1[∈x 恒成立,求实数b 的范围.
分析:思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数.以本题为例,实质还是通过函数求最值解决.
方法1：化归最值，10)(10)(max ≤⇔≤x h x h ;
方法2:变量分离,)(10x x
a
b +-≤或x b x a )10(2-+-≤；
方法３：变更主元（新函数）,0101
)(≤-++⋅=b x a x
a ϕ，]2,21[∈a
简解：方法１:对
b x x
a
x h ++=
)(求导,2
2)
)((1)(x a x a x x a x h +-=
-
='，（单调函数） 由此可知,)(x h 在]1,41[上的最大值为)4
1
(h 与)1(h 中的较大者．
⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤++⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∴a
b a
b b a b a h h 94439
1011041410)1(10)41(，对于任意]2,21[∈a ,得b 的取值范围是47≤b .
例3、已知两函数2
)(x x f =，m x g x
-⎪⎭
⎫
⎝⎛=21)(,对任意[]2,01∈x ，
存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥,则实数m 的取值范围为 答案：4
1≥
m 题型二、更换主元和换元法
例1、已知函数()ln()(x f x e a a =+为常数）是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+是区
间[]1,1-上的减函数,(Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)若[]2
()11,1g x t t x λ≤++∈-在上恒成立，求t 的取值范围；
(Ⅱ）分析:在不等式中出现了两个字母:λ及t ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数。显然可将λ视作自变量，则上述问题即可转化为在(],1-∞-内关于λ的一次函数大于等于0恒成立的问题。(Ⅱ)略解:由(Ⅰ)知:
()f x x =，()sin g x x x λ∴=+,
()g x 在[]11
-，上单调递减，()cos 0g x x λ'∴=+≤cos x λ∴≤-在[]11-，
上恒成立,1λ∴≤-，[]max ()(1)sin1
g x g λ=-=--，
∴
只需
2sin11
t t λλ--≤++,
2(1)sin110
t t λ∴++++≥（其中1λ≤-)恒成立,由上述②结论:可令
()2(1)sin110(1f t t λλλ=++++≥≤-）,则2
t 101sin110
t t +≤⎧⎨--+++≥⎩，21
sin10t t t ≤-⎧
∴⎨-+≥⎩,而
2sin10
t t -+≥恒成立，
1t ∴≤-。
例２、已知二次函数1)(2++=x ax x f 对[]2,0∈x 恒有0)(>x f ，求a 的取值范围。 解： 对[]2,0∈x 恒有0)(>x f 即012>++x ax 变形为)1(2+->x ax 当0=x 时对任意的a 都满足0)(>x f 只须考虑0≠x 的情况
2
)1(x
x a +->
即21
1x x a --> 要满足题意只要保证a 比右边的最大值大就行。 现求211x x --在(]2,0∈x 上的最大值。令211≥∴=t x t 4
1
)21()(22++-=--=t t t t g （21≥t ）
43)21()(max -==g t g 所以4
3
->a
又1)(2++=x ax x f 是二次函数0≠∴a 所以4
3
->a 且0≠a
例3、对于满足0≤ａ≤4的所有实数ａ求使不等式342-+>+a x ax x 都成立的x 的取值范围
答案: 1-x题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围,就把这个参数分离出来)
此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题:若对于x 取值范围内的任一个数都有()()f x g a ≥恒成立,则
min ()()g a f x ≤；若对于x 取值范围内的任一个数都有()()f x g a ≤恒成立，则max ()()g a f x ≥．
例1、当()1,2x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 .
解析： 当(1,2)x ∈时,由2
40x mx ++<得24
x m x
+<-.∴5m ≤-.
例2、已知函数()ln()x f x e a =+（a 为常数）是实数集R 上的奇函数,函数()cos g x x x λ=-在
区间2,33ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上是减函数.
