人教版高中数学必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》测试题(包含答案解析)(1)

1．若命题P:或，命题Q:，则P是Q的（ ）条件

A．充分不必要 ．必要不充分 ．充要 ．既不充分又不必有

2．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2+x﹣2≤0}，集合N＝{y|y＝}，则（CUM）∪N等于（　　）

A．{x|x＜﹣2或x≥0} ．{x|x＞1}

C．{x|x＜﹣1或1＜x≤3} ．R

3．若实数，满足，，则“”是“”的　　（ ）

A．充分不必要条件 ．必要不充分条件

C．充要条件 ．既不充分也不必要条件

4．设集合，，，则的取值范围为（ ）

A．或 ． ． ．或

5．已知集合，，则（ ）

A． ． ． ．R

6．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的（ ）

A．充分不必要条件 ．必要不充分条件

C．充要条件 ．既不充分也不必要条件

7．已知集合A={x|x2-4|x|≤0}，B={x|x＞0}，则A∩B=（　　）

A． ． ． ．

8．已知集合，且，则集合可以是（  ）

A． ． ． ．

9．设点，，不共线，则“”是“”（ ）

A．充分不必要条件 ．必要不充分条件

C．充分必要条件 ．既不充分又不必要条件

10．设、是实数，则“，”是“”的（ ）

A．充分不必要条件 ．必要不充分条件

C．充要条件 ．既不充分又不必要条件

11．设是向量，“”是“”的（ ）

A．充分不必要条件 ．必要不充分条件

C．充要条件 ．既不充分也不必要条件

12．已知a，，“”是“”的（ ）

A．充分不必要条件 ．必要不充分条件

C．充要条件 ．既不充分也不必要条件

二、填空题

13．若“使得”是假命题，则实数的取值范围为________.

14．命题“数列的前项和”成立的充要条件是________.（填一组符合题意的充要条件即可，所填答案中不得含有字母）

15．已知集合，，则__________．

16．已知下列命题：

①命题“”的否定是“”；

②已知为两个命题，若为假命题，则为真命题；

③“”是“”的充分不必要条件；

④“若则且”的逆否命题为真命题.

其中 真命题的序号是__________．（写出所有满足题意的序号）

17．下列有关命题的说法正确的是___（请填写所有正确的命题序号）．

①命题“若，则”的否命题为：“若，则”；

②命题“若，则”的逆否命题为真命题；

③条件，条件，则是的充分不必要条件；

④已知时，，若是锐角三角形，则.

18．下列说法正确的是______ 

①“若，则或”的否命题是真命题

②命题“”的否定是“”

③，使得

④“”是“表示双曲线”的充要条件．

19．下列命题中，正确的是___________.(写出所有正确命题的编号)

①在中，是的充要条件；

②函数的最大值是；

③若命题“，使得”是假命题，则；

④若函数，则函数在区间内必有零点.

20．已知，．若是的充分不必要条件，则的取值范围是________．

三、解答题

21．设，命题，命题.

（1）若p为真命题，求实数x的取值范围；

（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

22．已知原命题是“若则”.

（1）试写出原命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断所写命题的真假；

（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.

23．已知集合，．

（Ⅰ）当时，求，；

（Ⅱ）若，求实数的取值范围．

24．已知集合，集合，其中.

（1）若，求；

（2）设，.若是的充分不必要条件，求的取值范围.

25．设命题对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立.

（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；

（2）若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.

26．已知集合，函数的定义域为.

（1）求，；

（2）已知集合，若，求实数的取值范围．

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．B

解析：B

【分析】

通过举反例，判断出P成立推不出Q成立，通过判断逆否命题的真假，判断出原命题的真假得到后者成立能推出前者成立，由充分条件、必要条件的定义得到结论．

【详解】

当，时，Q不成立，即不成立，即充分性不成立；

判断必要性时，写出原命题：时，则或，

由于原命题不好判断，故转化为逆否命题进行判断，即原命题变为：

若且，则有，对于该命题，明显成立，所以，原命题也成立；即必要性成立；

所以P是Q的必要而不充分条件，

故选:B

【点睛】

关键点睛：判断一个命题是另一个命题的什么条件，一般先判断前者成立是否能推出后者成立，再判断后者成立能否推出前者成立；本题难点在于：利用逆否命题的真假性判断原命题的真假性，属于中档题．

2．A

解析：A

【分析】

解出不等式x2+x﹣2≤0的解集，求出补集，根据集合的运算法则求解.

【详解】

解不等式x2+x﹣2≤0得：-2≤x≤1，CUM=，

N＝{y|y＝}，

（CUM）∪N={x|x＜﹣2或x≥0}.

故选：A

【点睛】

此题考查集合的基本运算，关键在于准确求解二次不等式，根据集合的运算法则求解.

