...2023学年第一学期期末调研考试高一数学试题及答案20230119

高一数学试题

本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号、考场号和座位号填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各答题指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。

4.不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合{}2|2A x x -=≤≤，2{|30}B x x x =->，则A B = （）

A ．{|20}x x -≤<

B ．{|40}x x -≤<

C ．{|02}

x x <≤D ．{|03}

x x <≤2．命题“对任意一个实数x ，都有350x +≥”的否定是（

）

A ．存在实数x ，使得350x +<

B ．对任意一个实数x ，都有350x +≤

C ．存在实数x ，使得350x +≤

D ．对任意一个实数x ，都有350

x +<3．下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（

）

A ．2

x

y =B ．sin y x

=C ．y x

=D ．3

y x

=-4．函数13x y a -=-（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点（

）

A ．（0，－3）

B ．（0，－2）

C ．（1，－3）

D ．（1，－2）

5.函数()e 6x

f x x =+-的零点所在的区间为（

）A ．()0,1B ．()1,2C ．()

2,3D ．()

3,4

6．函数3

e e ()2

x x

f x x --=+的部分图象大致为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

7．将函数2sin(2)6y x π=+

的图象向右平移1

4

个周期后，所得图象对应的函数为A ．52sin(2)12

y x π=+B ．2sin(2)3

y x π=+

C ．2sin(212y x π=-

D ．2sin(2)3

y x π

=-8．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或都为正奇

数时，m n m n =+※；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m n mn =※，则在此定义下，集合{}(,)8M a b a b ==※中的元素个数是（）

A ．10

B ．9

C ．8

D ．7

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列结论正确的是（

）

A ．若a b >，则ac bc >

B ．若0a b >>，则

11a b

，则a b >D ．若a b <，则22

a b <10．下列各式中，值为

1

2

的是（）

A ．00

2sin15cos15B ．2

2cos

112

π-

C D ．

20

tan 22.51tan 22.5-11．已知1

cos 63

πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则（

）

A ．22

sin 63πα⎛⎫+=

⎪⎝⎭

B ．51cos 63πα⎛⎫

-=-

⎪⎝⎭

C ．1

sin 33

πα⎛⎫-=

⎪⎝⎭D ．角α可能是第二象限角

12．已知函数()()()()ln ,ln 4f x x g x x =-=+，则（

）

A ．函数()()22y f x g x =-+-为偶函数

B ．函数()()y f x g x =-为奇函数

C ．函数()()22y f x g x =---为奇函数

D ．2x

=-是函数()()y f x g x =+图象的对称轴

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知2,0

()sin ,0

x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，则(1)f -=

.

14．写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数_________.①当120x x ≥时，()()()1212f x x f x f x +=；②()f x 为偶函数.

15．关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为()3,1-，则不等式20bx ax c ++<的解集为

.

16．设函数()()2

32

11

x x f x x ++=+在区间[]22-,上的最大值为M ，最小值为N ，则()2023

1M N +-的值为______.

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）

（Ⅰ）求值：3

2

4

161)++；

（Ⅱ）求值：5log 2

3lg 25lg 45log +++18．（本小题满分12分）

设函数()()

2

lg 1f x x =-的定义域为集合A ，()g x =

B ．

（Ⅰ）当1a =时，求()A B R ð；

（Ⅱ）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围．

19．（本小题满分12分）

已知函数4()2

x x

b

f x +=为奇函数．（Ⅰ）求实数b 的值，并用定义证明()f x 在R 上的单调性；

（Ⅱ）若不等式(

)

2

22(21)0f m m f m ++++≤恒成立，求实数m 的取值范围．20．（本小题满分12分）

已知4sin 5α=

，,2παπ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

．（Ⅰ）求cos α，tan α的值；（Ⅱ）求sin 24πα⎛⎫

+

⎪⎝

⎭

的值．21．（本小题满分12分）

某电饭煲厂生产了一款具有自主知识产权的电饭煲，每个电饭煲的生产成本为150元，出厂单价定为200元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过1000个时，每多订购一个，订购的全部电饭煲的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过2000个．

（Ⅰ）设一次订购量为x 个，电饭煲的实际出厂单价为P 元，写出函数()x P y =的表达式；（Ⅱ）当销售商一次订购多少个时，该电饭煲厂获得的利润最大，最大利润是多少元？（电饭煲厂售出一个电饭煲的利润=实际出厂单价-成本）22．（本小题满分12分）

设函数()f x 的定义域为D ，若存在，使得()00f x x =成立，则称()f x 在定义域D 上存在不动点（0x 是()f x 的一个“不动点”）.已知函数()(

)

1

2log 42

2x

x f x a +=-⋅+.

（Ⅰ）若函数()f x 在区间[]0,1上存在不动点，求实数a 的取值范围；

（Ⅱ）设函数()

2x

g x -=，若[]

12,1,0x x ∀∈-，都有()()122f x g x -≤成立，求实数a 的

取值范围.

