湖南省名校联考联合体2025届高三上学期入学摸底考试数学试题+答案

数学

时量：120分钟 满分：150分

得分：__________

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，

1.已知向量()()1,3,3,a b x = ，若a b

⊥ ，则x 等于（ ）A.9

B.3

C.-1

D.-3

2.已知集合{}{13},0,A x

x B a =−<<=∣，若A B ∩中有且仅有一个元素，则实数a 的取值范围为

（

）

A.()1,3−

B.][(),13,∞∞−−∪+

C.()3,1−

D.][()

,31,∞∞−−∪+

3.已知复数()122i,i z z a a =

−=+∈R ，若复数12z z ⋅为纯虚数，则实数a 的值为（ ）

A.12

−

B.

1

2

C.-2

D.24.已知()23

cos cos ,cos 55

αβαβ=−=，则()cos αβ+=（ ）

A.

15 B.13 C.45 D.23

5.已知双曲线22

2:1(0)16

x y C a a −=>，若双曲线的一条渐近线方程为430x y +=

，则双曲线C 的离心率为（）

A.

54

B.

53

C.

43

6.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若π,cos cos 3

C b b A a B =+=，则B 的大小为（ ）

A.

π6

B.

π3

C.

π9

D.

2π9

7.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()23e x

f x f x =−+，则曲线()y f x =在点()()

0,0f 处的切线方程为

A.33y x =

+ B.33y x =

−C.3

y x =+ D.3

y x =−

8.如图，已知正方体1111ABCD A B C D −，圆锥1A O 在正方体1111ABCD A B C D −内，且1A C

垂直圆锥1A O 的底面，当该圆锥底面积最大时，圆锥体积为（ ）

π B.π 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知数据12310,,,,x x x x ，满足：()12210i i x x i −−=

，若去掉1x ，10x 后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法正确的是（ ） A.中位数不变

B.若11x =，则数据12310,,,,x x x x 的第75百分位数为13

C.平均数不变

D.方差变小

10.已知定义在区间[]0,π上的函数()cos f x ax x =+，其中a ∈R ，若函数()f x 恰有两个极值点，设其

极大值､极小值分别记为12,m m .则下列结论正确的是（ ） A.函数()f x ′的图象关于直线π

2

x =对称 B.实数a 的取值范围为()0,1

C.12πm m a +=

D.12πm m a a +=

+ 11.已知12,F F 是椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的两个焦点，点P 在椭圆C 上，若1212,PF PF F PF ⊥ 的

面积等于4.则下列结论正确的是（ ）

A.若点P 是椭圆的短轴顶点，则椭圆C 的标准方程为22

184

x y +=

B.若P 是动点，则b 的值恒为2

C.若P 是动点，则椭圆的离心率的取值范围是1,12

D.若P 是动点，则12PF PF +的取值范围是)

∞ +

三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.将函数

()πsin 23f x x

=−

的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则π4g

的值为__________.

13.已知奇函数()y f x =在其定义域()1,1−上是减函数，且()(

)2

110f a f a −+−<，则a 的取值范围为

__________.

14.某超市为了保证顾客能购买到新鲜的牛奶又不用过多存货，统计了30天销售水牛奶的情况，获得如下数据： 日销售量/件 10 20 30 40 天数

3

6

15

6

该超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况.该超市对鲜牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于30件，则通知配送中心立即补货至40件，否则不补货.假设某天开始营业时货架上有40件水牛奶，则第二天营业结束后货架上有20件存货的概率为__________.（以样本估计总体，将频率视为概率）

四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

近年来，我国新能源汽车进入快车道，自2015年以来，产销量已经连续八年增长，位居全球前列.近期出台了新能源汽车系列，促进了新能源汽车产业的发展.某市一家知名品牌的新能源汽车企业近 5个月的产值数据统计如下表： 月份 6月 7月 8月 9月 10月 月份代x 1 2 3 4 5 产值y （百亿元）

16

20

27

30

37

（1）求出y 关于x 的经验回归方程，并预测明年3月份该企业的产值；

（2）该企业依据市场调研，为满足消费者的购买需求，设计并生产了,,A B C 三种类型新能源汽车，这三种类型的销量比依次为30%,50%,20%，销售价格依次为15万，25万，40万.若该新能源汽车的某4S 店每天销售2台，设销售额为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望.

