杭州市西湖区九年级上期末数学试卷含答案解析

一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案..

1．二次函数y=3x2﹣1图象的顶点坐标是（　　）

A．（0，﹣1）    B．（1，0）    C．（﹣1，0）    D．（0，1）

2．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，且AB=4，BC=3，∠ABC=90°，则⊙O的直径为（　　）

A．5    B．6    C．8    D．10

3．如图，△ABC中，DE∥BC，若AD：DB=2：3，则下列结论中正确的（　　）

A． =    B． =    C． =    D． =

4．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是（　　）

A．    B．    C．    D．

5．从2种不同款式的衬衣和2种不同款式的裙子中分别取一件衬衣和一条裙子搭配，有（　　）种可能．

A．1    B．2    C．3    D．4

6．如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB．已知观测点C到旗杆的距离CE=8m，测得旗杆的顶部A的仰角∠ECA=30°，旗杆底部B的俯角∠ECB=45°，则旗杆AB的髙度是（　　）m．

A．8+24    B．8+8    C．24+8    D．8+8

7．如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与A、C重合），DE与AB相交于点F，则图中有（　　）对相似三角形．

A．2    B．3    C．4    D．5

8．若抛物线y=ax2+2ax+4（a＜0）上有A（﹣，y1），B（﹣，y2），C（，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）

A．y1＜y2＜y3    B．y3＜y2＜y1    C．y3＜y1＜y2    D．y2＜y3＜y1

9．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，弦EF经过BC边的中点D，且EF∥AB，若AB=8，则DE的长为（　　）

A． +1    B．2﹣2    C．2﹣2    D． +1

10．在△ABC中，已知AC=5，且+﹣=0，则BC+AB=（　　）

A．6    B．7    C．8    D．9

二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.

11．任意写出一个偶数和一个奇数，两数之和是奇数的概率是　　　　　　，两数之和是偶数的概率是　　　　　　．

12．两个数4+与4﹣的比例中项是　　　　　　．

13．若二次函数的图象经过点（﹣2，0），且在x轴上截得的线段长为4，那么这个二次函数图象顶点的横坐标为　　　　　　．

14．如图，水库堤坝的横断面是梯形，测得BC长为30m，CD长为20m，斜坡AB的坡比为1：3，斜坡CD的坡比为1：2，则坝底的宽AD为　　　　　　m．

15．在△ABC中，AB=5，BC=6，B为锐角且cosB=，则sinC=　　　　　　．

16．己知抛物线y=x2+2mx﹣n与x轴没有交点，则m+n的取值范围是　　　　　　．

三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.

17．平面上有3个点的坐标：A（0，﹣3），B（3，0），C（﹣1，﹣4）．

（1）在A，B，C三个点中任取一个点，这个点既在直线y1=x﹣3上又在抛物线上y2=x2﹣2x﹣3上的概率是多少？

（2）从A，B，C三个点中任取两个点，求两点都落在抛物线y2=x2﹣2x﹣3上的概率．

18．如图，BM是⊙O的直径，四边形ABMN是矩形，D是⊙O上的点，DC⊥AN，与AN交于点C，己知AC=15，⊙O的半径为30，求的长．

19．如图，⊙P的圆心为P（﹣2，1），半径为2，直线MN过点M（2，3），N（4，1）．

（1）请你在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′（不要求写作法）；

（2）请判断（1）中⊙P′与直线MN的位置关系，并说明理由．

20．如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）．设AE=BF=CG=DH=xcm，四边形EFGH的面积为ycm2，

（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围；

（2）求四边形EFGH的面积为3cm2时的x值；

（3）四边形EFGH的面积可以为1.5cm2吗？请说明理由．

21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M是边AC的中点，CH⊥BM于H．

（1）试求sin∠MCH的值；

（2）问△MCH与△MBC是否相似？请说明理由；

（3）连结AH，求证：∠AHM=45°．

22．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB⊥CB于点B，tanD=3，BC=2，H为CE延长线上一点，且AH=，CH=5．

（1）求证：AH是⊙O的切线；

（2）若点D是弧CE的中点，且AD交CE于点F，求证：HF=HA；

（3）在（2）的条件下，求EF的长．

23．已知二次函数y=x2+2（m+l）x﹣m+1．以下四个结论：

①不论m取何值，图象始终过点（，2）；

②当﹣3＜m＜0时，抛物线与x轴没有交点：

③当x＞﹣m﹣2时，y随x的增大而增大；

④当m=﹣时，抛物线的顶点达到最高位置．

请你分别判断四个结论的真假，并给出理由．

2022-2023浙江省杭州市西湖区九年级（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案..

