2024年中考数学第二次模拟考试+解析(山东济南卷)

数学·全解全析

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．如图所示的几何体的俯视图是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．根据俯视图是从上面看到的图形判定即可． 【详解】解：从上面看，可得

故选：D ．

2．海水淡化是解决全球水资源危机的战略手段．根据《海水淡化利用发展行动计划（2021-2025年）》，到2025年我国海水淡化总规模将达到2 900 000吨/日以上．数字2 900 000用科学记数法表示为（ ） A ．70.2910⨯ B ．62.910⨯ C ．52910⨯ D ．429010⨯

【答案】B

【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为10n

a ⨯的形式，其中11|0|a ≤＜，n 为整数．确

定n 的值时，要看把原来的数，变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正数；当原数的绝对值1＜时，n 是负数，确定a 与n 的值是解题的关键．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为10n

a ⨯，其中11|0|a ≤＜，n 为整数，据此解答即可．

【详解】6

2900000 2.910=⨯． 故选：B ．

3．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果258∠=︒，那么1∠的度数是（ ）

A ．32°

B ．48°

C ．58°

D ．68°

【答案】A

【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握基本知识是解题的关键． 是由平行线的性质推出3258∠=∠=︒，再由互余关系即可求解． 【详解】解：

∥AB CD ，

3258∴∠=∠=︒， 1905832∴∠=︒−︒=︒．

故选：A ．

4．实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（ ）

A ．c b −<

B ．a c >−

C ．a b b a −=−

D ．c a a c −=−

【答案】C

【分析】根据数轴的性质可得0a b c <<<，a b c

>>，据此逐项判断即可得．

【详解】解：由数轴可知，0a b c <<<，a b c

>>．

A 、c b −>，则此项错误，不符合题意；

B 、a c <−，则此项错误，不符合题意；

C 、0a b −a b b a

∴−=−，则此项正确，符合题意；

D 、0c a −>，

c a c a

∴−=−，则此项错误，不符合题意；

故选：C ．

【点睛】本题考查了数轴、绝对值的性质，熟练掌握数轴的性质是解题关键．

5．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A 不符合题意； B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项B 不符合题意； C C 符合题意； D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项D 不符合题意； 故选C ．

【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定及性质是解题的关键．

6．下列运算正确的是（ ） A ．3212a a a ⋅= B ．257b a ab += C ．()2

22a b a b +=+ D ．()2

2346a b a b =

【答案】D

【分析】本题考查幂的运算，完全平方公式，合并同类项．根据幂的运算，完全平方公式，合并同类项法则分别判断即可．

【详解】解：A 选项：325

a a a ⋅=，故原计算错误，不符合题意；

B 选项：2b 与5a 不是同类项，不能合并，故原计算错误，不符合题意；

C 选项：

()2

222a b a ab b +=++，故原计算错误，不符合题意；

D 选项：

()

2

23

46

a b a b =，故原计算正确，符合题意．

故选：D

7．已知点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y 都在反比例函数2

y x

=−的图像上，且32

10x x x <<<，则1y ，2y ，

3y 的大小关系为（ ） A ．132y y y << B ．123y y y << C ．231y y y << D ．321y y y <<

【答案】A

【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．先判断出函数图像位于第二、四象限，在每一个象限内y 随x 的增大而增大，判断出1y ，2y ，3y 的大小关系，即

可获得答案．

【详解】解：∵对于反比例函数

2

y x =−

，20k =−<

∴该函数图像位于第二、四象限，在每一个象限内y 随x 的增大而增大， ∵

321

0x x x <<<，

∴230y y >>，10y <， ∴

132

y y y <<．

故选：A ．

8．小敏购买了一套“龙行龘龘”艺术书签（外包装完全相同），分别为“招财祥龙”“瑞狮福龙”“龙凤呈祥”“锦鲤旺龙”四种不同的主题.小敏从中拿两个送给同学，先随机抽取一个（不放回），再从中随机抽取一个，则恰好抽到书签“招财祥龙”和“龙凤呈祥”的概率为（ ）