参考公式：1

2

2

1

ˆˆˆ,n

i i

i n

i

i x y nxy

b

a

y bx x

nx ==−==−−∑∑； 参考数据：

5

5

211

442,55,26i i

i i i x y x y ==

==∑∑.

16.（本小题满分15分）

已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()0,2D x 在抛物线C 上，且2DF =. （1）求抛物线C 的标准方程；

（2）抛物线的准线与x 轴交于点K ，过K 的直线l 交抛物线C 于,M N 两点，且

(]()1,2KM KN λλ=∈

，点G 为线段MN 的垂直平分线与x 轴的交点，求点G 的横坐标G x 的取值范围.

17.（本小题满分15分）

如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，D 是侧棱1CC

的中点，1

120,ACB AA ∠==

.

（1）证明：平面11AB C ⊥平面1A BD ； （2）求锐二面角11B A D B −−的余弦值. 18.（本小题满分17分）

已知函数()()2

1

2

1

1ln ,e

(0)2

2

x f x x x g x x ax a −=−=−

−>. （1）求()f x 的单调区间；

（2）设函数()()()F x f x g x =+.证明：

（i ）函数()F x 有唯一极值点；

（ii ）若函数()F x 有唯一零点0x ，则012x <<. 19.（本小题满分17分）

给定整数()2n n ，数列2112321:,,,,n n A x x x x ++ ，且(1,2,3,k x k = ，21)n +为整数.在21n A +

中去掉一

项()1,2,3,,21k x k n =+ ，并将剩下的数分成项数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为

()1,2,,21k m k n =+ .将1221,,,n m m m + 中的最小值称为数列21n A +的特征值. （1）已知数列5:1,2,3,3,3A ，写出123,,m m m 的值及5A 的特征值；

（2）若1221n x x x + ，当()()110i n j n −+−+ ，其中{},1,2,,21i j n ∈+ ，且i j ≠时，证明：i j i j m m x x −=−；

（3）已知数列21n A +的特征值为1n −，求

211

i j n i j j i x x <+>−∑

的最小值.

名校联考联合体2025届新高三年级入学模底考试

数学参

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案

C

B

A

A

B

D

C

C

ACD

ABC

ABD

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.C 【解析】因为a b ⊥ ，所以1330x ×+×=，得1x =−.故选C.

2.B 【解析】因为{}{13},0,A x

x B a =−<<=∣，要使得A B ∩中有且仅有一个元素，则1a − 或

3a ，即实数a 的取值范围为][(),13,∞∞−−∪+.故选B.

3.A 【解析】由已知，复数()()()()122i i 212i z z a a a ⋅=−+=++−为纯虚数，所以210,20,a a +=

−≠ 得

1

2

a =−，故选A.

4.A 【解析】因为2cos cos 5αβ=

，又()23

cos cos cos sin sin sin sin 55

αβαβαβαβ−=+=+=，则

1

sin sin 5

αβ=.所以()1cos cos cos sin sin 5αβαβαβ+=−=，故选A.

5.B 【解析】依题意可知双曲线4y x a =−，从而44

3

a =，即3a =，所以

5c ==，所以C 的离心率5

e

3

c a ==.故选B. 6.D 【解析】因为cos cos b b A a B +=，由正弦定理可得sin sin cos sin cos B B A A B +=

， 所以()sin sin B A B =

−，又()()0,π,0,πA B ∈∈， 所以ππA B −<−<，所以A B B −=，或πA B B −=−， 所以2A B =，或πA =（舍），从而πππ33C A B B =−−=−=，所以2π

9

B =

.故选D. 7.C 【解析】因为()()23e x

f x f x =−+，所以()

()23e x f x f x −−=+，联立可解得

()e 2e x x f x −=+，所以()0f =3，所以()()e 2e ,01x x f x f −=′−+=′.所以曲线()y f x =在点

()()0,0f 处的切线方程为3y x −=

，故所求的切线方程为3y x =+.故选C.