（Ⅰ）求a 的值与λ的范围；
(Ⅱ)若对（Ⅰ)中的任意实数λ都有()1g x t λ≤-在2,33ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上恒成立,求实数t 的取值范围．
(Ⅲ）若0m >,试讨论关于x 的方程
2ln 2()
x
x ex m f x =-+的根的个数. 解:（Ⅰ）、(Ⅲ）略
(Ⅱ）由题意知，函数()cos g x x x λ=-在区间2,33ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是减函数.
max 1()(),332g x g ππλ∴==-()1g x t λ≤-在2,33ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上恒成立11,32t πλλ⇔-≥-
13
2t π
λ∴≤
+
(1)λ≤-1
,.32
t π∴≤- 题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法)） 例1、若对任意x R ∈，不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________ 解析:
对∀x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立、则由一次函数性质及图像知11a -≤≤，即11a -≤≤。
|
ax
=y
x
y
例２、不等式)4(x x ax -≤在]3,0[∈x 内恒成立,求实数a 的取值范围。 解：画出两个凼数ax y =和)4(x x y -=在]3,0[∈x 上的图象 如图
3
3
=
a
知当3=x 时3=y ， 当33≤
a ]3,0[∈
x 时总有)4(x x ax -≤所以3
3≤a
例4、已知函数36,2
(),63,2x x y f x x x +≥-⎧==⎨--<-⎩若不等式()2f x x m ≥-恒成立，则实数m 的取值范
围是 .
解:在同一个平面直角坐标系中分别作出函数2y x m =-及()y f x =的图象，由于不等式()2f x x m ≥-恒成立,所以函数2y x m =-的图象应总在函数()y f x =的图象下方，因此，当2x =-时,40,y m =--≤所以4,m ≥-故m 的取值范围是[)4,.-+∞
|
ax
=y
x
y
题型五、其它(最值）处理方法
若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x A >成立，则等价于在区间D 上()max f x A >; 若在区间Ｄ上存在实数x 使不等式()f x B <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <. 利用不等式性质
1、存在实数x ,使得不等式2
313x x a a ++-≤-有解，则实数a 的取值范围为______。
解：设()31
f x x x =++-,由()2
3f x a
a ≤-有解,()2min 3a a f x ⇒-≥，
又
()()31314x x x x ++-≥+--=,∴234a a -≥,解得41a a ≥≤-或。
2、若关于x 的不等式a x x ≥++-32恒成立，试求ａ的范围
解：由题意知只须a 比32++-x x 的最小值相同或比其最小值小即可，得
min )32(++-≤x x a
由5)3(232=+--≥++-x x x x 所以 5≤a 利用分类讨论
１、已知函数422)(+-=ax x x f 在区间［-1，2] 上都不小于2,求a 的值。 解：由函数422)(+-=ax x x f 的对称轴为x=a
所以必须考察a 与-１,2的大小,显然要进行三种分类讨论
1）．当a ≥2时f(x)在[－1,2]上是减函数此时m in )(x f = f(2)＝4-4a+42≤
即a 2
3
≥
结合a ≥2,所以a ≥2 2）．当a 1-≤ 时 f(x)在［－1,２]上是增函数，此时ｆ（-1）＝１+２a+42≤
m in )(x f = f(-1）＝1+2a+42≤结合ａ1-≤ 即a 2
3
-≤
3）．当-1m in )(x f ＝ ｆ(a)＝ 24222≤+-a x即a 2≥或a 2-≤ 所以22<≤a
综上１,2，3满足条件的a 的范围为：a 2
3
-≤或 a 2≥
利用导数迂回处理
1、已知)1lg(2
1
)(+=x x f )2lg()(t x x g +=若当]1,0[∈x 时)()(x g x f ≤在[０,1]恒成立，求实数t 的取值范围
解：)()(x g x f ≤在[０,1] 上恒成立,即021≤--+t x x 在［0，1]上恒成立 即021≤--+t x x 在[0，1]上的最大值小于或等于0 令t x x x F --+=21)(所以
1
21
412121)('++-=
-+=
x x x x F ，又]1,0[∈x 所以0)('2、已知函数()()21ln 202