A ．1

2 B ．

1

4 C ．18

D ．16

【答案】D

【分析】本题考查了概率，解题的关键是利用树形图分析出所有等可能结果．

【详解】解：设“招财祥龙”为①，“瑞狮福龙”为②，“龙凤呈祥”为③，“锦鲤旺龙”为④，树形图如下：

共有12种等可能结果，其中同时抽到①③的结果有2次，所以恰好抽到书签“招财祥龙”和“龙凤呈祥”的概率为

21126=， 故选：D ．

9．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n （0n ≥）的点叫做这个函数图象的“n 阶方点”．例如，

点()13，与点122⎛⎫ ⎪⎝⎭，

都是函数=21+y x 图象的“3阶方点”．若y 关于x 的二次函数22()6y x n n =−+−的图象存在“n 阶方点”，则n 的取值范围是（ ） A ．615

n ≤≤ B ．

6

25

n ≤≤ C ．23n ≤≤ D ．13n ≤≤

【答案】D

【分析】本题主要考查了二函数与几何综合，由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线x n =上移动，当二次函数图象过点()n n −，-和点()n n ，时为临界情况，求出此时n 的值，进而可得n 的取值范围．

【详解】解：由题意得：二次函数22()6y x n n =−+−的图象上的顶点坐标为：()

26n n −， ∵y 关于x 的二次函数22

()6y x n n =−+−的图象存在“n 阶方点”，

∴二次函数22

()6y x n n =−+−的图象与以坐标为()()()(),,,,n n n n n n n n −−−−，

，的正方形有交点， 当二次函数22()6y x n n =−+−恰好经过()n n −，-时，则2

560n n +−=，

解得：1n =或

6

5n =−

（舍去）；

如当二次函数22()6y x n n =−+−恰好经过()n n ，时，则2

60n n −−=，

解得3n =或2n =−（舍去）；

∴当13n ≤≤时，二次函数22

()6y x n n =−+−的图象存在“n 阶方点”，

故选D ．

10．如图，BD 是矩形ABCD 对角线，30ADB ∠=︒，1AB =，以B 为圆心、AB 的长为半径作弧，交BC 于E ，交BD 于H ；再分别以A ，H 为圆心、大于

1

2

AH 的长为半径作弧，两弧在ABD ∠内交于点F ，作射线BF 交AD 于点G ，则下列说法错误的是（ ）

A ．ABG DBG ∠=∠

B ．BG GD =

C ．点G 到B

D D 6

π− 【答案】C

【分析】连接GH ，根据作图可得BF 是ABD ∠的角平分线，进而判断A 选项，根据GBD ADB ∠=∠得出

BG GD =，即可判断B 选项，设GH x =，则AG x =，2DG x =，解Rt △ABD 进而求得GH ，即可判断C 选

项，根据

ABD

ABH

S

S −扇形求得阴影部分面积，即可判断D 选项．

【详解】解：连接GH ，

∵BD 是矩形ABCD 对角线，30ADB ∠=︒， ∴60ABD ∠=︒，

根据作图可得BF 是ABD ∠的角平分线， ∴30ABG DBG ==︒∠∠，故A 选项正确； ∵30ADB ∠=︒， ∴GBD ADB ∠=∠，

∴BG GD =，故B 选项正确； ∵1AB =，30ADB ∠=︒， ∴2BD =，

又∵1BH AB ==，

∴BH HD =，

∴GH BD ⊥，

又∵GA AB ⊥，BF 是ABD ∠的角平分线，

∴GH AG =，

设GH x =，则AG x =，2DG x =，则3AD x =，

又∵1AB =，

∴tan 603AD AB x =︒⋅=，

解得：

x =，

∴GH =，即点G 到BD 的距离为，故C 选项错误，符合题意；

图中阴影部分面积为

21601π123606ABD ABH S S π−=

⨯⨯=扇形，故D 选项正确， 故选：C ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，矩形的性质，求扇形面积，作角平分线，以及角平分线的性质；熟练掌握基本作图是解题的关键．

