2013年福建省质检理科数学word版

理  科  数  学

  本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)，第卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

  1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

  2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效.

  3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．

  4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

参考公式：

样本数据x1，x2， …，xn的标准差                    锥体体积公式

s=    　　　　V=Sh

其中为样本平均数                                  其中S为底面面积，h为高

柱体体积公式                                      球的表面积、体积公式

V=Sh                                           ， 

其中S为底面面积，h为高                              其中R为球的半径  

第Ⅰ卷（选择题   共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知复数，为z的共轭复数，则下列结论正确的是

A．         B．         C．       D． 

2．已知向量，则“”是“”的

．充分而不必要条件               ．必要而不充分条件

．充要条件                       ．既不充分也不必要条件

3．函数的图象大致是

4．执行如图所示的程序框图，若输入的值为2，则输出的值为

A．3     B．126      C. 127       D. 128

5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面．下列命题正确的是

．若，则．若，则  

．若，则  ．若，则

6．已知函数的图象关于点对称，则的值可以是  

  A．          B．        C．        D． 

7．设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，垂足为．如果为正三角形，那么等于

．      ．        ．      ． 

8．在矩形中，，为矩形内一点，且. 若

，则的最大值为

A.         B.            C.       D. 

9．若函数有且只有2个不同的零点，则实数的取值范围是

Ａ．       Ｂ．      Ｃ．       Ｄ． 

10．设数集满足下列两个条件：

（1）；（2）若则．

现给出如下论断：

①中必有一个为0；    ②中必有一个为1；

③若且，则；④存在互不相等的，使得．

其中正确论断的个数是

A．           B．        C．        D． 

第Ⅱ卷（非选择题   共100分）

二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．

11．展开式中含项的系数等于         ．

12．若变量满足约束条件则的最大值为        ．

13．已知直线l：与圆：在第一象限内交于点M，且l与y轴交于点, 则的面积等于         ．

14．如图， 为区间上的等分点，直线，，和曲线所围成的区域为，图中个矩形构成的阴影区域为，在中任取一点，则该点取自的概率等于       ．

15．定义两个实数间的一种新运算“*”： .

当时，.对任意实数，给出如下结论：

①；  ②； 

 ③；         ④.

其中正确的结论是       ．（写出所有正确结论的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16. (本小题满分13分)

某几何体的三视图和直观图如图所示．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

17．(本小题满分13分)

国Ⅳ标准规定：轻型汽车的氮氧化物排放量不得超过．根据这个标准，检测单位从某出租车公司运营的A、B两种型号的出租车中分别抽取5辆，对其氮氧化物的排放量进行检测，检测结果记录如下（单位：）

由于表格被污损，数据看不清，统计员只记得A、B两种出租车的氮氧化物排放量的平均值相等，方差也相等.

（Ⅰ）求表格中与的值；

（Ⅱ）从被检测的5辆B种型号的出租车中任取2辆，记“氮氧化物排放量超过”的车辆数为，求的分布列和数学期望．

18. (本小题满分13分)

如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其东北方向与它相距16海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东海里处 .   

（Ⅰ）求此时该外国船只与D岛的距离；

（Ⅱ）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方向航行. 为了将该船拦截在离D岛12海里处，不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值.

（参考数据：，）

19. (本小题满分13分)

如图1，椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，为椭圆上一点，且垂直于轴. 

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）给出命题：“已知是椭圆上异于的一点，直线分别交直线：（为常数）于不同两点，点在直线上. 若直线与椭圆有且只有一个公共点，则为线段的中点”，写出此命题的逆命题，判断你所写出的命题的真假，并加以证明;

（Ⅲ）试研究（Ⅱ）的结论，根据你的研究心得，在图2中作出与该双曲线有且只有一个公共点的直线，并写出作图步骤.

注意：所作的直线不能与双曲线的渐近线平行. 

20．(本小题满分14分)

已知函数的图象在点处的切线方程为.

(Ⅰ)求的值及的单调区间；

(Ⅱ)是否存在平行于直线且与曲线没有公共点的直线？证明你的结论；

(Ⅲ)设数列满足, ,若是单调数列，求实数的取值范围.

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． 

（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换

    已知矩阵，向量．

   (Ⅰ) 求矩阵的特征值及属于每个特征值的一个特征向量；    

  （Ⅱ）求．

（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程

如图，在极坐标系中，圆的圆心坐标为，半径为.

（Ⅰ）求圆的极坐标方程；

（Ⅱ）若以极点为原点，极轴所在直线为轴建立平面直角坐标系.已知直线的参数方程为（为参数），试判断直线与圆的位置关系.

（3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲

已知函数.

（Ⅰ）求证：,并说明等号成立的条件；

（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

2013年福建省普通高中毕业班质量检查

理科数学试题参考解答及评分标准

    说明：

    一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．

    二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

    三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

    四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

    一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．

    1．； 2．； 3．； 4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．．

    二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分．

     11．24；  12．9； 13．； 14．；  15．①②③④．

三、解答题：本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16.本小题主要考查简单几何体的三视图，直线与直线、直线与平面的位置关系，二面角等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分．

解法一：

（Ⅰ）由三视图可知，在三棱柱中，,且，．…………………………………2分

以点为原点，分别以、所在直线为轴、轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得

，

．………………4分

，

又，．……………………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得， 

设平面的法向量为则

令，得平面的一个法向量为………………………10分

由（Ⅰ）知，是平面的法向量，…………………………………11分

．

故二面角的余弦值为．……………………………13分

解法二：

（Ⅰ）由三视图可知，在三棱柱中，,且，．………………………………………2分

， 

，……………………4分

，．…………………………………………5分

由正方形可得，又，．………………7分

（Ⅱ）同解法一．

17．本题主要考查概率统计中数据平均值与方差、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．

解:(Ⅰ)依题意得，，

又，

 ，

 ∴                                              

∴  解得或     …………6分

（Ⅱ）由(Ⅰ)可得B种轻型汽车不会被惩罚的车辆数为3,随机变量．

，，．…………9分

故的分布列为

∴．    ………………………………………………13分 

18.本小题主要考查余弦定理等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分13分．

解法一：（Ⅰ）依题意，在中，由余弦定理：

此时该外国船只与岛距离海里                              5分

（Ⅱ）在中作于点。

由正弦定理：        6分

在中  

                      7分

在上取点使得,连接, .

