北京市西城区2021届高三第一学期期末考试数学试卷

北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷

高三数学 2021.1

本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求

的一项。

（1）已知集合{|13}A x x =−<<，{|04}B x x =<≤，则A B =

（A ）(0,3)

（B ）(1,4)−

（C ）(0,4]

（D ）(1,4]−

（2）在复平面内，复数z 所对应的点的坐标为(1,1)−，则z z ⋅=

（A ）2

（B ）2i −

（C ）2

（D ）2i

（3）已知()f x 为奇函数，其局部图象如图所示，那么

（A ）(2)2f = （B ）(2)2f =− （C ）(2)2f >− （D ）

(2)2f <−

（4）已知(4,8)A ，(2,4)B ，(3,)C y 三点共线，则y 的值为

（A ）4

（B ）5

（C ）6

（D ）7

（5）已知双曲线22

221x y a b

−=的焦距等于实轴长的2倍，则其渐近线的方程为

（A ）3y x =±

（B ）2y x =±

（C ）3

3

y x =±

（D ）1

2

y x =±

（6）已知半径为2的圆经过点(1,0)，其圆心到直线34120x y −+=的距离的最小值为

（A ）0

（B ）1

（C ）2 （D ）3

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（7）已知函数()sin 2,[,]f x x x a b =∈，则“2

b a π

−≥

”是“()f x 的值域为[1,1]−”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件

（D ）既不充分也不必要条件

（8）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：2log (1)S

C W N

=+

，其中C 为最大数据传输速率，单位为bit /s ；W 为信道带宽，单位为Hz ；S

N

为信噪比. 香农公式在5G 技术中发挥着举足轻重的作用.

当

99S

N

=，2000Hz W =时，最大数据传输速率记为1C ；当9999S N =，3000Hz W =时，最

大数据传输速率记为2C ，则2

1

C C 为 （A ）1

（B ）

5

2 （C ）154

（D ）3

（9）设函数()f x 和()g x 的定义域为D ，若存在非零实数c D ∈，使得()()0f c g c +=，则称函数

()f x 和()g x 在D 上具有性质P .

现有三组函数：

①()f x x =，2()g x x = ②()2x f x −=，()e x g x =−

③2()f x x =−，()2x g x =

其中具有性质P 的是 （A ）①②

（B ）①③

（C ）②③

（D ）①②③

（10）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，,M N 分别为111,BD B C 的中点，点P 在正方体的

表面上运动，且满足MP CN ⊥，则下列说法正确的是 （A ）点P 可以是棱1BB 的中点 （B ）线段MP

（C ）点P 的轨迹是正方形 （D ）点P

轨迹的长度为

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第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）5(2)x −的展开式中x 的系数是_______.

（12）数列{}n a 是公差为2−的等差数列，记{}n a 的前n 项

和为n S ，且134,,a a a 成等比数列，则1a =_______； n S =_______.

（13）一个三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长棱的

长度为_______.

（14）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点(1,4)M −作y 轴的垂线交抛物线C 于点A ，

且满足||||AF AM =，则抛物线C 的方程为_______；设直线AF 交抛物线C 于另一点B ，则点B 的纵坐标为______.

（15）炎炎夏日，冰激凌成为非常受欢迎的舌尖上的味道.某商店统计了一款冰激凌6月份前6

天每天的供应量和销售量，结果如下表：

记()V t 为6月t 日冰激凌的供应量，()W t 为6月t 日冰激凌的销售量，其中1,2,,30t =.

用销售指数()(1)(1)

(,)100%()(1)(1)

W t W t W t n P t n V t V t V t n +++

++−=

⨯+++

++−,(1,)n n ∈N ≥来评价从6月t

日开始连续n 天的冰激凌的销售情况. 当1n =时，(,1)P t 表示6月t 日的日销售指数. 给出下列四个结论：

① 在6月1日至6日这6天中，(4,1)P 最小，(5,1)P 最大；

② 在6月1日至6日这6天中，日销售指数越大，说明该天冰激凌的销售量越大； ③ (1,3)(4,3)P P =；

④ 如果6月7日至12日冰激凌每天的供应量和销售量与6月1日至6日每天的供应量和 销售量对应相等，则对任意{1,2,3,4,5,6,7}t ∈，都有(,6)(1,12)P t P =. 其中所有正确结论的序号是______.