f x x ax x a =--≠存在单调递减区间,求a 的取值范围
解： 因为函数()f x 存在单调递减区间，所以()2
'
121
20ax x f x ax x x
+-=--=-<
()0,+∞有解．即()()2
120,a x x x >
-
∈+∞能成立, 设()212
u x x x
=-. 由()2
21
2111u x x x x ⎛⎫
=-=-- ⎪⎝⎭得, ()min 1u x =-.于是,1->a , 由题设0≠a ,所以a 的取值范围是()()+∞-,00,1 ３、已知函数3
()(ln ),().3
a f x x x m g x x x =+=
+ （Ⅰ）当2m =-时,求()f x 的单调区间； （Ⅱ)若3
2
m =时,不等式()()g x f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 解：(Ⅰ)略
（Ⅱ）当32m =
时,不等式()()g x f x ≥即33
(ln )32
a x x x x +≥+恒成立．由于0x >,∴231ln 32a x x +≥+，亦即21ln 32a x x ≥+，所以213(ln )2x a x +≥．令()h x =21
3(ln )
2x x +，则3
6ln ()x
h x x
-'=，由()0h x '=得1x =.且当01x <<时，()0h x '>;当1x >时,()0h x '<，即()h x 在
(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减,所以()h x 在1x =处取得极大值3
(1)2
h =
,也就是函数()h x 在定义域上的最大值．因此要使2
1
3(ln )
2x a x +≥
恒成立，需要32a ≥，所以a 的取值范围为3,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
. 注：恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起,是近几年高考的一个热门题型,往往与函数的单调性、极值、最值等有关。
小结:恒成立与有解的区别：
①不等式()f x M <对x I ∈时恒成立max ()f x M•⇔<，x I ∈。即()f x 的上界小于或等于M ; ②不等式()f x M <对x I ∈时有解min ()f x M•⇔<,x I ∈。 或()f x 的下界小于或等于M ; ③不等式()f x M >对x I ∈时恒成立min ()f x M•⇔>，x I ∈。即()f x 的下界大于或等于M ； ④不等式()f x M >对x I ∈时有解max ()f x M ⇔>,x I ∈.。 或()f x 的上界大于或等于M ;
三、恒成立、能成立问题专题练习
1、已知两函数()2
728f x x x c =--,()322440g x x x x =+-。
(1)对任意[]3,3x ∈-，都有()()f x g x ≤）成立，求实数c 的取值范围; （2)存在[]3,3x ∈-,使()()f x g x ≤成立,求实数c 的取值范围； （3）对任意[]12,3,3x x ∈-,都有()()12f x g x ≤,求实数c 的取值范围； (4）存在[]12,3,3x x ∈-,都有()()12f x g x ≤，求实数c 的取值范围;
2、设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=,这时a 的取值集合为（ )
(A)2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ ﻩ（C ）3|}2{a a ≤≤ ﻩ （D){2,3}
3、若任意满足05030x y x y y -≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
的实数,x y ，不等式222()()a x y x y +≤+恒成立,则实数a 的最大值是
__＿ ．
4、不等式2sin 4sin 10x x a -+-<有解,则a 的取值范围是
5、不等式
ax ≤在[]0,3x ∈内恒成立,求实数a 的取值范围。
６、设函数
3
221()23(01,)3f x x ax a x b a b R =-+-+<<∈. （Ⅰ)求函数()f x 的单调区间和极值;
(Ⅱ)若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤成立,求ａ的取值范围。
7、已知
A 、
B 、C
是直线 上的三点，向量错误!,错误!，错误!满
足:()[]()0OC 1x ln OB 1f 2y OA =⋅++⋅'+-. (１)求函数y ＝ｆ(x)的表达式； (2）若ｘ＞0，证明：f(x)＞错误!；
（3）若不等式()3bm 2m x f x 2
1222--+≤时,[]1,1x -∈及[]1,1b -∈都恒成立，求实数m 的取值范
