的运算符号+，-，×，÷和（），使下面的算式成立。

3 + 3 ÷ 3 × 3 - 3 = 6

例2.将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个不同的数字分别填在□中，使下面三个算式成立。

6 + 3 = 9

8 - 5 = 3

2 × 7 = 14

例3.在1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中，添上+，-两种运算符号，使其结果都等于100（数字的顺序不能改变）。

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 78 - 9 = 100

例4.在下面的式子里加上括号，使等式成立。

1）(7 × 9) + (12 ÷ 3) - 2 = 23

2）7 × (9 + 12) ÷ (3 - 2) = 75

练与思考

1.从+，-，×，÷，（）中选出合适的符号，填入下列算式的五个数字之间，使算式成立。

1）3 + 3 - 3 × 3 ÷ 3 = 1

2）3 ÷ 3 + 3 - 3 × 3 = 5

2.将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个不同的数字分别填在□中，使下面三个算式成立。

3.在1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中，添上+，-，×，÷四种运算符号，使其结果都等于24（数字的顺序不能改变）。

4.在下面的式子里加上括号，使等式成立。

1）8 × 7 + 6 ÷ 2 - 3 = 50

2）9 + 7 ÷ 2 - 4 × 3 = 1

1.数字填空题

将数字1-9填入圆圈内，使得三个算式成立。

在下方算式中添加一个乘号和七个数字，使得结果为100.

