2022-2023学年高二数学下学期期末模拟试卷(选修+必修)(解析版)

2022-2023学年高二下学期期末数学模拟试卷

（试卷满分150分，考试用时120分钟）

姓名___________ 班级_________ 考号_______________________

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1．（2023春·湖南长沙·高二望城一中校考期末）已知集合{|27}A x x =−≤<，

2

{|1}B x x

=≥，则()R A B 为（ ）

A ．{|27}x x −≤<

B ．{|20x x −≤<或27}x <<

C ．{|20x x −≤≤或27}x <<

D ．{|20x x −≤<或27}x ≤< 【答案】C

【解析】因为2

{|1}{|02}B

x x x x

=≥=<≤，则{|0R B x x =≤ 或2}x >， 所以(){}|27{|0R A B x x x ∩−≤<∩≤ 或2}x >，

{|20x x =−≤≤或27}.x <<故选：C 2．（2023秋·湖北恩施·高二校联考期末）已知()sin ,1a α= ，()1,2cos b α= ，若a b ⊥ ，则πtan 4α

−=

（ ）

A ．3−

B ．1

3

− C ．1− D ．3 【答案】D

【解析】因为a b ⊥

，所以有sin 2cos 0αα+=

，即tan 2α ， 所以π

tan 1

3

tan 341tan 1ααα−−

−=

== +−

.故选：D 3．（2023秋·江西萍乡·高二统考期末）从某班包含甲､乙的5名班干部中选出3人参加学校的社会实践活动，在甲被选中的情况下，乙也被选中的概率为（ ） A ．1

2 B ．35

C ．2

3 D ．25

【答案】A

【解析】令事件A 为甲被选中的情况，事件B 为乙被选中的情况，

故()

P A 24

35C 3C 5=，()133

5

C 3C 10P AB ==， 故()1

(

|)()

2

P AB P B A P A ==．故选：A ． 4．（2022春·山东德州·高二校考期末）已知某8个数的期望为5，方差为3，现又加入一个新数据5，此时这9个数的期望记为()E X ，方差记为()D X ，则

A ．

()5,()3E X D X => B ．()5,()3E X D X =< C ．()5,()3E X D X <> D ．()5,()3E X D X << 【答案】B

【解析】根据题意可知，

58559E X ×+==（），238(55)8

()393

D X ×+−==<，故选B. 5．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，二面角A EF C −−的大小为45 ，

四边形ABFE 、CDEF 都是边长为1的正方形，则B 、D 两点间的距离是（ ）

A

【答案】B

【解析】因为四边形ABFE 、CDEF 都是边长为1的正方形，则AE EF ⊥，DE EF ⊥，

又因为二面角A EF C −−的大小为45

，即45AED ∠=

，则,45EA ED =

， 因为DB DE EA AB EA ED AB =++=−+ ，由图易知AB EA ⊥ ，AB ED ⊥

，

=故选：B.

6．（2023秋·广东深圳·高二校考期末）已知定义域为R 的函数()f x 满足()31f x +是奇函数，

()21f x −是偶函数，则下列结论错误的是（ ）

A ．()f x 的图象关于直线=1x −对称

B ．()f x 的图象关于点(1,0)对称

C ．()31f −=

D ．()f x 的一个周期为8 【答案】C

【解析】由题意知()31f x +是奇函数，即()()()()3131,11f x f x f x f x −+=

−+∴−+=−+， 即()()2f x f x −+=

−，即()()20f x f x +−+=， 故()f x 的图象关于点(1,0)对称，B 结论正确；

又()21f x −是偶函数，故()

()()()2121,11f x f x f x f x −−=−∴−−=−， 即()()2f x f x −−=

，故()f x 的图象关于直线=1x −对称，A 结论正确； 由以上可知()()()22f x f x f x =−−=

−−+，即()()22f x

f x −=−+，

所以()()4f x f x +=

−，则()()4()8x x f f f x =−=++， 故()f x 的一个周期为8，D 结论正确；

由于()()3131f x f x −+=

−+，令0x =，可得(1)(1),(1)0f f f =−∴=， 而()f x 的图象关于直线=1x −对称，故()30f −=

，C 结论错误，故选：C 7．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知函数()f x 的定义域为ππ

,22

−

，其导函数

是()f x ′. 有()()cos sin 0f x x f x x ′+<，则关于x 的不等式()π2cos 3f x f x

<

的解集为（ ）

A ．ππ

,32

B ．ππ,62

C ．ππ,63

−− D ．ππ

,26 −−

【答案】A

【解析】构造函数()()cos f x g x x

=

，其中ππ,22x

∈−

，则()

()()2cos sin 0cos f x x f x x

g x x

′+′=<，

所以，函数()g x 在ππ

,22

−

上单调递减，

因为ππ,22x ∈− ，则cos 0x >，由()π2cos 3f x f x < 可得

()π3

π

cos cos 3f f x x

<， 即()π3g x g < ，所以，π3

ππ

2

2x x >

−<< ，解得ππ32x <<， 因此，不等式()πcos 3f x x <

的解集为ππ,32

.故选：A.

