排列组合讲解方法汇总

从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 

2.组合的定义: 

从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

3.排列数公式:

4.组合数公式:

排列与组合的区别与联系:与顺序有关的为排列问题,与顺序无关的为组合问题.

分隔排列--插空法

相邻排列--捆绑法

互斥分类--分类法  

先后有序--位置法  

反面明了--排除法  

方法1  插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有条件的元素,然后将有条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可。

例1  学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个学生，4个老师，要求老师在学生之间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？

分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.

解：先排学生共有种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为种.

方法2   捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列.

例2  5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法? 

分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.

解： 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作全排列,有种排法,其中女生内部也有  种排法,根据乘法原理,共有种不同的排法.

方法3    转化法（插拔法）:对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解.

例3   在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?

分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解.

解：此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排,在11个空档中放上7个相同的黑球,每个空档最多放一个,即可将白球分成8份,显然有种不同的放法,所以名额分配方案有种.

方法4   剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法.

例4  袋中有不同的5分硬币23个,不同的1角硬币10个,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法?

分析：此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题.

解： 把所有的硬币全部取出来,将得到×23+×10=元,所以比2元多元,所以剩下元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以共有种取法.

方法5  对等法:在有些题目中,它的条件的肯定与否定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求出全体,就可以得到所求.

例5   期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序?

分析：对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题的复杂性.

解：不加任何条件,整个排法有种,“语文安排在数学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有   。

方法6  排除法:有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中排除.

例6  某班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部至少有一人在内的抽法有多少种?

分析：此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化计算过程.

解：43人中任抽5人的方法有种,正副班长,团支部都不在内的抽法有种,所以正副班长,团支部至少有1人在内的抽法有 种.