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）

11．因式分解：2441m m ++= ．

【答案】()221m +/()2

12m +

【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用完全平方公式分解因式即可．

【详解】解： ()

2244121m m m ++=+， 故答案为：()221m +．

12．一个口袋中有6个黑球和若干个白球，从口袋中随机摸出一个球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程，如果共摸了200次，其中有60次摸到黑球，那么请你估计口袋中大约有 个白球．

【答案】14

【分析】本题考查了利用频率估计概率．设白球有x 个，然后根据概率的意义列出方程求解即可．

【详解】解：设白球有x 个，根据题意得，6606200x =+，

解得14x =，

即口袋中大约有14个白球．

故答案为：14．

13．关于x 的一元二次方程()222310x a x a +−+−=有两个实数根，则a 的最大整数解是 ．

【答案】1

【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到

()()2223410a a ∆=−−−≥，再解不等式，然后在a 的取值范围找出最大的整数即可．

【详解】解：根据题意得

()()2223410a a ∆=−−−≥， 解得1312a ≤， 所以a 的最大整数解为1．

故答案为：1．

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根． 14．如图所示，在ABC 中，4AB =，90A ∠=︒，以点A 为圆心，以AB 的长为半径作BC ，以BC 为直径作半圆BFC ，则阴影部分的面积为 ．

【答案】8

【分析】本题考查不规则图形面积，涉及勾股定理、扇形面积公式、圆的面积公式等知识，根据题意，利

用勾股定理求出BC =从而由直角三角形面积公式、扇形面积公式及圆面积公式求出相应图形面积，间接表示阴影部分的面积为

半圆ABC BAC D S S S +−扇形△，代值求解即可得到答案，熟练掌握不规则图形面积的求法

是解决问题关键．

【详解】解：如图所示：

在ABC 中，4AB AC ==，90A ∠=︒

，则BC =

1144822ABC S AB AC ∴=⋅=⨯⨯=△；22901ππ44π3604BAC S AC ==⨯⨯=扇形

；

2211ππ4π2222D BC S ⎛⎛⎫=== ⎪ ⎝⎭⎝⎭半圆； ∴阴影部分的面积为84π4π=8半圆D ABC BAC S S S +−=+−扇形△，

故答案为：8．

15．甲、乙两车往返A 城与B 港口之间运送货物．某一天，甲车从A 城出发向B 港口行进，同时乙车从B 港口向A 城行进，图中1s ，2s 分别表示甲、乙两车距A 城的距离s （千米）与所用时间t （时）的关系图像，则甲到达B 港口所用的时间为 小时．

【答案】20

3

【分析】设乙车距离A 城的距离与时间的函数关系式为y kx b =+，由图可知经过了()4,0和()2.5,150两个点，用待定系数法求出乙车的函数关系式，将0x =代入关系式求出A ，B 两城的距离，由图可以求出甲车的速度，用路程除以速度就可以求出时间．

【详解】解：观察图像可知，图中函数1s 为甲的图像，2s 为乙的图像，

设乙车距离A 城的距离与时间的函数关系式为y kx b =+，

由图可知经过了()4,0和()2.5,150两个点，

04150 2.5k b k b =+⎧∴⎨=+⎩，解得：100400k b =−⎧⎨=⎩，

∴乙车距离A 城的距离与时间的函数关系式为100400y x =−+，

当0x =时，400y =，

故A ，B 两城相距400千米， 由图可知甲车的速度150602.5=

=千米/小时，

则甲到达B 港口所用的时间40020603==小时， 故答案为：20

3．

【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求解析式，观察图像找到相关的信息，求出乙车的函数关系式是解答本题的关键．