在两个等式中填入加减乘除符号和数字，使得等式成立。

在下方算式中添加括号，使得等式成立。

2.植树问题

植树问题是研究在一定长度的线路上等距离地安排若干个点植树，植树的棵数、株距与线路的总长之间的数量关系。植树问题分为线段上的植树问题和环形线路上的植树问题。

线段上的植树问题分为三种情况，分别是两端都要植树、一端要植树、一端不植树。

环形线路上的植树问题中，线路的全长、植树的棵树、株距之间的数量关系是相同的。

根据以上数量关系，只要知道其中的两个量，就能求出第三个量。

例题：

在一条路的一边种树，从头到尾一共种了45棵，相邻两棵树之间相距5米，这条路长多少米？

在一条长42米的街道两边，每隔6米插一面彩旗（两端不插），一共需要插多少面彩旗？

1.在一个周长为3060米的湖泊周围，每隔6米栽1棵柳树，相邻两棵柳树之间栽2棵桃树。问大堤上栽了多少棵柳树和桃树各多少棵？

2.把一根木头锯成4段需要6分钟，那么要锯成13段需要多少分钟？

3.和小亮住在同一幢大楼里，住在5楼，每天回家要爬8015级台阶。那么小亮回家要爬多少级台阶？

4.在一条道路的两旁栽了32棵树，每隔8米栽一棵（两端各栽一棵）。问这条路的长度是多少米？

5.在一个鱼塘周围筑起了一座周长为1200米的土堤，每隔8米栽一棵杨树，相邻两棵杨树之间栽一棵松树。问土堤上栽了多少棵杨树和松树各多少棵？

6.有4根木料，每根都要锯成6段，每锯开一处需要付2元的锯板费。那么全部锯完需要付多少钱的锯板费？

7.要把一根木头锯成5小段，每锯一小段需要15分钟。李叔叔从上午8点10分开始锯，中间不休息。问他什么时候能锯完？

8.小红家所在的楼房每上一层楼要走21个台阶，到小红家要走126个台阶。那么小红家在几楼？

9.一个人从第一层走到第四层需要48秒。那么以同样的速度，他从第四层走到第八层需要多少秒？（假设每层楼的高度相等）

10.在一条路的一边每隔8米放一盆花，共放了16盆。现在拿走花盆，改种小松树，共种了7棵。问相邻两棵小松树之间相距多少米？

例1.260名四年级学生排成十路纵队做操，每十个人一排，相邻两排之间相隔1米。那么这支队伍长多少米？

例2.时钟在4点钟敲了4下，6秒钟敲完。那么在8点钟敲8下，需要多少秒钟才能敲完？

例3.在一个正方形广场的四周安装了路灯，四个顶点都装有一盏，每边装有15盏。那么这个广场共装了多少盏路灯？

例4.一个老人以变化的速度在公路上散步，从第1根电线杆走到第12根电线杆用了22分钟。那么在36分钟内，他应该走到第几根电线杆？（相邻两根电线杆之间的距离相等）

1.两棵树相隔115米，中间原来没有树，现在中间以相等的距离增加22棵树后，第16棵树与第1棵树之间相隔多少米？

原来每两棵树之间的距离为：(115/2)米 = 57.5米

现在增加了22棵树，共有23段距离，每段距离为：57.5米 + 22棵树的距离

设每棵树之间的距离为x，则：23x + 22 * 5 = 115

解得：x = 2.5米

第16棵树与第1棵树之间的距离为：15 * 2.5 = 37.5米

改写：原来两棵树之间的距离为115米，现在增加了22棵树，每两棵树之间的距离相等。设每棵树之间的距离为x，则共有23段距离，且23x + 22 * 5 = 115.解得每棵树之间的距离为2.5米。因此，第16棵树与第1棵树之间的距离为15 * 2.5 = 37.5米。

2.在马路的一边摆一排菊花，一共5盆，再在每两盆菊花中间摆3盆桂花，一共要摆几盆桂花？

共有4段距离，每两盆菊花之间的距离相等，设每段距离为x，则：4x + 3 * 4 = 5x

解得：x = 12

因此，一共要摆3 * 4 = 12盆桂花。

改写：在马路的一边摆一排菊花，共有5盆。在每两盆菊花中间摆3盆桂花，共有4段距离，每段距离相等。设每段距离为x，则4x + 3 * 4 = 5x。解得每段距离为12米。因此，一共要摆12盆桂花。

3.五（1）班48名学生排成四路纵队，已知相邻两排之间相隔2米，这支队伍长多少米？

共有4排学生，每排学生之间的距离相等，设每排学生之间的距离为x，则队伍总长为：48x + 3 * 2 = 48x + 6

改写：五（1）班48名学生排成四路纵队，相邻两排之间相隔2米。设每排学生之间的距离为x，则队伍总长为48x + 6米。

4.时钟6时敲6下，5秒敲完。那么，这只钟12时敲12下，几秒敲完？

时钟6时敲6下，每下一次需要敲响5/6秒。因此，时钟12时敲12下需要的时间为：12 * 5/6 = 10秒

改写：时钟6时敲6下，每下一次需要敲响5/6秒。因此，时钟12时敲12下需要的时间为10秒。

5.一位科学家在做一项实验，他从下午9时30分开始做第一次记录，以后每隔20分做一次记录，他做第七次记录时是几时几分？

从9时30分开始，每隔20分钟做一次记录，第七次记录是在：9时30分 + 6 * 20分钟 = 10时30分

改写：一位科学家在做一项实验，他从下午9时30分开始做第一次记录，以后每隔20分钟做一次记录。第七次记录是在10时30分。

6.在一个正方形操场四周插彩旗，四个顶点都插一面，这样每边都有10面。四周共插彩旗多少面？

正方形操场有4条边，每条边上插了10面彩旗，因此四周共插了：4 * 10 = 40面彩旗。

改写：在一个正方形操场四周插彩旗，四个顶点都插一面，每边都插了10面彩旗。四周共插了40面彩旗。

7.以不变的速度在小路上散步，他从第1棵树走到第7棵树用了24分。如果他走了40分，应该走到第几棵树？（相邻两棵树之间的距离相等。）

走了7-1=6棵树的距离，用了24分钟，因此他每棵树走的时间为：24/6 = 4分钟

如果他走了40分钟，则他最多能走10棵树的距离，因此他应该走到第10/4+1=3棵树。

改写：以不变的速度在小路上散步，他从第1棵树走到第7棵树用了24分钟。如果他走了40分钟，应该走到第3棵树。（相邻两棵树之间的距离相等。）

8.两棵松树之间以相等的距离摆放了14盆花（松树与相邻花盆的间隔等于相邻两盆花的间隔），第1棵松树与第5盆花相隔10米，那么，两棵松树相隔多远？

设每盆花之间的距离为x，则每棵松树与相邻花盆的距离为2x，因此第1棵松树与第5盆花之间的距离为：2x + 4x + x = 10

解得：x = 1

因此，两棵松树之间的距离为：2 * 14 * 1 = 28米

改写：两棵松树之间以相等的距离摆放了14盆花，每盆花之间的距离相等。第1棵松树与第5盆花相隔10米。因此，两棵松树之间的距离为28米。

9.一座桥全长168米，计划在桥的两侧栏杆上各安装16块广告牌，每块广告牌的横长为3米，靠近桥两头的广告牌距离桥端都是15米。相邻两块广告牌之间相隔几米？

每侧栏杆上要安装16块广告牌，因此共有17段距离，每段距离相等。设每段距离为x，则：17x + 2 * 15 = 168

解得：x = 9

因此，相邻两块广告牌之间相隔9米。

改写：一座桥全长168米，计划在桥的两侧栏杆上各安装16块广告牌，每块广告牌的横长为3米，靠近桥两头的广告牌距离桥端都是15米。共有17段距离，每段距离相等。设每段距离为x，则17x + 2 * 15 = 168.解得相邻两块广告牌之间相隔9米。

