...2020学年江苏省苏州市高一下学期期末考试数学试题及答案

一、单选题

1．已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（）A ．16π

B ．20π

C ．36π

D ．40π

2．苏州市6月1日起正式实施的《生活垃圾分类管理条例》将城市生活垃圾分为“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”和“其他垃圾”四类．某社区为了分析不同年龄段的人群对垃圾分类知识的了解情况，对辖区内的居民进行分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、900人、700人，若在老年人中的抽样人数是35，则在青年人中的抽样人数是（）

A ．20

B ．40

C ．60

D ．80

3．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，则这两个数之和等于5的概率为（）

A ．

120

B ．

110

C ．

15

D ．

25

4．在同一平面直角坐标系中，两直线

1x y m n -=与1x y

n m

-=的图象可能是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

5．围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为13

，都是白子的概率为2

15，

则取出的2粒颜色不同的概率为（）

A ．

1

5

B ．

13C ．

715

D ．

815

6．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1BB 上靠近B 的三等分点，点F 是棱1CC 的中点，且三棱锥1A AEF -的体积为2，则平行六面体1111ABCD A B C D -的体积为（

）

A ．8

B ．12

C ．18

D ．20

7．已知在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，60B =︒，且ABC 的面积为3，则b 的取值范围是（）A ．6

⎡⎣B ．2,6

C ．[)2,6

D ．[)

4,68．在平面立角坐标系xOy 中，两圆1O ，2O 均过点()3,0，它们的圆心分别为()1,0x ，()2,0x ，满足

12112

3

x x +=，若两圆与y 轴正半轴分别交于()10y ,，()20,y ，则12y y 的值为（）

A ．2

B ．6

C ．9

D ．与1x ，2x 的取值有关

二、多选题

9．

党的十九大为新时代农业农村改节发展明确了重点、指明了方向，报告中提出了“实施乡村振兴战略”．某地区农村经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入增加了一倍.为更好地了解该地区农村的经济收入变化

情况，统计了该地区实施乡村振兴建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

则下面结论中正确的有（）

A ．乡村振兴建设后，种植收入减少

C ．乡村振兴建设后，养殖收入增加了一倍

D ．乡村振兴建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半10．已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫

=+ ⎪⎝

⎭

在区间[],0a -上单调递增，则实数a 的可能值为（）

A ．

π8

B ．

π4C ．

3π8

D ．

π2

11．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a

，b ，c ．已知b =π

3

B ∠=，若添加下列条件来解三角形，则其中三角形只有一解的是（）A ．3

c =B ．7 2c =

C ．4

c =D ．92

c =

12．如图，点E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，点M 在线段1BD 上运动，则下列结论正确的是（

）

A ．直线AD 与直线1C M 始终是异而直线

B ．存在点M ，使得1B M AE ⊥

C ．四面体EMAC 的体积为定值

D ．当12D M MB =时，平面EAC ⊥平面MAC 三、填空题

13．为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为5组：[)50,60，[)

60,70，[)70,80，

[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图，则该100名学生中成绩在80分（含80分）以上

的人数为______．

14．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若3a =，2b =，1

cos 3

C =，则ABC 的面积为______．

15．已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线20x y -=和5x ay +=上，且线段AB 的中点为()0,5P ，则AB =______．四、双空题

16．已知在球O 的内接长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，3AD =，则球O 的表面积为________，若P 为线段AD 的中点，则过点P 的平面截球O 所得截面面积的最小值为______．五、解答题

17．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，M ，N 分别为BC ，AC 的中点，侧面11A ACC 是菱形，160A AC ∠=︒

（1）求证：AB //平面1A MN ；

（2）求证：平面11A ACC ⊥平面1A MN ．

18．已知圆C 经过两点()1,1P -、()1,1Q -，且圆心C 在直线20x y +-=上．

（1）求圆C 的方程；

（2）过点()0,3M 的直线l 与圆C 相交于A 、B

两点，且AB =求直线l 的方程．

19．随着我国中医学的发展，药用昆虫的需求愈米愈多．每年春暖花开后，昆虫大量繁殖．研究发现某类药用昆虫的个体产则数y （单位：个）与温度x （单位：℃）有关，科研人员随机挑选了3月份中的5天进行研究，收集了5组观测数据如下表：温度x /℃91113128产卵数y /个

