(完整版)直线中的几类对称问题(推荐)

对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称. 本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略.

一、点关于点的对称问题

点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.

例1 求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点C的坐标.

分析 易知B是线段AC的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解.

解 由题意知，B是线段AC的中点，设点C（x，y），由中点坐标公式有，解得，故C（4，6）.

点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题有可以利用中点的性质AB=BC，以及A，B，C三点共线的性质去列方程来求解.

二、点关于直线的对称问题

点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.

例2 求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标.

分析 因为A，A′关于直线对称，所以直线l是线段AA′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口.

解 据分析，直线l与直线AA′垂直，并且平分线段AA′，设A′的坐标为（x，y），则AA′的中点B的坐标为

由题意可知，，

解得. 故所求点A′的坐标为

三、直线关于某点对称的问题

直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.

例3 求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程.

分析 本题可以利用两直线平行，以及点P到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.

解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得，

即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.

解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A（-8，0），则点A（-8，0）关于P（0，1）的对称点的B（8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.

将B（8，2）代入，解得c=-38.

故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.

点评 解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.

四、直线关于直线的对称问题

直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.

例4 求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程.

分析 由题意，所给的两直线l1，l2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.

解 根据分析，可设直线l的方程为x-y+c=0，在直线l1：x-y-1=0上取点M（1，0），则易求得M关于直线l2：x-y+1=0的对称点N（-1，2），

将N的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，

故所求直线l的方程为x-y+3=0.

点评 将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路. 另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l的形式，然后再在直线l2上的任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.

例5 试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程.

分析 两直线相交，可先求其交点，再利用到角公式求直线斜率.

解 由解得l1，l2的交点，

设所求直线l的斜率为k，

由到角公式得，，所以k=-7.

由点斜式，得直线l的方程为7x+y+22=0.

点评 本题亦可以先求l1，l2的交点A，再在直线l1上取异于点A的任意点B，再求点B关于点A的对称点B′，最后由A，B′两点写出直线l的方程.

总结：（1）一般的，求与直线ax+by+c=0关于x=a0对称的直线方程，先写成a(x-a0)+by+c+aa0=0的形式，再写成a(a0-x)+by+c+aa0=0形式，化简后即是所求值.

（2）一般的，求与直线ax+by+c=0关于y=b0对称的直线方程，先写成ax+b(y-b0)+c+bb0=0的形式，再写ax+b(b0-y)+c+bb0=0成形式，化简后即是的求值.

（3）一般的，求与直线ax+by+c=0关于原点对称的直线方程，只需把x换成-x，把y换成-y，化简后即为所求.

（4）一般地直（曲）线f(x，y)=0关于直线y=x+c的对称直（曲）线为f(y-c，x+c)=0. 即把f(x，y)=0中的x换成y-c、y换成x+c即可.

（5）一般地直（曲）线f(x，y)=0关于直线y= -x+c的对称直（曲）线为f(-y+c，-x+c). 即把f(x，y)=0中的x换成-y+c，y换成-x+c.

练习：1求点A（-3，6）关于点B（2，3）对称的点C的坐标.

                      C(7,0)

已知点A(5,8),B(4,1),试求A点关于B点的对称点C的坐标. 

C (3,-6)

2若直线:3x-y-4=0关于点P（2，-1）对称的直线方程.求的方程

 ：3x-y-10=0

3求A（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______.

解：设A(4,0)关于直线5x＋4y＋21＝0的对称点为A′(x1,y1)

∴

解得：

∴A′(－6，－8)

∴A(4,0)关于直线5x＋4y＋21＝0的对称点为(－6，－8)

4

5求直线m:  x-y-2=0关于直线l:   3x-y+3=0对称的直线n的方程.

7x+2y+22=0