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三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）

如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，2AB AC ==，14AA =，

AB AC ⊥，1BE AB ⊥交1AA 于点E ，D 为1CC 的中点. （Ⅰ）求证：BE ⊥平面1AB C ； （Ⅱ）求二面角1C AB D −−的余弦值.

（17）（本小题13分）

已知ABC △的面积为 （Ⅰ）b 和c 的值； （Ⅱ）sin()A B −的值．

条件①:6a =,1cos 3C =−；条件②:A C =,7

cos 9B =−.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

（18）（本小题14分）

防洪工程对防洪减灾起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用又有蓄洪作用.北京地区2010年至2019年每年汛末（10月1日）水库的蓄水量数据如下：

（Ⅰ）从2010年至2019年的样本数据中随机选取连续两年的数据，求这两年蓄水量数据之差的

绝对值小于1亿立方米的概率；

（Ⅱ）从2014年至2019年的样本数据中随机选取两年的数据，设X 为蓄水量超过33亿立方米

的年份个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；

（Ⅲ）由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大？（结论不要求证明）

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（19）（本小题15分）

已知函数3()f x x x =−.

（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间和极值； （Ⅲ）设函数()

()2sin f x t x x x

=−，(0,)x ∈π，试判断()t x 的零点个数，并证明你的结论.

（20）（本小题15分）

已知椭圆22

:142x y C +=. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率和长轴长；

（Ⅱ）已知直线2y kx =+与椭圆C 有两个不同的交点,A B ，P 为x 轴上一点. 是否存在实数k ，

使得PAB △是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k 的值及点P 的坐标；若不存在，说明理由.

（21）（本小题15分）

对于数列{}n a ，定义1*11,,1,.n n n n n a a a a a ++⎧=⎨−<⎩≥ 设*{}n a 的前n 项和为*

n S .

（Ⅰ）设2

n n n a =

，写出*1a ，*2a ，*3a ，*

4a ； （Ⅱ）证明：“对任意*n ∈N ，有*

11n n S a a +=−”的充要条件是“对任意*n ∈N ，有1||1n n a a +−=”；

（Ⅲ）已知首项为0，项数为1(2)m m +≥的数列{}n a 满足：

①对任意1n m ≤≤且*n ∈N ，有1{1,0,1}n n a a +−∈−；②*

m

m S a =. 求所有满足条件的数列{}n a 的个数.

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高三数学参 2021.1

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

（ 1 ）D （ 2 ）A （ 3 ）C （ 4 ）C （ 5 ）A （ 6 ）B （ 7 ）B

（ 8 ）D

（ 9 ）B （10）D

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

（11）80

（12）8，

29n n −+

（13

） （14）24y x =，1−

（15）①④

注：第（12）和（14）题第一空 3 分,第二空 2 分.第（15）题全部选对得 5 分，不选或有错选得0分，其他得 3 分.

三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）

解：（Ⅰ）因为三棱柱111ABC A B C −为直三棱柱，所以1AA ⊥平面ABC ， 所以1AA AC ⊥. ……………1分

因为AC AB ⊥，1AB

AA A =，所以AC ⊥平面11AA B B . ……………3分

因为BE ⊂平面11AA B B ，所以AC BE ⊥.

因为1BE AB ⊥，1AC

AB A =，

所以BE ⊥平面1AB C . ……………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知1,,AB AC AA 两两垂直， 如图建立空间直角坐标系A xyz −． 则(000)A ，,1(2,0,4)B ,(0,2,2)D ,(2,0,0)B . ……………7分

设(0,0,)E a ，所以1=(02,2)=(2,0,4)=(20,)AD AB BE a −,

，,， 因为1AB BE ⊥，所以440a −=，即1a =.

……………8分 所以平面1AB C 的一个法向量为=(20,1)BE −,

． ……………9分

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设平面1AB D 的法向量为(,,)x y z =n ，

所以10,

0.