1．二次函数y=3x2﹣1图象的顶点坐标是（　　）

A．（0，﹣1）    B．（1，0）    C．（﹣1，0）    D．（0，1）

【考点】二次函数的性质．

【分析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．

【解答】解：二次函数y=3x2﹣1的图象的顶点坐标是（0，﹣1）．

故选A．

【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．

2．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，且AB=4，BC=3，∠ABC=90°，则⊙O的直径为（　　）

A．5    B．6    C．8    D．10

【考点】圆周角定理；勾股定理．

【分析】由点A，B，C是⊙O上的三点，∠ABC=90°，根据90°的圆周角对的弦是直径，可得AC是直径，然后由勾股定理求得答案．

【解答】解：∵∠ABC=90°，

∴AC是直径，

∵AB=4，BC=3，

∴AC==5，

即⊙O的直径为5．

故选A．

【点评】此题考查了圆周角定理以及勾股定理．注意得到AC是直径是解此题的关键．

3．如图，△ABC中，DE∥BC，若AD：DB=2：3，则下列结论中正确的（　　）

A． =    B． =    C． =    D． =

【考点】平行线分线段成比例．

【分析】运用平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．

【解答】解：∵AD：DB=2：3，

∴=，

∵DE∥BC，

∴==，A错误，B正确；

==，C错误；

==，D错误．

故选：B．

【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．

4．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线．

【专题】计算题．

【分析】在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，则斜边AB=2CD=4，则即可求得sinB的值．

【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD=2，

∴AB=2CD=4．

∴sinB=．

故选C．

【点评】本题主要运用了直角三角形的性质（斜边上的中线等于斜边的一半），并考查了正弦函数的定义．

5．从2种不同款式的衬衣和2种不同款式的裙子中分别取一件衬衣和一条裙子搭配，有（　　）种可能．

A．1    B．2    C．3    D．4

【考点】列表法与树状图法．

【专题】计算题．

【分析】用2种不同款式的衬衣用A、B表示，2种不同款式的裙子用a、b表示，然后画树状图可展示所有4种等可能的结果数．

【解答】解：用2种不同款式的衬衣用A、B表示，2种不同款式的裙子用a、b表示，

画树状图为：

共有4种等可能的结果数．

故选D．

【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．

6．如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB．已知观测点C到旗杆的距离CE=8m，测得旗杆的顶部A的仰角∠ECA=30°，旗杆底部B的俯角∠ECB=45°，则旗杆AB的髙度是（　　）m．

A．8+24    B．8+8    C．24+8    D．8+8

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

【分析】利用∠ECA的正切值可求得AE；利用∠ECB的正切值可求得BE，有AB=AE+BE．

【解答】解：在△EBC中，有BE=EC×tan45°=8m，

在△AEC中，有AE=EC×tan30°=8m，

∴AB=8+8（m）．

故选D．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣﹣俯角、仰角问题，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．

7．如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与A、C重合），DE与AB相交于点F，则图中有（　　）对相似三角形．

A．2    B．3    C．4    D．5

【考点】相似三角形的判定；等边三角形的性质．

【分析】只要求写出相似的三角形，不必写出求证过程，根据相似三角形的判定定理，两个等边三角形的三个角分别相等，可推出△ABC∽△EDB，根据对应角相等推出△BDC∽△EFB∽△AFD．

【解答】解：图中的相似三角形是△ABC∽△EDB，△BDC∽△EFB，△BDC∽△AFD，△BDC∽△AFD．

故选：C．

【点评】本题主要考查相似三角形的判定定理及有关性质的运用，关键在于根据图中两个等边三角形，找出相关的相等关系，然后结合已知条件，证明结论．

8．若抛物线y=ax2+2ax+4（a＜0）上有A（﹣，y1），B（﹣，y2），C（，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）

A．y1＜y2＜y3    B．y3＜y2＜y1    C．y3＜y1＜y2    D．y2＜y3＜y1

【考点】二次函数图象上点的坐标特征．

【专题】探究型．

【分析】根据抛物线y=ax2+2ax+4（a＜0）可知该抛物线开口向下，可以求得抛物线的对称轴，又因为抛物线具有对称性，从而可以解答本题．

【解答】解：∵抛物线y=ax2+2ax+4（a＜0），

∴对称轴为：x=，

∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，

∵A（﹣，y1），B（﹣，y2），C（，y3）在抛物线上，，

∴y3＜y1＜y2，

故选C．

【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质，二次函数具有对称性，在对称轴的两侧它的单调性不一样．