16．如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，点E 在边BC 上，将ABE 沿直线AE 翻折180︒，得到AB E '，点B 的对应点是点B '．若AB BD '⊥，3BE =，则BB '的长是 ．

【答案】【分析】根据菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒可知ABD △是等边三角形，结合三线合一可得30BAB '∠=︒，求出75ABB '∠=︒，可得45EB B EBB ''∠=∠=︒，则BEB '是直角三角形，借助勾股定理求出BB '的长即可． 【详解】解：菱形ABCD ，

AB AD ∴=，AD BC ∥，

60BAD ∠=︒，

120ABC ∴∠=︒，

AB BD '⊥，

1302BAB BAD '∴∠=∠=︒，

将ABE 沿直线AE 翻折180︒，得到AB E '，

BE B E '∴=，AB AB '=，

1(18030)752ABB '∴∠=⨯︒−︒=︒，

1207545EBB ABE ABB ''∴∠=∠−∠=︒−︒=︒，

45EB B EBB ''∴∠=∠=︒，

90BEB '∴∠=︒，

在Rt BEB '中，由勾股定理得：

BB '==

故答案为：

【点睛】本题考查了翻折的性质、菱形的性质、等腰三角形的性质、以及勾股定理等知识，明确翻折前后对应线段相等是解题的关键．

三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17

．计算：()1

0113πtan 602−⎛⎫−−+︒−− ⎪⎝⎭． 【答案】2

【分析】先化简绝对值，计算零次幂、特殊角三角函数值、负整数指数幂，再进行加减运算．

【详解】解：()1

0113πtan 602−⎛⎫−−−+︒−− ⎪⎝⎭

)1

1112=−−+−

112=−

2=

【点睛】本题考查实数的混合运算，解题的关键是掌握零次幂、负整数指数幂的运算法则，牢记特殊角的三角函数值．

18．解不等式组：()3652221132x x x x ⎧+≥−⎪⎨−−−≤⎪⎩

，并写出最小整数解．

【答案】1388x ≤≤，不等式组的最小整数解为2．

【分析】本题主要考查了解不等式组，求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出不等式组的最小整数解即可．

【详解】解：()3652221132x x x x ⎧+≥−⎪⎨−−−≤⎪⎩①②

解不等式①得：8x ≤，

解不等式②得：138x ≥，

∴不等式组的解集为1388x ≤≤，

∴不等式组的最小整数解为2．

19．如图，已知O 为ABCD Y 对角线AC 的中点，过点O 的直线与AB 、CD 的延长线相交于点E 、F ．求证：BE DF =．

【答案】见详解

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出AB CD =，OAE OCF ∠=∠，再用ASA 证明AOE COF △≌△，即可证明AE CF =，再利用线段的和差和等量代换即可证明BE DF =．

【详解】证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，

∴AB CD ，AB CD =，

∴OAE OCF ∠=∠，

∵O 为AC 的中点，

∴AO CO =，

在AOE △和COF 中，

OAE OCF AO CO AOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()ASA AOE COF ≌，

∴AE CF =，

∴AE AB CF CD −=−，

即BE DF =．

20．如图1是一种手机支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板120mm AB =，支撑板110mm CD =，底座DE ，托板AB 固定在支撑板顶端C 处，且40mm CB =，托板AB 可绕点C 转动，支撑板CD 可绕点D 转动．

(1)若70DCB ∠=︒，60CDE ∠=︒，求点A 到直线DE 的距离．（精确到0.1mm ）

(2)为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB 绕点C 逆时针旋转20︒后，再将CD 绕点D 顺时针旋转，使点B 落在直线DE 上，求CD 旋转的角度大约是多少度？

参考数据：（sin 400.3︒≈，cos400.766︒≈，tan400.839︒≈，sin 200.342︒≈，cos200.940︒≈，tan200.3︒≈