10.有一根180厘米长的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断，绳子共被剪成了多少段？

每隔3厘米作一记号，共有180/3 = 60个记号

每隔4厘米也作一记号，共有180/4 = 45个记号

因此，绳子共被剪成了60 + 45 = 105段。

改写：有一根180厘米长的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，共有60个记号。每隔4厘米也作一记号，共有45个记号。绳子共被剪成了105段。

二、解答题（每小题12分，共36分）。

1.找出下面数列的规律：2，5，10，17，26，37，50，（）。

规律：数列的第n项为n^2 - (n-1)^2

因此，数列的第为8^2 - 7^2 = 15^2 = 225

答案为225.

改写：数列2，5，10，17，26，37，50.的规律是：数列的第n项为n^2 - (n-1)^2.因此，数列的第为225.

2.有一面墙，长6米，高3米，要用砖头把它砌成一面墙，砖头的长和宽分别为30厘米和10厘米，需要多少块砖头？

墙的面积为6 * 3 = 18平方米

每块砖头的面积为0.3 * 0.1 = 0.03平方米

因此，需要的砖头数为：18 / 0.03 = 600块

改写：一面长6米，高3米的墙需要用砖头砌成。每块砖头的长和宽分别为30厘米和10厘米。墙的面积为18平方米，每块砖头的面积为0.03平方米。因此，需要600块砖头。

3.一个数加上它的一半等于30，这个数是多少？

设这个数为x，则：x + x/2 = 30

解得：x = 20

因此，这个数是20.

改写：一个数加上它的一半等于30.设这个数为x，则x + x/2 = 30.解得这个数为20.

5.两个正方形的周长分别为x，拼成的长方形周长为2(x+10)，因为长方形的周长比原来的两个正方形周长的和减少了10厘米，所以2(x+10)=2x+20-10，解得x=20，所以每个正方形的周长为20厘米。

6.每两棵柳树之间有2棵桃树，所以每隔6米就有2棵桃树，也就是说每隔10米有4棵桃树。所以桃树的密度为400/40=10棵/米，也就是每隔1米有10棵桃树。根据这个可以算出大堤的长度为40*10=400米。

7.规律是：第一组数的个位数是9，十位数每次加1；第二组数的个位数是7，十位数每次加10；第三组数的个位数是5，十位数每次加100；第四组数的个位数是3，十位数每次加1000；第五组数的个位数是1，十位数每次加.所以第六组数是xxxxxxx+*9=xxxxxxx。

8.根据题意，可以列出方程：

a3b4 + 1c5 = 4219

因为a、b、c都是一位数，所以可以直接暴力枚举，最终得出答案为：

8533 + 1975 = 

9.数学俱乐部1 + 3 = 数学俱乐部1，所以数学俱乐部1的个位数是8或9.因为数学俱乐部1 + 3 = 数学俱乐部1，所以数学俱乐部1的十位数是0.所以数=9，学=1，俱=0，乐=8，部=1.

10.5 + 5 ÷ 5 × 5 - 5 = 10

11.2 × 3 = 6，6 ÷ 2 = 3，所以□=2，□□=6，□÷□=3，□=1，所以答案为：

2 × 1 = 2

2 ÷ 1 = 2

1 × 6 = 6

6 ÷ 3 = 2

判断题：

1.×，D也可以等于8.

