2012年内蒙古赤峰市中考数学试卷及详解

一．选择题（共8小题）

1．的倒数是（　　）

　    A．    B．    C．5    D． 

2．下列运算正确的是（　　）

　    A．    B．    C．    D． 

3．我们虽然把地球称为“水球”，但可利用淡水资源匮乏．我国淡水总量仅约为9000亿米，用科学记数法表示这个数为（　　）

　    A．0.9×104亿米3    B．8.99×105亿米3    C．8.99×104亿米3    D．.9×104亿米3

4．一个空心的圆柱如图所示，那么它的主视图是（　　）

　    A．    B．    C．    D．

5．已知两圆的半径分别为3cm、4cm，圆心距为8cm，则两圆的位置关系是（　　）

　    A．外离    B．相切    C．相交    D．内含

6．下列说法正确的是（　　）

　    A．随机掷一枚硬币，正面一定朝上，是必然事件

　    B．数据2，2，3，3，8的众数是8

　    C．某次抽奖活动获奖的概率为，说明每买50张奖券一定有一次中奖

　    D．想了解赤峰市城镇居民人均年收入水平，宜采用抽样调查

7．解分式方程的结果为（　　）

　    A．1    B．    C．    D．无解

8．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，以点C为圆心，CD为半径的弧与BC交于点E，四边形ABED是平行四边形，AB=3，则扇形CDE（阴影部分）的面积是（　　）

　    A．    B．    C．π    D．3π

二．填空题（共8小题）

9．一个n边形的内角和为1080°，则n=      ．

10．因式分解： =                          ．

11．化简=      ．

12．如图，在菱形ABCD中，BD为对角线，E、F分别是DC．DB的中点，若EF=6，则菱形ABCD的周长是        ．

13．投掷一枚质地均匀的骰子两次，两次的点数相同的概率是    ．

14．存在两个变量x与y，y是x的函数，该函数同时满足两个条件：①图象经过（1，1）点；②当x＞0时，y随x的增大而减小，这个函数的解析式是                      （写出一个即可）．

15．某中学的学生自己动手整修操场，如果让初二学生单独工作，需要6小时完成；如果让初三学生单独工作，需要4小时完成．现在由初二、初三学生一起工作x小时，完成了任务．根据题意，可列方程为                ．

16．将分数化为小数是，则小数点后第2012位上的数是      ．

三．解答题（共9小题）

17．计算：；

18．求不等式组的整数解．

19．如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB．

（1）尺规作图：过顶点A作△ABC的角平分线AD；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在AD上任取一点E，连接BE、CE．求证：△ABE≌△ACE．

20．如图，王强同学在甲楼楼顶A处测得对面乙楼楼顶D处的仰角为30°，在甲楼楼底B处测得乙楼楼顶D处的仰角为45°，已知甲楼高26米，求乙楼的高度．（≈1.7）

21．甲、乙两名运动员在相同的条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示：

（1）请你根据图中数据填写下表：

（1）求证：四边形CDOF是矩形；

（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．

23．（2012赤峰）如图，直线与双曲线相交于点A（a，2），将直线l1向上平移3个单位得到l2，直线l2与双曲线相交于B．C两点（点B在第一象限），交y轴于D点．

（1）求双曲线的解析式；

（2）求tan∠DOB的值．

24．（2012赤峰）如图，AB是⊙O的弦，点D是半径OA上的动点（与点A．O不重合），过点D垂直于OA的直线交⊙O于点E、F，交AB于点C．

（1）点H在直线EF上，如果HC=HB，那么HB是⊙O的切线吗？请说明理由；

（2）连接AE、AF，如果，并且CF=16，FE=50，求AF的长．

25．（2012赤峰）如图，抛物线与x轴交于A．B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求直线AF的解析式；

（3）在直线AF上是否存在点P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

26．（2012赤峰）阅读材料：

（1）对于任意两个数的大小比较，有下面的方法：

当时，一定有；

当时，一定有；

当时，一定有．

反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．

（2）对于比较两个正数的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：

∵， 

∴（）与（）的符号相同

当＞0时，＞0，得

当=0时， =0，得

当＜0时，＜0，得

解决下列实际问题：

（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：

①W1=              （用x、y的式子表示）

W2=              （用x、y的式子表示）

②请你分析谁用的纸面积最大．

（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A．B两镇供气，已知A．B到l的距离分别是3km、4km（即AC=3km，BE=4km），AB=xkm，现设计两种方案：