围．
8、设()x ln 2x q px x f --
=，且()2e
p
qe e f --=（e 为自然对数的底数) (I ） 求 p 与 q 的关系；
（ＩI)若()x f 在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围; （I ＩI)设()x
e 2x g =，若在[]e ,1上至少存在一点0x ,使得()()00x g x
f >成立, 求实数 ｐ 的取值范围．
课后作业答案：
1、解析:（1)设()()()3
22312h x g x f x x x x c =-=--+，问题转化为[]3,3x ∈-时,()0h x ≥恒成立,故()min 0h x ≥。
令()()()2
66126120h x x
x x x '=--=+-=，得1x =-或2。由导数知识,可知()h x 在[]3,1--单调递增，在[]
1,2-单调递减,在[]2,3单调递增，且()345h c -=-，()()17h x h c =-=+极大值,()()220h x h c ==-极小值,()39h c =-，∴
()()min 345h x h c =-=-,由450c -≥,得45c ≥。
（2）据题意:存在[]3,3x ∈-,使()()f x g x ≤成立，即为:()()()0h x g x f x =-≥在[]3,3x ∈-有解，故()max 0h x ≥，由（1）知()max 70h x c =+≥,于是得7c ≥-。
(3)它与(1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别,对任意[]12,3,3x x ∈-，都有
()()12f x g x ≤成立,不等式的左右两端函数的自变量不同，1x ，2x 的取值在[]3,3-上具有任意性,∴
要使不等式恒成立的充要条件是:
max min ()(),[3,3]f x g x ••x •
≤∈-。∵()()[]2
7228,3,3f x x c x =---∈-∴
()()max 3147f x f c
=-=-，
∵()2
6840g x x
x '=+-=()()23102x x +-,∴()0g x '=在区间[]3,3-上只有一个解2x =。
∴()()min 248g x g ==-，∴14748c -≤-,即195c ≥. （４）存在
[]
12,3,3x x ∈-,都有
()()
12f x g x ≤，等价于()()min 1max 2f x g x ≤，由（３)得
()()min 1228f x f c ==--,()()max 23102g x g =-=，28102130c c --≤⇒≥-
点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭,应认真审题,深入思考,多加训练，准确使用其成立的充要条件。
2、Ｂ。解析：由方程log log 3a a x y +=可得3
a
y x
=,对于任意的[,2]x a a ∈，可得2322a a a x ≤≤，
依题意得2
2222a a a a a ⎧≤
⎪⇒≥⎨⎪≥⎩
。
3、答案:
25
13
。解析:由不等式222()()a x y x y +≤+可得2
1a x y y x
≤+
+,由线性规划可得3
12y x ≤≤。
4、解：原不等式有解()
()2
2sin 4sin 1sin 23
1sin 1a x x x x ⇒>-+=---≤≤有解,而(
)2
min
sin 232x ⎡⎤--=-⎣⎦,所以2a >-。
５、解：画出两个凼数y ax =和
y =[]0,3x ∈ 上的图象如图知当3x
=时y
=，a =
当a ≤
,[]0,3x ∈
时总有ax ≤
a ≤6、解:（Ⅰ）2234)(a ax x x f -+-='
(1分)
令,0)(>'x f 得)(x f 的单调递增区间为(a ，３a)
令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为（-∞,ａ）和(3ａ,+∞)
（４分)
∴当ｘ=a 时，)(x f 极小值=;4
33
b a +-
当ｘ=3a 时,)(x f 极小值=b ． (6分)
（Ⅱ)由｜)(x f '｜≤a ，得-ａ≤－x2＋４a ｘ－3a2≤a.①(7分)
∵0＜a<１,∴a+1＞2ａ.∴]2,1[34)(22++-+-='a a a ax x x f 在上是减函数. ﻩ(９分） ∴.44)2()(.12)1()(min max -=+='-=+'='a a f x f a a f x f 于是，对任意]2,1[++∈a a x ,不等式①恒成立,等价于
.154
.12,44≤≤⎩
⎨
⎧-≥-≤-a a a a a 解得 又,10<.154
<≤a 7、解：(１）∵错误!－［y ＋２f /(1）]错误!＋ln(x ＋1)错误!=0，∴错误!=［y ＋2f ／(1)]错误!-ln(x ＋１）错误!