8．（2023春·山东济南·高二统考期末）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆

记为D ，过1F 作圆D 的切线与C 的两支分别交于M ，N 两点，且1245F NF ∠=

°，则C 的离心率为（ ） A

C

【答案】D

【解析】如图，设双曲线的方程为22

221x y a b

−=

，则AD a =. 设切线MN 与圆D 相切于点A ，

过点2F 作2F B MN ⊥，垂足为B ，则2//AD BF .

所以，有1

212

1

2

AD DF

BF F F ==

，所以222BF AD a =

=. 又1245F NF ∠=

°，2F B MN ⊥，所以2F BN 为等腰直角三角形， 所以2

2BN BF a ==

，

根据双曲线的定义可得，122NF NF a −=

，所以12NF a =+.

在12F NF △中，由余弦定理可得，222

121212212cos F F NF NF NF NF F NF =+−⋅∠.

所以，(

)(

)

()

22

2

2422212c

a a a =++−×+×，

所以，223c a =，c =.

所以，C 的离心率==c e

a

.故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．（2022春·河北石家庄·高二统考期末）下列说法正确的是（ ）

A ．甲､乙､丙､丁4人站成一排，甲不在最左端，则共有1333C A 种排法

B ．3名男生和4名女生站成一排，则3名男生相邻的排法共有4343A A 种

C ．3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有4345A A 种

D ．3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有1296种

【答案】ACD

【解析】对于A ：先排最左端，有13C 种排法，再排剩余3个位置，有33A 种排法，

则共有13

33C A 种排法，故A 正确；

对于B ：3名男生相邻，有33A 种排法，和剩余4名女生排列，

相当于5人作排列，有55A 种排法，所以共有5335A A 种排法，故B 错误；

对于C ：先排4名女生，共有4

4A 种排法，且形成5个空位，再排3名男生，

共有3

5A 4345A A 种排法，故C 正确；

对于D ：由C 选项可得3名男生和4名女生站成一排，

则3名男生互不相邻的排法共有4345A A 种排法，

若女生甲在最左端，且男生互不相邻的排法有3334A A 种排法，

所以3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有4345A A -3334A A =1296种，

故D 正确.故选：ACD

10．（2022春·湖北孝感·高二统考期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且

()

*112,22n n a a S n N +==+∈，下列说法正确的有（ ）

A ．数列{}n a 是等比数列

B ．123n n a −=×

C ．数列{}n a 是递减数列

D ．数列{}n a 是递增数列 【答案】ABD

【解析】由1

22n n a S +=+，则()1222n n a S n −+≥ 两式相减可得12n n n a a a +=−，即

()132n n a a n +=≥ 由题意21122226a S a =+=+=，满足213a a =

所以

()*13n n a a n N +=∈,所以数列{}n a 是等比数列，故选项A 正确. 则11123n n n a a q −−==×，故选项B 正确.

又1112323430n n n n n a a −−+−=×

−×=×>，所以数列{}n a 是递增数列 故故选项C 不正确，故选项D 正确.故选：ABD

11．（2022春·山东泰安·高二统考期末）对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据

()()()1122,,,,,,i i x y x y x y 则下列结论正确的是（ ）

A ．若求得的经验回归方程为

0.60.3y x =−，则变量y 和x 之间具有正的线性相关关系 B ．若这组样本数据分别是()()()()1,1,2,1.5,4,3,5,4.5，则其经验回归方程ˆˆˆy

bx a =+必过点()3,2.25 C ．若同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和为11E =.同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和为1 2.1E =，则模型1的拟合效果更好

D ．若用相关指数2R 来刻画回归效果，回归模型3的相关指数230.41R =，回归模型4的相关指数240.91R =，则模型4的拟合效果更好 【答案】ACD

【解析】对于A ：因为回归方程为

0.60.3y x =−，0.60>， 所以变量y 和x 之间具有正的线性相关关系，故A 正确； 对于B ：样本数据()()()()1,1,2,1.5,4,3,5,4.5的样本中心点为()3,2.5，

