(完整版)高中数学导数与函数知识点归纳总结

一、基本概念1.导数的定义：

设x 0是函数y =f (x )定义域的一点，如果自变量

x 在x 0处有增量∆x ，则函数值y 也引起相应的增量

∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)；比值率；如果极限lim ∆y f (x 0+∆x )-f (x 0)

称为函数y =f (x )在点x 0到x 0+∆x 之间的平均变化=∆x ∆x

f (x 0+∆x )-f (x 0)∆y 存在，则称函数y =f (x )在点x 0处可导，并把这个极限叫做=lim ∆x →0∆x ∆x →0∆x y =f (x )在x 0

处的导数。

f (x )在点x

处的导数记作y '

x =x

=f '(x 0

)=lim

∆x →0

f (x 0+∆x )-f (x 0

)

∆x

2导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）

函数y =f (x )在点x 0处的导数的几何意义就是曲线y =f (x )在点(x 0,f (x ))处的切线的斜率，也就是说，曲'线y =f (x )在点P (x 0,f (x ))处的切线的斜率是f (x 0)，切线方程为y -y 0=f (x )(x -x 0).

'3．基本常见函数的导数:

n

①C '=0;（C 为常数）②

x ()'=nx x x n -1

;

③(sin x )'=cos x ;④(cos x )'=-sin x ;⑤(e )'=e ;

⑥(a )'=a ln a ;

⑦(ln x )'=x x 11;

⑧(l o g a

x )'=log

a

e .

x

x

二、导数的运算

1.导数的四则运算：

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

即：

⎡'⎣f (x )±g (x )⎤⎦

=f '(x )±g '(x )法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：⎡'=f '(x )g (x )+f (x )g '(x )f x ⋅g x ⎤()()⎣

⎦

常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：

(Cf (x ))'=Cf '(x ).(C

为常数)

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：

⎡f (x )⎤'f '(x )g (x )-f (x )g '(x )g (x )≠0)。(

⎢⎥=2⎡⎣g (x )⎦⎣g (x )⎤⎦

形如y=f[ϕ(x)]的函数称为复合函数。法则：f'[ϕ(x)]=f'(μ)*ϕ'(x).

三、导数的应用

1.函数的单调性与导数

（1）设函数y=f(x)在某个区间(a,b)可导，

如果如果f'(x)>0，则f(x)在此区间上为增函数；

f'(x)<0，则f(x)在此区间上为减函数。

f'(x)=0，则f(x)为常函数。

（2）如果在某区间内恒有

2．函数的极点与极值：当函数f(x)在点x

处连续时，

①如果在x

0附近的左侧f(x)＞0，右侧f(x)＜0，那么f(x

)是极大值；

②如果在x

0附近的左侧f(x)＜0，右侧f(x)＞0，那么f(x

)是极小值.

''

''

3．函数的最值：

一般地，在区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值。函数

值点处取得。

f(x)在区间[a,b]上的最值只可能在区间端点及极

求函数f(x)在区间[a,b]上最值的一般步骤：①求函数f(x)的导数，令导数f'(x)=0解出方程的跟

f'(x),f(x)的表格，求出极值及f(a)、f(b)的值;③比较端点及极值点处的函数值的大②在区间[a,b]列出x,

小，从而得出函数的最值。

4．相关结论总结：

①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.

②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.

四、函数的概念

1.函数的概念

①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯

）叫做集合一确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f

f:A→B．A到B

的一个函数，记作②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．

③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．

五、函数的性质

1.函数的单调性

①定义及判定方法

函数的

定义

性质

如果对于属于定义域I内某

个区间上的任意两个自变量

的值x

1、x

2

,当x< x时，都

12

．．

．．．

有f(x)12

．．

．．．．．．．．．

f(x)在这个区间上是增函数．

．．．

（1）利用定义

（2）利用已知函数的图象判定方法

y y=f(X)

f(x )

1

f(x )

2

单调性

（3）利用函数图象（在

o

x

1

x

2

x某个区间图

象上升为增）

（4）利用复合函数

（1）利用定义

函数的

单调性

如果对于属于定义域I内某

个区间上的任意两个自变量

的值x

1、x

2

，当x< x时，都

12

．．

．．．

有f(x)>f(x)，那么就说

12

．．

．．．．．．．．．

f(x)在这个区间上是减函数．

．．．

（2）利用已知函数的y

f(x )

1

y=f(X)

f(x )

2

单调性

（3）利用函数图象（在

o

x

1

x

2

x某个区间图

象下降为减）

（4）利用复合函数

②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．

③对于复合函数y=f[g(x)]，令u=g(x)，若y=f(u)

y=f(u)为减，为增，u=g(x)为增，则

y

y=f[g(x)]为增；若u=g(x)为减，则

y=f[g(x)]为增；若y=f(u)为增，u=g(x)为减，则y=f[g(x)]为减；若y=f(u)为减，u=g(x)为增，则y=f[g(x)]为减．

（2）打“√”函数

a

f(x)=x+(a>0)的图像与性质

x

o x

f (x )分别在(-∞,-a ]、[a ,+∞)上为增函数，分别在[-a ,0)、(0,a ]上为减函数．

2.最大（小）值（较常用导数求函数最值，类比记忆函数的极值）

①一般地，设函数y =f (x )的定义域为I

，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有

f (x )≤M

；．

（2）存在x

∈I ，使得②一般地，设函数f (x 0

)=M

．那么，我们称M 是函数

f (x )

的最大值，记作

f

max

(x )=M

y =f (x )的定义域为I

，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有

f (x )≥m ；

（2）存在x

∈I ，使得f (x 0

)=m ．那么，我们称m

是函数

f (x )的最小值，记作f

max

(x )=m ．

3.奇偶性

①定义及判定方法

函数的

定义

性质

如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有．f(－x)=－．．．．．．f(x),那么函数f(x)叫做奇函．．．．．．数．．

函数的奇偶性

如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有．f(－x)=f(x),．．．．．．．．．那么函数f(x)叫做偶函数．．．．

关于原点对称）（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）

（2）利用图象（图象关于y 轴对称）

（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）

（2）利用图象（图象图象

判定方法

②若函数

f (x )为奇函数，且在x =0处有定义，则f (0)=0．

③奇函数在

y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．

④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．