数学物理方程习题解答案

习题一

1，验证下面两个函数：

都是方程

的解。

证明：（1）

       因为

所以是方程的解。

（2）

      因为

所以

是方程的解。

2，证明：满足方程

其中和都是任意的二次可微函数。

证明：因为

       所以

得证。

3，已知解的形式为，其中是一个待定的常数，求方程

的通解。

解：令则

所以

将上式带入原方程得

因为是一个具有二阶连续可导的任意函数，所以从而，

故都是原方程的解，为任意的二阶可微函数，根据迭加原理有

为通解。

4，试导出均匀等截面的弹性杆作微小纵振动的运动方程（略去空气的阻力和杆的重量）。

解：弹性杆的假设，垂直于杆的每一个截面上的每一点受力与位移的情形都是相同的，取杆的左端截面的形心为原点，杆轴为轴。在杆上任意截取位于的一段微元，杆的截面积为，由材料力学可知，微元两端处的相对伸长（应变）分别是与，又由胡克定律，微元两端面受杆的截去部分的拉力分别为与，因此微元受杆的截去部分的作用力的合力为： 

且合力的正向与坐标轴相同，设为微元质心的坐标，则质心处的加速度为，

由牛顿第二定律有：

            约去，并对右端应用中值定理，得

约去，并令，即得：

由于弹性杆是均匀的，（常数），（常数）

从而，其中（是杨氏模量，是体密度）。

5，一均匀细杆直径为，假设它的同一横截面上温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从规律

  记杆的体密度为，比热为,热传导系数为.试导出此时温度满足的微分方程。

解：取杆轴为，考察杆位于段在时间区间上的热平衡，在时间内，段的侧面流入的热量为：

在点，处截面流入该段的热量为：

所以

温度升高所吸收的热量：

由能量守恒定律得： 

由的任意性，有

。

6,设某溶质在溶液中扩散，它在时刻溶液中点处的浓度用函数表示，试导出所满足的微分方程。

解：由Nernst定律得

上式中表示扩散物质浓度，为在时间内经过面扩散物质的量，为扩散系数。

在时段内通过边界曲面S流入区域的质量为

从时刻到，中该物质质量的增加为：

从而，由质量守恒定律有

交换积分次序可得：

由于，在区域都是任意的，可以得到

7,一根均匀杆原长，一段固定，另一端拉长而静止，然后突然放手任其振动，试写出其定解问题。

解：设点在处固定，在处拉长而静止，然后突然放手任其振动，则方程为。

边界条件为：；

初始条件为：。

8，长为的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进入，设单位时间流入单位截面积的热量为，杆的初始温度分布是，试写出其定解问题。

解：侧面绝热，方程为

边界条件为

初始条件为

9，长度为的均匀细杆，初始温度为0℃，端点处保持常温，而在处和杆的侧面热量可以散发到周围介质中去，设周围介质的温度为0℃。试列出杆上的温度分布函数所满足的定解问题。

解：类似第5题，可得方程。其中

                 ， 

边界条件为: 