，

1.732≈）

． 【答案】(1)点A 到直线DE 的距离是156.5mm

(2)40︒

【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键；

（1）过点C 作CF DE ⊥于点F ，过点A 作AG CF ⊥于点G ，由题意易

得CF =，则有40BCF ACG ∠=∠=︒，然后问题可求解；

（2）由题意易得90DCB ∠=︒，然后可得

40tan 0.3636110BC BDC CD ∠==≈，进而问题可求解

【详解】（1）解：过点C 作CF DE ⊥于点F ，过点A 作AG CF ⊥于点G ，

在Rt CDF △中，60CDE ∠=︒， ∴sin 60CF

CD =︒，

∴

110CF =，

∴CF =

∵CF DE ⊥，

∴90CFD ∠=︒，

∴90906030DCF CDE ∠=︒−∠=︒−︒=︒，

∴703040BCF DCB DCF ∠=∠−∠=︒−︒=︒，

∴40BCF ACG ∠=∠=︒，

在Rt ACG 中，404080ACG AC mm ∠=︒−=， ∴cos 40CG AC =︒，

0.76680CG =， ∴61.28CG =，

∴61.28156.5GF CG CF =+=+，

∵平行线间的距离处处相等，

∴点A 到直线DE 的距离是156.5mm ．

（2）解：旋转后如图所示，

702090DCB ∠=︒+︒=︒，

在Rt BCD 中，40tan 0.3636110BC BDC CD ∠==≈，

∴20BDC ∠=︒，

∴602040︒−︒=︒，

∴CD 旋转40°．

21．为增强学生体质，某校对学生进行体育综合素质测评，学校分别从七、八年级随机抽取了80名学生的测评成绩（百分制，单位：分），并对数据（测评成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a ．七年级80名学生测评成绩的频数分布直方图（数据分成6组：4050x ≤<，5060x ≤<，6070x ≤<， 7080,8090,90100x x x ≤<≤<≤≤）如图所示：

b ． 七、八年级 80名学生测评成绩的平均数、中位数和众数如表所示：

c ． 七年级 80名学生传统文化知识测试成绩在 7080x ≤<这一组的是71， 72， 72， 73， 74， 74，

75，76， 76， 77， 77， 77， 77， 78， 78， 79， 79， 79．

根据以上信息，回答下列问题．

(1)表中m 的值为 ，补全频数分布直方图．

(2)八年级菲菲同学的测试成绩是 77分． 他认为77高于本年级测试成绩的平均数，所以自己的成绩高于本年级一半学生的成绩． 你认为他的说法正确吗? 请说明理由．

(3)若该校七年级共有 1200名学生，测试的成绩60分及以上为合格，请你估算该校七年级学生测评成绩的合格人数．

【答案】(1)77，见解析

(2)不正确，见解析

(3)990人

（1）根据中位数的定义，结合已知数据，即可求解，根据第三组的频数补全频数直方图；

（2）根据中位数的意义，即可求解．

（3）根据样本估计总体，用七年级测试的成绩60分及以上的占比乘以1200，即可求解．

【详解】（1）解：七年级的中位数为第40和第41个数据的平均数，

∴77

m=；

第三组的频数为805918231114

−−−−−=（人），补全频数分布直方图如下

故答案为：77．

（2）解：菲菲的说法不正确，

理由：77 分虽然高于本年级测试成绩的平均数，但低于中位数，所以他的成绩低于本年级一半学生的成绩；

（3）解：14182311

1200990

80

+++

⨯=

（人），

答：估算该校七年级学生的总人数有990 人．

22．普陀山佛茶又称佛顶山云雾茶，具有提神解乏之功效和一定的药用价值．舟山某茶店用32000元购进A 等级茶叶若干盒，用6000元购进B等级茶叶若干盒，所购A等级茶叶比B等级茶叶多10盒，已知A等级茶叶的每盒进价是B等级茶叶每盒进价的4倍．