湛江市2022—2023学年度第一学期期末调研考试

高一数学参及评分意见

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.【答案】C

【解】因为{}2|2A x x -=≤≤，{}|03B x x =<<，所以{}|02A B x x =<≤ ，故选C.2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】D

令10x -=，则1x =，此时，032y a =-=-，∴图象过定点（1，－2）．5.【答案】B

【解】易知()f x 是R 上的增函数，且()1e 50f =-<，()2

2e 40f =->，

所以()f x 的零点所在的区间为()1,2.6．【答案】B

【解】()f x 的定义域为R ，

()()3

e e 2

x x f x x f x ---=-+=-，所以()f x 是奇函数，由此排除CD 选项.

()1

e e 1102

f --=+>，排除A 选项.选B

7．【答案】D

【解】函数2sin(2)6y x π=+

的周期为22T ππ==，图象向右平移14个周期，即平移4

π

后，所得图象对应的函数为2sin [2()]46y x ππ=-+，即2sin (23

y x π

=-．

8．【答案】B

【解答】（1）m ，n 都是正偶数时：

m 从2，4，6任取一个有3种取法，而对应的n 有一种取法；

∴有3种取法，即这种情况下集合M 有3个元素．（2）m ，n 都为正奇数时：

m 从1，3，5，7任取一个有4种取法，而对应的n 有一种取法；

∴有4种取法，即这种情况下集合M 有4个元素

（3）当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时：

当8m =时1n =，和1m =时8n =，即这种情况下集合M 有两个元素．∴集合M 的元素个数是3429++=．

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．【答案】B 、C

【解】对于A ：当a b >时，若取0c ≤，则有ac bc ≤.故A 不正确；对于B ：当0a b >>时，两边同乘以1ab

，有a b

ab ab >，即11a b <.故B 正确；

对于C ：当22ac bc >，两边同乘以

21

c

，则a b >.故C 正确；对于D ：当a b <时，取1,1a b =-=，有22=a b .故D 不正确.10．【答案】A 、D

【解】对于A ：0

1

2sin15cos15sin 302

==

，故A 正确；对于D ：000

2020tan 22.512tan 22.511tan 451tan 22.521tan 22.522

=⨯=⨯=

--，故D 正确.11．【答案】B 、C

【解】因1cos 63

πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则6πα+是第一象限或者第四象限角.

当

6πα+是第四象限角时，22sin 63πα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，A 不正确；51cos cos[()]cos()6663πππαπαα⎛⎫-=-+=-+=- ⎪⎝⎭，B 正确；

1sin sin[()]cos()32663ππππααα⎛⎫

-=-=+= ⎪⎝⎭

，C 正确；

因

6

πα+是第一象限或者第四象限角，则()66ππ

αα=+-不可能是第二象限角，D 错误.

12．

【答案】ACD 【解】()()()()2ln 2,2ln 2f x x g x x -=-+-=+.

对A ，若()()()()222ln 4F x f x g x x =-+-=-，则()()F x F x -=，故A 正确；对B ，若()()()ln

4x F x f x g x x

-=-=+，无奇偶性，故B 错误；

对C ，若()()()222ln 2x F x f x g x x -=---=+，则()()F x F x --=，故C 正确；

对D ，若()()()()()

22ln 4ln (2)4F x f x g x x x x ⎡⎤=+=--=-++，

则()()()()222ln 4,2ln 4F x x F x x --=-+-+=-+，得()()22F x F x --=-+，故D 正确.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．1214．()x

f x a =（0a >，1a ≠）15．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭16.1．

13．【解】11

(1)22

f --==14．【参】()x f x a =（0a >，1a ≠）（答案不唯一）

根据()()()1212f x x f x f x +=可知对应的函数为x y a =的形式，将其做相应的变化，符合是偶函数即可.

15．【解】∵20ax bx c ++<的解集是()3,1-，∴03131a b a c a ⎧⎪>⎪⎪-+=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩

，得2,3b a c a ==-，则不等式220230bx ax c ax ax a ++<⇔+-<，

∴2230x x +-<，解得：312x -<<，即不等式的解集是3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭

.16．【解】由题意知，()32211

x x f x x +=++（[]2,2x ∈-），设()3221

x x g x x ++=，则()()1f x g x =+，因为()()3221x x g x g x x ---==-+，

所以

()g x 为奇函数，所以()g x 在区间[]22-,上的最大值与最小值的和为0，

故2M N +=，所以()()202320231211M N +-=-=.