AD AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以220,240.y z x z +=⎧⎨+=⎩ 即,2.y z x z =−⎧⎨=−⎩

……………10分

令1z =−，则2,1x y ==，

所以平面1AB D 的一个法向量为(2,1,1)=−n . ……………11分

所以cos ,=||||6BE BE BE ⋅−<>=

=n n n ……………12分

由已知，二面角1C AB D −−为锐角，

所以二面角1C AB D −−. ……………13分

（17）（共13分）

若选择条件①：

解：（Ⅰ）在ABC △中，因为1

cos 3

C =−，

所以(,)2

C π∈π，sin C

==……………2分 因为1

sin 2

S ab C ==，6a =，所以2b =.

……………4分 由余弦定理，2222cos 48c a b ab C =+−

=，

……………5分 所以c =……………6分

（Ⅱ）由正弦定理

sin sin sin a

b c

A B C ==

，可得62sin sin A

B ==. …………7分

所以sin A =

，sin B =. ……………9分

因为,(0,)2

A B π

∈，所以cos A =，cos B =.

……………11分

所以sin()sin cos cos sin A B A B A B −=−

9

=. ……………13分

若选择条件②：

解：（Ⅰ）在ABC △中，因为A C =，所以a c =.

因为

7cos 9B =

−，所以(,)2

B π

∈π，sin B ==.

………2分

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因为211sin 229

S ac B c ==⨯=

所以a c ==. ……………4分

由余弦定理，2222cos b a c ac B =+−=，所以8b =. ……………6分 （Ⅱ）由正弦定理得

sin sin a b

A B

=

，

所以1

sin sin 3

a A B

b ==⨯=.

……………8分 因为(0,)2

A π

∈

，所以cos A ==.

……………10分

所以sin()sin cos cos sin A B A B A B −=−

1723

()393927

=⨯−−⨯=−.

……………13分

（18）（共14分）

解：（Ⅰ）设事件A 为“连续两年的蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米”， 从2010年到2019年的样本数据中随机选取连续两年共有9种可能，…2分 由图表可知，事件A 包含“2011年和2012年”，“2014年和2015年”，“2018年

和2019年”.

……………3分 所以31()93

P A =

=.

……………4分

（Ⅱ）由表可知，2014到2019年的样本数据中，蓄水量超过33亿立方米有2年，蓄水

量不超过33亿立方米有4年.

随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.

……………5分

022426C C 62(0)C 155P X ⋅====，11

24

2

6C C 8(1)C 15

P X ⋅===， 2024

2

6C C 1(2)C 15

P X ⋅===.

……………8分

所以随机变量X 的分布列为：

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……………9分

所以2812

()012515153

E X =⨯+⨯+⨯=.

……………11分 （Ⅲ）从2016年开始连续三年的水库蓄水量方差最大.

……………14分

（19）（共15分）

解：（Ⅰ）由3()f x x x =−，得 2()31f x x '=−．

……………1分 因为(1)0f =，(1)2f '=，

……………3分

所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为22y x =−. …………4分

（Ⅱ）令()0f x '=，得2310x −=

，解得x =

或x =．

当x 变化时，()f x 和()f x '变化情况如下表：

……………7分

所以，()f x 的单调递减区间是(33−，单调递增区间是(,)3

−∞−， (

)3

+∞； ()f x

在3

x =−处取得极大值9，在3x =处取得极小值9−.

……………9分

（Ⅲ）(0,)x ∈π,()0t x =，即

21

20sin x x

−−=， 等价于212sin 0x x −−=.

……………10分

设2

()12sin g x x x =−−,(0,)x ∈π，则()22cos g x x x '=−.

① 当

[,)

2

x π∈π时，

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()0g x '>，()g x 在区间[,)2

π

π上单调递增.

又2

()3024

g ππ=−<，2()10g π=π−>，

所以()g x 在区间[,)2

π

π上有一个零点.

……………11分

②

当(0,)2

x π

∈时,设

()()22cos h x g x x x '==−.

()22sin 0h x x '=+>，所以()g x '在区间(0,)2π

上单调递增. ………12分

又(0)20g '=−<，()02g π

'=π>，

所以存在0(0,)2

x π

∈，使得0()0g x '=.

所以，当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；

当0(,)2

x x π

∈时，()0g x '>，()g x 单调递增.

……………13分

又(0)10g =−<，2

()3024

g ππ=

−<， 所以()g x 在区间(0,)2π

上无零点.

