2024年内蒙古自治区赤峰市中考数学试题

温馨提示：

1．本试卷卷面分值150分，共8页，考试时间120分钟．

2．答题前，考生务必将姓名、座位号、考生号填写在答题卡的相应位置上，并仔细阅读答题卡上的“注意事项”．

3．答题时，请将答案填涂在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共42分）

1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形是（　　）

A. B. C. D.

2. 央视新闻2024年5月31日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超52000000000度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能．将数据52000000000用科学记数法表示为（　　）A 9

5.210⨯ B. 110.5210⨯ C. 95210⨯ D. 10

5.210⨯3. 将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则1∠的大小为（ ）

A. 100︒

B. 105︒

C. 115︒

D. 120︒

4. 下列计算正确的是（　　）A. 2

3

5

a a a

+= B. 222

()a b a b

+=+ C. 632

a a a

÷= D. ()

2

36

a

a =5. 在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误的是（　　）

A. 为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50

B. 了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查

C. 了解商场平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性

D. 甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差2

2.5S =甲，2

2.3S =乙，则发挥稳定的是甲

的

.

的

6. 解不等式组()322211x x x x -<⎧⎪⎨+≥-⎪⎩

①

②时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A. B. C.

D.

7. 如图，是正n 边形纸片的一部分，其中l m ，是正n 边形两条边的一部分，若l m ，所在的直线相交形成的锐角为60︒，则n 的值是（　　）

A. 5

B. 6

C. 8

D. 10

8. 某市为了解初中学生的视力情况，随机抽取200名初中学生进行调查，整理样本数据如下表．根据抽样调查结果，估计该市16000名初中学生中，视力不低于4.8的人数是（　　）视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上人数

39

41

33

40

47

A. 120

B. 200

C. 6960

D. 9600

9. 等腰三角形的两边长分别是方程210210x x -+=的两个根，则这个三角形的周长为（　　）A. 17或13

B. 13或21

C. 17

D. 13

10. 如图，AD 是O 的直径，AB 是O 的弦，半径OC AB ⊥，连接CD ，交OB 于点E ，

42BOC ∠=︒，则OED ∠的度数是（　　）

A. 61︒

B. 63︒

C. 65︒

D. 67︒

11. 用1块A 型钢板可制成3块C 型钢板和4块D 型钢板；用1块B

型钢板可制成

5

块

C 型钢板和

2块D 型钢板．现在需要58块C 型钢板、40块D 型钢板，问恰好用A 型钢板、B 型钢板各多少块？如果设用A 型钢板x 块，用B 型钢板y 块，则可列方程组为（　　）

A. 32404558x y x y +=⎧⎨

+=⎩ B. 35404258x y x y +=⎧⎨

+=⎩ C. 35584240x y x y +=⎧⎨

+=⎩ D. 34585240

x y x y +=⎧⎨

+=⎩12. 如图，ABC 中，1AB BC ==，72C ∠=︒．将ABC 绕点A 顺时针旋转得到AB C ''△，点B'与点B 是对应点，点C '与点C 是对应点．若点C '恰好落在BC 边上，下列结论：①点B 在旋转过程中经过的路

径长是1

5π；②B B A C '∥；③BD C D '=；④AB B B AC BD

'=．其中正确的结论是（　　）

A. ①②③④

B. ①②③

C. ①③④

D. ②④

13. 如图，数轴上点A ，M ，B 分别表示数a a b b +，，若AM BM >，则下列运算结果一定是正数的是（ ）

A a b

+ B. a b - C. ab D. a b

-14. 如图，正方形ABCD 的顶点A ，C 在抛物线24y x =-+上，点D 在y 轴上．若A C ，两点的横坐标分别为m n ，（0m n >>）A. 1m n += B. 1m n -= C. 1

mn = D.

1m

n

=二、填空题（请把答案填写在答题卡对应的横线上．每小题3分，共12分）

15.

小的整数_____________16. 因式分解：233am a -=______．

17. 综合实践课上，航模小组用无人机测量古树AB 的高度．如图，点C 处与古树底部A 处在同一水平面上，且10AC =米，无人机从C 处竖直上升到达D 处，测得古树顶部B 的俯角为45︒，古树底部A 的俯角为

65︒，则古树AB 的高度约为________米（结果精确到0.1米；参考数据：sin 650.906︒≈

，

.

cos 650.423︒≈，tan 65 2.145︒≈）

．

18. 编号为A ，B ，C ，D ，E 的五台收割机，若同时启动其中两台收割机，收割面积相同的田地所需时间如下表：

收割机编号A ，B B ，C C ，D D ，E A ，E 所需时间（小时）

23

19

20

22

18

则收割最快的一台收割机编号是________．

三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共8题，满分96分）

19. （1()0

π12sin 602+++︒+（2）已知230a a --=，求代数式2

(2)(1)(3)a a a -+-+的值．20. 如图，在ABC 中，D 是AB 中点．

（1）求作：AC 的垂直平分线l （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

（2）若l 交AC 于点E ，连接DE 并延长至点F ，使2EF DE =，连接BE CF ，．补全图形，并证明四边形BCFE 是平行四边形．

21. 某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下：收集数据

777876728475918578798278767991917674758575

91

80

77

75

75

87

85

76

77

整理、描述数据成绩/分72747576777879808284858791人数/人

1

1

a

4

3

3

b

1

1

1

3

1

4

分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表：平均数众数中位数80c

78

解决问题

（1）表格中的=a ______；b =______；c =______；

（2）分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为______分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为______分；