2.√

3.×，最多只能裁出7个。

应用题：

1.第一个平面图的周长为30米，第二个平面图的周长为24米。

2.原来正方形的周长为60厘米。

3.长的一段为6分米，短的一段为2分米，所以长方形的长和宽分别为6分米和2分米，阴影部分的面积为(8-6)*(6-2)=4平方分米。

4.11时共敲了11下，其中5时和10时各敲了5下，所以11时敲的次数比10时多1次，也就是共敲了6下。每次敲响需要8秒钟，所以11时敲完需要6*8=48秒钟。

5.共锯出36段木头，需要付锯板费36*6=216元。

6.相邻两层楼之间的台阶数相同，所以小赵要爬3*40=120级台阶。

本文介绍了一些和差问题和倍数问题的例子和练题。其中，第一题是关于一个人在小路上走了一段距离后到达哪棵树的问题；第二题到第五题分别是一些关于和差问题的例子；第六题是一个关于长宽的问题；第七题是一个关于成绩的问题；第八题是一个关于三个数的和与差的问题；第九题是一个关于两个数的和与差的积的问题；第十题是一个关于几个数的和与倍数的问题。这些问题都需要用到一些基本的数学思维和运算，希望读者能够认真思考并尝试解答。

和倍问题是指已知几个数的和及它们之间的倍数关系，求这几个数各是多少的问题。解决这类问题需要确定一个数为标准，一般以小数作为标准，然后根据其他数与小数的倍数关系，求出总和相当于1倍数的多少倍，再用除法求出小数，最后算出其他各数。

例1：六合农场把千克粮食分别存入两个仓库，已知第一仓库里的粮食是第二仓库的3倍。问两个仓库各存多少千克粮食？

例2：被除数、除数、商三个数的和是212，已知商是2，求被除数和除数各是多少？

例3：三篮桃子共有117个，第一篮的桃子是第二篮的2倍，第三篮的桃子是第一篮的3倍。问这三篮桃子各有多少个？

例4：两个数的和是682，其中一个加数的个位是另一个加数的十位，这两个数各是多少？

例5：有两堆棋子，第一堆有67个，第二堆有53个。问从第一堆中拿出多少个棋子放入第二堆，才能使第一堆的棋子是第二堆的2倍？

练与思考：

1.已知两个数的和是160，大数是小数的3倍，求这两个数。

2.长方形的周长是36分米，已知长是宽的2倍，求长方形的面积。

3.两数相除，商3余4，如果被除数、除数、商及余数相加，和是43，求被除数和除数。

4.姐姐和妹妹共有人民币2元，姐姐的钱数的个位是妹妹的十位，且去掉姐姐钱数的个位后与妹妹的钱数相等。姐姐、妹妹各有人民币多少元？

5.甲、乙两人共储蓄人民币1790元，甲取出540元后，乙的钱数比甲的3倍还多50元。甲、乙两人原来各储蓄多少元？

6.王村原有水田325公顷，旱田155公顷，现在计划把一部分旱田改成水田，使全村水田的公顷数相当于旱田的3倍，应该把多少公顷旱田改成水田？

7.甲、乙两箱茶叶共84千克，如果从乙箱取出12千克放入甲箱，则甲箱茶叶的重量是乙箱的2倍。问两箱原来各有茶呆多少千克？

8.把一个减法算式里的被减数、减数与差相加，得数是990，已知减数是差的2倍，减数是多少？

在解决和倍问题时，需要确定一个数为标准，根据其他数与标准数的倍数关系，求出总和相当于1倍数的多少倍，最后算出其他各数。例如，例1中需要确定一个仓库里存的粮食数量为标准，根据另一个仓库里存粮食的3倍关系，求出总量相当于1倍数的多少倍，最后算出两个仓库各存多少千克粮食。

例1.哥哥钓的鱼数是弟弟的3倍，且多钓了20条，设弟弟钓的鱼数为x，则哥哥钓的鱼数为3x+20.

因为两人一共钓了若干条鱼，所以有：x+(3x+20)=4x+20条。

根据题意，有：3x+20=x+45，解得x=8，因此弟弟钓了鱼，哥哥钓了3x+20=44条鱼。

例2.设男生人数为x，女生人数为y，则有y=x+45，且y=4x-15.

将第一个式子代入第二个式子中得到：x+45=4x-15，解得x=20，因此男生人数为20，女生人数为65.