……………14分 综上所述，函数()t x 在定义域内只有一个零点.

……………15分

（20）（共15分）

解：（Ⅰ）由题意：24a =，22b =，所以2a =. ……………1分 因为222a b c =+，所以22c =

，c = ……………2分

所以2

c e a =

=. ……………3分

所以椭圆C

，长轴长为4. ……………4分

（Ⅱ）联立222,142

y kx x y =+⎧⎪⎨+

=⎪⎩ 消y 整理得：22

(21)840k x kx +++=.

……………5分

因为直线与椭圆交于,A B 两点，故0∆＞，解得21

2

k ＞.

……………6分

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设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122821

k x x k −+=+，12

24

21x x k =+.……………8分 设AB 中点00(,)G x y ，

则1202

4221

x x k

x k +−==+，0022221y kx k =+=+， 故2242

(

,)2121

k G k k −++. ……………9分

假设存在k 和点(,0)P m ，使得PAB △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形， 则PG AB ⊥，故1PG AB k k ⋅=−，

所以222211421k k k m k +⨯=−−−+，解得2221k m k −=+，故22(0)2+1k

P k −，.…………10分

又因为2

APB π

∠=

，所以0PA PB ⋅=. 所以1122(,)(,)0x m y x m y −⋅−=，即1112()()0x m x m y y −−+=.

整理得 22

1212(1)(2)()40k x x k m x x m ++−+++=.

所以222

248(1)(2)402121

k

k k m m k k +⋅−−⋅++=++， ……………12分 代入2

221

k

m k −=

+，整理得41k =，即21k =. ……………14分

当1k =−时，P 点坐标为2

(,0)3；当1k =时，P 点坐标为2(,0)3−.

此时，PAB △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形.

……………15分

（21）（共15分）

解：（Ⅰ）因为11

2a =

，212a =，338a =，414a =，5532

a =，

根据题意可得*11a =，*2

1a =−，*31a =−，*

41a =−. ……………4分

（Ⅱ）必要性：对1n =，有*121S a a =−，因此**

2111||||||1a a S a −===. ……5分 对任意*n ∈N 且2n ≥，有*

11n n S a a +=−，*11n n S a a −=−，

两式作差，得**11n n n n S S a a −+−=−，即*

1n

n n a a a +=−， 因此 *

1||||1n n n a a a +−==.

……………7分

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综上，对任意*n ∈N ，有1||1n n a a +−=.

充分性：若对任意*n ∈N ，有1||1n n a a +−=，则*

1n n n a a a +=−， 所以 ***

*

122132111()()()n

n n n n S a a a a a a a a a a a ++=+++=−+−+

+−=−.

综上，“对任意*n ∈N ，*

11n

n S a a +=−”的充要条件是“对任意*n ∈N ， 1||1n n a a +−=”.

……………10分

（Ⅲ）构造数列{}n b ：10b =，1111,||1,

1,0.n n

n n n n n n a a a a b b a a ++++−−=⎧−=⎨−=⎩

则对任意1n m ≤≤且*n ∈N ，有**

n n b a =，1||1n n b b +−=. 结合（Ⅱ）可知，***

****

1212111m m m m m S a a a b b b b b b ++=+++=++

+=−=.

又*

m m S a =，因此1m m b a +=.

设21321,,,m m a a a a a a +−−−中有k 项为0，

则1121321()()()m m m a a a a a a a a ++=+−+−++−

121321()()()m m b b b b b b b k +=+−+−++−−

1m b k +=− m a k =−. 即1m m a a k +−=−.

因为1{1,0,1}m m a a +−∈−，所以0k =或1. ……………13分

若0k =，则10m m a a +−=， 与21321,,

,m m a a a a a a +−−−中有0项为0，即0k =矛盾，不符题意.

若1k =，则11m m a a +−=−.

所以，当11m m a a +−=−，21321,,

,m m a a a a a a −−−−中有一项为0，其余2m −项为

1±时，数列{}n a 满足条件.

21321,,,m m a a a a a a −−−−中有一项为0，共1m −种取法；其余2m −项每项

有1或1−两种取法，

所以，满足条件的数列{}n a 的个数为2

(1)2m m −−⋅. ……………15分