(1)A，B两种等级茶叶的每盒进价分别为多少元？

(2)当购进的所有茶叶全部售完后，茶店以相同的进价再次购进A，B两种等级茶叶共60盒，但购茶的总预算控制在36000元以内．若A等级茶叶的售价是每盒900元，B等级茶叶的售价为每盒250元，则A，B两种等级茶叶分别购进多少盒时可使获利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)A等级茶叶的每盒进价为800元，B等级茶叶的每盒进价为200元；

(2)再次购进A等级茶叶40盒，B等级茶叶20盒时，可使所获利润最大，最大利润是5000元．

【分析】此题考查了分式方程、一次函数、一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键．

（1）设B 等级茶叶的每盒进价为x 元，则A 等级茶叶的每盒进价为4x 元，根据所购A 等级茶叶比B 等级茶叶多10盒列分式方程，解方程并检验即可得到答案；

（2）设茶店再次购进m 盒A 等级茶叶，则购进()60m −盒B 等级茶叶，先求出m 的取值范围，设茶店再次购进的两种等级茶叶全部售出后获得的总利润为w 元，列出w 关于m 的一次函数，根据一次函数的性质解答即可．

【详解】（1）解：设B 等级茶叶的每盒进价为x 元，则A 等级茶叶的每盒进价为4x 元， 根据题意得：3200060004x x −=10，

解得：200x =，

经检验，200x =是所列方程的解，且符合题意，

∴44200800x =⨯=．

答：A 等级茶叶的每盒进价为800元，B 等级茶叶的每盒进价为200元；

（2）设茶店再次购进m 盒A 等级茶叶，则购进

()60m −盒B 等级茶叶， 根据题意得：()8002006036000m m +−≤，

解得：40m ≤，

w 元，则

()()()90080025020060w m m =−+−−，

即503000w m =+，

∵500>，

∴w 随m 的增大而增大，

∴当40m =时，w 取得最大值，最大值为504030005000⨯+=，此时60604020m −=−=．

答：再次购进A 等级茶叶40盒，B 等级茶叶20盒时，可使所获利润最大，最大利润是5000元． 23．已知：如图，在ABC 中，AC BC =，以BC 为直径的O 与边AB 相交于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ．

(1)求证：点D 是AB 的中点；

(2)求证：DE 是O 的切线；

(3)若O 的直径为18，1cos 3

B =，求DE 的长． 【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)

【分析】考查的是切线的判定和性质、圆周角定理以及锐角三角函数的定义：

（1）连接CD ，根据圆周角定理得到CD AB ⊥，根据等腰三角形的性质证明；

（2）连接OD ，根据三角形中位线定理得到DO AC ∥，根据平行线的性质、切线的判定定理证明；

（3）根据余弦的概念、勾股定理计算即可．

【详解】（1）证明：连接CD ，

∵BC 是O 的直径，

∴CD AB ⊥，

又∵AC BC =，

∴AD BD =，

∴点D 是AB 的中点；

（2）证明：连接OD ，

∵BD DA BO OC ==，

∴DO 是ABC 的中位线，

∴DO AC ∥，

又∵DE AC ⊥，

∴DE DO

⊥，

∵DO是O的半径，∵DE是O的切线；（3）

解：∵AC BC

=，

∴B A

∠=∠，

∴

1 cos cos

3

B A

∠=∠=

，

∵

1

cos

3

BD

B

BC

∠==

，18

BC=，

∴6 BD=，∴6 AD=，

∵

1 cos

3

AE

A

AD

∠==

，

∴2

AE=，

在Rt AED

△中，DE==

24．阅读与思考：下面是小亮同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．

第一步，实验测量．改变弹簧秤与中点

组数据）．

第三步，描点连线．以L 的数值为横坐标，对应F 的数值为纵坐标在平面直角坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点．