3．C

解析：C

【分析】

构造函数，据，的范围结合函数的单调性确定充分条件，还是必要条件即可．

【详解】

设，显然在上单调递增，

，

所以

，

即，故充分性成立，

因为

，

所以，

，

故必要性成立，

故“”是“”的充要条件，

故选：C．

【点睛】

本题考查了函数的单调性，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查了构造函数法的应用，是基础题．

4．B

解析：B

【解析】

 ，所以 ，选A.

点睛：形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解.

5．C

解析：C

【分析】

由集合的交集运算即可得出结果.

【详解】

故选：C

【点睛】

本题考查了集合的交集运算，考查了计算能力，属于一般题目.

6．B

解析：B

【解析】

当α⊥β时，平面α内的直线m不一定和平面β垂直，但当直线m垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．

7．A

解析：A

【分析】

先求出集合A，然后进行交集的运算即可．

【详解】

A={x|-4≤x≤4}；

∴A∩B=（0，4]． 

故选A．

【点睛】

本题主要考查了集合描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算，属于中档题．

8．A

解析：A

【分析】

由可知，，据此逐一考查所给的集合是否满足题意即可.

【详解】

由可知，，

对于A：＝，符合题意.

对于B：＝，没有元素1，所以不包含A；

对于C：＝，不合题意；

D显然不合题意，

本题选择A选项.

【点睛】

本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

9．C

解析：C

【分析】

利用向量垂直的表示、向量数量积的运算，结合充分必要条件的定义判断即可.

【详解】

由于点，，不共线，则“”；

故“”是“”的充分必要条件.

故选：C.

【点睛】

本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题.

10．A

解析：A

【分析】

由可推导出，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】

由可得，

，则，

则“，”“”，但“”“，”.

所以，“，”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】

本题考查充分不必要条件的判断，考查推理能力，属于中等题.

11．B

解析：B

【分析】

根据向量的运算性质结合充分条件和必要条件的判定，即可得出答案.

【详解】

当时，，推不出

当时，，则

即“”是“”的必要不充分条件

故选：B

【点睛】

本题主要考查了判断必要不充分条件，属于中档题.

12．C

解析：C

【分析】

由绝对值不等式的基本性质，集合充分必要条件的判定方法，即可求解．

【详解】

由题意，a，，，

可得且，所以充分性是成立的；

反之，可得，即，所以必要性是成立的，

综上可得：a，，是成立的充要条件．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了绝对值不等式的基本性质，以及充分条件、必要条件的判定方法，其中解答中熟练应用绝对值不等式的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．

二、填空题

13．【分析】根据题意写出原命题的否定则其是一个真命题再据此求范围即可【详解】因为使得是假命题所以其否定:是真命题又时所以故答案为:【点睛】本题考查命题的真假关系考查三角函数求最值属于简单题在解决命题真假

解析：

【分析】

根据题意,写出原命题的否定,则其是一个真命题,再据此求范围即可.

【详解】

因为“使得”是假命题,

所以其否定:“,”是真命题,

又时,,

所以,

故答案为:.

【点睛】

本题考查命题的真假关系,考查三角函数求最值,属于简单题.在解决命题真假性相关问题时,若原命题不好求解,可以考虑与之相关的其他命题,比如命题的否定,逆否命题等.

14．数列为等差数列且【分析】根据题意设该数列为由数列的前项和公式分析可得数列为等差数列且反之验证可得成立综合即可得答案【详解】根据题意设该数列为若数列的前项和则当时当时当时符合故有数列为等差数列且反之当

解析：数列为等差数列且，．

【分析】

根据题意，设该数列为，由数列的前项和公式分析可得数列为等差数列且，，反之验证可得成立，综合即可得答案．

【详解】

根据题意，设该数列为，

若数列的前项和，则当时，，

当时，，

当时，符合，

故有数列为等差数列且，，

反之当数列为等差数列且，时，，；

故数列的前项和”成立的充要条件是数列为等差数列且，，

故答案为：数列为等差数列且，．

【点睛】

本题考查充分必要条件的判定，关键是掌握充分必要条件的定义，属于基础题．

15．【分析】根据集合的交集补集运算即可求解【详解】因为所以因此故答案为【点睛】本题主要考查了集合的补集交集运算属于中档题

解析：

【分析】

根据集合的交集补集运算即可求解.

【详解】

因为，

所以

因此.

故答案为

【点睛】

本题主要考查了集合的补集，交集运算，属于中档题.