方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1=AB+AP．

方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a2=AP+BP．

①在方案一中，a1=              km（用含x的式子表示）；

②在方案二中，a2=    km（用含x的式子表示）；

③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．

1、考点：倒数。

解答：解：∵|﹣5|=5，5的倒数是，

∴|﹣5|的倒数是．

故选A．

2、考点：完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法。

解答：解：A．x5与x3不是同类项，无法合并，故本选项错误；

B．根据完全平方公式得：（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误；

C．（mn3）3=m3n9，故本选项错误；

D．p6÷p2=p4，故本选项正确．

故选D．

3、考点：科学记数法—表示较大的数。

解答：解：9000亿米3=8.99×105亿米3，

故选：B．

4、考点：简单组合体的三视图。

解答：解：根据主视图的定义，得出它的主视图是：

故选A．

5、考点：圆与圆的位置关系。

解答：解：∵两圆的半径分别为3cm、4cm，

∵两圆的半径和为：3+4=7（cm），

∵圆心距为8cm＞7cm，

∴两圆的位置关系是：外离．

故选A．

6、考点：概率的意义；全面调查与抽样调查；众数；随机事件。

解答：解：A．随机掷一枚硬币，正面一定朝上，是随机事件，故本选项错误；

B．数据2，2，3，3，8的众数是2或3，故本选项错误；

C．某次抽奖活动获奖的概率为，不能说明每买50张奖券一定有一次中奖，故本选项错误；

D．想了解赤峰市城镇居民人均年收入水平，宜采用抽样调查，故本选项正确．

故选D．

7、考点：解分式方程。

解答：解：方程的两边同乘（x﹣1）（x+2），

得：x+2=3

解得：x=1．

检验：把x=1代入（x﹣1）（x+2）=0，即x=1不是原分式方程的解．

则原分式方程无解．

故选D．

8、考点：扇形面积的计算；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；等腰梯形的性质。

解答：解：∵四边形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，

∴AB=CD；

又∵四边形ABED是平行四边形，

∴AB=DE（平行四边形的对边相等），

∴DE=DC=AB=3；

∵CE=CD，

∴CE=CD=DE=3，

∴∠C=60°，

∴扇形CDE（阴影部分）的面积为：=；

故选A．

9、考点：多边形内角与外角。

解答：解：（n﹣2）•180°=1080°，

解得n=8．

10、考点：提公因式法与公式法的综合运用。

解答：解：x3﹣xy2=x（x2﹣y2）

=x（x﹣y）（x+y）．

故答案为：x（x﹣y）（x+y）．

11、考点：分式的乘除法；因式分解-运用公式法；约分。

解答：解：原式=×=1，

故答案为：1．

12、考点：菱形的性质；三角形中位线定理。

解答：解：∵AC是菱形ABCD的对角线，E、F分别是DC．DB的中点，

∴EF是△BCD的中位线，

∴EF=BC=6，

∴BC=12，

∴菱形ABCD的周长是4×12=48．

故答案为：48．

13、考点：列表法与树状图法。

解答：解：列表得：

故答案为：．

14、考点：反比例函数的性质。

解答：解：设此函数的解析式为y=（k＞0），

∵此函数经过点（1，1），

∴k=1，

∴答案可以为：y=（答案不唯一）．

故答案为：y=（答案不唯一）．

15、考点：由实际问题抽象出一元一次方程。

解答：解：根据题意得：初二学生的效率为，初三学生的效率为，

则初二和初三学生一起工作的效率为（），

∴列方程为：（）x=1．

故答案为：（+）x=1．

16、考点：规律型：数字的变化类。

解答：解：∵化为小数是，

∴2012÷6=335（组）…2（个）；

所以小数点后面第2012位上的数字是：5；

故答案为：5．

17、考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。

解答：解：原式=．

18、考点：一元一次不等式组的整数解。

解答：解： 

解①得：x≤1，

解②得：x＞﹣4，

解集为：﹣4＜x≤1，

整数解为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1．

19、考点：全等三角形的判定；等腰三角形的判定；作图—基本作图。

解答：（1）解：如图所示：

（2）证明：∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠BAD=∠CAD，

∵∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

∵在△ABE和△ACE中

，

∴△ABE≌△ACE（SAS）．

20、考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。

解答：解：作AE⊥DC于点E        

∴∠AED=90°

∵∠ABC=∠BCD=∠CEA=90°

∴四边形ABCE是矩形

∴AE=BC AB=EC     

设DC=x

∵AB=26

∴DE=x﹣26

在Rt△AED中，tan30°=，

即

解得：x≈61.1

答：乙楼高为61.1米

21、考点：折线统计图；算术平均数；中位数；方差。

解答：解：（1）S甲2=[（6﹣7）2+（6﹣7）2+（7﹣7）2+（6﹣7）2+（6﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2+（9﹣7）2]，