在数据分析时，我发现一个数据有错误，重新测量计算后，证明了我的猜想正确，任务：

(1)你认为表中第几组数据是错误的？请把这组数据改正过来： (2)在平面直角坐标系中，画出F 与L 的函数图象：

(3)这条曲线是反比例函数的一支吗？为什么？并直接写出F 关于L 的函数表达式； (4)点(50,4.9)在这条曲线上吗？说明理由． 【答案】(1)见详解； (2)将详解；

(3)这条曲线是反比例函数的一支，理由间详解，245

(0)F L L =

>；

(4)点(50,4.9)在这条曲线上，理由见详解；

【分析】本题考查反比例函数的应用：

（1）根据杠杆原理9.825F L ⋅=⨯逐个判断即可得到答案；

（2）描点划线即可得到答案；

（3）根据9.825F L ⋅=⨯得到解析式即可得到答案； （4）令50L =代入解析式求解比较即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得，

∵9.825245⨯=，549245⨯=，

1024.5245⨯=，1417.5245⨯=，2012.25245⨯=，259.8245⨯=，358245⨯≠，40 6.125245⨯=

∴第六组数据错误， 当35L =时，

245

735F =

=，

故修正后的数据为：

（2）解：由（1）描点，划线如下，

；

（3）解：这条曲线是反比例函数的一支，理由如下， 由题意可得， ∵245FL =（0L >），

∴这条曲线是反比例函数的一支， ∴

245

(0)F L L =

>；

（4）解：点(50,4.9)在这条曲线上，理由如下， 当50L =时，

245

4.950F =

=，

∴点(50,4.9)在这条曲线上． 25．如图1，抛物线L

：)2

2y x m =

−+与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，已知1OA =．

(1)求m 的值；

(2)点D 是直线BC 下方抛物线L 上一动点，当BCD △的面积最大时，求点D 的坐标；

(3)如图2，在（2）条件下，将抛物线L 向右平移1个单位长度后得到抛物线M ，设抛物线M 与抛物线L 的交点为E ，AF BC ⊥，垂足为F ．证明DEF 是直角三角形．

【答案】

(1)

(2)3,2D ⎛ ⎝⎭ (3)见解析

【分析】（1）由题意可知

()

1,0A ，将点A 的坐标代入抛物线L 即可得出m 的值；

（2）设点D 的坐标，表达BCD △的面积，并根据二次根式的性质可得出结论；

（3）由题可知AC AB =，则点F 是BC 的中点，可求出BF 的长，取OB 的中点H ，则FH 是BOC 的中位线，则FH x ⊥轴，由平移可得出抛物线M 的解析式，联立可得点E 的坐标，求出点E 的坐标，即可得出DE x ∥轴，进而可得结论． 【详解】（1）解：1OA =，

()

1,0A ∴，

()

1,0A 在抛物线L

：

)2

2y x m =

−+，

)2

012m

∴=

−+

，解得：

m =，

故答案为：

；

（2

）令

)2

20

x −=，

解得：1x =或3x =，

()

3,0B ∴，

令0x =

，则y =

(

C ∴，

:BC l y ∴=

过点D 作y 轴的平行线BC 于点G ，

设

)2

2D x x ⎛− ⎝⎭

，则,G x x ⎛+ ⎝，

)2

22DG x ∴=−=⎣⎦，

2

21133222BCD

S

OB DG x x ⎛⎫⎫∴=⋅⋅=⨯⨯+=−+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，

∴当

3

2x =

时，BCD △的面积最大，

2

322D y ⎫

∴=−=⎪⎝⎭，

3,2D ⎛∴ ⎝⎭；

（3）证明：如图，连接AC ，

()()

1,03,0(0A B C ，，

2AC AB BC ∴===，

AF BC ⊥Q ，

F ∴是BC 的中点，

:

