必修5数列复习(非常全面)

 1．数列的概念：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为的项叫第项（也叫通项）记作；数列的一般形式：，，，……，，……，简记作。

2. 通项公式的定义：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

说明：

①表示数列，表示数列中的第项， =表示数列的通项公式；

② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如， = =；

③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……

3. 数列的函数特征与图象表示：

序号：1    2    3    4    5    6

项  ：4    5    6    7    8    9

上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值……，，……．通常用来代替，其图象是一群孤立点。

4. 数列分类：

①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；

②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。

5. 递推公式定义：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

6．数列{}的前项和与通项的关系： 

习题：

1．根据数列前4项，写出它的通项公式：

（1）1，3，5，7……；

（2），，，； （3），，，。

2．数列中，已知，

（1）写出，，；   （2）是否是数列中的项？若是，是第几项？

3．（1）已知数列适合：， ，写出前五项并写出其通项公式；

（2）用上面的数列，通过等式构造新数列，写出，并写出的前5项。

4．设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这条直线交点的个数，则=____________；当时，          （用表示）。

等差数列

1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或。

2、等差数列的通项公式：；

说明：等差数列的单调性： 为递增数列，为常数列， 为递减数列。

3、等差中项的概念：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中            

4、等差数列的前和的求和公式：。

5、等差数列的性质：

（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；

（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是，如：，，，，……； 

（3）在等差数列中，对任意，，， ；

（4）在等差数列中，若，，，且，则；

说明：设数列是等差数列，且公差为，

（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①奇偶； ②；

（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①偶奇；②。

6、数列最值

（1），时，有最大值；，时，有最小值；

（2）最值的求法：

①若已知，可用二次函数最值的求法（）；

②若已知，则最值时的值（）可如下确定或

习题：

1．{an}是首项a1＝1，公差为d＝3的等差数列，如果an＝2 005，则序号n等于(     )．

2．等差数列{an}中，a1=1，a3+a5=14，其前n项和Sn=100，则n=（    ）

练习、等差数列{an}中如果a6=6，a9=9，那么a3=   

3．数列的通项，则其前项和          ．

4．设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是（    ）

A.等比数列   B.等差数列   C.等差数列且等比数列    D.既非等比数列又非等差数列

5．等差数列{an} 中，S15=90，则a8=                   (    )

(A)3                (B)4               (C)6                (D)12

练习、等差数列{an}中，a3+ a4+ a5+ a6+ a7=450，求a2+a8=     (    )

(A)45               (B)75               (C)180              (D)300

6．数列{an}的前n项和为Sn，若（    ）

（A）12      （B）18        （C）24                 （D）42

练习、等差数列{an} 的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为(    )

(A)130            (B)170              (C)210             (D)160

7．在项数为2n+1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于                          

(A)9             (B)10             (C)11            (D)12

练习、等差数列{an}的公差为，且S100=145，则奇数项的和a1+a3+a5+……+ a99=(    )

(A)60            (B)80             (C)72.5             (D)其它的值

练习．已知一个等差数列的前5项的和是120，最后5项的和是180，所有项的和为360，此数列的项数为

A．12项    B．13项    C．14项    D．15项

7．若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是．

8．若两个等差数列则

A．    B．    C．    D． 

9．在等差数列{an}中，若a1＝25且S9＝S17，求数列前多少项和最大.

练习．数列通项公式为an＝n2－5n＋4，问

（1）数列中有多少项是负数？（2）n为何值时，an有最小值？并求出最小值.

10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝.  (1)求证：{}是等差数列；（2）求an表达式；

（3）若bn＝2(1－n)an(n≥2)，求证：b22＋b32＋…＋bn2<1.

等比数列

1．等比数列定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：：数列对于数列（1）（2）（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，5，。（注意：“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零）

2．等比数列通项公式为：。

说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则。

3．等比中项

如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。

4．等比数列前n项和公式

一般地，设等比数列的前n项和是，当时， 或；当q=1时，（错位相减法）。

说明：（1）和各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况。

5．等比数列的性质

①等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有；

②对于等比数列，若，则。

③若数列是等比数列，是其前n项的和，，那，，成等比数列。

6．等比数列常见应用题：

⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为，年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为. 其中第年产量为，且过年后总产量为：

⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后便成为元. 因此，第二年年初可存款：

=.

