2017—2019年高考真题汇编专题09 三角函数(解析版)

1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为

A．    B．

C．    D．

【答案】D

【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D．

【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．

2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数有下述四个结论：

①f(x)是偶函数        ②f(x)在区间（，）单调递增

③f(x)在有4个零点    ④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是

A．①②④         B．②④

C．①④        D．①③

【答案】C

【解析】为偶函数，故①正确．

当时，，它在区间单调递减，故②错误．

当时，，它有两个零点：；当时，

，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．

当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．

综上所述，①④正确，故选C．

【名师点睛】本题也可画出函数的图象（如下图），由图象可得①④正确．

3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是

A．f(x)=|cos2x|        B．f(x)=|sin2x|     

C．f(x)=cos|x|         D．f(x)=sin|x|

【答案】A

【解析】作出因为的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D；

因为，周期为，排除C；

作出图象如图2，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递增，A正确；

作出的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递减，排除B，

故选A．

图1

图2

图3

【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论：①函数的周期是函数周期的一半；②不是周期函数.

4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=

A．              B．        

C．             D．

【答案】B

【解析】，，，又，，又，，故选B．

【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．

5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：

①在（）有且仅有3个极大值点

②在（）有且仅有2个极小值点

③在（）单调递增

④的取值范围是[)

其中所有正确结论的编号是

A．①④    B．②③

C．①②③    D．①③④

【答案】D

【解析】①若在上有5个零点，可画出大致图象，

由图1可知，在有且仅有3个极大值点.故①正确；

②由图1、2可知，在有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；

④当=sin（）=0时，=kπ（k∈Z），所以，

因为在上有5个零点，

所以当k=5时，，当k=6时，，解得，

故④正确.

③函数=sin（）的增区间为：，.

取k=0，

当时，单调递增区间为，

当时，单调递增区间为，

综上可得，在单调递增.故③正确.

所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D.

【名师点睛】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求高，理解深度高，考查数形结合思想．注意本题中极小值点个数是动态的，易错，正确性考查需认真计算，易出错．

6．【2019年高考天津卷理数】已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则

A．        B．

C．        D．

【答案】C

【解析】∵为奇函数，∴；

又∴，

又，∴，

∴，故选C.

【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数，再根据函数性质逐步得出的值即可.

7．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】若，则

A．                                    B．

C．                                    D．

【答案】B

【解析】.

故选B.

【名师点睛】本题主要考查三角函数的求值，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数算.

8．【2018年高考全国卷II理数】若在是减函数，则的最大值是

A．        B．

C．        D．

【答案】A

【解析】因为，

所以由得，

因此，从而的最大值为，

故选A.

【名师点睛】解答本题时，先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值.函数的性质： 

(1).

(2)周期 

(3)由 求对称轴. 

(4)由求增区间；由求减区间.

9．【2018年高考天津理数】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数

A．在区间上单调递增   B．在区间上单调递减

C．在区间上单调递增  D．在区间上单调递减

【答案】A

【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为.

则函数的单调递增区间满足，即，

令可得一个单调递增区间为.

函数的单调递减区间满足：，即，

令可得一个单调递减区间为：.

故选A.

【名师点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

10．【2018年高考浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是

A．        B．

C．        D．

【答案】D

【解析】令，因为，所以为奇函数，排除选项A，B；

因为时，，所以排除选项C，

故选D.

【名师点睛】解答本题时，先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可作出判断.有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：

（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；

（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；

（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；

（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．

11．【2017年高考全国Ⅰ理数】已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

【答案】D

【解析】因为函数名不同，所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数名，则，则由上各点的横坐标缩短到原来的倍变为，再将曲线向左平移个单位长度得到，故选D.

【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量而言.

12．【2017年高考全国Ⅲ理数】设函数，则下列结论错误的是

A．的一个周期为

B．的图象关于直线对称

C．的一个零点为    

D．在(，)单调递减

【答案】D

【解析】函数的最小正周期为，则函数的周期为，取，可得函数的一个周期为，选项A正确；

函数图象的对称轴为，即，取，可得y=f(x)的图象关于直线对称，选项B正确；

，函数的零点满足，即，取，可得的一个零点为，选项C正确；

当时，，函数在该区间内不单调，选项D错误.

故选D.

【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为或的形式，则最小正周期为；奇偶性的判断关键是解析式是否为或的形式.

（2）求的对称轴，只需令，求x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令即可.