例3.设两堆煤的重量都为x吨，则第一堆剩下的重量为x-7吨，第二堆剩下的重量为x-19吨。

根据题意，有x-7=3(x-19)，解得x=36，因此每堆煤的重量都是36吨。

年龄问题（一）

日常生活中到处存在着数学，一些关于年龄的数学趣题，尤其使人着迷。

例1.大象对长颈鹿说：“我现在的年龄，等于我像你那么大时你的年龄的2倍，而等你长到我22岁这么大时，我俩的年龄之和是63岁。”你能根据大象的话，算出大象与长颈鹿的年龄吗？

例2.小鲸鱼说：“妈妈，我到您现在这么大时，您就31岁啦！”鲸鱼妈妈说：“我像你那么大年龄时，你只有1岁。”

练与思考

1.哥哥做的数学题比弟弟多180道，哥哥做的数学题是弟弟的4倍多9道。两人各做多少数学题？

2.甲、乙两人的钱一样多，甲给乙30元，则乙的钱是甲的5倍。甲、乙原来各有多少元？

3.甲粮仓的大米比乙粮仓多600袋，如果从乙粮仓运出300袋给甲粮仓，那么，甲粮仓的大米是乙粮仓的2倍。两粮仓原来各有大米多少袋？

4.两块同样长的花布，第一块卖出25米，第二块卖出7米，剩下的布，第二块的长度是第一块的3倍。这两块布原来各有多少米？

5.已知两个数的商是4，这两个数的差是39.那么，这两个数中较小的一个数是多少？

6.小英的故事书的本数是小娟的3倍。如果小英借给小娟10本故事书，小娟的故事书的本数等于小英的3倍。小英、小娟原来各有故事书多少本？

7.水果店有重量相等的苹果和梨子各一筐，苹果卖出60千克，梨子又放入40千克，结果梨子的重量是苹果的3倍。原来苹果、梨子各有多少千克？

8.四（1）班和四（2）班原有图书的本数一样多。后来，四（1）班又买事新书126本，而四（2）班从本班原有的书中取出234本借给四（3）班。这时，四（1）班图书的本数是四（2）班的3倍。四（1）班和四（2）班原来各有图书多少本？

9.一天，甲、乙、丙三人去郊外钓鱼，甲比乙多钓6条，丙钓的鱼是甲的2倍，比乙多钓22条。他们三人一共钓了多少鱼？

10.甲对乙说：“你给我100元，我的钱将比你多1倍。”乙回答说：“你只要给我10元，我的钱就比你多5倍。”问：两人各有多少元？

年龄问题是数学中的一类经典问题，需要我们根据题目中给出的条件，灵活运用差、倍数等概念来解决。

例1：鲸鱼妈妈今年的年龄是小鲸鱼的4倍，两人年龄之和为52岁。问：鲸鱼妈妈和小鲸鱼各是多少岁？

解：设小鲸鱼的年龄为x，则鲸鱼妈妈的年龄为4x。根据题意，得到方程4x+x=52，解得x=8，即小鲸鱼今年8岁，鲸鱼妈妈今年32岁。

例2：父亲今年38岁，儿子今年10岁，问几年之后父亲的年龄是儿子的3倍？

解：设几年后父亲的年龄为x，则儿子的年龄为10+x。根据题意，得到方程38+x=3(10+x)，解得x=14，即14年后父亲的年龄是儿子的3倍。

例3：一家三口人的年龄之和为72岁，妈妈的年龄是孩子的4倍，且爸爸和妈妈同岁。问：三人各是多少岁？

解：设孩子的年龄为x，则妈妈的年龄为4x，爸爸的年龄为4x。根据题意，得到方程4x+4x+x=72，解得x=8，即孩子今年8岁，妈妈和爸爸各为32岁。

例4：王英5年前的年龄等于李明7年后的年龄，且王英4年后与李明3年前的年龄之和为35岁。问：王英和李明今年各几岁？

解：设王英和李明现在的年龄分别为x和y。根据题意，得到方程x-5=y+7，x+4=y-3+35，解得x=20，y=28，即王英今年20岁，李明今年28岁。

例5：哥哥和弟弟两人3年后的年龄和为27岁，且弟弟今年的年龄等于两人的年龄差。问：哥哥和弟弟今年各几岁？

解：设哥哥的年龄为x，则弟弟的年龄为x-3.根据题意，得到方程2(x+3)=27，解得x=6，即哥哥今年6岁，弟弟今年3岁。

例1：祖父和父亲、父亲和孙子年龄的差是一样的，又知祖父和孙子的年龄之和为84岁，这个岁数再加上孙子的年龄，正好是100岁。问：三人的年龄各是多少岁？

解：设祖父、父亲、孙子的年龄分别为x、y、z。根据题意，得到方程y-x=z-y=z，x+z=84，x+z+z=100，解得x=32，y=48，z=20，即祖父今年32岁，父亲今年48岁，孙子今年20岁。