（3）学校要从91分的A ，B ，C ，D 四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求A ，B 两名队员恰好同时被选中的概率．

22. 一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．

（1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；

（2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？

23. 在平面直角坐标系中，对于点()11,M x y ，给出如下定义：当点()22,N x y ，满足1212x x y y +=+时，称点N 是点M 的等和点．

（1）已知点()1,3M ，在()14,2N ，()23,1N -，()30,2N -中，是点M 等和点的有_____；（2）若点()3,2M -的等和点N 在直线y x b =+上，求b 的值；（3）已知，双曲线1k

y x

=和直线22y x =-，满足12y y <的x 取值范围是4x >或20x -<<．若点P 在双曲线1k

y x

=

上，点P 的等和点Q 在直线22y x =-上，求点P 的坐标．24. 如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，O 经过B ，C 两点，与斜边AB 交于点E ，连接CO 并

延长交AB 于点M ，交O 于点D ，过点E 作EF CD ∥，交AC 于点F ．

（1）求证：EF 是O 的切线；

（2）若BM =，1

tan 2

BCD ∠=

，求OM 的长．25. 如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A 处沿水滑道下滑至点B 处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x 轴，过腾空点B 与x 轴垂直的直线为y 轴，O 为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．

（1）如图1，点B 与地面的距离为2米，水滑道最低点C 与地面的距离为7

8

米，点C 到点B 的水平距离为3米，则水滑道ACB 所在抛物线的解析式为______；

（2）如图1，腾空点B 与对面水池边缘的水平距离12OE =米，人腾空后的落点D 与水池边缘的安全距离DE 不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线BD 恰好与抛物线ACB 关于点B 成中心对称．①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD 的解析式；

②此人腾空飞出后的落点D 是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道

距地面4米的点M 处竖直支撑的钢架MN ，另一条是点M 与点B 之间连接支撑的钢架BM ．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM 平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架MN 上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．

26. 数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在ABC 中，AB AC =，点D 是AC 上的一个动点，过点D 作DE BC ⊥于点E ，延长ED 交BA 延长线于点F ．

请你解决下面各组提出的问题：

（1）求证：AD AF =；

（2）探究DF DE 与AD DC

的关系；某小组探究发现，当

13AD DC =时，23

DF DE =；当45AD DC =时，85DF DE =．请你继续探究：①当

76AD DC =时，直接写出DF DE

的值；②当AD m DC n =时，猜想DF DE 的值（用含m ，n 的式子表示），并证明；（3）拓展应用：在图1中，过点F 作FP AC ⊥，垂足为点P ，连接CF ，得到图2，当点D 运动到使ACF ACB ∠=∠时，若AD m DC n =，直接写出AP AD

的值（用含m ，n 的式子表示）．

温馨提示：

1．本试卷卷面分值150分，共8页，考试时间120分钟．

2．答题前，考生务必将姓名、座位号、考生号填写在答题卡的相应位置上，并仔细阅读答题卡上的“注意事项”．

3．答题时，请将答案填涂在答题卡上，写在本试卷上无效．

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共42分）

【1题答案】

【答案】A

【2题答案】

【答案】D

【3题答案】

【答案】B

【4题答案】

【答案】D

【5题答案】

【答案】D

【6题答案】

【答案】C

【7题答案】

【答案】B

【8题答案】

【答案】D

【9题答案】

【答案】C

【10题答案】

【答案】B

【11题答案】

【答案】C

【12题答案】

【答案】A

【13题答案】

【答案】A

【14题答案】

【答案】B

二、填空题（请把答案填写在答题卡对应的横线上．每小题3分，共12分）

【15题答案】

【答案】1（或2）

【16题答案】

【答案】()()

311a m m +-【17题答案】

【答案】11.5

【18题答案】

【答案】C

三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共8题，满分分）

【19题答案】

【答案】（1）6；（2）7．

【20题答案】

【答案】（1）见解析

（2）见解析【21题答案】

【答案】（1）5；2；75

（2）78；80

（3）A ，B 两名队员恰好同时被选中的概率为16

．【22题答案】

【答案】（1）甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米；

（2）15天工期，两队最多能修复公路105千米．

【23题答案】

【答案】（1）()14,2N 和()30,2N -； 的

（2）5b =；

（3）()4,2--或()2,4．

【24题答案】

【答案】（1）见解析

（2）OM =【25题答案】【答案】（1）()217388

y x =

++ （2）①此人腾空后的最大高度是258米，解析式为()2125388y x =--+；②此人腾空飞出后的落点D 在安全范围内，理由见解析

（3）这条钢架的长度为米

【26题答案】

【答案】（1）见解析

（2）①146DF DE =②2DF DE m n =，证明见解析 （3）2AP n AD m

=