平面几何图形的性质在立体几何中的应用

[学生用书P140]

　三角形中位线定理的应用

 如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，点M，N分别为A1C1，A1B的中点．设平面MNB1与平面BCC1B1的交线为l，求证：MN∥l.

【证明】 法一：(线面平行的判定和性质方法)连接BC1，在△A1BC1中，点M，N分别为A1C1，A1B的中点，

所以MN∥C1B，

又MN⊄平面BCC1B1，C1B⊂平面BCC1B1，

所以MN∥平面BCC1B1，

又因为MN⊂平面MNB1，

平面MNB1∩平面BCC1B1＝l，

所以MN∥l.

法二：(面面平行的判定和性质方法)取A1B1的中点P，连接MP，NP.

在△A1B1C1中，点M，P分别为A1C1，A1B1的中点，

所以MP∥C1B1，

又因为MP⊄平面BCC1B1，C1B1⊂平面BCC1B1，

所以MP∥平面BCC1B1，

同理可证NP∥平面BCC1B1，

又因为MP∩NP＝P，MP⊂平面MNP，

NP⊂平面MNP，

所以平面MNP∥平面BCC1B1，

又因为MN⊂平面MNP

所以MN∥平面BCC1B1.

又因为MN⊂平面MNB1，

平面MNB1∩平面BCC1B1＝l，

所以MN∥l. 

三角形的中位线定理是立体几何中证明线线平行最常用的一个定理，通过找中点，连接中点得出三角形的中位线，达到证明线线平行的目的，进一步实现证明线面平行、面面平行的目的．　 

　平行四边形的判定及性质的应用

 如图，在三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，点G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.

【证明】 如图，连接DG，CD，设CD∩FG＝O，连接OH.

在三棱台DEF­ABC中，

AB＝2DE，点G为AC的中点，

可得DF∥GC，DF＝GC，

所以四边形DFCG为平行四边形，

所以点O为CD的中点．又因为点H为BC的中点，

所以OH∥BD.又因为OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，

所以BD∥平面FGH.

立体几何中通常是先证明一个四边形的一组对边平行且相等，判定该四边形为平行四边形，则该四边形的另一组对边平行，也经常运用平行四边形的对角线互相平分，判定线段的中点．　 

　等腰三角形、正三角形性质的应用

 (2017·高考全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.

(1)证明：AC⊥BD；

(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD.若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

【解】　

(1)证明：取AC的中点O，连接DO，BO.

因为AD＝CD，所以AC⊥DO.

又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO.

从而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD.

(2)连接EO.

由(1)及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝AO.

在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2.又AB＝BD，所以

BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.

由题设知△AEC为直角三角形，所以EO＝AC.

又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝BD.

故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1.

等腰三角形底边上的中线垂直底边，在立体几何中常用该结论得出线线垂直．　 

　菱形性质的应用

 如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.

(1)证明：B1C⊥AB；

(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC­A1B1C1的高．

【解】　(1)

证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1.又AO⊥平面BB1C1C，

所以B1C⊥AO，故B1C⊥平面ABO.

由于AB⊂平面ABO，故B1C⊥AB.

(2)作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.作OH⊥AD，垂足为H.由于BC⊥AO，BC⊥OD，故BC⊥平面AOD，

所以OH⊥BC.

又OH⊥AD，所以OH⊥平面ABC.

因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形．

又BC＝1，可得OD＝.

由于AC⊥AB1，

所以OA＝B1C＝.

由OH·AD＝OD·OA，且AD＝＝，得

OH＝.

又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为，故三棱柱ABC­A1B1C1的高为.

　矩形、正方形性质的应用

 如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，E，F分别为PC，BD的中点．

(1)求证：EF∥平面PAD；

(2)求证：平面PAB⊥平面PDC.

【证明】 (1)连接AC∩BD＝F，四边形ABCD为正方形，

F为AC中点，E为PC中点．

所以在△CPA中，EF∥PA，

且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，

所以EF∥平面PAD.

(2)因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

ABCD为正方形，CD⊥AD，

CD⊂平面ABCD，

所以CD⊥平面PAD.

所以CD⊥PA.

又PA＝PD＝AD，

所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝，

即PA⊥PD，CD∩PD＝D，

且CD，PD⊂平面PDC，

所以PA⊥平面PDC，

又PA⊂平面PAB，

所以平面PAB⊥平面PDC.