16．②【分析】①写出命题的否定即可判定正误；②由为假命题得到命题都是假命题由此可判断结论正确；③由时不成立反之成立由此可判断得到结论；④举例说明原命题是假命题得出它的逆否命题也为假命题【详解】对于①中命

解析：②

【分析】

①写出命题“”的否定，即可判定正误；

②由为假命题，得到命题都是假命题，由此可判断结论正确；

③由时，不成立，反之成立，由此可判断得到结论；

④举例说明原命题是假命题，得出它的逆否命题也为假命题．

【详解】

对于①中，命题“”的否定为“”，所以不正确；

对于②中，命题满足为假命题，得到命题都是假命题，所以都是真命题，所以为真命题，所以是正确的；

对于③中，当时，则不一定成立，当时，则成立，所以是成立的必要不充分条件，所以不正确；

对于④中，“若则且”是假命题，如时，

所以它的逆否命题也是假命题，所以是错误的；

故真命题的序号是②．

【点睛】

本题主要考查了命题的否定，复合命题的真假判定，充分与必要条件的判断问题，同时考查了四种命题之间的关系的应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，着重考查了推理与论证能力．

17．②④【分析】根据否命题与原命题的关系可判断命题①的真假；判断出原命题的真假可判断出其逆否命题的真假从而判断出命题②的真假；解出不等式以及根据集合的包含关系得出命题③的真假；根据得出函数在上的单调性由

解析：②④

【分析】

根据否命题与原命题的关系可判断命题①的真假；判断出原命题的真假可判断出其逆否命题的真假，从而判断出命题②的真假；解出不等式以及，根据集合的包含关系得出命题③的真假；根据得出函数在上的单调性，由是锐角三角形，得出，结合函数的单调性判断命题④的真假.

【详解】

对于①，命题“若，则”的否命题是：“若，则”，故错误；

对于②，命题“若，则”是真命题，则它的逆否命题也是真命题，故正确；

对于③，条件 ，即为或；条件，即为；则是的充分不必要条件，故错误；

对于④，时，，当时，，

则在上是增函数；当是锐角三角形，，即，

所以，则，故正确.

故答案为②④.

【点睛】

本题考查命题真假的判断，涉及四种命题、充分必要条件的判断以及函数单调性的应用，解题时应根据这些基础知识进行判断，考查推理能力，属于中等题.

18．①②④【分析】分别判断每个选项的真假最后得到答案【详解】①若则或的否命题为：若则且正确②命题的否定是正确③使得设即恒成立错误④是表示双曲线的充要条件当是：表示双曲线当表示双曲线时：故是表示双曲线的充

解析：①②④

【分析】

分别判断每个选项的真假，最后得到答案.

【详解】

①“若，则或”的否命题为：若，则且，正确

②命题“”的否定是“”，正确

③，使得.

设 

即恒成立，错误

④“”是“表示双曲线”的充要条件

当是：表示双曲线

当表示双曲线时：

故“”是“表示双曲线”的充要条件

故答案为①②④

【点睛】

本题考查了否命题，命题的否定，充要条件，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.

19．①③④【分析】根据正弦定理及三角形的性质可判断（1）；利用均值不等式可判断（2）；利用假命题求参数的范围可判断（3）；利用零点存在性定理可判断（4）【详解】解：对于（1）sinA＞sinB⇔2Rsi

解析：①③④

【分析】

根据正弦定理，及三角形的性质，可判断（1）；利用均值不等式，可判断（2）；利用假命题求参数的范围，可判断（3）；利用零点存在性定理，可判断（4）.

【详解】

解：对于（1），sinA＞sinB⇔2RsinA＞2RsinB⇔a＞b⇔A＞B（其中R为△ABC外接圆半径），故（1）正确；

对于（2），x（1﹣x）+1≤﹣21＝﹣2+1，当且仅当x＝时取等号，故（2）错误；

对于（3），若命题“，使得”是假命题⇔命题：“∀x∈R，使得ax2+（a﹣3）x+1＞0”恒成立．

∵a＝0时，不符合题意，

∴∴，故（3）正确；

对于（4），∵，∴3a+2b+2c＝0，∴．

又f（0）＝c，f（2）＝4a+2b+c，

∴f（2）＝a﹣c．

（i）当c＞0时，有f（0）＞0，又∵a＞0，∴，故函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点，故在区间（0，2）内至少有一个零点．

（ii）当c≤0时，f（1）＜0，f（0）＝c≤0，f（2）＝a﹣c＞0，∴函数f（x）在区间（1，2）内有一零点，故（4）正确.

故正确答案为：①③④

【点睛】

本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，熟练掌握正弦定理，均值不等式，二次函数的，图象和性质，函数零点存在定理，是解答的关键．

20．【分析】解不等式和由题意可得是的必要不充分条件转化为两集合的包含关系由此可求得实数的取值范围【详解】因为是的充分不必要条件所以是的必要不充分条件解不等式得解不等式解得 所以即因此实数的取值范围是故答

解析：

【分析】

解不等式和，由题意可得是的必要不充分条件，转化为两集合的包含关系，由此可求得实数的取值范围.