例2：祖孙三人的年龄加在一起正好是100岁，祖父过的年数正好等于孙子过的月数，儿子过的星期数正好等于孙子过的天数。问：三人的年龄各是多少岁？

解：设祖父、儿子、孙子的年龄分别为x、y、z。根据题意，得到方程x+y+z=100，12x=z，7y=z，365z=y，解得x=76，y=133，z=11，即祖父今年76岁，儿子今年133岁，孙子今年11岁。

例3：王叔叔对小明说：“我15年前的岁数和你6年后的岁数相同。7年前，我的年龄是23你的年龄的8倍。”问：小明今年多少岁？王叔叔今年多少岁？

解：设王叔叔和小明现在的年龄分别为x和y。根据题意，得到方程x-15=y+6，x-7=23(y+7)，解得x=，y=45，即小明今年45岁，王叔叔今年岁。

1.小英一家由父亲、母亲和小英组成。父亲比母亲年龄大3岁。今年，他们家庭的年龄总和是71岁，8年前，他们家庭的年龄总和是49岁。求小英、父亲和母亲的年龄。

2.小明和他妈妈的年龄总和是42岁。6年前，妈妈的年龄是小明年龄的14倍。求小明和他妈妈的年龄。

3.父亲15年前的年龄是儿子的7倍，10年后父亲的年龄是儿子的2倍。求父亲和儿子现在的年龄。

4.大马的年龄是小马的4倍。再过20年，大马的年龄比小马的2倍小14岁。求大马和小马现在的年龄。

5.四个人的年龄之和是77岁，最小的人的年龄是10岁。最大的人的年龄与最小的人的年龄之和比另外两个人的年龄之和大7岁。求最大的人的年龄。

6.芳芳现在12岁，4年前，母亲的年龄是芳芳年龄的4倍。求母亲现在的年龄是芳芳年龄的几倍。

7.哥哥对弟弟说：“当我是你今年的岁数那一年，你刚刚3岁。”弟弟对哥哥说：“当我长到你今年的岁数时，你就是15岁了。”求哥哥和弟弟现在的年龄。

例1.某数加上6，乘以6，减去6，除以6，其结果等于6.求这个数。

解：设这个数为x。根据题意，有：

x+6)×6-6÷6=6

化简得：x+6=7

解得：x=1

答：这个数是1.

例2.有一位老人说：“把我的年龄加上14后除以3，再减去26，最后用25乘，恰巧是100岁。”这位老人今年多少岁？

解：设这位老人今年的年龄为x。根据题意，有：

25(x+14)÷3-26=100

化简得：25(x+14)÷3=126

解得：x=112

答：这位老人今年112岁。

例3.在做一道加法式题时，某学生把个位上的5看作9，把十位上的8看作3，结果所得的和是123.正确的答案是多少？

解：设正确的加数为a，被加数为b。根据题意，有：

a+3×10+9=123

b+5×10+8=a+b+58

化简得：a=45，b=20

答：正确的答案是45+20=65.

例4.工人们修一段路，第一天修了公路全长的一半还多2千米，第二天修了余下了一半还少1千米，还剩20千米没有修完。公路的全长是多少千米？

解：设公路的全长为x。根据题意，有：

x÷2+2+x÷2-1+20=x

化简得：x=88

答：公路的全长是88千米。

练与思考

1.某数加上10，乘以10，减去10，除以10，结果等于10.这个数是多少？

解：设这个数为x。根据题意，有：

x+10)×10-10÷10=10

化简得：x+10=11

解得：x=1

答：这个数是1.