=（1+1+0+1+1+0+1+0+1+4），

=1，

乙按照成绩从低到高排列如下：4、6、6、6、7、7、7、8、9、10，

第5个与第6个数都是7，

所以，乙的中位数为7；…（6分）

（2）答：因为甲、乙的平均数与中位数都相同，甲的方差小，所以更稳定，因此甲的成绩好些．…（10分）

22、考点：正方形的判定；矩形的判定。

解答：（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），

∴∠AOC=2∠COD，∠COB=2∠COF，

∵∠AOC+∠BOC=180°，

∴2∠COD+2∠COF=180°，

∴∠COD+∠COF=90°，

∴∠DOF=90°；

∵OA=OC，OD平分∠AOC（已知），

∴OD⊥AC，AD=DC（等腰三角形的“三合一”的性质），

∴∠CDO=90°，

∵CF⊥OF，

∴∠CFO=90°

∴四边形CDOF是矩形；

（2）当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形；

理由如下：∵∠AOC=90°，AD=DC，

∴OD=DC；

又由（1）知四边形CDOF是矩形，则

四边形CDOF是正方形；

因此，当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形．

23、考点：反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与几何变换；锐角三角函数的定义。

解答：解：（1）∵A（a，2）是y=x与y=的交点，

∴A（2，2），

把A（2，2）代入y=，得k=4，

∴双曲线的解析式为y=；

（2）∵将l1向上平移了3个单位得到l2，

∴l2的解析式为y=x+3，

∴解方程组，

得，，

∴B （1，4），

∴tan∠DOB=．

24、考点：圆的综合题。

解答：解：（1）HB是⊙O的切线，理由如下：

连接OB．

∵HC=HB，∴∠HCB=∠HBC，

又∵OB=OA，∴∠OAB=∠OBA，

∵CD⊥OA，∴∠ADC=90°，

∴∠ACD+∠OAB=90°，

∵∠ACD=∠HCB，∴∠OBA+∠HBA=90°，

∴HB⊥OB，

∴HB是⊙O的切线；

（2）∵=，

∴∠FAB=∠AEF，

又∵∠AFE=∠CFA，

∴△AFE∽△CFA，

∴，

∴AF2=CF•FE，

∵CF=16，FE=50，

∴AF==20．

25、考点：二次函数综合题。

解答：解：（1）∵y=x2﹣bx﹣5，

∴|OC|=5，

∵|OC|：|OA|=5：1，

∴|OA|=1，

即A（﹣1，0），…（2分）

把A（﹣1，0）代入y=x2﹣bx﹣5得

（﹣1）2+b﹣5=0，

解得b=4，

抛物线的解析式为y=x2﹣4x﹣5；…（4分）

（2）∵点C与点F关于对称轴对称，C（0，﹣5），设F（x0，﹣5），

∴x02﹣4x0﹣5=﹣5，

解得x0=0（舍去），或x0=4，

∴F（4，﹣5），…（6分）

∴对称轴为x=2，

设直线AF的解析式为y=kx+b，

把F（4，﹣5），A（﹣1，0），代入y=kx+b，

得，

解得，

所以，直线FA的解析式为y=﹣x﹣1；…（8分）

（3）存在．…（9分）

理由如下：①当∠FCP=90°时，点P与点E重合，

∵点E是直线y=﹣x﹣1与y轴的交点，

∴E（0，﹣1），

∴P（0，﹣1），…（10分）

②当CF是斜边时，过点C作CP⊥AF于点P（x1，﹣x1﹣1），

∵∠ECF=90°，E（0，﹣1），C（0，﹣5），F（4，﹣5），

∴CE=CF，

∴EP=EF，

∴CP=PF，

∴点P在抛物线的对称轴上，…（11分）

∴x1=2，

把x1=2代入y=﹣x﹣1，得

y=﹣3，

∴P（2，﹣3），

综上所述，直线AF上存在点P（0，﹣1）或（0，﹣1）使△CFP是直角三角形．…（12分）

26、考点：轴对称-最短路线问题；整式的混合运算。

解答：（1）解：①W1=3x+7y，W2=2x+8y，

故答案为：3x+7y，2x+8y．

②解：W1﹣W2=（3x+7y）﹣（2x+8y）=x﹣y，

∵x＞y，

∴x﹣y＞0，

∴W1﹣W2＞0，

得W1＞W2，所以张丽同学用纸的总面积大． 

（2）①解：a1=AB+AP=x+3，

故答案为：x+3．

②解：过B作BM⊥AC于M，

则AM=4﹣3=1，

在△ABM中，由勾股定理得：BM2=AB2﹣12=x2﹣1，

在△A′MB中，由勾股定理得：AP+BP=A′B==，

故答案为：．

③解：=（x+3）2﹣（）2=x2+6x+9﹣（x2+48）=6x﹣39，

当＞0（即a1﹣a2＞0，a1＞a2）时，6x﹣39＞0，解得x＞6.5，

当=0（即a1﹣a2=0，a1=a2）时，6x﹣39=0，解得x=6.5，

当＜0（即a1﹣a2＜0，a1＜a2）时，6x﹣39＜0，解得x＜6.5，

综上所述

当x＞6.5时，选择方案二，输气管道较短，

当x=6.5时，两种方案一样，

当0＜x＜6.5时，选择方案一，输气管道较短．