2012年陕西省专升本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 5. 综合题 6. 证明题 

选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1． x=0是函数的

A．可去问断点

B．连续点

C．无穷间断点

D．跳跃间断点

正确答案：A           

解析：因为即f(x)在x=0处极限存在但f(x)在x=0处无定义，所以x=0为可去间断点，所以选A。

2． 设∫f(x)dx=ex+C，则不定积分∫f(x)exdx=

A．2ex+C

B．

C．

D．2e2x+C

正确答案：C           

解析：由∫(x)dx=ex+C两边同时对x求导得f(x)=ex，把f(x)=ex代入∫f(x)exdx有，所以选C。

3． 函数在点x=1处

A．可导且f’(1)=2

B．不可导

C．不连续

D．不能判定是否可导

正确答案：A           

解析：由原式可得由此可知在x=1处f’(1)=2，所以选A。

4． 设级数收敛于S，则级数收敛于

A．S

B．2S

C．2S+u1

D．2S一u1

正确答案：D           

解析：设的前n项和为Tn，则Tn=(u1+u2)+(u2+u3)+…+(un+un+1)=2(u1+u2+u3+…+un)一u1+un+1=2Sn一u1+un+1

5． 微分方程的通解为

A．ey+ex=C

B．ey一ex=C

C．e-y+ex=C

D．e-y一ex=C

正确答案：B           

解析：即ey一ex=c，所以选B。

填空题

6． 设函数在x=0处连续，则a的值为_________．

正确答案：一1           

解析：由连续充要条件得．即有；0=1+a  解得a=一1

7． 设函数f(x)在点x0处可导，且f’(x0)=2，则的值为__________.

正确答案：4           

解析：

8． 设函数f(x，y，z)=x2+y2+z2，则函数f(x，y，z)在点(1，1，一1)处的梯度gradf(1，1，一1)为___________．

正确答案：2(i+j一k)           

解析：gradf(1，1，一1)={fx’(1，1，一1),fy’(1，1，一1)，fz’(1，1，一1)}={2，2，一2}或写成2(i+j一k)．

9． 设方程∫0xsintdt+∫0ye-tdt=xy确定函数y=y(x)，则=_________．

正确答案：           

解析：公式法求：

10． 曲面z=x2+2y2一1在点(1，1，2)处的切平面方程为__________．

正确答案：2x+4y—z一4=0           

解析：由题知法向量为n={zx’(1，1，2)，zy’(1，1，2)，一1)，即n={2，4，一1)，故在点(1，1，2)处法平面方程为：2(x一1)+4(y一1)一(2—2)=0，即2x+4y—z一4=0．

综合题

11． 求极限

正确答案：   

12． 设参数方程

正确答案：   

13． 求函的单调区间和极值．

正确答案：当时，f’(x)＞0，故函数f(x)在(一∞，0]和内单调增加，在内单调减少,函数f(x)在x=0取得极大值f(0)=0，在处取得极小值   

14． 设函数，其中f具有二阶连续偏导数，求

正确答案：   

15． 计算定积分

正确答案：   

16． 计算二重积分，其中D是由圆与直线y=x及y轴所围成第一象限的区域．

正确答案：   

17． 将函数展开为(x一1)的幂级数，指出展开式成立的区间，并求级数

正确答案：   

18． 设函数，求函数f(x，y，z)的偏导数及在点(1,1，1)处的全微分df(1，1,1)

正确答案：   

19． 设L为取正向的圆周x2+y2=4，计算曲线积分

正确答案：   

20． 求微分方程y’’一y=3e2x满足初始条件y｜x=0=1，y’｜x=04的特解?

正确答案：特征方程r2一1=0，r1,2=±1对应齐次方程的通解为y=C1ex+C2e-x，求出其一个特解为  y*=e2x其通解为：y=C1ex+C2e-x+e2x解出C1=1，C2=一1满足初始条件的特解为y=ex一e-x+e2x   

证明题

21． 设曲线方程为y=1一x2，(1)求该曲线及其在点(1，0)和点(-1，0)处的法线所围成的平面图形的面积；(2)求上述平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积．

正确答案：y’=一2x由线在点(1，0)处的法线方程为曲线在点(一1，0)处的法线方程为(1)所求面积为(2)所求体积为   

22． 设函数f(x)在[0，1]上连续，且∫01f(x)dx=0，证明：在(0，1)内至少存在点ξ，使得

正确答案：令F(x)=x∫0xf(t)dt，则F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)=F(1)=0由Rolle定理知，至少存在一点ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=ξf(ξ)+∫0tf(t)dt=0即  ξf(ξ)+｜f(x)dx=0