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

【解】（Ⅰ）原式()

343432132112=++=++=………………………………5分（Ⅱ）原式323lg(254)2log 3=⨯++………………………………………………8分3

lg10022=++

11

2=…………………………………………………10分

18．（本小题满分12分）

【解】（Ⅰ）由210x ->，解得1x >或1x <-，

所以()(),11,A =-∞-+∞ ,

…………………………………………………2分所以[]R 1,1A =-ð．…………………………………………………3分

当1a =时，由1420x +-≥，得2222x +≥，解得21x ≥-，所以1,2B ⎡⎫=-+∞⎪⎢⎣⎭

．……………………………………………5分所以()1,12A B ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦

R ð．………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()(),11,A =-∞-+∞ ．

由420x a +-≥，得2222x a +≥，解得12x a ≥-，所以1,2B a ⎡⎫=-+∞⎪⎢⎣⎭

．…………………………………………8分因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，所以B A ⊆．……………………10分所以112a ->，解得12

a <-．所以实数a 的取值范围是1,2⎛

⎫-∞-

⎪⎝⎭．………………………………………12分19．（本小题满分12分）

【解】（Ⅰ）∵函数4()2

x x b f x +=的定义域为R ，且为奇函数，∴(0)10f b =+=，解得1b =-．此时4114()()22

x x

x x f x f x -----===-，()f x 为奇函数，所以1b =-．………………2分()f x 是R 上是单调递增函数.证明：由题知4411()2222

x x x x x x b f x +-===-，设12x x <，………………………3分则()()()()1212212122112121212211222222222212x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x +++--⎛⎫⎛⎫-=---=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭+……………………………………………………5分

∵12

x x <

∴1222x x <，1220x x +>．

∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，

∴()f x 在R 上是单调递增函数．…………………………………………………6分

（Ⅱ）因为()y f x =是R 上的奇函数且为严格增函数，

所以由

()221(21)0f m m f m +-+-≤．可得()221(21)(21)

f m m f m f m +-≤--=-+．……………………………………9分所以22121m m m +-≤-+恒成立，…………………………………………………10分解得122m -≤≤，即实数m 的取值范围为12,2⎡⎤-⎢⎥⎣

⎦．………………………………12分20．（本小题满分12分）

【解】（Ⅰ）∵4sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

，

∴5

c os 3α==-=，…………………………………………3分∴sin tan s 43co ααα==-，…………………………………………4分

∴cos α，tan α的值分别是35-和43

-.…………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，24sin 22sin cos 25

ααα==-，27cos 212sin 25αα=-=-

，…………………………………10分∴24272312sin(2)sin 2cos cos 2sin 44425225250

πππααα+=+=-⨯⨯-.…12分21.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）当0<1000x ≤时，200P =．………………………………………2分

当1000<2000x ≤时，()()50

220100002.0200x x x P -=--=．…………………5分∴200,0<1000,()=220,1000<2000,50x x x N P x x x N -*

*⎧≤∈⎪⎨≤∈⎪⎩

．…………………………………………6分（Ⅱ）设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，

则()215050,0<1000,()=70,1000<2000,50P x x x x N L x x x x N x -*

*⎧-=≤∈⎪⎨≤∈⎪⎩

．…………………………………8分当0<1000x ≤时，()L x 单调递增，此时()()max L L 100050000x ==．…………9分

当1000<2000x ≤时，()()2270=1750+6125050510

L x x x x --=-，此时()()max L L 175061250x ==．

综上述，当1750x =时，()max L 61250x =．

答：当销售商一次订购1750个电饭煲时，该电饭煲厂获得的利润最大，最大利润是61250元.

…………………………………………………………12分

22．（本小题满分12分）

【解】（Ⅰ）由题意知，()f x x =即14222x x x a +-⋅+=在[0，1]上有解，

令2x t =，[0,1]x ∈，则[1,2]t ∈，则222t at t -+=在[1,2]上有解.………………2分∴22221t t a t t t

-+==+-.…………………………………………………………3分当[1,2]t ∈时，2y t t =+

在⎡⎣

递减，在2⎤⎦递增，

∴2y t t =+∈

，则21,2]a ∈

，即1,12a ⎤∈-⎥⎦.∴实数a

的取值范围为1,12⎤-⎥⎦

.…………………………………………………6分（Ⅱ）1212|()()|22()()2f x g x f x g x -≤⇔-≤-≤，即212()2()()2g x f x g x -≤≤+，则2max 12min ()2()()2g x f x g x -≤≤+.

又()g x 在[－1,0]上是减函数，

∴2max 2min ()(1)2,()(0)1g x g g x g =-===，

∴10()3f x ≤≤.…………………………………………………8分令2x t =，[1,0]x ∈-，则1

[,1]2

t ∈，21228t at ≤-+≤，则2266211

2t a t t t t a t t t ⎧-≥=-⎪⎪⎨+⎪≤=+⎪⎩

……………………………………………………………10分∵6y t t =-在1[,1]2

t ∈上递增，∴max 5y =-.

又12y t t =+≥，∴522a -≤≤，512a -≤≤.∴实数a 的取值范围为15,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

.…………………………………………………12分