9．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，弦EF经过BC边的中点D，且EF∥AB，若AB=8，则DE的长为（　　）

A． +1    B．2﹣2    C．2﹣2    D． +1

【考点】垂径定理；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．

【分析】由相交弦定理可得ED•DF=BD•DC=16，EG•FG=AG•GC=16，DG=，由此可得结果．

【解答】解：∵△ABC是⊙O的内接正三角形，弦EF经过BC边的中点D，且EF∥AB，AB=8，

由相交弦定理可得ED•DF=BD•DC=16，EG•FG=AG•GC=16，DG=，

∴DE•（4+FG）=16，FG•（4+DE）=16，

∴DE=FG=2﹣2，

故选B．

【点评】本题考查了线段长的求法，利用相交弦定理是解答此题的关键．

10．在△ABC中，已知AC=5，且+﹣=0，则BC+AB=（　　）

A．6    B．7    C．8    D．9

【考点】解直角三角形．

【分析】做出三角形的三个内角的平分线，相交于O，过O作三边的垂线，最后用三角函数即可．

【解答】解：如图：

作∠ABC，∠BCA，∠CAB的平分线相交于点O，过O作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，

设AF=m，BF=n，OD=OE=OF=r，

∴AE=m．BD=n，

∵AC=5，

∴CE=CD=5﹣m，

在RT△AOF中，tan∠BAO=，

∴，

同理：，

，

∵+﹣=0，

∴，

∴n=1，

∴AB+BC=m+n+n+5﹣m=2n+5=7，

故选B

【点评】此题是解直角三角形，主要考查了三角形的角平分线的意义，三角函数，解本题的关键是构造直角三角形．

二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.

11．任意写出一个偶数和一个奇数，两数之和是奇数的概率是　1　，两数之和是偶数的概率是　0　．

【考点】列表法与树状图法．

【专题】计算题．

【分析】利用不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1求解．

【解答】解：一个奇数与一个偶数的和为奇数，

所以任意写出一个偶数和一个奇数，两数之和是奇数的概率是1，两数之和是偶数的概率为0．

故答案为1，0．

【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了确定事件的概率．

12．两个数4+与4﹣的比例中项是　±　．

【考点】比例线段．

【分析】设它们的比例中项是x，根据比例的基本性质得出x2=（4+）（4﹣），再进行计算即可．

【解答】解：设它们的比例中项是x，

则x2=（4+）（4﹣），

解得x=±．

故答案为±．

【点评】本题考查了比例线段，理解比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．根据比例的基本性质进行计算．

13．若二次函数的图象经过点（﹣2，0），且在x轴上截得的线段长为4，那么这个二次函数图象顶点的横坐标为　﹣4或0　．

【考点】抛物线与x轴的交点．

【专题】数形结合．

【分析】由于二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），且在x轴上截得的线段长为4，则可确定二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣6，0）或（2，0），然后根据抛物线与x轴的两交点关于抛物线的对称轴对称，则可得到抛物线的对称轴方程，从而得到这个二次函数图象顶点的横坐标．

【解答】解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），且在x轴上截得的线段长为4，

∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣6，0）或（2，0），

当二次函数的图象与x轴的两个交点为（﹣6，0）和（﹣2，0），则二次函数图象的对称轴为直线x=﹣4，

当二次函数的图象与x轴的两个交点为（﹣2，0）和（2，0），则二次函数图象的对称轴为直线x=0，

即这个二次函数图象顶点的横坐标为﹣4或0．

故答案为﹣4或0．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：由二次函数的交点式y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．

14．如图，水库堤坝的横断面是梯形，测得BC长为30m，CD长为20m，斜坡AB的坡比为1：3，斜坡CD的坡比为1：2，则坝底的宽AD为　130　m．

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

【分析】作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，根据坡度的概念分别求出AE、DF，结合图形计算即可．