23

25

30

26

20

科研人员确定的研究方案是：先用前三组数据建立y 关于x 的线性回归方程，再用后两组数据进行检验．（1）求y 关于x 的线性回归方程；

（2）若由线性回归方程行到后两组的估计数据与实际观测数据的误差均不超过2个，则认为线性同归方程足可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？

（附：回归直线的斜率和截距的公式分别为()()

()

1

2

1

ˆn

i

i

i n

i

i x x y y b

x x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx

=-）20．在①cos 0b A c -=，②cos cos a B b A =，③cos 0

a C

b +=这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在下面的问题中，并求解．

在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b =，4c =，满足______．

（1）请写出你的选择，并求出角A 的值；

（2）在（1）的结论下，已知点D 在线段BC 上，且3π

4

ADB ∠=

，求CD 长．21．如图所示，等边三角形ABC 的边长为3，点D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，满足1AD =，DE AB ⊥．将ADE 沿DE 折起到1A DE △的位置，使二面1A DE B --为二面角，连接1A B ，1A C ．

（1）求二面角1C AB D --的余弦值；

（2）线段1A E 上是否存在点P ，使得直线CP 与平面1A BC 所成的角为60°？若存在，求出1A P 的长；若不存在，请说明理由．

22．如图，点()00,P x y 是圆O ：229x y +=上一动点，过点P 作圆O 的切线l 与圆1O ：

()()

22

4x a y -+-()1000a =>交于A ，B 两点，已知当直线l 过圆心1O 时，14

O P =

（1）求a 的值；

（2）当线段AB 最短时，求直线l 的方程；（3）问：满足条件

1

3

AP BP

=

的点P 有几个？请说明理由．

数学试题参

1-8BBCDD BAC 9.BCD 10.AB

11.AC 12.BCD

13.40;14..

;15.;16.17π9π

4

17.证明：（1）因为在ABC 中，M 为BC 的中点，N 为AC 的中点．所以MN 是ABC 中的中位线.所以MN //AB ，

因为AB ⊄平面1A MN ，MN ⊂平面1A MN ，

所以AB //平面1A MN ．

（2）连结1A C ，如图

因为四边形11A ACC 是菱形，160A AC ∠=︒，

所以1A AC 是等边三角形，

因为N 为AC 的中点，所以1A N AC ⊥，

因为ABC 中，AB AC ⊥，由（1）已证MN //AB ，

所以MN AC ⊥，

因为1A N ，MN ⊂平面1A MN ，1A N MN N = ，

所以AC ⊥平面1A MN ，

因为AC ⊂平面11A ACC ，所以平面11A ACC ⊥平面1A MN

18.解：（1）因为()1,1P -，()1,1Q -．所以PQ 中点坐标为()0,0，直线PQ 的斜率为

()

11111PQ k --==---，所以PQ 的中垂线方程为y x =，联立20x y y x +-=⎧⎨=⎩

，得()1,1C ，设圆C 的半径为r ，则

2r CP ==

=，故所求圆C 的方程为()()22114x y -+-=；

（2）当直线l 斜率不存在时，l 的方程为0x =，圆心C 到直线l 的距离1d

=，

此时AB ==当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为3y kx =+，

则圆心C 到直线

l 的距离d

=

2

24+=，解得34

k =-，所以直线l 的方程为334y x =-+．综上，直线l 的方程为0x =或334

y x =-+．

19.解：（1）由前三组的数据得11x =，26y =，()()3114i i i x x y y =--=∑，()

3218i i x x =-=∑，所以()()

()

