高中数学空间向量与立体几何测试题

一.选择题

1. 在下列命题中：

①若向量共线，则向量所在的直线平行；

,a b ,

a b

②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；

,a b ,a b

③若三个向量两两共面，则向量共面；

,,a b c ,,a b c

④已知是空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x,y,z 使得

,,a b c

p ；其中正确的命题的个数是

（

）

p xa yb zc =++

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

2. 与向量（-3，-4，5）共线的单位向量是

（

）

（A ））； （B ））；

（C ））和（）； （D ）（）；

3. 已知A 、B 、C 三点不共线，点O 为平面ABC 外的一点，则下列条件中，能得到M∈平面ABC 的充分条件是 （ ）

（A ）； （B ）；

111222OM OA OB OC =++ 1133

OM OA OB OC =-+ （C ）； （D ）OM OA OB OC =++ 2OM OA OB OC

=-- 4. 已知点B 是点A （3，7，-4）在xOz 平面上的射影，则等于 （ ）2

()OB （A ）（9，0，16） （B ）25 （C ）5 （D ）135. 设平面内两个向量的坐标分别为（1，2，1）、（-1，1，2），则下列向量中是平面的法

α向量的是（ ）A （-1，-2，5） B （-1,1,-1） C （1, 1,1） D （1，-1，-1）

6. 如图所示，在正三棱柱ABC ——A 1B 1C 1中，若BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为 （ ）（A ）60° （B ）90° （C ）105° （D ）75°

7. 到定点的距离小于或等于1的点集合为（ ）

()1,0,0 A. B.()(){

}2

22,,|11x y z x y z -++≤()(){

}

2

22,,|11

x y z x y z -++= C.

D.

()(){},,|11x y z x y z -++≤(){}

2

22,,|1x y z x

y z ++≤8. 已知均为单位向量,它们的夹角为60︒,那么等于（ ）

,a b 3a b +

A

B C

D ．4

9. 在平面直角坐标系中, ,沿x 轴把平面直角坐标系折成120︒的二面角后,则

(2,3),(3,2)A B --线段AB 的长度为（ ） A B ． C ． D ．10. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“”是“

αβ⊥”的(

)

m β⊥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二．填空题11. 若空间三点A （1，5，-2），B （2，4，1），C （p,3,q+2）共线，则p=______,q=______。

12. 设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为

点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________． 13. 如图，PA ⊥平面ABC ，∠ACB=90°且D

C

A

M

PA=AC=BC=a 则异面直线PB 与AC 所成角的余弦值等于________；

14.已知，，若共同作用于

123F i j k =++ 223F i j k =-+- 3345F i j k =-+ 123,,F F F

一物体上，使物体从点M （1，-2，1）移动到N （3，1，2），则合力所作的功是

.

15. 已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为,则侧面与底面所成的二面角等于

.

题号 1 234567

10

题号

题号11121314

15

题号

三．解答题16.

设向量并确定的关系，使

()()3,5,4,2,1,832,,a b a b a b =-=-⋅

，计算,λμ轴垂直

a b z λμ+

与17. 如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1棱长为1，P 、Q 分别是线段AD 1和BD 上的点，且D 1P ：PA=DQ ：QB=5：12，（1）求线段PQ 的长度；（2）求证P Q⊥AD ；

（3）求证：PQ//平面CDD 1C 1；

18. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2

，E ，F 分别是AD ，PC 的中点

（Ⅰ）证明：PC ⊥平面BEF ；（Ⅱ）求平面BEF 与平面BAP 夹角的大小。

19. 如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB CD,AC BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中

A ⊥

点

（1）证明：PE BC

⊥（2）若APB=ADB=60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值

∠∠20. 如图,四棱锥S-ABCD 的底面是矩形

,AB=a,AD=2,SA=1,且

SA ⊥底面ABCD,若边BC 上

存在异于B,C 的一点P,使得.

PS PD ⊥

(1)求a 的最大值;

(2)当a 取最大值时,求异面直线AP 与SD 所成角的大小;

(3)当a 取最大值时,求平面SCD 的一个单位法向量n

及点P 到平面SCD 的距离.

21. 如图所示,矩形ABCD 的边AB=a,BC=2,PA ⊥平面ABCD,PA=2,现有数据:①a =

②;③④;⑤;

1a =a =2a =4a = (1)当在BC 边上存在点Q,使PQ ⊥QD 时,a 可能取所给数据中的哪些值?请说明理由; (2)在满足(1)的条件下,a 取所给数据中的最大值时,求直线PQ 与平面ADP 所成角的正

切值;

(3)记满足(1)的条件下的Q 点为Q n (n=1,2,3,…),若a 取所给数据的最小值时,这样的点

Q n 有几个?试求二面角Q n -PA-Q n+1的大小;

答案

1-5 AABBB 6-10 BACBB

11. 3，2 12.

14. 14 15. 30︒

2

π

16. 解：（9,15,-12）-(4,2,16)=(5,13,-28)

323(3,5,4)2(2,1,8)a b -=--=

(3,5,-4)(2,1,8)=6+5-32=-21

a b ⋅=

⋅由()(0,0,1)(32,5,48)a b λμλμλμλμ+⋅=++-+

(0,0,1)⋅480λμ=-+=即当满足＝0即使与z 轴垂直.