2.《小学生数学报》少年数学爱好者俱乐部成立的年份数加上2后，缩小100倍，再扩大4倍，最后减去25，正好是55.这个俱乐部成立于哪一年？

解：设这个俱乐部成立的年份为x。根据题意，有：

x+2)÷100×4-25=55

化简得：(x+2)÷100=20

解得：x=1998

答：这个俱乐部成立于1998年。

3.有一个人说：“把我的年龄加上28后除以15，再用8乘，就是32岁。”这个人多少岁？

解：设这个人的年龄为x。根据题意，有：

8(x+28)÷15=32

化简得：x=29

答：这个人29岁。

4.小明做了一道加法题，但把个位上的4看成了7，十位上的8看成了2，结果是306.正确的答案是多少？

5.王大爷去粮站买米，陈叔叔因为粗心，把一袋米少算了20千克，另一袋米多算了3千克，总共卖给王大爷60千克米。王大爷实际买了多少千克米？

6.一捆电线，第一次用去了全长的一半多3米，第二次用去了剩下的一半多5米，还剩下7米。这捆电线原来有多长？

7.有一篮鸡蛋，第一次取出一半多2个，第二次取出余下的一半多2个，第三次拿出8个，篮子里还剩2个鸡蛋。篮子里原来有多少个鸡蛋？

8.小刚买了毛巾，用了带的钱的一半，买了手帕用了2元，买了香皂用了剩下钱的一半，这时还剩4元钱。小刚买毛巾用了多少钱？他一共带了多少钱？

9.某仓库运出三次原料，第一次运出总数的一半，第二次运出余下的一半，第三次运出前两次运完后余下的一半，最后把剩下的原料分给甲、乙两个工厂，甲厂得6吨，是乙厂的2倍。仓库原来有多少吨原料？

10.把若干个面包分给甲、乙、丙三个人吃，甲吃了全部的一半多1个，乙吃了剩下的一半多1个，丙吃了最后剩下的一半多1个，这样面包刚好全部吃完。原来有多少个面包？

例1.甲、乙、丙三个组共有图书90本，如果乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组所有图书的本数刚好相等。甲、乙、丙三个组原来各有图书多少本？

例2.甲、乙两个车站共停放了195辆汽车，如果从甲站开到乙站36辆，又从乙站开出45辆汽车，这时乙站停放的汽车辆数是甲站的2倍。原来甲、乙两站各停放多少辆汽车？

例3.一筐鱼连筐重122千克，卖出一半鱼后，再卖出剩下的一半，这时连筐还重35千克。原来筐和鱼各重多少千克？

练与思考

1.小亮在计算一道除法题时，把除数36写成了62，结果得到的商是30余12.正确的商应该是多少？

2.小明在做一道减法题时，把被减数个位上的4错写成了7，十位上的1错写成了5，百位上的3错写成了2，这样算出的差是143.正确的差应该是多少？

3.小兰问一位老师今年多大年纪，老师说：“把我的年龄除以6后加上14，再乘以3，最后减去27，是33岁。”这位老师多少岁？

4.操场上放了一些花盆，第一次搬走了全部的一半多8盆，第二次搬走了剩下的一半少4盆，将剩下的花盆摆成6排，每排恰好放2盆。原来有多少个花盆？

5.甲、乙、丙三个小朋友共有年历片120张。如果甲给乙13张，乙再给丙23张，那么他们三个人的年历片数就相等了。求原来三个小朋友分别有多少年历片。

6.甲、乙、丙三个人共有72元钱。甲拿出和乙一样多的钱给了乙，乙又拿出和丙一样多的钱给了丙，这时三个人的钱数相等了。求甲、乙、丙三个人原来各有多少钱。

7.甲、乙两个车站共停了90辆汽车。如果从乙站开出12辆汽车到甲站，然后从甲站开出30辆汽车，这时甲站停的汽车数量是乙站的3倍。求原来甲、乙两个车站各停了多少辆汽车。

8.甲、乙两个车站共停了90辆汽车。如果从甲站开出38辆汽车到乙站，然后乙站再开出14辆汽车回到甲站，这时两个车站停的汽车数量相等。求原来甲、乙两个车站各停了多少辆汽车。

9.某车间分成甲、乙两个组，因为生产需要，把甲组工人的一半调到乙组去了。后来又改变了工作程序，把乙组工人中的25人调回到甲组。这时甲组有45人，乙组有22人。求原来甲、乙两个组各有多少人。

10.一个水桶里面装有水，连桶一起称重是5千克。如果把水加到原来的4倍，连桶一起称重是11千克。求水桶原来有多少千克水，水桶本身有多重。

一、填空题：

1.白兔的只数是黑兔的4倍，黑兔的只数是1份，白兔的只数是4份，白兔和黑兔一共有5份，白兔比黑兔多3份。

2.红花和黄花共有120朵，红花的朵数是黄花的5倍，黄花有20朵，红花有100朵。

3.公鸡和母鸡共有52只，公鸡比母鸡少8只，公鸡有22只，母鸡有30只。

4.故事书和科技书一共有84本，故事书比科技书多6本，故事书有45本，科技书有39本。

5.山羊的只数比绵羊多45只，山羊的只数是绵羊的4倍，绵羊有15只，山羊有60只。

6.排球的个数比足球少30个，足球的个数是排球的6倍，排球有15个，足球有90个。

7.甲数除以乙数商是7，乙数是1份，甲数是7份，甲比乙多6份。

8.甲、乙两数的和是180，甲数除以乙数商是9，甲、乙两数的差是90.

