函数的幂级数展开

函 数 的 幂 级 数 展 开

             复 旦 大 学   陈纪修  金路

1．教学内容

函数的幂级数（Taylor级数）展开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算与运算能力。

2．指导思想

（1）函数的幂级数（Taylor级数）展开作为一个强有力的数学工具，在分析学中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论，而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法，这样容易造成学生虽然掌握了幂级数的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。

（2）求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函数的幂级数展开公式（见下面的（*）式），但一般来说，直接利用（*）式来求函数的幂级数展开往往很不方便，因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级数展开方法，提高学生的实际计算能力，这也是我们在数学分析课程中推行素质教育的一个不可忽视的环节。 

3. 教学安排

首先回顾在讲述幂级数理论时已学过的相关内容：设函数f (x)在 x0 的某个邻域O(x0, r)中能展开幂级数，则它的幂级数展开就是f (x) 在x0 的Taylor级数：

（*）                                

另外我们已得到了以下一些基本的幂级数展开式：

(1)   f (x) = ex  = 

         + …,         x ∈(-∞, +∞)。

(2)  f (x) = sin x = 

             + …,  x∈(-∞, + ∞)。

(3)  f (x) = cos x = 

              + …,    x∈(-∞, + ∞)。

(4)  f (x) = arctan x = 

            + …,     x∈[-1, 1]。

(5)  f (x) = ln (1 + x) = 

            + …,   x∈(-1, 1]。

(6)  ，α≠0是任意实数。

当是正整数m时，

f (x) = (1 + x)m = 1 + mx + + … + + xm ，x∈(-∞, +∞)

即它的幂级数展开就是二项式展开，只有有限项。

    当不为0和正整数时，

,   

其中  = , (n = 1,2,…) 和。

设函数f (x)在 x0 的某个邻域O(x0, r)中任意阶可导，要求它在O(x0, r)中的幂级数展开，一开始就考虑利用公式（*）往往不是明智之举。下面我们通过具体实例介绍幂级数展开的一些方便而实用的方法：

1．通过各种运算与变换，将函数化成已知幂级数展开的函数的和。

例1   求  在 的幂级数展开。

解   利用部分分式得到

 ，

再利用（6）式（），得到

，     

例2求 在 的幂级数展开。

解    

，

利用（2）式与（3）式，即得到 

例3求  关于变量的幂级数展开。

解    令 则。利用（5）式，即得到 

2．对已知幂级数展开的函数进行逐项求导或逐项积分。

例4  求 在 的幂级数展开。

解   由于，利用逐项求导，即可得到 

例 5   求 f (x)= arcsin x 在 的幂级数展开。

解    利用(6)式 ，可知当x(-1,1)时，

         =  = 

   = 1 +  + + … + + …，

对等式两边从0到x积分，利用幂级数的逐项可积性与

 = arcsin x，

即得到

arcsin x = x + ，        x∈[-1, 1]。

其中关于幂级数在区间端点x = ±1的收敛性，可用Raabe判别法得到。

特别，取x = 1，我们得到关于π的一个级数表示：

 = 1 + 。

3．对形如，的函数，可分别用 Cauchy乘积与“待定系数法”。

设 f (x) 的幂级数展开为，收敛半径为R1，g(x) 的幂级数展开为, 收敛半径为R2，则f (x)g(x)的幂级数展开就是它们的Cauchy乘积：

f (x)g(x) = ()() =  ,

其中cn = ,  的收敛半径 min｛R1，R2｝。

当b0 ≠ 0时，我们可以通过待定系数法求的幂级数展开：设

 =  ,

则

() ()=  ,

分离x的各次幂的系数，可依次得到

            b0 c0 = a0               c0 = ,

            b0 c1 + b1 c0 = a1          c1 =  ，

            b0 c2 + b1 c1 + b2 c0 = a2      c2 = ，

                 ……

一直继续下去，可求得所有的cn 。

例6  求ex sin x的幂级数展开( 到x5 )。

解     ex sin x = ( + …)()

             = x +  + …，

由于与的收敛半径都是，所以上述幂级数展开对一切x∈(-∞, + ∞)都成立。

例7  求tan x的幂级数展开( 到x5 )。

解    由于tan x是奇函数，我们可以令

tan x =  = c1 x + c3 x3 + c5 x5 + …，

于是

(c1 x + c3 x3 + c5 x5 + …)() = ，

比较等式两端x, x3与x5 的系数，就可得到

c1 = 1,  c3 = ,  c5 =,

因此

tan x =  x + x3 +  x5 + …。

4． “代入法” 

对于例7，我们还可采用如下的“代入法”求解：在

=  = 1 + u + u2 + …

中，以u = 代入，可得到

= 1 + () + ()2 + …

                   = 1 + x2 + x4 + …，

然后求sin x与的Cauchy乘积，同样得到上述关于tan x的幂级数展开。

需要向学生指出的是，利用“待定系数法”与“代入法”求幂级数展开，我们目前无法得到它的收敛范围，而只能知道在x =的小邻域中，幂级数展开是成立的（事实上，tan x的幂级数展开的收敛范围是 (-, )，它的证明需要用到复变函数的知识）。

“代入法”经常用于复合函数，例如形如e f (x)，ln(1 + f (x))等函数的求幂级数展开问题。

例8  求 在的幂级数展开( 到x4 )

解        以  代入

，    

即可得到 

。

注  对于求函数在的幂级数展开问题，我们不能采用以 代入的方法，请学生思考为什么，并思考应该怎样正确使用“代入法”。

例9  求ln的幂级数展开( 到x4 )，其中函数应理解为

f (x) = 

解    首先，利用sin x的幂级数展开，可以得到

 = 。

令u =  代入ln (1 + u) = u - ，即得

ln =  () - ()2 + …

                  = 。

利用例9，我们可以得到一些有趣的结果。在前面我们已得到等式

 = ,

两边取对数，再分别将ln展开成幂级数，

ln =  = - 。

将上式与本例中的结果相比较，它们的x2系数，x4系数都对应相等，于是就得到等式

 = ,

 = 。

如果我们在计算时更精细些，也就是将ln的幂级数展开计算到x6，x8，…，还可以获得，，…的精确值。

注意点

1．如果 在邻域的幂级数展开存在，则幂级数必然是它在 x0 的Taylor级数（*）；但反之则不然。事实上，我们举出过在 任意阶可导的函数，它在的Taylor级数并不收敛于。但一般来说，对于有解析表达式的初等函数，只要它在 任意阶可导，则它在的Taylor级数就是它在邻域的幂级数展开。

2．要让学生知道，遇到求函数的幂级数展开问题，不要首先想到用（*）式。事实上，上面我们介绍的求幂级数展开的一些方法，比起直接利用公式（*）来都要方便，而学生应该学会如何在上述方法中选择一种最方便最快捷的方法。

3．一般来说，利用“待定系数法”与“代入法” 求幂级数展开，我们往往只能求出幂级数的初始几项，而不易求出幂级数的一般项，也不易求出幂级数的收敛半径。但是对于许多具体问题，只要求出幂级数的初始几项就够了，例如例9中的问题。关于幂级数的收敛半径，等学生学习了复变函数课程后就很容易确定。