⑶分期付款应用题：为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；为年利率.

习题：

1. 在等比数列中，首项，末项，公比，求项数                (    )

(A)3            (B)4             (C)5             (D)6

2．在等比数列中, ,则 

练习：随着市场的变化与生产成本的降低，每隔年计算机的价格降低，年价格为元的计算机到年时的价格应为（    ）

    A．元    B．元    C．元    D．元

3、若是等比数列，其公比是，且，，成等差数列，则等于（    ）

A．或    B．或    C．或    D．或

练习：已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则

4. 设{an}是等比数列，且a1=，S3=，则它的通项公式为an=          (    )

(A)  (B)  (C)  (D)或

练习（1）：等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为(     ).

A．81              B．120              C．168              D．192

（2）在等比数列{an}中，已知Sn＝3n＋b，则b的值为_______.  

5．和的等比中项为(   ) .

6. 在等比数列，已知，，求.

练习．（1） 在等比数列中，，，求

（2）在等比数列中，如果，，那么为

（3）若、、成等比数列，则函数的图象与轴交点的个数为

（4）在等比数列中,和是方程的两个根,则

（5）在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为    ．

（6）设，，，成等比数列，其公比为，则的值为（    ）

    A．    B．                C．                D． 

7．在等比数列=        （    ）

    A．    B．    C．    D． 

8．设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，， 

（Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．

9. 在数列中，，，．

（Ⅰ）证明数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和；

（Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．

练习1： {an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1，2，3…)．求证：数列{}是等比数列．

练习2：数列{}的前n项和.已知首项a1=3,且+=2,求此数列的通项公式及前n项和.

练习3．数列的前项和为，，．

（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）求数列的前项和．

练习4．(2011·沈阳市模拟)在数列{an}中，a1＝1，2an＋1＝2·an(n∈N*)．

(1)证明：数列{}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝an＋1－an，求数列{bn}的前n项和Sn.

数列通项求法

1、定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

例1．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.

练一练：已知数列试写出其一个通项公式：__________；

2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an=   。

例2．已知数列的前项和满足．求数列的通项公式。

练一练：①已知的前项和满足，求；

②数列满足，求；

3、作商法：已知求，用作商法：。

例3.数列中，对所有的都有，则______    ；

4、累加法：若求。。

例4. 已知数列满足，，求。

练一练：已知数列满足， ，则=________   ；

5、累乘法：已知求，用累乘法： 。

例5. 已知数列满足，，求。

练一练：已知数列中，，前项和，若，求

6、已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。

（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。

①解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。

例6.1. 已知数列中，，，求.

②解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再应用的方法解决.。

例6.2. 已知数列中，,，求。

练一练①已知，求；

②已知，求；

（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。

例7：，求

练一练：已知数列满足=1，，求；

数列前n项和

1、公式法：①等差数列求和公式；

 ②等比数列求和公式（特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；）

③常用公式：

1）: 1+2+3+...+n =             2） 1+3+5+...+(2n-1) =

 3）      4）    

例1 、已知，求的前n项和.

练一练：等比数列的前项和Sｎ＝2ｎ－１，则＝_____    ；

2、分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 

例2、 求数列的前n项和：，…

练一练：求和： 

3、倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和，类似于等差数列前n项和公式的推导方法

例3、求的值

练一练：已知，则＝______；

4、错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）.

即：, 其中是等差数列，是等比数列，

记，则，…

例4、（1） 求和： 

（2）求数列前n项的和.

练一练：设为等比数列，，已知，，①求数列的首项和公比；②求数列的通项公式.；

5、裂项相消法：如果数列的通项可“成两项差”的形式，且相邻项后相关联，常选用裂项相消法求和，适用于用于，其中{}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。常用裂项形式有：

①；②；

③，；

④；⑤；

⑥.    

例5、（1） 求数列的前n项和.

（2）在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.

练一练：（1）求和：                         ；

（2）在数列中，，且Sｎ＝９，则n＝_____               ；

6、通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。

例6、求之和.

练一练：①求数列1×4，2×5，3×6，…，，…前项和=    　；

②求和：                         ；