双曲线专题复习讲义及练习(学生)

考点1  双曲线的定义及标准方程

题型1：运用双曲线的定义

[例1 ] 双曲线－＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是____．

【新题导练】

1.设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为        （    ）

A．    B．12        C．        D．24

2.如图2所示，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，

则的值是（ ）

A．9     B．16   C．18        D．27 

题型2 求双曲线的标准方程

[例2 ] 已知双曲线C与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.求双曲线C的方程．

【新题导练】

3.已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为               ； 

4.以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为___________________.

考点2  双曲线的几何性质

题型1 求离心率或离心率的范围

[例3] 已知双曲线的左，右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为  ．

【新题导练】

5.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为              ． 

6. 已知双曲线的右顶点为E，双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A、B两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率e是（ ）

A．      B．2        C．或2   D．不存在

题型2 与渐近线有关的问题

在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程．同时要熟练掌握以下三方面内容： (1)已知双曲线方程，求它的渐近线； (2)求已知渐近线的双曲线的方程； (3)渐近线的斜率与离心率的关系，如k＝＝＝＝.

 [例4]若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （  ）

A.     　    B.         C.           D.

【新题导练】

7. 双曲线的渐近线方程是  (   )

A.     B.   C.  D. 

8.焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是       （  ）

A．B． C． D．

双曲线专题练习

一、填空题

1．椭圆与双曲线的焦点相同，则k=   。

2．双曲线的渐近线为            

3．已知为椭圆的两个焦点，为它的短轴的一个端点，若该椭圆的长轴长为，则△面积的最大值为    ．

4．过点（-6，3）且和双曲线x2-2y2=2有相同的渐近线的双曲线方程为              。

5．过原点与双曲线交于两点的直线斜率的取值范围是        

6、若双曲线的一个焦点是（0，3），则k的值是          。

7．点P是双曲线上一点，F1、F2是双曲线焦点，若F1PF2=120o，则F1PF2的面积             。

8．若对任意kR，直线与双曲线总有公共点，则b范围        。

二、选择题

9. 经过双曲线的右焦点作直线交双曲线与、两点，若|AB|=4,则这样的直线存在的条数为　　　　　　　　　　　　　　　（　  ）

（A）４；    （B）3；　　（C）2；（D）１

10．双曲线与其共轭双曲线有             （    ）

A．相同的焦点    B. 相同的渐近线   

 C.相等的实轴长  D. 相等的虚轴长

11．过点P(3,4)与双曲线只有一个交点的直线的条数为      （    ）

A．4      B. 3       C.2           D. 1

三、解答题

12．已知动圆与圆C1:(x+5)2+y2=49和圆C2：(x-5)2+y2=1都外切，

（1）求动圆圆心P的轨迹方程。（2）若动圆P与圆C2内切，与圆C1外切，则动圆圆心P的轨迹是             。若动圆P与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心P的轨迹是         。

若把圆C1的半径改为1，那么动圆P的轨迹是               。

（只需写出图形形状）

13. 已知双曲线方程为与点P(1,2),

（1）求过点P（1，2）的直线的斜率的取值范围，使直线与双曲线有一个交点，两个交点，没有交点。

(2) 过点P（1，2）的直线交双曲线于A、B两点，若P为弦AB的中点，求直线AB的方程；

（3）是否存在直线，使Q（1，1）为被双曲线所截弦的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。

14、已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6)  (1)求双曲线方程  (2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问  是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论  

一、填空题

 1． k=   2   。2.3x-2y=0 3．2．   4．     5.6、-1   7．。    8．  

二、选择题

9（ B ）10．（ B ）11.C

三、解答题

12．（1）从已知条件可以确定圆C1、C2的圆心与半径。         两圆外切可得：两圆半径和＝圆心距动圆半径r,依题意有    7＋r＝|PC1|,1＋r＝|PC2|，两式相减得：|PC1|－|PC2|＝6 ＜|C1C2|。  由双曲线定义得：点P的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支。（x≥3）  

（2）若动圆P与圆C2内切，与圆C1外切，则动圆圆心P的轨迹是          （双曲线右支）若动圆P与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心P的轨迹是           （双曲线左支）        若把圆C1的半径改为1，那么动圆P的轨迹是                。（两定圆连心线的垂直平分线）

13．当k=±,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；当＜k＜,或－＜k＜,或k＜－时，l与C有两个交点；当k＞时，l与C没有交点.

（2）以P为中点的弦为：.

(3)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)

又∵x1+x2=2,y1+y2=2    ∴2(x1－x2)=y1－y1      即kAB==2但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.

14.解  所求双曲线方程为=1  

(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），∴其重心G的坐标为(2，2）

假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN，设M(x1,y1)，N(x2,y2)  则有

，∴kl=∴l的方程为

y= (x－2)+2,由,消去y,整理得x2－4x+28=0  ∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l不存在