由于Ａ、B 、C 三点共线 即［ｙ+２f /(１)］＋［-ln(ｘ＋1)]=1…………………2分 ∴y=f(x)＝ln(x ＋1）+１-２ｆ /（1)
f /（x ）＝错误!，得f /(1)＝错误!,故f （ｘ)＝ln(ｘ+1)…………………………………4分
(２）令g(x)=f(x)-错误!,由g/(x)=错误!－错误!=错误!
∵x ＞0,∴ｇ/(x ）＞0，∴g(x)在(0,＋∞）上是增函数………………6分 故ｇ(x)＞g(０)=0
即f(x ）>错误!………………………………………………………………8分
(3）原不等式等价于12ｘ2-f （x2)≤m2－2bm －３
令h(x)＝12ｘ２-ｆ（x2)＝错误!x ２-ln(1+ｘ２)，由ｈ/(x)＝x-错误!＝错误!………10分
当x ∈［－1，1]时，h(x)max ＝0,∴m ２－２ｂm －3≥0
令Ｑ(ｂ)＝m2－2ｂｍ－3,则错误! 得ｍ≥3或ｍ≤-3………1２分
8、解:(I) ()()12ln 20q p f e pe e qe p q e e e e ⎛⎫=--=--⇒-+= ⎪⎝
⎭而10e e +≠,所以p q = (I Ｉ)ﻩ由 (I ） 知 ()2ln p f x px x x =--,()222
22p px x p f x p x x x -+'=+-=…… ４分 令()22h x px x p =-+，要使()f x 在其定义域 （0,＋∞） 内为单调函数,只需 h(x ） 在 (0，
+∞) 内满足:ｈ(x)≥0 或 h （x)≤0 恒成立． ﻩ………… 5分
① 当0p ≤时，()20,200px x h x ≤-<⇒<,所以()f x 在 （0，＋∞） 内为单调递减,故0p ≤；
② 当0p >时,()22h x px x p =-+,其图象为开口向上的抛物线，对称轴为()10x p
=∈+∞， ∴()min 11h x h p p p ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，只需10p p -≥,即ｐ≥１时, h(ｘ)≥0,()0f x '≥, ∴ﻩｆ （x) 在 （0,+∞） 内为单调递增,故 ｐ≥1适合题意.
综上可得,p ≥１或 ｐ≤0 ………… ９分
(ＩＩＩ)ﻩ∵ g(x) ＝ ＼F(2ｅ,x) 在 [１，e] 上是减函数 ∴ﻩｘ = ｅ 时,g(x ）ｍin ＝ 2，ｘ = 1 时，ｇ(x)max ＝ ２e 即ﻩg(ｘ) ∈ [２,２
e] ﻩ………… 10分
① p ≤0 时,由 (II) 知 f (x) 在 ［１,ｅ] 递减 ⇒ f (x ）max = f (1) ＝ 0 < 2，不合题意。
② 0 < p < 1 时,由ｘ ∈ [1，ｅ] ⇒ x －错误!≥0
∴f(x)=p （x －１x ）－2ln ｘ≤ｘ-错误!-２l ｎx 右边为 f (x) 当 p = 1 时的表达式，
故在 [1,e] 递增
∴ﻩ f (ｘ)≤x －＼F(１，ｘ) －2ln ｘ≤e －错误!－2ｌｎ e = ｅ-错误!-２ < 2,不合题意。ﻩ………… 12分
③ ｐ≥1 时，由 (II) 知 f (x) 在 [1，e ］ 连续递增,f （１） ＝ 0 < ２,又g(x) 在 ［1,e ］ 上是减函数
∴ﻩ本命题 ⇔ ｆ （x)m ａx > g （x ）min = 2，ｘ ∈ [1,e]
⇒ f (x)ｍax = f (ｅ） = ｐ (e-１e )－2ln e > ２ ⇒ p > 错误!ﻩ………… 13分
综上,p 的取值范围是 (错误!,＋∞)ﻩ………… 14分