在中，  ，  ∴∴

在中， 

∴，                  9分

又该外国船只到达点的时间小时。                  10分

则我海监船速度海里/小时。                          12分

(注：取“=”叩1分)

∴我海监船要以北偏东的航向和至少每小时20海里的速度前往点E处拦截。                                                               13分

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）在中作于点。

在中， 

在上取点使得,连接, .

在中，，

所以                                              7分

所以在中， 

                                                       9分

国为该外国船只到达点C的时间小时。                  10分

所以我海监船速度海里/小时。                          12分

所以我海监船要以北偏东的航向和至少每小时20海里的速度前往拦截。                                                          13分

(注：取“=”扣1分)

解法三：以A点为原点，以AD所在的直线为轴建立直角坐标系，如图。

（Ⅰ）依题意，, 

所以,.

此时该外国船只距与D岛距离海里     5分

（Ⅱ）以点D为圆心，以12为半径作圆D，则圆D的方程为：  

在中作于点，则直线的方程为：             7分

设直线与圆D在第一象限的交点为点，联接。

联立解得，                           8分

所以，，

所以，所以。

国为该外国船只到达点的时间小时，                  10分

所以我海监船速度海里/小时。                         12分

所以我海监船要以北偏东的航向和至少每小时20海里的速度前往拦截。                                                                     13分

19．本小题主要考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等．满分13分．

解法一：（Ⅰ）因为为椭圆上一点，垂直于轴，所以在中，，，，又因为所以所以，

所以椭圆的方程为.…………………………………………4分

（Ⅱ）逆命题：“已知是椭圆上一点，直线分别交直线：（为常数）于两点，若为线段的中点，则直线与椭圆有且只有一个公共点”，为真命题.……………6分

证明如下：

设，则，

又，所以，，

设的中点，则， ，

又因为，所以，即点，………8分

所以，

则，即.

联立方程，消并化简得：，  ……………9分

所以，

所以直线与椭圆有且只有一个公共点.…………………10分

（Ⅲ）如图，①任作一条直线垂直于实轴；②作直线分别交直线于两点；③作线段的中点，则直线即为所求的直线.………………………………………………………13分

解法二：（Ⅰ）因为为椭圆上一点，垂直于轴，

所以即解得

所以椭圆的方程为.   …………………………………………4分

（Ⅱ）（Ⅲ）同解法一.

20．本题考查函数的导数、导数的应用、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想、分类讨论思想等.满分14分.

解法一：(Ⅰ)依题意，…………………………………………1分

由可得解得

所以，.…………………………………………3分

当x变化时，与的变化情况如下表：

(Ⅱ)与直线平行的直线设为，

由得，即     ①…………6分

当时，方程①有唯一解，此时曲线与直线有公共点；

当时，方程①无解，此时直线与曲线没有公共点.

故存在直线与曲线没有公共点. ……………………………………8分

(Ⅲ)，

下面先用数学归纳法证明：当时，.

证：当n=1时， >2不等式成立.

假设当n=k时，不等式成立，即.

则，于是.

故当n=k+1时，不等式成立.

根据可知，对于,有.…………………………………………10分

于是，

所以，即是单调递减数列.

当时，由（Ⅰ）知，,

于是有，故不是单调数列.

当时， <0，.

所以，于是，故不是单调数列.

当时，，又因为，于是.

所以，故。故是单调递增数列.

当时，.故不是单调数列.

当时，.故不是单调数列.

综上，的取值范围是.…………………………………………14分

解法二：（Ⅰ）、(Ⅱ)同解法一

（Ⅲ）当＞1时，由于，

由（Ⅰ）知：当＞1时，有，且时，＞2.

所以，当时，有，数列不单调；当且时，＞2.

因为，

则当时，有＜.

又，

当1＜＜2时，有＞，数列不单调；

当＞2时，有＜，数列单调递减.

所以，当＞2时，数列单调递减；

当1＜时，数列不单调.

当＜1时，同理可证：当＜0时，数列单调递增；当＜1时，数列不单调.

综上可知：当＜0或＞2时，数列是单调数列；

当＜1或1＜时，数列不是单调数列.

21．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

本小题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分7分．

解法一 : (Ⅰ)矩阵的特征多项式为，

令，解得,

当时，得,当时，得. ………………………3分

（Ⅱ）由得，解得.

所以

                                                     ………………………7分

解法二: (Ⅰ)同解法一.

（Ⅱ）因为,

           所以…………………………………7分

（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程

本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．满分7分．

解：（Ⅰ）如图，设圆上任意一点的极坐标.连结OD，BD，在中，因为,所以.……………3分

（Ⅱ）由

得直线的普通方程为,

 即直线的普通方程为，

由，得圆的直角坐标方程为，

因为圆心到直线的距离为，

所以直线与圆的相切.…………7分

（3）(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲

本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式证明等基础知识，考查推理论证能力, 考查化归与转化思想．满分7分．

解：（Ⅰ）由柯西不等式得，

所以. 

当且仅当，即时，等号成立. ………………………………………3分. 

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又不等式恒成立，

所以，

解得或.

故的取值范围为. …………………………7分