2019年江苏高考数学试卷及答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．

．1．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B = ▲.

2．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是▲.3．下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是▲.

4．函数y =的定义域是▲.

5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是▲.6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是▲.

7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2

221(0)y x b b

-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是▲.

8．

已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若250,27a a a S +==，则8S 的值是▲.

9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是▲.

10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x

=+

>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是▲.11．

在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是▲.

12．如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若

6AB AC AO EC ⋅=⋅ ，则AB AC 的值是▲

.

13．已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是▲.

14．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且

()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122

k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是▲.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．

（1）若a =3c ，b ，cos B =23

，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin(2

B π+的值．16．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；

（2）BE ⊥C 1E ．

17．（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22

221(0)x y a b a b

+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．

已知DF 1=52

．（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）求点E 的坐标．

18．（本小题满分16分）

如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位:百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；

（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；

（3）对规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．

19．（本小题满分16分）

设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈、()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；

（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；

（3）若0,01,1a b c =<= ，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤

427

．20．（本小满分16分）

定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.

（1）已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；

（2）已知数列{b n }满足:11

1221,

n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；

②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }*()n ∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c + 成立，求m 的最大值．数学Ⅱ(附加题)

21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

A （1）求A 2；

（2）求矩阵A 的特征值.

B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛

⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝

⎭.（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.

C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）

设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22.（本小题满分10分）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.

（1）求n 的值；（2

）设(1n a +=+*,a b ∈N ，求223a b -的值.

23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，

{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N 令n n n n M A B C = .从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.

（1）当n =1时，求X 的概率分布；

数学试卷参

1.{1,6}

2.2

3.5

4.[1,7]

- 5.

5

3

6.

710

7.y =8.16

9.10

10.4

11.(e, 1)

13.

2

10

14.12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭

15.解：（1）因为23,3

a c

b B ===

，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)323c c c c

+-=⨯⨯，即2

13c =.

所以3

3

c =

.（2）因为

sin cos 2A B

a b =，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B B

b b

=，所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故2

4cos 5

B =.

因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25

cos 5

B =

.因此π25sin cos 25B B ⎛

⎫+== ⎪⎝⎭

.

16.证明：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，

所以ED ∥AB.

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB ∥A1B1，所以A1B1∥ED.

又因为ED ⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.

（2）因为AB=BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC.

因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC1⊥BE.因为C1C ⊂平面A1ACC1，AC ⊂平面A1ACC1，C1C ∩AC=C 所以BE ⊥平面A1ACC1.

因为C1E ⊂平面A1ACC1，所以BE ⊥C1E.17.解：（1）设椭圆C 的焦距为2c.

因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.

又因为DF1=

52，AF2⊥x 轴，所以

32

==，因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.

由b2=a2-c2，得b2=3.

因此，椭圆C 的标准方程为22

143x y +=.

（2）由（1）知，椭圆C ：22

143

x y +=，a=2，

因为AF2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.

将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16，解得y=±4.因为点A 在x 轴上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.

由22

()22116

y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=，解得1x =或11

5

x =-.将115x =-

代入22y x =+，得125y =-，因此1112(,)55B --.又F2(1，0)，所以直线BF2：3

(1)4y x =-.

由22

1

4

33(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得2

76130x x --=，解得1x =-或137x =.又因为E 是线段BF2与椭圆的交点，所以1x =-.

将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3

(1,)2

E --.

18.（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E.

由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ，

所以84cos sin 105

PBD ABE ∠=∠=

=.所以12

15

4

cos 5

BD PB PBD =

==∠.因此道路PB 的长为15（百米）

.

（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知2210AD AE ED =+=，

从而2227

cos 0225

AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.

所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.

因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.

当∠OBP<90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；

当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.

设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B=15，此时1111

3

sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=；当∠OBP>90°时，在1PPB △中，1

15PB PB >=.由上可知，d ≥15.

再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.

综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ=321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+321因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）.