13．【2017年高考天津卷理数】设函数，，其中，．若，，且的最小正周期大于，则

A．，        B．，    

C．，        D．，

【答案】A

【解析】由题意得，其中，所以，

又，所以，所以，，

由得，故选A．

【名师点睛】关于的问题有以下两种题型：

①提供函数图象求解析式或参数的取值范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据最小正周期求，最后利用最高点或最低点的坐标满足解析式，求出满足条件的的值；

②题目用文字叙述函数图象的特点，如对称轴方程、曲线经过的点的坐标、最值等，根据题意自己画出大致图象，然后寻求待定的参变量，题型很活，一般是求或的值、函数最值、取值范围等．

14．【2019年高考北京卷理数】函数f（x）=sin22x的最小正周期是__________．

【答案】

【解析】函数，周期为.

【名师点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.

15．【2019年高考江苏卷】已知，则的值是  ▲   .

【答案】

【解析】由，得，

解得，或.

，

当时，上式

当时，上式=

综上，

【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.

16．【2018年高考全国Ⅰ理数】已知函数，则的最小值是_____________．

【答案】

【解析】，

所以当时函数单调递减，当时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为，函数的递增区间为，

所以当时，函数取得最小值，此时，

所以，故答案是.

【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.

17．【2018年高考北京卷理数】设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________．

【答案】

【解析】因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，

所以，

因为，所以当时，ω取最小值为.

【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查考生的逻辑推理能力以及运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数算.

18．【2018年高考全国Ⅲ理数】函数在的零点个数为________．

【答案】

【解析】，，由题可知，或，解得，或，故有3个零点.

【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查数形结合思想和考生的运算求解能力，考查的核心素养是数算.

19．【2018年高考江苏卷】已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．

【答案】

【解析】由题意可得，所以，

因为，所以

【名师点睛】由对称轴得，再根据范围求结果.函数（A>0，ω>0）的性质：

(1)；

(2)最小正周期；

(3)由求对称轴；

(4)由求增区间;由求减区间.

20．【2017年高考全国Ⅱ理数】函数()的最大值是          .

【答案】1

【解析】化简三角函数的解析式：

，

由自变量的范围：可得：，

当时，函数取得最大值1.

【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.

21．【2017年高考北京卷理数】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________.

【答案】

【解析】因为和关于轴对称，所以，那么，（或），

所以.

【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则 ，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则.

22．【2018年高考全国Ⅱ理数】已知，，则__________．

【答案】

【解析】因为，，所以

所以，

因此

【名师点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数算.

23．【2017年高考江苏卷】若则   ▲   ．

【答案】

【解析】．故答案为．

【考点】两角和的正切公式

【名师点睛】三角函数求值的三种类型

（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．

（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：

①适当变换已知式，进而求得待求式的值；

②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．

（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角．

24．【2019年高考浙江卷】设函数.

（1）已知函数是偶函数，求的值；

（2）求函数的值域．

【答案】（1）或；（2）．

【解析】（1）因为是偶函数，所以，对任意实数x都有，

即，

故，

所以．

又，

因此或．

（2）

．

因此，函数的值域是．

【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.

25．【2017年高考浙江卷】已知函数．

（1）求的值．

（2）求的最小正周期及单调递增区间．

【答案】（1）2；（2）的最小正周期是；单调递增区间是．

【解析】（1）由，，．

得．

（2）由与得．

所以的最小正周期是．

由正弦函数的性质得，

解得，

所以，的单调递增区间是．

【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．

26．【2017年高考江苏卷】已知向量

（1）若a∥b，求的值；

（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．

【答案】（1）；（2）时，取到最大值3；时，取到最小值．

【解析】（1）因为，，a∥b，

所以．

若，则，与矛盾，故．

于是．

又，所以．

（2）．

因为，所以，

从而．

于是，当，即时，取到最大值3；

当，即时，取到最小值．

27．【2018年高考浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．

（1）求sin（α+π）的值；

（2）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．

【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）由角的终边过点得，

所以.

（2）由角的终边过点得，

由得.

由得，

所以或.

【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式，考查考生分析问题、解决问题的能力，运算求解能力，考查的数学核心素养是数算.

求解三角函数的求值问题时，需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换.

（1）首先利用三角函数的定义求得，然后利用诱导公式，计算sin（α+π）的值;

（2）根据sin（α+β）的值，结合同角三角函数的基本关系，计算的值，要注意该值的正负，然后根据，利用两角差的余弦公式，通过分类讨论，求得cosβ的值.

28．【2018年高考江苏卷】已知为锐角，，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）因为，，

所以．

因为，

所以，

因此，．

（2）因为为锐角，所以．

又因为，

所以，

因此．

因为，所以，

因此，．

【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．三角函数求值的三种类型：

（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．

（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：

①适当变换已知式，进而求得待求式的值；

②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．

（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角．

29．【2017年高考山东卷理数】设函数，其中.已知.

（1）求；

（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.

【答案】（1）；（2）最小值为.

【解析】（1）因为，

所以

.

由题设知，

所以，.

故，，

又，

所以.

（2）由（1）得.

所以.

因为，

所以，

所以当，即时，取得最小值.

【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题时，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好地考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.