8.C 【解析】如图所示，取111111,,,,,AB AD DD D C C B B B 的中点，记为,,,,M N E F P ，G ，易知六边形MNEFPG 为正六边形，此时1A C 的中点O 在正六边形的中心，当圆锥底面内切于正六边形MNEFPG

时该圆锥的底面积最大.设此时圆锥底面圆半径为r ，因为11B D =

=

111

2

FP

B D ==32

r

FP

，圆锥底面积为2

9ππ4S r ==，圆锥顶点为1A 处，圆锥体积

1119π

334V S A O =⋅=×.故选C.

二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.ACD 【解析】对于选项A ：原来的中位数与现在的中位数均为5611218

922

x x x x ++==+，故中位数

不变，故A 正确；

对于选项B ：当11x =时，数据按从小到大顺序排列：1,3,5,7,9,11,13,15,17,19.因为1075%7.5×=，所以该组数据的第75百分位数是第8个数15，故B 错误；

对于选项C ：由于()12210i i x x i −−=

，故2131911012,4,,16,18x x x x x x x x =+=+=+=+ ，原来的平均数为

1210111090

91010

x x x x x ++++==+ ，去掉110,x x 后的平均数为

23911872

988

x x x x x ++++==+ ，平均数不变，故C 正确；

对于选项D ：原来的方差为()()()

222

11211019993310

x x x x x x −−+−−++−−= ，去掉110,x x 后的方差

为

()()

()

22

2

213191999218

x x x x x x −−+−−++−−= ，方差变小，故D 正确.故选ACD.

10.ABC 【解析】因为()cos f x ax x =+，其中0πx ，则()sin f x a x =−′，所以函数()f x ′的图象

关于直线π

2

x =

对称，所以选项A 正确； 因为函数()f x ′在π0,

2

上单调递减，在π,π2

上单调递增，函数()f x 在[]0,π上有两个极值点，且

()()π0π,12f f a f a ′

===− ′′，所以0,10,a a > −<

解得01a <<，所以选项B 正确；

因为存在12ππ0,

,,π22x x

∈∈

，使得()()120f

x f x ′==′，当10x x <<或2πx x <<时，()0f x ′>；当12x x x <<时，()0f x ′<.所以函数()f x 的单调递增区间为()()120,,,πx x ，单调递减区

间为()12,x x ，所以函数()f x 的极大值点为1x ，极小值点为2x ，又因为函数()f x ′的图象关于直线

π

2

x =

对称，则12πx x +=

，所以()()12121122cos cos m m f x f x ax x ax x +=+=+++()()121111cos cos ππcos cos πa x x x x a x x a =+++−=+−=.所以选项C 正确，D 错误.故选ABC.

11.ABD 【解析】若点P

是棈圆的短轴顶点，则,b c a

==，又1221

242

PF F S b c b =

⋅== ，所以2

8a =，所以棈圆C 的标准方程为22

184

x y +

=，故选项A 正确； 设(),P x y ，由题意可知，121242PF F S c y c y =⋅⋅=

⋅= ①，因为12PF PF ⊥，所以1y y x c x c

⋅=−−+，即2

2

2

x y c +=②，又22221x y a b

+=③，由②③及222

b c a +=得422b y c =，又由①知2216y c =，所以2b =.

故选项B 正确；由②③得()

22

222

a x c

b c

=−，所以22c b ，从而2222

28a b c b =+=

，故a

所以e c a =

，故选项C 错误；

所以122PF PF a += ，即12PF PF +

的取值范围为)

∞ + .故选项D 正确.故选ABD.

三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.1 【解析】由已知得()ππsin 2sin263g x x x

=+

−=

，所以ππsin 2144g

=×=

. 13.()0,1 【解析】因为()y f x =是奇函数，所以()(

)2

110f a f a

−+−<等价于

()()

211f a f a −<−，

又函数()y f x =在定义域()1,1−上是减函数，所以2

2111,

111,0111,a a a a a −<−< −<−<⇒<< −>−

.