19．解：（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-．因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =．

（2）因为b c =，

所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-，

从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛

⎫=-- ⎪

⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a b x +=．因为2,,

3a b

a b +，都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠，所以21,3,33

a b

a b +===-．此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-．令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：

x

(,3)

-∞-3-(3,1)

-1(1,)

+∞()f 'x +

0–

0+

()

f x

极大值

极小值

所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．

（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，

2()32(1)f 'x x b x b =-++．

因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>，则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．

由()0f 'x =，得1211,33

b b b b b b x x ++==

．列表如下：

x

1(,)x -∞1

x ()

12,x x 2x 2(,)

x +∞()f 'x +

0–

0+

()

f x

极大值

极小值

所以()f x 的极大值()1M f x =．

()321111

(1)M f x x b x bx ==-++

()()22

1111211(1)32(1)3

999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪

⎝⎭(

)23

21(1)

(1)2

27

927

b b b b b --+++=

++

23

(1)2(1)(1)2

272727

b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤

+≤．因此4

27

M ≤．20．解：（1）设等比数列{an}的公比为q ，所以a1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111

440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得11

2a q =⎧⎨=⎩．

因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为

1

122

n n n S b b +=-，所以0n b ≠．由1111,b S b ==得2

122

11b =-，则22b =.由

1122

n n n S b b +=-，得112()

n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()

111122n n n n

n n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，

整理得112n n n b b b +-+=．

所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列{bn}的通项公式为bn=n ()*

n ∈N .

②由①知，bk=k ，*k ∈N .

因为数列{cn}为“M –数列”，设公比为q ，所以c1=1，q>0.因为ck ≤bk ≤ck+1，所以1k k q k q -≤≤，其中k=1，2，3，…，m.当k=1时，有q ≥1；当k=2，3，…，m 时，有

ln ln ln 1

k k

q k k ≤≤-．

设f （x ）=

ln (1)x x x >，则2

1ln ()x

f 'x x -=．令()0f 'x =，得x=e.列表如下：

x

(1,e)

e (e ，+∞)()

f 'x +

–

f （x ）

极大值

因为

ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3

()(3)3

f k f ==．

取q =k=1，2，3，4，5时，ln ln k

q k

，即k k q ≤，经检验知1k q k -≤也成立．

因此所求m 的最大值不小于5．

若m ≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6.综上，所求m 的最大值为5．数学Ⅱ(附加题)参

21．A ．[选修4–2：矩阵与变换]

本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．

解：（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，

所以2

31312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦

A =3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦

．（2）矩阵A 的特征多项式为

231

()5422

f λλλλλ--=

=-+--.

令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==.

B ．[选修4–4：坐标系与参数方程]

本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．

解：（1）设极点为O.在△OAB 中，A （3，

4π），B ，2

π

），

由余弦定理，得AB==.（2）因为直线l 的方程为sin(34

ρθπ+=，

则直线l 过点2π，倾斜角为34

π．

又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin(242

ππ⨯-=.C ．[选修4–5：不等式选讲]

本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．

解：当x<0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x<–13

：当0≤x ≤12

时，原不等式可化为x+1–2x>2，即x<–1，无解；当x>12

时，原不等式可化为x+2x –1>2，解得x>1.综上，原不等式的解集为1{|1}3

x x x <->或.22.解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n n n n n n x x x x n +=++++≥ ，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n n n n n n n a a ---====，44(1)(2)(3)C 24

n n n n n a ---==．因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[

26224

n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．

（2）由（1）知，5n =．5

(1(1n

=+022334455

55555C C C C C C =++++a =+

因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，

从而222237634432a b -=-⨯=-．

23．解：（1）当1n =时，X

的所有可能取值是12．X

的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ==

====

，22662222(2),(C 15C 15

P X P X ======．（2）设()A a b ，

和()B c d ，是从n M 中取出的两个点．因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况．

①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；

②若01b d ==，

则AB =≤所以X n >

当且仅当AB =此时0 a c n ==，

或 0a n c ==，有2种取法；③若02b d ==，

则AB =≤，因为当3n ≥

n ≤，

所以X n >

当且仅当AB =，此时0 a c n ==，

或 0a n c ==，有2种取法；④若12b d ==，

则AB =≤所以X n >

当且仅当AB =此时0 a c n ==，

或 0a n c ==，有2种取法．综上，当X n >时，X

，且2224244

2(,(C C n n P X P X ++====．

因此，2246

()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-．