【解答】解：作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，

∵斜坡CD的坡比为1：2，即=，

∴DF=2CF，又CD=20m，

∴CF=20m，DF=40m，

由题意得，四边形BEFC是矩形，

∴BE=CF=20m，EF=BC=30m，

∵斜坡AB的坡比为1：3，

∴=，即AE=3BE=60m，

∴AD=AE+EF+DF=130m，

故答案为：130m．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键，掌握矩形的判定和性质的应用．

15．在△ABC中，AB=5，BC=6，B为锐角且cosB=，则sinC=　　．

【考点】解直角三角形．

【专题】推理填空题．

【分析】作AD⊥BC于点D，根据在△ABC中，AB=5，BC=6，B为锐角且cosB=，可以求得BD、AD、CD、AC的值，从而可以求得sinC的值．

【解答】解：如下图所示：

作AD⊥BC于点D，

∵在△ABC中，AB=5，BC=6，B为锐角且cosB=，cosB=，

∴BD=4，

∴CD=BC﹣BD=6﹣4=2，AD=，

∴AC=，

∴sinC==，

故答案为：．

【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，画出相应的图形，找出所求问题需要的条件．

16．己知抛物线y=x2+2mx﹣n与x轴没有交点，则m+n的取值范围是　＜　．

【考点】抛物线与x轴的交点．

【专题】计算题．

【分析】由抛物线y=x2+2mx﹣n与x轴没有交点，得到a=1＞0，推出函数值y＞0，得到n＜0，求出抛物线的对称轴x=﹣=﹣，于是得到y=x2+2mx﹣n=﹣m﹣n=﹣（m+n）＞0，即可得到结论．

【解答】解：∵抛物线y=x2+2mx﹣n与x轴没有交点，

∵a=1＞0，∴函数值y＞0，

∴﹣n＞0，∴n＜0，

∵抛物线的对称轴x=﹣=﹣，

∴y=x2+2mx﹣n=﹣m﹣n=﹣（m+n）＞0，

∴m+n＜．

故答案为：＜．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：当抛物线y=ax2+bx+c与轴有两个交点时，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根即△＞0；当抛物线y=ax2+bx+c与轴有一个交点时，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根即△=0；当抛物线y=ax2+bx+c与轴无交点时，一元二次方程ax2+bx+c=0无实数根即△＜0．

三、全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.

17．平面上有3个点的坐标：A（0，﹣3），B（3，0），C（﹣1，﹣4）．

（1）在A，B，C三个点中任取一个点，这个点既在直线y1=x﹣3上又在抛物线上y2=x2﹣2x﹣3上的概率是多少？

（2）从A，B，C三个点中任取两个点，求两点都落在抛物线y2=x2﹣2x﹣3上的概率．

【考点】列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；概率公式．

【专题】计算题．

【分析】（1）先根据一次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征可判断A、B、C都在直线上，A、B两点在抛物线上，C点不在抛物线上，然后根据概率公式求解；

（2）先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两点都落在抛物线y2=x2﹣2x﹣3上的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：（1）当x=0时，y1=x﹣3=﹣3，y2=x2﹣2x﹣3=﹣3，则A点在直线和抛物线上；

当x=3时，y1=x﹣3=0，y2=x2﹣2x﹣3=0，则B点在直线和抛物线上；

当x=﹣1时，y1=x﹣3=﹣4，y2=x2﹣2x﹣3=0，则C点在直线上，不在抛物线上，

所以在A，B，C三个点中任取一个点，这个点既在直线y1=x﹣3上又在抛物线上y2=x2﹣2x﹣3上的概率=；

（2）画树状图为：

共有6种等可能的结果数，其中两点都落在抛物线y2=x2﹣2x﹣3上的结果数为2，

所以两点都落在抛物线y2=x2﹣2x﹣3上的概率==．

【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了一次函数图象上点的坐标特征和二次函数图象上点的坐标特征．