1217ˆ4

n

i i i n i i x x y y b x x ==--==-∑∑，7727ˆ2611444

a y x =-=-⨯=．所以y 关于x 的线性回归方程为727ˆ44

y x =+．（2）由（1）知，y 关于x 的线性回归方程为727ˆ44y

x =+．当12x =时，727111ˆ12444y =⨯+=，1112624-≤，

当8x =时，72783ˆ8444

y =⨯+=，832024-≤．所以（1）中所得的线性回归方程727ˆ44

y x =+是可靠的．20.解：（1

）若选择条件①，得cos 1c A b =

=>，不符合题意：若选择条件②，由余弦定理知222222

22a c b b c a a b ac bc +-+-⋅=⋅，化简得a b =，

所以4a b +=<，不符合题意：若选择条件③，由余弦定理得222

02a b c a b ab

+-⋅+=，所以22230a b c +-=，所以222316610a c b =-=-=，

所以2222cos 22b c a A bc +-===，因为()0,πA ∈，所以π4

A =．

（2）由（1

）知2225cos 25b a c C ab +-==-，因为()0,πC ∈

，所以25sin 5

C ==．

所以3π3π3πsin sin sin cos cos 44410CAD C C C ⎛⎫∠=-=-= ⎪⎝⎭

．在ACD △中，因为sin sin AC CD ADC CAD

=∠∠，

所以sin 1010sin 52

2AC CAD CD ADC

⋅∠==∠．

21.解：（1）因为DE AB ⊥，所以DE BD ⊥，1DE A D ⊥，所以1A DB ∠是二面角1A DE B --的平面角，

因为二面角1A DE B --为直二面角，

所以190A DB ∠=︒，即1A D BD ⊥．如图，以{}1,,DB DE DA 为正交基底，建立空间直角坐标系D xyz -，因为ABC 是边长为3的等边三角形，且1AD =，DE AB ⊥，所以2BD =，3DE =2AE =，所以1CE =，

则各点的坐标为()2,0,0B ，()

3,0E ，()10,0,1A ，133,,022C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以1133,,122AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭

，()12,0,1A B =- ．

设平面1A BC 的法向量为()1,,n x y z = ，则110n A C ⋅= ，110n A B ⋅= ，即133022

x y z +-=，20x z -=，令1z =，则12x =，36y =，所以113,,126n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭

是平面1A BC 的一个法向量，

因为平面1A BD 的法向量()20,1,0n =u u r ，所以1212121cos ,4

n n n n n n ⋅==⋅ ，由图形可知，二面角1C AB D --的余弦值为14

．

（2）设()102A P a a =≤≤，则点P 坐标为30,,122a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭

，所以1333,,12222a a CP ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭

．因为直线CP 与平面1A BC 所成的角为60°，所以11214sin 60cos ,2311832

a CP n CP n CP n a a ⋅︒===⋅-+ ，解得83

a =或165

a =，因为02a ≤≤，所以a 无解，所以线段1A E 上不存在P ，使直线CP 与平面1A BC 所成的角为60°．

22.解：（1）当直线l 过圆心点1O 时，

22

21174O P OO OP a =-=+=，所以3a =或3a =-（舍）

（2）过1O 作1O M AB ⊥，则M 为弦AB 的中点，设1d O M =，

当1O M 最长时，弦长AB 最短．因为118d O P OO OP ≤≤+=，当且仅当1O ，O ，P 三点共线时，取得最大值，

此时1OO AB ⊥，因为143

OO k =，所以直线1OO 的方程为43

y x =．由224,39,

y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得912,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭或912,55⎛⎫ ⎪⎝⎭P （舍）所以直线l 的方程为34150x y ++=．

（3）因为13AP BP

=，所以设AP t =，则3BP t =，所以4AB t =，所以()222100d t +=，①

（ⅰ）如图，当1O ，O 在直线AB

同侧时，()222253t MP d ==--，②

由①②将6d =或2d =．

当6d =时，直线AB 可看作是圆229x y +=与圆()()223436x y -+-=的公切线，此时两圆相交，公切线有两条，所以满足条件的点P 有2个．当2d =时，直线AB 可看作是圆229x y +=与圆()()22344x y -+-=的公切线，此时两圆相外切，外公切线有两条，所以满足条件的点P 有2个．（ⅱ）如图，当1O ，O 在直线AB 异侧时，()222253t MP d ==-+，③由①③得6d =-或2d =-（舍），满足条件的P 点不存在.综上，满足条件的点P 共有4个

附：当6d =

时，6d =，即0034918x y +-=．由2200009,34918,

x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩解得()3,0P -或2172,2525P ⎛⎫- ⎪⎝⎭

．当2d =

时，2d =，即003496x y +-=．由22000

093496x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，

得912,2525P ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭

或912,2525P ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或912,55⎛⎫ ⎪⎝⎭P （舍去）．