矩形的四个内角均为直角，两组对边分别平行，对角线互相平分，在正方形中对角线互相垂直平分，利用这些性质可以得出垂直关系、平行关系、中点等需要的结论．　 

　梯形性质的应用

 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．

(1)求证：BM∥平面ADEF；

(2)求证：平面BDE⊥平面BEC.

【证明】 (1)取DE中点N，连接MN，AN.

在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，

所以MN∥CD，且MN＝CD.

由已知AB∥CD，AB＝CD，

所以MN∥AB，且MN＝AB.

所以四边形ABMN为平行四边形，

所以BM∥AN.

又因为AN⊂平面ADEF，且BM⊄平面ADEF，

所以BM∥平面ADEF.

(2)在正方形ADEF中，ED⊥AD.

又因为平面ADEF⊥平面ABCD，

且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，

所以ED⊥平面ABCD，

所以ED⊥BC.

在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2，CD＝4，可得BC＝2.

在△BCD中，BD＝BC＝2，CD＝4，所以BC⊥BD.

所以BC⊥平面BDE，又因为BC⊂平面BCE，

所以平面BDE⊥平面BEC.

梯形只有一组对边平行，在立体几何中经常出现两个特殊的梯形．(1)直角梯形，其中梯形的上底等于直角腰长，等于下底长度的二分之一，该梯形的一条对角线垂直非直角腰；(2)等腰梯形，上底等于下底的二分之一，底角等于60°，该类梯形的两条对角线垂直对应的腰．　 

　相似(全等)三角形性质的应用

 如图，在三棱锥S­ABC中，SA⊥底面ABC，AC＝AB＝SA＝2，AC⊥AB，E是BC的中点，F在SE上，且SF＝2FE.求证：AF⊥平面SBC.

【证明】 由AC＝AB＝SA＝2，AC⊥AB，E是BC的中点，得AE＝.

因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AE.

在Rt△SAE中，SE＝，所以EF＝SE＝.

因此AE2＝EF·SE，又因为∠AEF＝∠AES，

所以△EFA∽△EAS，

则∠AFE＝∠SAE＝90°，即AF⊥SE.

因为SA⊥底面ABC，

所以SA⊥BC，又BC⊥AE，所以BC⊥SAE，则BC⊥AF.

又SE∩BC＝E，所以AF⊥平面SBC.

利用相似三角形、全等三角形的判定定理和性质定理，证明角的相等，求出线段长度之间的数量关系等．　 

　圆的性质的应用

 如图，E是以AB为直径的半圆上异于A，B的一点，矩形ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面，且AB＝2AD＝2.

(1)求证：EA⊥EC；

(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F，EF＝1，求三棱锥E­ADF的体积．

【解】　(1)证明：因为矩形ABCD⊥平面ABE，CB⊂平面ABCD且CB⊥AB，

所以CB⊥平面ABE，从而AE⊥BC，①

又因为在半圆ABE中，AB为直径，

所以∠AEB＝90°，即AE⊥BE，②

由①②知AE⊥平面BCE，

故有EA⊥EC.

(2)因为AB∥CD，所以AB∥平面DCE.

又因为平面DCE∩平面ABE＝EF，

所以AB∥EF，

在等腰梯形ABEF中，EF＝1，AF＝1，∠AFE＝120°，

所以S△AEF＝×EF×AF×sin 120°＝，

VE­ADF＝VD­AEF＝×S△AEF×AD＝××1＝.

在与圆柱、圆锥、球等旋转有关的问题中经常用到圆的知识，主要有：(1)半圆上的圆周角是直角；

(2)同弧上的圆心角为圆周角的二倍．　 

　勾股定理的应用

 (2016·高考全国卷Ⅱ)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．

(1)证明：AC⊥HD′；

(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱锥D′­ABCFE的体积．

【解】 (1)证明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD.

又由AE＝CF得＝，故AC∥EF.

由此得EF⊥HD，EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.

(2)由EF∥AC得＝＝.

由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4.

所以OH＝1，D′H＝DH＝3.

于是OD′2＋OH2＝(2)2＋12＝9＝D′H2，故OD′⊥OH.

由(1)知，AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，

所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′.

又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，

所以OD′⊥平面ABC.又由＝得EF＝.

五边形ABCFE的面积S＝×6×8－××3＝.

所以五棱锥D′­ABCFE的体积V＝××2＝.