且经验回归方程ˆˆˆy bx a =

+必过样本中心点，但()3,2.25不是样本中心点，故B 错误； 对于C ：因为残差平方和越小的模型，其拟合效果越好，故C 正确；

对于D ：相关指数2R 越接近1，说明关系越强，拟合效果越好，D 正确；故选：ACD

12．（2023秋·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考期末）已知函数()321

42

f x x x x =

+−，则（ ） A ．1x =是()f x 的极小值点 B ．()f x 有两个极值点 C ．()f x 的极小值为1 D ．()f x 在[]0,2上的最大值为2 【答案】ABD

【解析】因为()321

42

f x x x x =

+−，所以()()()234134f x x x x x ′=+−=−+， 当()4,1,3x ∈−∞−+∞

时，()0f x >′；当4,13x

∈− 时，()0f x <′， 故()f x 的单调递增区间为4,3 −∞−

和()1,+∞，单调递减区间为4,13

−

，

则()f x 有两个极值点，B 正确； 且当1x =时，()f x 取得极小值，A 正确； 且极小值为()512

f =−，C 错误；

又()00f =，()22f =，所以()f x 在[]0,2上的最大值为2，D 正确.故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）若232n

x x

−

展开式的二项式系数和为32，则展开式中

的常数项为______．（用数字作答） 【答案】40

【解析】因为二项式系数和232n =，因此5n =，

又()

()5521055

132C C 2k

k

k k

k

k k T x x x −−+ =

−=−

， 令2k =，常数项为()2

2

5C 240−=

. 故答案为：40.

14．（2022春·河北邯郸·高二大名县第一中学校考期末）已知π

3sin()34x −=，且π06

x <<，则

π2π

sin()cos()63

x x +−+的值为___________.

【解析】令πππ,363t x

=

−∈

，则ππ2π,π623x t x t +=−+=− ∵π3sin()sin 3

4x t −==

，则cos t =

(

)π2ππsin cos sin cos π2cos 632x x t t t

+−+=−−−==

15．（2022春·湖北·高二统考期末）某地区调研考试数学成绩X 服从正态分布()2

95,N σ，且

(70)0.15P X <=，从该地区参加调研考试的所有学生中随机抽取10名学生的数学成绩，记成绩

在[]70,120的人数为随机变量ξ，则ξ的方差为________． 【答案】2.1

【解析】由正态分布知，均值95µ=，且(70)0.15P X <=

，所以(120)0.15P X >= 每个人的数学成绩在[]70,120的概率为(70120)P X ≤≤=

2(0.50.15)0.7×−=， 所以10名学生的数学成绩在[]70,120的人数~(10,0.7)B ξ， 所以()100.70.3 2.1D ξ=××=． 故答案为：2.1．

16．（2022春·山东临沂·高二统考期末）若对任意的()12,,x x m ∈+∞，且当12x x <时，都有

121212

ln ln 3

x x x x x x −>−，则m 的最小值是________. 【答案】3

【解析】由于当12x x <时，都有

121212

ln ln 3

x x x x x x −>−，

所以121212213()33ln ln x x x x x x x x −−<

=−，即1212

33

ln ln x x x x +<+， 令3()ln f x x x

=

+，所以当任意的()12,,x x m ∈+∞，且当12x x <时，都有12()()f x f x <， 所以()f x 在(),m +∞上递增， 因为由22133

()0x f x x

x x

−′=−

=>，得3x >， 所以()f x 在(3,)+∞上递增，所以3m ≥，所以m 的最小值是3， 故答案为：3

四．解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足0n a >，且2

1

,,3

n n n

a S a 成等差数列.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若{}n b 为等比数列，且0n b >，246

b b b ==，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T . 【答案】（1）3n a n =；（2）()13326n n T n +=

−+ 【解析】（1）因为21

,,3

n n n a S a 成等差数列，故2

1

23n

n n S a a =+， 故2111123n n n S a a −−−=+，所以()22

11123

n n n n n a a a a a −−=

−+−， 整理得到：()()()22

11

111133

n n n n n n n n a a a a a a a a −−−−+−−+， 而10n n a a −>+，故13n n a −−=

，所以{}n a 为等差数列， 又211111

2,03

a a a a =

+>，故13a =，故()3313n a n n =+−=. （2）因为{}n b 为等比数列且246

b b b ==，故23b =，而30b >，故38b =， 故等比数列的公比q 满足3

88

q

==，故2q ， 故3322n n n b b −=

×=，故32n n n a b n ⋅=×， 所以2326232n n T n =×+×++× ，故2312326232n n T n +=×+×++× ， 故2

