数学分析试题库--证明题

五．证明题

1．设A，B为R中的非空数集，且满足下述条件：

（1）对任何有；

（2）对任何，存在，使得.

证明：

2.设A，B是非空数集，记，证明：

（1）；

（2）

3. 按定义证明

4.如何用ε-N方法给出的正面陈述？并验证||和||是发散数列.

5.用方法验证：

.

6．  用方法验证：

.

7 . 设，在某邻域内，又证明

.

8.设在点的邻域内有定义.试证：若对任何满足下述条件的数列，

（1），，

（2），都有，

则.

9.  证明函数

在处连续，但是在处不连续.

10.设在（0，1）内有定义，且函数与在（0，1）内是递增的，试证在（0，1）内连续.

11.  试证函数，在上是不一致连续的.

12.  设函数在（a,b）内连续，且==0，证明在（a,b）内有最大值或最小值.

13.  证明：若在有限区间（a,b）内单调有界函数是连续的，则此函数在（a,b）内是一致连续的.

14 . 证明：若在点a处可导，f（x）在点a处可导.

15. 设函数内可导，在[a,b]上连续，且导函数严格递增，若证明，对一切均有

16.  设函数在内可导，并且，试证：若当时，有则存在唯一的使得，又若把条件减弱为，所述结论是否成立？

17. 证明不等式

18.设为上的连续函数，对所有，且，证明必能取到最大值.

19. 若函数在上二阶可导, 且，，，则存在使得.

20. 应用函数的单调性证明

21. 设函数 （为实数），

试问：

（1）等于何值时，在连续；

（2）等于何值时，在可导；     

（3）等于何值时，在连续；

22. 设在上具有二阶导数，且满足条件，，

其中都是非负常数，是内的任一点，证明

23. 设函数上连续，在（a,b）内二阶可导，则存在使得

24. 若在点的某个领域上有阶连续导函数,试由泰勒公式的拉格朗日型余项推导佩亚诺型余项公式.

25. 用泰勒公式证明:设函数在上连续,在内二阶可导,则存在,使得

.

26. 设函数在上二阶可导,且在上,.证明在上成立

.

27. 设是开区间I上的凸函数,则对任何,在上满足利普希茨(Lipschitz)条件,即存在,对任何,成立

.

28. 设在 上满足Lipschitz条件：, 证明在上一致连续.

29. 试证明方程在区间内有唯一实根。

30. 设函数在点具有连续的二阶导数，试证明：

31. 设在上可导，且

.

求证：存在，使.

32. 设在上连续，在内有阶导数，且存在个点满足：

求证：存在，使.  

33. 设函数在点存在左右导数，试证在点连续.

34. 设函数在上可导，证明：存在，使得

.

35．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：

，其中.

36.证明:任何有限数集都没有聚点.

37.设是一个严格开区间套,即满足

    ,

且.证明:存在唯一的一点,使得.

38.设为单调数列.证明:若存在聚点,则必是唯一的,且为的确界.

39.若函数在闭区间上连续,证明在上一致连续.

40.若函数在闭区间上连续, 证明在上有界.

41.若函数在闭区间上连续,证明在上有最大值.

42.若函数在闭区间上连续且单调增加,

证明为上的增函数.

43.函数在闭区间上连续.证明.

44.若函数在闭区间上单调,证明在上可积.

45.若函数在闭区间上连续,且不恒等于零,证明.

46.设函数为上以为周期的连续周期函数.证明对任何实数,恒有

    .

47.若函数在上连续,且,证明.

48.若函数和在上可积,证明.

49.若函数在上可积,且为偶函数,证明.

50.若函数在上可积,证明函数在上连续.

51.若函数在闭区间上连续,且.若为介于与之间的任何实数,则存在,使得.

52. 若函数在上连续,证明函数在上处处可导,且

    .

53.若数列有,则级数发散.

54.设为正项级数,且存在常数,使得对一切,成立.证明级数收敛.

55.设和为正项级数,且对一切,成立.级数收敛.证明级数也收敛.

56.设正项级数收敛.证明级数也收敛.试问反之是否成立?

57.设,且有界,证明级数收敛.

58.设级数收敛.证明级数也收敛.

59.若,且级数绝对收敛,证明级数也收敛. 若上述条件中只知道级数收敛,能推得级数也收敛吗?

60.设,证明级数收敛.

61. . 证明在内, .

62. 设数列单调收敛于零.试证明:级数在区间 上一致收敛.

63. 几何级数 在区间上一致收敛；但在内非一致收敛.

. 设数列单调收敛于零 . 证明 : 级数  在区间 上一致收敛.

65. 证明级数在R内一致收敛 .

66. 证明函数满足微分方程 .

67. 设  证明对存在并求其值.

68. 证明：幂级数的和函数为,.并求级数和Leibniz级数的和.

69. 证明：幂级数的和函数为 , .并利用该幂级数的和函数求幂级数的和函数以及数项级数的和.

70. 证明幂级数的和函数为，并利用该幂级数的和函数求数项级数的和.

71. 设是以为周期的分段连续函数, 又  满足

.

求证  的Fourier系数 满足

72. 设是以为周期的分段连续函数, 又设  是偶函数，且满足

.

求证： 的Fourier系数

73．求证函数系是上的正交函数系.

74．设是以为周期的连续的偶函数。又设关于对称，试证：的傅立叶系数：

.

75. 设是以为周期的可微周期函数，又设连续，是的Fourier系数.求证：

.

76. 证明极限不存在。

77. 用极限定义证明： 

78. 证明极限不存在.

79. 设在 连续，证明：对在连续.

80. 证明：如果在 连续，且，则对任意,对一切有

81. 证明：在点处连续且偏导数不存在.

82. 证明； 

在点连续，且不存在.

83. 证明

在 点处连续且偏导数存在.

84. 设 函数在的某邻域内存在偏导数，若属于该邻域，则存在和 ， 使得            

。

85. 证明：

  ,

在点不可微.

86. 证明: 对任意常数, 球面与锥面是正交的.

87. 证明: 以为参数的曲线族

是相互正交的(当相交时).

88. 证明: 由方程所确定的隐函数满足

,

其中二阶可导.

. 设, 证明

90. 证明含参量反常积分

在上一致收敛，但在内不一致收敛。

91. 证明含参量的反常积分

为常数

是一致收敛的.

92. 证明含参量的反常积分

是一致收敛的.

93. 若在内可积, 证明

.

94.证明在整个XY平面上是某个函数

的全微分, 并找出这样一个原函数. 

95.设一力场为 F i +j . 证明质点在此力场内移

动时, 场力所作的功与路径无关. 

96.证明, 其中L是球面 与平面 的交线 ( 它是圆周 ) , 从X轴的正向看去, 此圆周呈逆时针方向.

97.证明, 其中L是圆柱面与平面 的交线(它是椭圆 ) , 从X轴的正向看去, 此椭圆周呈逆时针方向.

98.证明=,其中L是圆柱面与平面( )的交线( 它是椭圆 ) , 从X轴的正向看去 , 此椭圆周呈逆时针方向.

99.证明：若为有界闭区域D上的非负连续函数，且在D上不恒为零，则

. 

100.证明二重积分

=，其中.

101.设是上的正值连续,,则

.

102.设在所围区域上连续,则

.

103.证明,其中由，

所围成的有界闭区域.

104.证明,其中是左半球面,。

105.证明=,  其中是区域 的边界.

106.证明,  是锥面被柱面所截部分.

107.证明, 其中是中心在原点 , 边长为的立方体 的边界.

108.证明=, 其中是椭球面的上半部分 , 积分沿外侧.