1

2BF BC ∴=

=，

在Rt BOC 中，

1

2OC BC =

，

30OBC ∴∠=︒，

过点F 作FH OB ⊥于点H ，

3

2BH ∴=

=，

∴点302H ⎛⎫ ⎪

⎝⎭，是OB 的中点，

FH ∴是BOC 的中位线，

32F H P x x x ∴===

，

DF x ∴⊥轴，

将抛物线L 向右平移1个单位长度后得到抛物线M ，

则：)2:3M y x −，

令))2232x x −=−，解得：52x =，

5,2E ⎛∴ ⎝⎭，

E D y y ∴==，

DE x ∴∥轴，

DE DF ∴⊥，即EDF 是直角三角形．

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，勾股定理等，中位线性质定理，含30︒角直角三角形特征，熟练掌握相关知识是解题关键．

26．通过以前的学习，我们知道：“如图1，在正方形ABCD 中，CE DF ⊥，则CE DF =”．

某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究：

(1)【问题探究】如图2，在正方形ABCD 中，点E F G H ，，分别在线段AB BC CD DA ，，上，且EG FH ⊥，试猜想EG FH

=_________； (2)【知识迁移】如图3，在矩形ABCD 中，AB m BC n ==，点E F G H ，，分别在线段AB BC CD DA ，，上，且EG FH ⊥，试猜想EG FH

的值，并证明你的猜想； (3)【拓展应用】如图4，在四边形ABCD 中，9060DAB ABC AB BC ∠=︒∠=︒=，，点E F ，分别在线段AB AD ，上，且CE BF ⊥，求

CE BF

的值． 【答案】(1)1，详见解析 (2)n

m ，详见解析

(3)，详见解析

【分析】（1）过点A 作AM HF ∥交BC 于点M ，作AN EG ∥交CD 的延长线于点N ，在正方形ABCD 中，90AB AD ABM BAD ADN =∠=∠=∠=︒，证明ABM ADN △≌△，根据全等三角形的性质即可得解；

（2）过点A 作AM HF 交BC 于点M ，作AN EG 交CD 的延长线于点N ，利用在长方形ABCD 中，90BC AD ABM BAD ADN =∠=∠=∠=︒，证明ABM ADN △≌△，再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可；

（3）如图3中，过点C 作C M A B ⊥于点M ．设CE 交BF 于点O ，证明CME BAF ∽，推出

B CE BF CM A =，可得结论．

【详解】（1）1EG FH =，理由如下：

如图1，过点A 作AM HF ∥交BC 于点M ，作AN EG ∥交CD 的延长线于点N ，

∵四边形ABCD 是正方形，

∴90AB CD AD BC AB AD ABM BAD ADN =∠=∠=∠=︒，，

∴AM HF AN EG ==，

∵EG FH ⊥，

∴90NAM ∠=︒，

∴BAM DAN ∠=∠，

在ABM 和ADN △中，

BAM DAN AB AD ABM ADN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()ASA ABM ADN ≌，

∴AM AN =，即EG FH =， ∴1EG FH =．

故答案为：1；

（2）如图2，过点A 作AM HF 交BC 于点M ，作AN EG 交CD 的延长线于点N ，

∴AM HF AN EG ==，

在长方形ABCD 中，90BC AD ABM BAD ADN =∠=∠=∠=︒，

∵EG FH ⊥，

∴90NAM ∠=︒，

∴BAM DAN ∠=∠，

∴ABM ADN ∽， ∴

AM AB AN AD =， ∵,AB m BC AD n ===， ∴

EG n FH m =； （3）如图3，过点C 作C M A B ⊥于点M ，设CE 交BF 于点O ，

∵C M A B ⊥，

∴90C

M E ∠=︒， ∴90ECM CEM ∠+∠=︒，

∵CE BF ⊥，

∴90BOE ∠=︒，

∴90CEM ABF ∠+∠=︒，

∴ECM ABF ∠=∠，

又90FAB EMC ∠=∠=︒，

∴CME BAF ∽， ∴B CE BF

CM A =， ∵60AB BC ABC =∠=︒，

∴sin60CE CM BF BC

==︒=． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题．