1

3232

3232

n n n T n +−=×+×++×−× ，()1112632332612

n

n n n n ++−=×

−×=−−−， 所以()13326n n T n +=

−+. 18．（2022春·广东广州·

高二统考期末）已知二项式()2n

x n N ∗

∈

的展开式， ，给出下列条件：

①第二项与第三项的二项式系数之比是1：4；②所有偶数项的二项式系数之和为256；③展开式中第4项为常数项．

试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并完成下列问题：

（1）求展开式中x -3的系数； （2）求展开式中二项式系数最大的项 【答案】（1）18；（2）答案见解析.

【解析】（1）二项式()2n

x n N ∗

+∈

的展开式的通项公式为：()1C 2n r

r r n r

T x −+=.

选条件①：第二项与第三项的二项式系数之比是1：4，

所以12C 1C 4n n

=，即()142n n n −=，解得：9n =； 选条件②：所有偶数项的二项式系数之和为256，所以12256n −=，解得：9n =.

选条件③：展开式中第4项为常数项，即()

33

3

3

932

42C C 2n n n n

T x x

−−==为常数项，

所以9n =.

所以二项式9

2x 的展开式的通项公式为：()

9392

199

22C C r

r r r

r

r r

T x x

−−+==.

要求展开式中x -3的系数，只需令39

32

r −=−，解得：r =1.

所以系数为192C 18⋅=.

（2）当9n =时，展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项.

所以349

3

422594C 26201T x x ×−==，359

536952C 43220T x x ×−==.

19．（2023春·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考期末）如图，四棱锥S ABCD −的底面是直

角梯形，//AB CD ，90BAD ADC ∠=∠=

SD ABCD ⊥平面，M 是SA 的中点，22AD SD CD AB ====.

（1）证明：DM ⊥平面SAB ； （2）求二面角A SB C −−的大小；

（3）线段SC 上是否存在一点E ，使得直线//SA 平面BDE . 若存在，确定E 点的位置；若不存在，说明理由.

【答案】（1）见证明；（2）o 135；（3）见解析 【解析】（1）因为SD ABCD ⊥平面 ,DA DC ⊂平面ABCD .

所以SD DA ⊥，SD DC ⊥，又DA DC ⊥. 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系．

由题意得()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,1,0,0,2,0,0,0,2,1,0,1D A B C S M

所以()1,0,1DM = ,()2,0,2SA

=−,()0,1,0AB = . 所以0DM SA ⋅=

,0DM AB ⋅= ,

所以DM SA ⊥,DM AB ⊥,

所以DM ⊥平面SAB .

（2）设平面SBC 的法向量为()1,,n x y z =

，

因为()()0,2,2,2,1,0SC BC =

−=−

. 所以1100SC n BC n ⋅=

⋅=

，即22020y z x y −= −+= ， 令1x =，则

2,2y z ==.于是()11,2,2n =

. 因为DM ⊥平面SAB ，所以DM

为平面SAB 的法向量，

又=(1,0,1)DM

.

所以111cos ,n DM n DM n DM ⋅〈〉==

. 因为所求二面角为钝角，所以二面角A SB C −−大小为o 135.

（3）设()[]()0,2,2.0,1SE SC λλλλ=

=−∈

， ()0,2,22DE DS SE λλ=+=− ，()2,1,0DB = ，()2,0,2SA

=−

.

设平面BDE 的法向量()2000,,n x y z =

，

则2200DE n DB n ⋅=

⋅=

，即 ()0000221020y z x y λλ +−= += ，

令01x =，02y =−，021z λ

λ=

−. 于是221,2,1n λλ =− −

， 如果直线//SA 平面BDE ，

那么20SA n ⋅= ，解得 1

=3

λ. 所以，存在点E 为线段SC 靠近S 点的三等分点，使得直线//SA 平面BDE .

