数学导数的综合运用试题

1. 已知函数（，，且）的图象在处的切线与轴平行.

（1）确定实数、的正、负号；

（2）若函数在区间上有最大值为，求的值．

【答案】（1），（2）

【解析】（1）        1分

由图象在处的切线与轴平行，

知，∴.     2分

又，故，.          3分

(2) 令,

得或.     4分

∵，令，得或

令，得.

于是在区间内为增函数，在内为减函数,在内为增函数.

∴是的极大值点，是极小值点.      5分

令，得或.  6分

分类：① 当时，，∴ .    

由解得，             8分

② 当时，,        9分

∴.     

由得  .  10分

记,

∵, 

∴在上是增函数，又，∴,

∴在上无实数根.            

综上，的值为.           12分

2. （本题满分15分）已知函数（），且函数图象过原点.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）函数在定义域内是否存在零点？若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由.

【答案】见解析

【解析】（Ⅰ）由题意可知故，则．

当时，对，有，所以函数在区间上单调递增；

当时，由，得；由，得，

此时函数的单调增区间为，单调减区间为．

综上所述，当时，函数的单调增区间为；

当时，函数的单调增区间为，单调减区间为．

（Ⅱ）函数的定义域为，由，得（），

令（），则，

由于，，可知当，；当时，，

故函数在上单调递减，在上单调递增，故．

又由（Ⅰ）知当时，对，有，即，

（随着的增长，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢．则当且无限接近于0时，趋向于正无穷大.）

当时，函数有两个不同的零点；

当时，函数有且仅有一个零点；

当时，函数没有零点．

3. 若曲线在点处的切线与直线互相垂直，则实数的值为________．

【答案】2．

【解析】由已知得．

【考点】导数的几何意义、两条直线的位置关系等知识，意在考查运算求解能力．

4. （本小题满分13分）已知函数 (t∈R) ．

(Ⅰ)若曲线在处的切线与直线平行，求实数的值；

(Ⅱ)若对任意的， 恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(Ⅰ)  (Ⅱ) 

【解析】(Ⅰ) 由题意得，，且，即，

解得；     3分

(Ⅱ)由(Ⅰ) ，时，.

当时，，函数在上单调递增.

此时由，解得；     6分

(2)当时，，函数在上单调递减.

此时由，解得；      9分

(3)当时，函数在上递减，在上递增，

.

此时恒成立，而，

所以，.     12分

综上，当实数的取值范围为时，对任意的，恒成立.   13分

【考点】本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及应用导数研究函数的单调性、极值，考查简单不等式恒成立问题的处理方法，意在考查考生的运算能力、分析问题、解决问题的能力及转化与化归思想的应用意识．

5. 广东理）设函数(其中).

(1) 当时,求函数的单调区间；

(2) 当时,求函数在上的最大值.

【答案】(1) 函数的递减区间为,递增区间为,

(2) 

【解析】(1)根据k的取值化简函数的表达式，明确函数的定义域，然后利用求导研究函数的单调区间，中规中矩；（2）借助构造函数的技巧进行求解，如构造达到证明的目的，构造达到证明的目的.

(1) 当时,

,

令,得,

当变化时,的变化如下表:

(2),

令,得,,

令,则,所以在上递增,

所以,从而,所以

所以当时,；当时,；

所以

令,则,

令,则

所以在上递减,而

所以存在使得,且当时,,

当时,,

所以在上单调递增,在上单调递减.

因为,,

所以在上恒成立,当且仅当时取得“”.

综上,函数在上的最大值.

【考点】本题考查函数的单调性和函数的最值问题，考查学生的分类讨论思想和构造函数的解题能力.

6. 天津理）已知函数.

(1) 求函数f(x)的单调区间;

(2) 证明: 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使.

(3) 设(2)中所确定的s关于t的函数为, 证明: 当时, 有.

【答案】（1）函数的单调递减区间是，单调递增区间是

（2）见解析

（3）见解析

【解析】(1) 函数f(x)的定义域为，

，令，得，

当变化时，、的变化情况如下表：

(2)证明:当时，，令，由(1)知在区间内单调递增，，故存在唯一的，使得成立.

(3)证明：因为，由(2)知，，且，从而

===，其中，要使成立，只需，

当时，若，则由的单调性，有，矛盾，所以即，从而成立；

另一方面，令，令，得.

当时，；当时，，故对，，因此成立.

综上，当时，有.

【解题思路与技巧】本题第（1）问，求的单调区间，先求出定义域，然后解导数方程的根，判断根两侧的导数的正负即可；第(2)问，证明时，可构造函数；第(3))问，讨论.

【易错点】对第（1）问，求单调区间时，注意定义域优先的原则；第(2)、(3))问，证明时要注意讨论.

【考点】本小题主要考查函数的概念、函数的零点、导数的运算、利用导数研究函数的单调性、不等式等基础知识，考查函数思想、化归思想，考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.

7. 浙江理）已知，函数

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，求的最大值.