18．如图，BM是⊙O的直径，四边形ABMN是矩形，D是⊙O上的点，DC⊥AN，与AN交于点C，己知AC=15，⊙O的半径为30，求的长．

【考点】弧长的计算；含30度角的直角三角形；矩形的性质．

【分析】利用矩形的性质以及锐角三角形函数关系，得出cos∠EOD的值进而求出∠EOD的度数，再利用弧长公式求出即可．

【解答】解：连接OD，BD，延长DC交BM于点E，

∵BM是⊙O的直径，四边形ABMN是矩形，D是⊙O上一点，DC⊥AN，

∴DE⊥BO，

∵AC=15cm，

∴BE=EO=15cm，

∵DO=30cm，

∴cos∠EOD==，

∴∠EOD=60°，

∴=（cm）．

【点评】本题考查了直角三角形的性质，弧长的计算、矩形的性质等知识，熟练掌握基本知识得出∠EOD的度数是解题关键．

19．如图，⊙P的圆心为P（﹣2，1），半径为2，直线MN过点M（2，3），N（4，1）．

（1）请你在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′（不要求写作法）；

（2）请判断（1）中⊙P′与直线MN的位置关系，并说明理由．

【考点】作图—复杂作图；直线与圆的位置关系．

【分析】（1）结合圆的半径利用P点关于y轴对称得出P′的坐标，进而得出答案；

（2）根据M，N，P′的坐标得出P′到直线MN的距离，进而得出答案．

【解答】解：（1）如图所示：⊙P′即为所求；

（2）直线MN与⊙P′相交，

理由：过点P′作P′B⊥MN于点B，

∵M（2，3），N（4，1），P′（2，1），

∴P′M=P′N=2，

∴△MP′N是等腰直角三角形，

∴P′B=1，

∵⊙P′的半径为2，

∴直线MN与⊙P′相交．

【点评】此题主要考查了复杂作图以及直线与圆的位置关系，正确得出⊙P′的位置是解题关键．

20．如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）．设AE=BF=CG=DH=xcm，四边形EFGH的面积为ycm2，

（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围；

（2）求四边形EFGH的面积为3cm2时的x值；

（3）四边形EFGH的面积可以为1.5cm2吗？请说明理由．

【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．

【专题】几何图形问题．

【分析】（1）先证出四边形EFGH为正方形，用未知数x表示其任一边长，根据正方形面积公式即可解决问题；

（2）代入y值，解一元二次方程即可；

（3）将面积y=2x2﹣4x+4改写成完全平方的形式，可得知y≥2，故不能为cm2．

【解答】解：（1）∵在正方形纸上剪去4个全等的直角三角形，

∴∠AHE=∠DGH，∠DGH+∠DHG=90°，HG=HE，

∵∠EHG=180°﹣∠AHE﹣∠DHG，

∴∠EHG=90°，四边形EFGH为正方形，

在△AEH中，AE=x，AH=BE=AB﹣AE=2﹣x，∠A=90°，

∴HE2=AE2+AH2=x2+（2﹣x）2=2x2﹣4x+4，

正方形EFGH的面积y=HE2=2x2﹣4x+4，

∵AE，AH不能为负，

∴0≤x≤2，

故y关于x的函数表达式为：y=2x2﹣4x+4，自变量x的取值范围[0，2]．

（2）将y=3代入y=2x2﹣4x+4中，整理得：2x2﹣4x+1=0，

解得：x1=1+，x2=1﹣，

故四边形EFGH的面积为3cm2时的x的值为1+或1﹣．

（3）四边形EFGH的面积为：y=2x2﹣4x+4=2（x﹣1）2+2，（0≤x≤2），

∵（x﹣1）2≥0，

∴y≥2，

四边形EFGH的面积不能为1.5cm2．

【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是找准数量关系，对于第三问，只要将关系式转化成完全平方的形式，即可看出结论．

21．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M是边AC的中点，CH⊥BM于H．

（1）试求sin∠MCH的值；

（2）问△MCH与△MBC是否相似？请说明理由；

（3）连结AH，求证：∠AHM=45°．

【考点】相似形综合题．

【分析】（1）设AC=BC=2a，由M是边AC的中点得出CM=AM=a，根据勾股定理求出BM的长，再由∠CMH+∠MCH=90°，∠CMH+∠MBC=90°可得出∠MCH=∠MBC，进而可得出结论；

（2）根据CH⊥BM于H，∠ACB=90°可得出∠MCB=∠MHC=90°，由∠BMC是公共角即可得出结论；

（3）由（2）可知，△MCH∽△MBC，故=，再由CM=AM可知=，根据∠AMH为公共角可得出△AMH∽△BMA，故可得出结论．

【解答】（1）解：设AC=BC=2a，

∵M是边AC的中点，

∴CM=AM=a，

∴BM===a．

∵∠ACB=90°，CH⊥BM于H，

∴∠CMH+∠MCH=90°，∠CMH+∠MBC=90°，

∴∠MCH=∠MBC，

∴sin∠MCH=sin∠MBC===；

（2）解：△MCH∽△MBC．

理由：∵CH⊥BM于H，

∴∠MHC=90°．

∵∠ACB=90°，

∴∠MCB=∠MHC=90°．

∵∠BMC是公共角，

∴△MCH∽△MBC；

（3）证明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠BAM=45°．

∵由（2）知，△MCH∽△MBC，

∴=．

∵M是边AC的中点，

∴CM=AM，

∴=．

∵∠AMH为公共角，

∴△AMH∽△BMA，

∴∠AHM=∠BAM=45°．

【点评】本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，在解答此题时要注意等腰直角三角形两个锐角是45°，此题难度适中．