20．（2022春·湖南·高二校联考期末）某城市实施了机动车尾号限行，该市报社调查组为了解市民对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成如下表： 年龄（岁） [)15,25 [)25,35 [)35,45 [)45,55 [)55,65 [)65,75

频数

5

5 10 15 10 5 赞成的人数 3 4

9

10

7

3

（1）请估计该市市民对“车辆限行”的赞成率和被调查者的年龄平均值；（同一组数据用该区间的中点值作代表）

（2）用样本估计总体，将样本频率视为概率，且每位市民是否赞成相互.现从全市年龄在

[)45,55的市民中随机选取4人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求

随机变量ξ的分布列和数学期望；

（3）若在这50名被调查者中随机发出20份的调查问卷，记η为所发到的20人中赞成“车辆

限行”的人数，求使概率()P k η=取得最大值的整数k . 【答案】（1）0.72，47；（2）见解析，()43

E ξ=；（3）14k = 【解析】（1）赞成率为

349107336

0.725050+++++==，

平均年龄为112321

20304050607047101010101010

×+×+×+×+×+×=

； （2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，

因为年龄在[)45,55的市民不赞成“车辆限行”的频率为13，所以1

4,3B ξ

∼

，

所以()()44

210,1,2,3,433k

k

k P k C k ξ−

===

， 所以ξ的分布列为：

()4

3

E np

ξ==. （3）这50被调查者中，有36人赞成，14人不赞成，

所以()()203614

20

50

6,7,8,,20k k C C P k k C η−=== ， 由()()()()11P k P k P k P k ηηηη =≥=−

=≥=+

，解得7257775252k ≤≤，

因为Z k ∈14k =.

21．（2022春·湖北武汉·高二统考期末）已知动圆M 过定点()2,0A ，且在y 轴上截得的弦长为4，圆心M 的轨迹为曲线L ． （1）求L 的方程；

（2）已知点()3,2B −−，()2,1C ，P 是L 上的一个动点，设直线PB ，PC 与L 的另一交点分别为E ，F ，求证：当P 点在L 上运动时，直线EF 恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．

【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析，定点110,

33

−

；

【解析】（1）设圆心(),C x y ，圆的半径为R ，

则()()2

2

222220R x x y =+=−+−，整理得24y x =． 所以动圆圆心的轨迹方程为24y x =．

（2）证明：抛物线的方程为2

4y x =，设200,4y D y

，121,4y E y ，22

2,4y F y

，

则直线EF 的方程为

()12

1

1221244

y y y y x x y y −−=−−，

得211121112121212

4444x y y y x x x

y y y y y y y y y y +−=−+=+++++，

又2114y x =，所以直线EF 的方程为121212

4y y x

y y y y y +++． 同理可得直线DE 的方程为101010

4y y x

y y y y y +++， 直线DF 的方程为002202

4y y x

y

y y y y +++ 因为直线DE 过点()3,2B −−，所以()1101222y y y −=+； 因为直线DF 过点()2,1C ，所以()22081y y y −=−．

消去0y ，得()12

12104

33

y y y y =++． 代入EF 的方程，得124110

33

y

x y y ++ + ， 所以直线EF 恒过一个定点110,

33

−

．

22．（2023春·重庆·高二校联考期中）已知函数()1

ln f x x a x x

=

−+. （1）若()f x 在()2,+∞上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若2a >时，()f x 存在两个极值点1x 、2x ，证明：()()

1212

2f x f x a x x −<−−.

【答案】（1）5,2

−∞

;（2）证明见解析

【解析】（1）因为()1ln f x x a x x =−+，则()222

11

1a x ax f x x x x −+′=−−+=−，

因为函数()f x 在()2,+∞上单调递减，则对任意的2x >，()0f x ′≤， 即2

110a x

x −−

≤，可得1

a x x ≤+，

设()1h x x x =+，则()222111x h x x x

−=−

=′， 当2x >时，()0h x ′>，所以，()h x 单调递增，则()()522h x h >=，故52

a ≤， 即实数a 的取值范围是5,2

−∞

．

（2）证明：由（1）知：1x 、2x 满足210x ax −+=，则121x x =，

不妨设120x x <<，则21x >．

则

()()

121212212

121212

22

ln ln ln ln 2ln 1

1221f x f x x x x x x a a a

x x x x x x x x x x −−−−=−

−+=−+=−+−−−−，

则要证()()1212

2f x f x a x x −<−−，即证2

22

2ln 1a x a

x x −<−， 即证22212ln x x x <−

，也即证222

1

2ln 0x x x −+<成立． 设函数()12ln g x x x x =−+，则()()2

22112

10x g x x x x

−′=−−+=−<， 所以，()g x 在()0,∞+单调递减，又()10g =．

故当()1,x ∈+∞时，()()10g x g <=

， 所以，222

1

2ln 0x x x −+<，即

()()1212

2f x f x a x x −<−−.