【答案】（1）   （2）

【解析】此题第（1）问根据导数的加减法运算法则和幂函数的求导公式求出，然后求出和，然后利用直线方程的点斜式即可求出；第（2）求函数区间上的最值，但是函数中含有参数，要对参数进行讨论，而且是求区间上的最值，所有应该对函数在上的最值取绝对值后进行讨论，即讨论和在区间中的函数的极值；所以应对和零的关系进讨论，根据判别式在讨论和1的关系，在此过程中由于出现，所以又要讨论和的关系，然后得到是大于零还是小于零不确定，所以又要讨论和的关系，这也是这个题目的难点所在，此题注意讨论不漏不重；

（1）由已知得：，且，所以所求切线方程为：，即为：；

（2）由已知得到：，其中，当时，，

（1）当时，，所以在上递减，所以，因为；

（2）当，即时，恒成立，所以在上递增，所以，因为

；

（3）当，即时，

  ，且，即

所以，

所以；

由，所以

（ⅰ）当时，，所以时，递增，时，递减，所以，因为

，又因为，所以，所以，所以

（ⅱ）当时，，所以，因为，此时，当时，是大于零还是小于零不确定，所以当时，，所以，所以此时当时，，所以，所以此时。

综上所述：；

8. （本小题满分15分） 已知函数．

（Ⅰ）若时，函数有三个互不相同的零点，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若对任意的，不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）当时，．

因为函数有三个互不相同的零点，

所以，即有三个互不相等的实数根．

令，

则，

所以在和上均为减函数，在上为增函数，

所以，

，

所以实数的取值范围是．（6分）

（Ⅱ）因为，且，

所以当或时，；

当时，．

所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．

当时，，．又，

所以，

又，

所以．

又因为在上恒成立，

所以，即，

即当时，恒成立．

令，

因为在上的最小值为．

所以实数数的取值范围是．（15分）

【命题意图】本题考查三次函数的性质，导数在函数及不等式中应用等知识 ，意在考查运算求解能力，运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题的能力．

9. 已知函数f（x）＝（a，b，λ为实常数）．

（1）若λ＝－1，a＝1．

①当b＝－1时，求函数f（x）的图象在点（，f（））处的切线方程；

②当b＜0时，求函数f（x）在[，]上的最大值．

（2）若λ＝1，b＜a，求证：不等式f（x）≥1的解集构成的区间长度D为定值．

【答案】（1）①4x＋y－10＝0．②[f（x）]max＝

（2）见解析

【解析】（1）①当b＝－1时，f（x）＝，则f ′（x）＝，可得f ′（）＝－4，

又f（）＝2，故所求切线方程为y－2＝－4（x－），即4x＋y－10＝0．（3分）

②当λ＝－1时，f（x）＝，

则f ′（x）＝．

因为b＜0，则b－1＜0 ，且b＜＜

故当b＜x＜时，f ′（x）＞0，f（x）在（b，）上单调递增；

当＜x＜时，f ′（x）＜0，f（x）在（，）单调递减．

（Ⅰ）当≤，即b≤－时，f（x）在[，]单调递减，所以[f（x）]max＝f（）＝；

（Ⅱ）当＜＜，即－＜b＜0时，[f（x）]max＝f（）＝．

综上所述，[f（x）]max＝  （10分）

（2）f（x）≥1即      （*）

①当x＜b时，x－a＜0，x－b＜0，此时解集为空集．

②当a＞x＞b时，不等式（*）可化为（x－a）＋（x－b）≤（x－a）（x－b），

展开并整理得，x2－（a＋b＋2）x＋（ab＋a＋b）≥0，

设g（x）＝x2－（a＋b＋2）x＋（ab＋a＋b），

因为△＝（a－b）2＋4＞0，所以g（x）有两不同的零点，设为x1，x2（x1＜x2），

又g（a）＝b－a＜0，g（b）＝a－b＞0，且b＜a，

因此b＜x1＜a＜x2，

所以当a＞x＞b时，不等式x2－（a＋b＋2）x＋（ab＋a＋b）≥0的解为b＜x≤x1．

③当x＞a时，不等式（*）可化为（x－a）＋（x－b）≥（x－a）（x－b），

展开并整理得，x2－（a＋b＋2）x＋（ab＋a＋b）≤0，

由②知，此时不等式的解为a＜x≤x2

综上所述，f（x）≥1的解构成的区间为（b，x1]∪（a，x2]，

其长度为（x1－b）＋（x2－a）＝x1＋x2－a－b＝a＋b＋2－a－b＝2．

故不等式f（x）≥1的解集构成的区间长度D为定值2．                （16分）

【命题意图】本题考查导数的应用、分类讨论思想、解一元二次不等式等基础知识，意在考查学生综合分析问题解决问题的能力以及运算能力.

10. 已知函数 （为常数）在点的切线与直线平行.

（1）求的值与函数的单调区间;

（2）证明:当时,

（3）证明:对任意给定的正数,总存在,使得当,恒有.

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析

【解析】（1）对函数求导可得,则韩素在处切线的斜率为,因为切线平行于,所以,      2分

则,导函数,当时,导函数,所以函数单调递增,当时,导函数,所以函数单调递减,所以区间为函数增区间,为函数的减区间.                        4分

（2）令,则.

由（1）得,              4分

故在R上单调递增,又,

因此,当时, ,即.            8分

（3）①若,则.又由（2）知，当时, .

所以当时, .取,当时，恒有.        10分

②若,令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，则只要,只要成立.

令,则.                  12分

所以当时, 在内单调递增.

取,所以在内单调递增.

又.              13分

易知.所以.即存在,当时，恒有.

综上，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.         14分

【命题意图】本题考查导数,切线,不等式,单调性等基础知识，意在考查学生的数形结合思想和基本的运算能力.