2017年高考全国2卷理科数学真题及详解(word解析版)

理 科 数 学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 

A.             B.             C.             D. 

2.设集合，．若，则

A.                B.                C.                D. 

3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯

 A.1盏              B.3盏               C.5盏              D.9盏          

4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为

A.              B.              C.              D. 

5.设满足约束条件  则的最小值是

A.              B.               C.                 D. 

6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有

A.12种             B.18种              C.24种              D.36种 

7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则

A.乙可以知道四人的成绩                 B.丁可以知道四人的成绩                 

C.乙、丁可以知道对方的成绩             D.乙、丁可以知道自己的成绩

8.执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的

A.2                        

B.3                        

C.4                         

D.5

9．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为

A.                    B.                    C.                    D. 

10.已知直三棱柱中，, , , 则异面直线与所成角的余弦值为

A.                  B.                   C.                   D. 

11.若是函数的极值点，则的极小值为

A.                   B.                 C.                    D. 

12.已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是

A.                  B.                    C.                    D. 

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到二等品件数，则                    .

14.函数的最大值是                    .

15.等差数列的前项和为，，，则                    .

16.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则                    .

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（12分）

的内角的对边分别为，已知.

(1)求；

(2)若，的面积为，求.

18.（12分）

海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：

(1)设两种养殖方法的箱产量相互，记表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计的概率；

(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；

附：

19.（12分）

如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于地面，，,是的中点.

(1)证明：直线；

(2)点在棱上，且直线与底面所成角为，          求二面角的余弦值.

20.（12分）

设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.

(1)求点的轨迹方程；

(2)设点在直线上，且. 证明：过点且垂直于的直线过的左焦点.

21.（12分）

已知函数，且.

(1)求；

(2)证明：存在唯一的极大值点，且.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.

22.[选修：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

(1)为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；

(2)设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值. 

23.[选修：不等式选讲]（10分）

已知.证明：

(1)；

(2).

2017年普通高等学校招生全国统一考试

理 科 数 学 参 考 答 案

1.解：===2﹣i，故选 D．

2.解：由得，即是方程的根，所以，，故选C．

3. 解：设这个塔顶层有a盏灯，

∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，

∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，

又总共有灯381盏，∴381= =127a，解得a=3，

则这个塔顶层有3盏灯，故选B．

4.解：由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积，故该组合体的体积．故选B．

5.解：x、y满足约束条件的可行域如图：

z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值，

由解得A（﹣6，﹣3），

则z=2x+y 的最小值是：﹣15．故选：A．

6.解：由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有种． 故选D．

7.解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，

甲不知自己的成绩

→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）

→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩

→丁看到甲、丁中也为一优一良，丁知自己的成绩，

故选：D．

8.解：执行程序框图，有S=0，k=1，a=﹣1，代入循环，

第一次满足循环，S=﹣1，a=1，k=2；

满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，k=3；

满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，k=4；

满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，k=5；

满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，k=6；

满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，k=7；

7≤6不成立，退出循环输出，S=3；  故选：B．

9.解：由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，

即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．

10. 解：如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，

则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，]），

可知MN=AB1=，NP=BC1=；

作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ=AC，

△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣）=7，

∴AC=，  ∴MQ=；  在△MQP中，MP==；

在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===﹣；

又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．故选C

11. 解：由题可得，

因为，所以，，故，

令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为，故选A．

12. 解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），

设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），

则•（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]

∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣）=﹣， 故选：B

13.解：由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即，由二项分布的期望公式可得．故答案为：1.96

14. 解： f（x）=sin2x+cosx﹣=1﹣cos2x+cosx﹣，

令cosx=t且t∈[0，1]，

则f（t）=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+1，

当t=时，f（t）max=1，即f（x）的最大值为1，故答案为：1

15. 解：等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，

可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，

Sn=，=，

则 =2[1﹣++…+]=2（1﹣）=．故答案为：．

16. 解：如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．故答案为：6

17.（1）由得，即，

            ，得，则有.

          （2）由（1）可知，则，得，

            又，则.

18.（1）旧养殖法箱产量低于50kg的频率为，

         新养殖法箱产量不低于50kg的频率为，

而两种箱产量相互，则.

（2）由频率分布直方图可得列联表

则，

所以有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.

（3）新养殖法箱产量低于50kg的面积为，

   产量低于55kg的面积为，

    所以新养殖法箱产量的中位数估计值为（kg）.

19.（1）取中点，连结.因为为中点，则.而由题可知，则，即四边形为平行四边形，所以.又，

故.

（2）因为，则以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.

   取，设则得，，则，，可得点，所以.

取底面的法向量为，则，解得,则.因为,设面的法向量为，由得，取得，

则.故二面角的余弦值为.

20.（1）设，则，将点代入中得，

所以点的轨迹方程为.

（2）由题可知，设，则，

   .由得，由（1）有，则有，所以，即过点   

且垂直于的直线过的左焦点.

21.（1）的定义域为，则等价于.

        设，则.由题可知，则由解得，所以为上的增函数，为上的减函数.则有

        ，解得.

（2）由（1）可知，则. 

设，则.由解得，所以为上的增函数，为上的减函数.又因为，则在上存在唯一零点使得，即,且为，上的增函数，为上的减函数，则极大值为.

 而，所以.

综上，. 

22.（1）设极坐标为，极坐标为.则，

        .由得的极坐标方程为.所以的直角坐标方程为.

（2）设极标为，由题可知，则有

  .

  即当时，面积的最大值为.

23.（1）

（2）因为

                      ，

所以，解得.