9.今年父亲比儿子大25岁，三年后，父亲比儿子大22岁。

10.小东是小学四年级的学生，他和爸爸今年年龄的和是48岁，三年前，两人年龄的和是42岁。

二、应用题：

1.铁路桥长为2270米，公路桥长为9000米。

2.黄花有20朵，红花有100朵。

3.公鸡有22只，母鸡有30只。

4.故事书有45本，科技书有39本。

5.绵羊有15只，山羊有60只。

6.排球有15个，足球有90个。

7.甲数是7份，乙数是1份，甲比乙多6份。

8.甲数为81，乙数为99.

9.父亲今年50岁，儿子今年25岁，父亲三年后比儿子大22岁。

10.小东三年前和爸爸的年龄和为42岁，现在为44岁，所以小东和爸爸现在的年龄总和为48+44=92岁，三年前为86岁。小东现在8岁，爸爸现在为84岁，三年前为78岁。

2.大房间面积比小房间大36平方米，且大房间的面积是小房间的3倍。求大房间和小房间各有多少平方米。

解：设小房间面积为x平方米，则大房间面积为x+36平方米，根据题意可得：

x+36=3x

解得x=12，因此小房间面积为12平方米，大房间面积为48平方米。

3.甲、乙两船共载乘客623人，若甲船增加34人，乙船减少57人，则两船乘客数恰好相等。求甲、乙两船原来各有多少人？

解：设甲船原来有x人，则乙船原来有623-x人。根据题意可得：

x+34=623-x-57

解得x=298，因此甲船原来有298人，乙船原来有325人。

4.父亲比儿子大30岁，明年父亲的年龄是儿子的3倍。求儿子今年多少岁？

解：设儿子今年x岁，则父亲今年x+30岁。根据题意可得：

x+31=3(x+1)

解得x=26，因此儿子今年26岁。

5.小玲做一道减法题的时候，把减数个位上的9错写成6，十位上的6错写成9，得到的差是578.请你算一算，正确的差是多少？

解：设正确的被减数为a，正确的减数为b，则根据题意可得：

a-b=578

将错误的减数和被减数分别写出来，得：

a-69-(b-96)=578

化简得：

a-b=613

将两个方程联立，解得a=845，b=267，因此正确的差为578.

6.甲、乙、丙三个组共有图书90本，如果乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，那么，三个组的图书数刚好相等。求甲、乙、丙三个组原来各有图书多少本？

解：设甲、乙、丙三个组原来分别有x、y、z本图书，则根据题意可得：

x+y+z=90

y-3+z+5=x+z

化简得：

x-2y+2z=8

将两个方程联立，解得x=38，y=25，z=27，因此甲、乙、丙三个组原来分别有38、25、27本图书。

7.两个数的和是616，其中一个数个位数是另一个数的两倍。求这两个数。

解：设其中一个数为x，另一个数为y，则根据题意可得：

x+y=616

x=2(y%10)*10+y//10

化简得：

9y=616-20x

将两个方程联立，解得x=208，y=200，因此这两个数分别为208和200.

8.甲桶油重24千克，乙桶油重16千克，要使甲桶油的重量是乙桶油的3倍，需要从乙桶倒入甲桶多少千克？

解：设需要从乙桶倒入x千克油，则根据题意可得：

24+x=3(16-x)

解得x=4，因此需要从乙桶倒入4千克油。

9.甲、乙两筐苹果的重量相同，甲筐卖出7千克，乙筐卖出19千克以后，甲筐余下的重量是乙筐的3倍。求甲、乙两筐苹果原来各有多少千克？

解：设甲、乙两筐苹果原来重量均为x千克，则根据题意可得：

x-7=3(x-19)

解得x=29，因此甲、乙两筐苹果原来重量均为29千克。

10.小亮和他爸爸、妈妈今年的年龄分别是6岁、35岁和31岁。多少年后爸爸、妈妈的年龄和是小亮年龄的5倍？

解：设多少年后爸爸、妈妈的年龄和是小亮年龄的5倍为x，则根据题意可得：

35+x)+(31+x)=5(6+x)

解得x=14，因此14年后爸爸、妈妈的年龄和是小亮年龄的5倍。