【详解】

因为是的充分不必要条件，所以是的必要不充分条件，

解不等式，得，解不等式，解得.

，， ，

所以，即．

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用充分不必要条件求参数，解答的关键就是转化为集合的包含关系来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

三、解答题

21．（1）；（2）

【分析】

（1）解不等式即可求解；

（2）设命题成立对应集合，命题成立对应集合，由题意可得是的真子集，利用数轴即可求解.

【详解】

（1）若p为真命题，则，即且，

由得或，

由可得，

所以解集为：，

故实数x的取值范围为，

（2）由（1）知：p为真命题，则，设，

由可得，设，

若p是q的充分不必要条件，则是的真子集，

所以，解得： ，

经检验当和时满足是的真子集，

所以实数m的取值范围是

【点睛】

结论点睛：从集合的观点判断命题的充分条件和必要条件的规则

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

22．（1）逆命题：“若则”，假命题；否命题：“若则”，假命题；逆否命题：“若则”，真命题；（2）

【分析】

（1）根据逆命题，否命题，逆否命题的定义，可得逆命题，否命题，逆否命题，求解对应不等式的范围，以及原命题，逆否命题同真假，逆命题否命题同真假，可得解；

（2）若“”是“”的必要不充分条件，则不等的解构成的集合为的解集的真子集.分，，三种情况讨论即得解.

【详解】

（1）根据逆命题，否命题，逆否命题的定义，

逆命题：“若则”；

否命题：“若则”；

逆否命题：“若则”.

即：；

即：

可得：原命题“若则”是真命题，

逆命题“若则”是假命题，

根据原命题，逆否命题同真假，逆命题否命题同真假，可得：逆否命题为真，否命题为假.

（2）若“”是“”的必要不充分条件，则不等式的解构成的集合为的解集的真子集.

对应方程的根为

若，不等式的解为,不成立；

若，不等式的解为，不成立；

若，不等式的解为，若构成的集合是构成的集合的真子集，则.

综上：实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查了命题的四种形式以及充分必要条件，考查了学生综合分析，逻辑推理，转化划归，分类讨论的能力，属于中档题.

23．（Ⅰ），或；（Ⅱ）.

【分析】

（Ⅰ）解不等式求得集合，再由交并集的定义求解；

（Ⅱ）求出与，然后分析两集合有公共元素时的不等关系，可得的范围．

【详解】

由得，所以

由，得，

解得或，所以或．

（Ⅰ）当时，，

所以，或

（Ⅱ）因为或，

所以．

又因为，所以，解得．

所以实数的取值范围是．

【点睛】

本题考查集合的表示、运算，考查集合间的关系，考查一元二次不等式的解法．属于基础题．

24．（1）；（2），.

【分析】

分别求解一元二次不等式化简与．

（1）把代入集合，再由交、并、补集的混合运算得答案；

（2）由是的充分不必要条件，得，进一步转化为两集合端点值间的关系列不等式组求解．

【详解】

，

或．

（1）若，则或，，

；

（2）若是的充分不必要条件，

或

则．

且不等式组中两等号不同时成立，解得．

的取值范围是，．

【点睛】

本题考查交、并、补集的混合运算以及利用包含关系求参数，考查充分条件与必要条件的判定方法，考查数学转化思想方法，是中档题．

25．（1）（2）或

【分析】

（1）命题为真，只需，根据一次函数的单调性，转化为求关于的一元二次不等式；

（2）命题为真，只需，根据二次函数的性质，求出的范围，依题意求出真假，和假真时，实数m的取值范围.

【详解】

（1）对于命题p：对任意，不等式恒成立，

而，有，，，

所以p为真时，实数m的取值范围是；

（2）命题q：存在，使得不等式成立，

只需，而，，，，

即命题q为真时，实数m的取值范围是，

依题意命题一真一假，

若p为假命题， q为真命题，则，得；

若q为假命题， p为真命题，则，得，

综上，或.

【点睛】

本题考查不等式恒（或存在）成立与函数最值关系，以及命题真假关系求参数范围，考查等价转化思想，计算求解能力，属于中档题.

26．（1），；（2）.

【分析】

（1）求出集合、，利用补集的定义可得出集合，利用补集和交集的定义可得出集合；

（2）分和两种情况讨论，根据题意得出关于实数的不等式（组），解出即可.

【详解】

（1）解不等式，即，解得，得.

对于函数，有，解得，则.

，，则；

（2）当时，，得到，符合题意； 

当时，或，解得或.

综上所述，实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查交集、补集与并集的计算，同时也考查了利用交集的结果求参数，解题的关键就是对集合是否为空集进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.