14.

19

100

【解析】由题设第一天营业结束后不补货的情况为事件:{A 销售10件}，补货的情况为事件:{B 销售20件，30件，40件}，所以()()19

,1010

P A P B ==，

令事件{C =第二天营业结束后货架上有20件存货}，则

()()11

,105

P C A P C B ==∣∣，所以()()()()()19100

P C P A P C A P B P C B =+=∣∣. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15.【解析】（1）12345

3,26.5

x

y ++++===. 所以4425326ˆˆˆ5.2,26 5.2310.45559

b

a y bx −××===−=−×=−×， 所以y 关于x 的经验回归方程为

ˆ 5.210.4y x =+， 当10x =时，ˆ 5.21010.462.4y

=×+=， 故明年3月份该企业的产值约为62.4百亿元.

（2）由题设随机变量X 的可能取值为30,40,50,55,65,80，

()()300.30.30.09,4020.30.50.30P X P X ==×===××=， ()()500.50.50.25,5520.30.20.12P X P X ==×===××=， ()()6520.50.20.20,800.20.20.04P X P X ==××===×=.

随机变量X 的分布列如下表：

X 30 40 50 55 65 80 P

0.09

0.30

0.25

0.12

0.20

0.04

()300.09400.3500.25550.12650.2800.0450E X =×+×+×+×+×+×=（万元）.

16.【解析】（1）因为()0,2D x 在拋物线2:2(0)C y px p =>上，所以042px =，得02

x p

=

. 因为2DF =，所以022

p

x +

=，所以222p p +=

，解得2p =， 所以抛物线C 的标准方程为24y x =.

（2）设()()11221

2,,,,,M x y N x y KM KN y y λλ=∴= ， 设直线:1l x my =−，代入到24y x =中得2440y my −+=，

()2121212124,4,242y y m y y x x m y y m ∴+==∴+=+−=−，

由上式可得2

2

(1)1

42m λλλλ

+=

=+

+，

由12λ< 可得1

2y λλ=+

+递增，即有2944,2m ∈ ，即291,8m

∈

， 又MN 中点(

)

2

21,2m m −，

∴直线MN 的垂直平分线的方程为()

2221y m m x m −=−−+， 令0y =，可得2

13213,4G

x m

=+∈

.

17.【解析】（1）设11AB A B M ∩=，因为1120,ACB AA ∠==

，

所以12cos30AB AC AA ==

，所以四边形11ABB A 为正方形，所以11AB A B ⊥，

且1AM B M =，又D 是侧棱1CC 的中点，连接,DM AD ，

因为1B D AD 111,AC

CB C B CD C D ===，则1AD B D =， 因为M 为1AB 的中点，所以1DM AB ⊥，

由1,DM A B ⊂平面1A BD ，且1DM A B M ∩=

，可得1AB ⊥平面1A BD ， 又因为1AB ⊂平面11AB C ，所以平面11AB C ⊥平面1A BD .

（2）由直棱柱的性质与已知，得：11,CC CA CC CB ⊥⊥，以C 为原点，以垂直平面1ACC 的直线，1,CA CC 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设2AC BC ==，可得：1AA =D 是1CC 中点，

则()((11

0,2,0,,0,2,,1,A D A B −.

可得

(

1113,,0,,AB DA DB −−

， 设平面11A B D 的法向量为(),,n x y z =

，则1120,0,n DA y n DB y ⋅=

+= ⋅=

−+

令y =，则3,2x =

−=z

，可得(

)

3,2n =−

， 由（1）可知：平面1A BD

的一个法向量为1

3,m AB ==−

，

可得

cos ,m n m n

m n ⋅==

，

所以锐二面角11B A D B −−. 18.【解析】（1）由函数()21ln 2f x x x =−可得：0x >，且()()()21111x x x f x x x x x

+−−=−==′， 当01x <<时，()0f x ′<，函数()f x 单调递减；当1x >时，()0f x ′>，函数()f x 单调递增， 所以函数()f x 减区间是()0,1，增区间是()1,∞+. （2）（i ）因为()1

0,e

ln x a F x x ax −>=−−的定义域为()0,∞+，所以()11

e x F x a x

−=−−′，

所以()F x ′在()0,∞+上单调递增.