,λμ48λμ-+a b λμ+

17. 解：以D 为坐标原点。DA 、DC 、DD 1分别为x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系。由于正方体的棱长为1，所以D （0，0，0），D 1（0，0，1），B （1，1，0），A （1，0，0），

∵P 、Q 分别是线段AD 1和BD 上的点，且

D 1P ：PA=DQ ：QB=5：12，∴P ，Q （），∴，所以

512(,0,)171755,,01717512

(0,,1717

PQ =- （1）∴；

13

||17

PQ PQ == （2）∵，∴，∴P Q⊥AD ；

(1,0,0)DA = 0PQ DA ⋅=

（3）∵，∴，又平面

(0,1,0)DC = 1(0,0,1)DD =

15121717

PQ DC DD =- 1,DD DC ⊂CDD 1C 1，PQ 平面CDD 1C 1，∴PQ//平面CDD 1C 1；

⊄18. 解法一 （Ⅰ）如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 算在直线分别为x ，y ，z 轴建

立空间直角坐标系。∵AP=AB=2,BC=AD=2√ 2,四边形ABCD 是矩形。

∴A，B ，C ，D 的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 2 √ 2,0)，D(0，2 √ 2，0)，P(0,0,2)

又E ，F 分别是AD ，PC 的中点，∴E(0，√ 2，0),F(1，√ 2，1)。∴=（2，2 √ 2，-PC

2）=（-1，√ 2，1）=（1,0,1），∴·=-2+4-2=0，·=2+0-2=0，BF EF PC BF PC EF

∴⊥，⊥，∴PC⊥BF,PC⊥EF,BF ∩ EF=F,

∴PC⊥平面BEF

PC BF PC EF

（II ）由（I ）知平面BEF 的法向量平面BAP 的法向量

设平面BEF 与平面BAP 的夹角为 θ ，

则

∴ θ=45℃， ∴ 平面BEF 与平面BAP 的夹角为45

e a

解法二 （I ）连接PE ，EC 在 PA=AB=CD, AE=DE,

∴ PE= CE, 即 △PEC 是等腰三角形，又F 是PC 的中点，∴EF⊥PC,又，F 是PC 的中点，

∴BF⊥PC.又

19.

解：以为原点， 分别为轴，线段的长为单位长， 建立空间直H ,,HA HB HP ,,x y z HA 角坐标系如图， 则(1,0,0),(0,1,0)

A B （Ⅰ）设 则 (,0,0),(0,0,)(0,0)C m P n m n 1(0,,0),(,

,0).22

m

D m

E 可得 因为所以 1(,,),(,1,0).22m PE n BC m =-=-0022

m m

PE BC ⋅=-+=PE BC

⊥

h

e i （Ⅱ）由已知条件可得 1,m n C ==故 (0,0)设 为平面的法向量1(0,(,(0,0,1)2D E P (,,)n x y x =PEH 则

即因此可以取，,,

n HE o

n HP o ⎧⋅=⎪

⎨⋅=⎪⎩10

20

x z =⎧⎪⎨⎪=

⎩

n =由，可得 (1,0,1)PA =- cos ,PA n =

所以直线与平面PA PEH 20. 解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:

A(0,,0,0),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),S(0,0,1),设P(a,x,0). (0(1) ∵(),,1,PS a x =-- ()

,2,0PD a x =--

∴由得: PS PD ⊥

2(2)0

a x x --=即: 2(2)(02)

a x x x =-<<∴当且仅当x=1时,a 有最大值为1.此时P 为BC 中点;

(2) 由(1)知: (1,1,0),(0,2,1),

AP SD ==-

∴cos ,AP SD AP SD AP SD

==

=⨯

A

∴异面直线AP与SD所成角的大小为arc

(3) 设是平面SCD的一个法向量,∵

()

1

,,

n x y z

=

(1,0,0),(0,2,1),

SD

==-

D C

∴由得

11

11

00

201

02

1

x x

n DC n DC

y z y

n SD n SD z

y

==

⎧

⎧

⎧⎧

⊥=

⎪⎪⎪⎪

⇒⇒-=⇒=

⎨⎨⎨⎨

⊥=

⎪⎪⎪⎪

⎩⎩=

=

⎩⎩

A

A取1

(0,1,2),

n=

∴平面SCD的一个单位法向量(

)

1

1

0,1,2

n

n

n

===

又在方向上的投影为

(0,1,0),

=-

C P

n

n

n

⋅

==

C P

∴点P到平面SCD

21.

解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:

A(0,0,0,),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),设Q(a,x,0).(0≤x≤2)

(1) ∵()()

,,2,,2,0,

PQ a x QD a x

=-=--

∴由PQ⊥QD得

22

(2)0(2)

PQ QD a x x a x x

⊥⇒-+-=⇒=-

∵[](]

2

0,2,(2)0,1

x a x x

∈=-∈

∴在所给数据中,a可取两个值.

a=1

a=

(2) 由(1)知,此时x=1,即Q为BC中点,∴点Q的坐标为(1,1,0)

1

a=

从而又为平面ADP的一个法向量,

()

1,1,2,

PQ=-

()

1,0,0

AB=

∴cos,

PQ AB

PQ AB

PQ AB

⋅

===

⨯

∴直线PQ与平面ADP

(3) 由(1)知

此时,即满足条件的点Q 有两个, a =

13

,22

x x ==或

其坐标为1213,0,022Q Q ⎫⎫

⎪⎪⎪⎪

⎭⎭

和∵PA ⊥平面ABCD,∴PA ⊥AQ 1,PA ⊥AQ 2,∴∠Q 1AQ 2就是二面角Q 1-PA-Q 2的平面角.

由

得∠Q 1AQ 2

=30︒,121212cos ,AQ AQ AQ AQ AQ AQ ⋅===⨯ ∴二面角Q 1-PA-Q 2的大小为30︒.