22．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB⊥CB于点B，tanD=3，BC=2，H为CE延长线上一点，且AH=，CH=5．

（1）求证：AH是⊙O的切线；

（2）若点D是弧CE的中点，且AD交CE于点F，求证：HF=HA；

（3）在（2）的条件下，求EF的长．

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）连接AC．由AB⊥BC可知AC是圆O的直径，由同弧所对的圆周角相等可知∠C=∠D，于是得到tanC=3，故此可知AB=6，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=40，从而可得到AC2+AH2=CH2，由勾股定理的逆定理可知AC⊥AH，故此可知AH是圆O的切线；

（2）连接DE、BE．由弦切角定理可知∠ABD=∠HAD，由D是的中点，可证明∠CED=∠EBD，由同弧所对的圆周角相等可知∠ABE=∠ADE，结合三角形的外角的性质可证明：∠HAF=∠AFH，故此AH=HF；

（3）由切割线定理可求得EH=，由（2）可知AF=FH=，从而得到EF=FH﹣EH=．

【解答】解：（1）如图1所示：连接AC．

∵AB⊥CB，

∴AC是圆O的直径．

∵∠C=∠D，

∴tanC=3．

∴AB=3BC=3×2=6．

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=40．

又∵AH2=10，CH2=50，

∴AC2+AH2=CH2．

∴△ACH为直角三角形．

∴AC⊥AH．

∴AH是圆O的切线．

（2）如图2所示：连接DE、BE．

∵AH是圆O的切线，

∴∠ABD=∠HAD．

∵D是的中点，

∴．

∴∠CED=∠EBD．

又∵∠ABE=∠ADE，

∴∠ABE+∠EBD=∠ADE+∠CED．

∴∠ABD=∠AFE．

∴∠HAF=∠AFH．

∴AH=HF．

（3）由切割线定理可知：AH2=EH•CH，即（）2=5EH．

解得：EH=．

∵由（2）可知AF=FH=．

∴EF=FH﹣EH=．

【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了切线的判定定理、弦切角定理、切割线定理、圆周角定理以及勾股定理和勾股定理的逆定理、三角形的外角的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．

23．已知二次函数y=x2+2（m+l）x﹣m+1．以下四个结论：

①不论m取何值，图象始终过点（，2）；

②当﹣3＜m＜0时，抛物线与x轴没有交点：

③当x＞﹣m﹣2时，y随x的增大而增大；

④当m=﹣时，抛物线的顶点达到最高位置．

请你分别判断四个结论的真假，并给出理由．

【考点】二次函数的性质．

【分析】①把二次函数y=x2+2（m+l）x﹣m+1转化成y═（x+1）2﹣（2x﹣1）m，令x=，y=，判断出①；②令y=x2+2（m+l）x﹣m+1=0，求出根的判别式△在﹣3＜m＜0时小于0，判断②；③求出抛物线的对称轴，即可判断③；④根据顶点坐标式求出抛物线的顶点，然后根据顶点纵坐标判断④．

【解答】解：①二次函数y=x2+2（m+l）x﹣m+1=（x+1）2﹣（2x﹣1）m，当x=时，y=，故可知抛物线总经过点（，2），故①正确，

②令y=x2+2（m+l）x﹣m+1=0，求△=4（m+1）2+4m﹣4=4m2+12m，当﹣3＜m＜0时，4m2+12m＜0，抛物线与x轴没有交点，故②正确，

③抛物线开口向上，对称轴x=﹣=﹣m﹣1，所以当x＞﹣m﹣1时，y随x的增大而增大，故③错误，

④y=x2+2（m+l）x﹣m+1=（x+m+1）2﹣m2﹣3m，抛物线的顶点坐标为（﹣m﹣1，﹣m2﹣3m），

因为顶点的纵坐标y=﹣m2﹣3m=﹣（m+）2+，所以当m=﹣时，抛物线的顶点达到最高位置．故④正确，

正确的结论有①②④．

【点评】本题主要考查二次函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握抛物线的图象以及二次函数的性质，此题难度一般．