设()e 1x

h x x =−−，则()e 1h x ′=−，当0x >时，()0h x ′>，所以()h x 单调递增，

当0x <时，()0h x ′<，所以()h x 单调递减，所以()()00h x h = ， 所以e 10x x −− ，即e 1x x + ， 所以()111

1e 110111a

F a a a a a a a

+=−

−>+′−−=−>+++，又()10F a ′=

−<， 所以存在唯一的()01,1t a ∈+，使得()00F t ′=，即01

1

e 0t a t −−

−=

， 当()00,x t ∈时，()()00,F t F x <′单调递减；当()0,x t ∞∈+时，()()00,F t F x >′单调递增， 所以函数()F x 有唯一极值点.

（ii ）由（i ）得()min 0()F x F t =，因为函数()F x 有唯一零点0x ，所以()00F t =，所以00x t =，

即0

1

1

e x a x −=

+，所以()00001ln 0F x a x ax x +−−，

设()0000

1

ln x a x ax x ϕ+−−，所以()0200110x a x x ϕ=

−−−<′，所以()0x ϕ在()1,∞+单调递减， 因为()()1

110,2ln202

a ϕϕ=>=

−−<，所以012x <<. 19.【解析】（1）由题知：()()()()12333231,33312,3m m m =+−+==+−+==，

5A 的特征值为1.

（2）由于()()110i n j n −+−+ ，

①当{},1,2,,1i j n ∈+ 时，根据定义可知()()212211i n n n n n i m x x x x x x x +++=+++−+++−

()()212211n n n n n i x x x x x x x +++=

+++−++++ ，

同理可得：()()212211j

n n n n n j m x x x x x x x +++=+++−++++ .

所以i j i j m m x x −=−，所以i j i j m m x x −=−； ②当{},1,2,,21i j n n n ∈+++ 时，同理可得：

()()212111i n n n i n n m x x x x x x x ++−=+++−−+++

()()212111n n n n n i x x x x x x x ++−=

+++−+++− ，

()()212111j

n n n n j m x x x x x x x ++−=+++−+++− ，

所以i j j i m m x x −=−，所以i j i j m m x x −=−. 综上有：i j i j m m x x −=−. （3）不妨设1221n x x x + ，

212122111

2(22)2022i j n i j n n n n n j i x x nx n x x x x nx <++++>−=

+−+++⋅−−−∑

()()()()2112222222n n n n n x x n x x x x ++−+−−++−

显然，211222n n n n x x x x x x ++−−− ，

()()()212211121221n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x m ++−+++++−+++++−+++= ，

当且仅当121n n x x ++=时取等号；

()()()2122112212311n n n n n n n n x x x x x x x x x x x m ++−++++++−+++++−+++= ，

当且仅当11n x x +=时取等号； 由（2）可知121,n m m +的较小值为1n −， 所以()2122111n n n n n x x x x x x n ++−+++−+++− ，

当且仅当11

21n n x x x ++==时取等号， 此时数列21n A +为常数列，其特征值为0，不符合题意， 则必有()212211n n n n n x x x x x x n ++−+++−+++ . 当0,2p q k n 时，

因为()()()()()()()2211110n k p kq n p q n k p n k q n k p q +−+−++=+−−+−=+−− .

所以()()()221n k p kq n p q +−+++ . 因此

()()()2121122212(22)2i j n i j n n n n j i x x n x x n x x x x <≤+++>−=−+−−++−∑

()()()21221111n n n n n n x x x x x x n n ++−++++−−−−+ .

当0,1,1,121k k n x n k n = ++

时，211i j n i j j i x x <+>−∑ 可取到最小值()1n n +，符合题意. 所以

21

1i j n i j j i x x <+>−∑ .最小值为()1n n +.