初始条件为： 

10，设函数和分别是定解问题

和

的解，试证明函数是定解问题

的解。

证明：

利用叠加原理Ⅰ得，其中。因为是定解问题一得解，是定解问题二的解。所以必满足。

又因为对定解问题一有，

对定解问题二有

所以；同理可得与的边界条件与初始条件累加均满足定解问题三。得证。

11，设函数和分别是定解问题

（Ⅰ）和（Ⅱ）

的解，试证明函数是定解问题

（Ⅲ）

的解。

证明：利用叠加原理得，其中（Ⅰ）式=0，（Ⅱ）式的为。

因为是定解问题一得解，是定解问题二的解。所以它们的线性组合必满足方程，即是方程的解。

又因为对定解问题（Ⅰ）有，；对定解问题（Ⅱ）有，。所以，同理可得与的边界条件与初始条件累加均满足定解问题三。得证。

习题二

1，用分离变量法解齐次弦振动方程

                              ，  ，   

的下述混合问题：

（1）

（2）

（3）

解：（1）第一，求与所满足的常微分方程

设满足方程和齐次边界条件的特解形式为，代入方程得

即                

所以得到与所满足的两个常微分方程：              

第二，解特征值问题

为了要特解形式满足边界条件，必须有

因为不能恒为零，所以

这样就得到决定的如下常微分方程边值问题：

通解为

满足边界条件：即

          （关于，的齐次线性方程组）

因为系数行列式

所以,即，无非零解。

②，通解，带入边界条件得

即，无非零解。

③,通解，代入边界条件得

所以特征函数为

再将代入方程得

特征方程： 

通解： 

综上： 

第三：迭加

第四：确定系数，使上式满足初始条件。

因为

由正交性： 

在上积分

从而

同理

所以

(2)特征值为

特征函数

确定系数，。

（3）

2/l改为2/ka*pi

所以

2,用分离变量法求解下述热传导方程的混合问题：

解：（1）①分离变量，令形式特解满足方程和齐次边界条件

代入边界条件得： 

从而得决定的如下常微分方程边值问题

②求解特征值问题

因为当时，该问题只有零解，无非零解

只有当时，方程有非零解： 

代入边界条件得： 

所以特征值为

特征函数为

再将特征值代入得

通解： 

所以， 

③迭加，则

④确定系数，使上式满足初始条件，则

所以

（2）特征值为，；

特征函数为

所以    l改为l/2，级数钱负号-

3,求解下述定解问题：

解： 

其中满足

满足

用分离变量法解得（1）得

4，求解定解问题

解：令特解满足齐次方程和齐次边界条件，则

，代入边界条件得从而得到决定的如下常微分方程边值问题

①，，通解带入边界条件有

因为系数行列式所以即，无非零解。

②，通解带入边界条件有

即，无非零解。

③，，通解

所以带入边界条件有

所以

特征函数为

再代入初始条件得：

由正交性知

所以，得到的常微分方程初值问题解得

代入初始条件得

所以

因此

5，求解定解问题

解：因为，是所对应的其次方程在其次边界条件下的特征函数系。

所以设定解问题有如下形式的解： 

将上式代入方程和初始条件得： 

于是，得到的常微分方程的初值问题

解之得：

（1）当时，通解，代入初值条件得 

（2）当，通解，则

代入初值条件得：

所以，；

综上：， 

所以

6，求解定解问题

解：因为是所对应的齐次方程在齐次边界条件的特征函数系，所以定解问题有如下形式的解：

代入方程有： 

所以

代入初始条件有： 

用比较系数法得

从而

7，求解定解问题

解：因为是所对应的齐次方程在齐次边界条件下的特征函数系，所以定解问题有如下形式的解：，

代入方程有： 

即： 

代入初始条件有： 

由正交性将上式两端同时乘以后，并对在区间上积分，得

所以

8，求解定解问题

解：因为，是所对应的齐次方程在齐次边界条件下的特征函数系。所以，由特征函数法定解问题有如下形式的解： 

代入原方程有

由比较系数法有

由初始条件有

（1），有关于的常微分方程初值问题为解之得

（2），关于的常微分方程初值问题为

利用齐次话原理将非齐次方程转化为齐次的： 

令，则

解之得通解： =

所以

因此。

9，求解定解问题

解：由特征函数法可将表为： 

代入原方程有     （1）

代入边界条件有： 

，其中

解（1）得： 

代入得

所以

10,试射性衰变问题

其中皆为常数。

解：因为，是所对应的齐次方程在齐次边界条件下的特征函数系。所以，由特征函数法定解问题有如下形式的解：

       （1）

 为确定，先将展为特征函数系的级数： 

      （2）

其中

       （3）

将（1），（2），（3）代入定解问题，即有

利用齐次化原理

（Ⅰ）

解得

（Ⅱ）

齐次化得， 

令

所以（Ⅱ）的解为。

利用叠加原理得：

所以

11，求解定解问题

解：        （1）

    （2）

由初始条件有

于是

从而

12,求解单位圆内泊松方程的狄利克莱问题

解：显然

为方程之特解，

于是

也为方程的特解。

令，则有

， 即 

由边界条件，有

比较系数法，即有

于是  

从而原问题的解

13，求解圆内的拉普拉斯方程的牛曼问题

其中边值函数满足条件

解：由分离变量法易得

由边界条件，有

于是，有

为任意。

14，在扇形区域内求下列定解问题

解：由分离变量法求解，令，则有特征值问题

和

特征值

特征函数

且

由自然边界条件，有

于是  

15,求下列泊松方程的特解

（1）为常数

（2）

解：（1）

（是关于的线性函数，是关于的线性函数）易知，特解为

（2）特解为

16，求解泊松方程的狄利克莱问题

解：由自由项知有形式的特解，再让其满足第二对边界条件，即有

（1）

令则

17，解定解问题

（其中不为整数）

解：令

则

(注意)

18，解定解问题

解： 

19，试确定下述定解问题的解

其中，皆为常数。

解： 

， 

（1）

（2）

（3）

20,求解圆环域内的拉普拉斯方程的牛曼问题

解：添加周期性边界条件

分离变量法求解得

得

即

由边界条件，利用比较系数法，得

从而