2018年湖北省恩施州中考数学试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）

1．（3分）（2018•恩施州）﹣8的倒数是（　　）

A．﹣8    B．8    C．﹣    D．

2．（3分）（2018•恩施州）下列计算正确的是（　　）

A．a4+a5=a9    B．（2a2b3）2=4a4b6

C．﹣2a（a+3）=﹣2a2+6a    D．（2a﹣b）2=4a2﹣b2

3．（3分）（2018•恩施州）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

4．（3分）（2018•恩施州）已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（　　）

A．8.23×10﹣6    B．8.23×10﹣7    C．8.23×106    D．8.23×107

5．（3分）（2018•恩施州）已知一组数据1、2、3、x、5，它们的平均数是3，则这一组数据的方差为（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

6．（3分）（2018•恩施州）如图所示，直线a∥b，∠1=35°，∠2=90°，则∠3的度数为（　　）

A．125°    B．135°    C．145°    D．155°

7．（3分）（2018•恩施州）的立方根为（　　）

A．8    B．﹣8    C．4    D．﹣4

8．（3分）（2018•恩施州）关于x的不等式的解集为x＞3，那么a的取值范围为（　　）

A．a＞3    B．a＜3    C．a≥3    D．a≤3

9．（3分）（2018•恩施州）由若干个完全相同的小正方体组成一个立体图形，它的左视图和俯视图如图所示，则小正方体的个数不可能是（　　）

A．5    B．6    C．7    D．8

10．（3分）（2018•恩施州）一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店（　　）

A．不盈不亏    B．盈利20元    C．亏损10元    D．亏损30元

11．（3分）（2018•恩施州）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（　　）

A．6    B．8    C．10    D．12

12．（3分）（2018•恩施州）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：

①abc＞0；

②b2﹣4ac＞0；

③9a﹣3b+c=0；

④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；

⑤5a﹣2b+c＜0．

其中正确的个数有（　　）

A．2    B．3    C．4    D．5

二、填空题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分.不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）

13．（3分）（2018•恩施州）因式分解：8a3﹣2ab2=　   　．

14．（3分）（2018•恩施州）函数y=的自变量x的取值范围是　   　．

15．（3分）（2018•恩施州）在Rt△ABC中，AB=1，∠A=60°，∠ABC=90°，如图所示将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为　   　．（结果不取近似值）

16．（3分）（2018•恩施州）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为　   　个．

三、解答题（本大题共有8个小题，共72分.请在答题卷指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（8分）（2018•恩施州）先化简，再求值：•（1+）÷，其中x=2﹣1．

18．（8分）（2018•恩施州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．

求证：AD与BE互相平分．

19．（8分）（2018•恩施州）为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：

（1）a=　   　，b=　   　，c=　   　；

（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为　   　度；

（3）学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．

20．（8分）（2018•恩施州）如图所示，为测量旗台A与图书馆C之间的直线距离，小明在A处测得C在北偏东30°方向上，然后向正东方向前进100米至B处，测得此时C在北偏西15°方向上，求旗台与图书馆之间的距离．（结果精确到1米，参考数据≈1.41，≈1.73）

21．（8分）（2018•恩施州）如图，直线y=﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，与反比例函数y=的图象有唯一的公共点C．

（1）求k的值及C点坐标；

（2）直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称，且与y轴交于点B'，与双曲线y=交于D、E两点，求△CDE的面积．

22．（10分）（2018•恩施州）某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元．

（1）求A型空调和B型空调每台各需多少元；

（2）若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？

（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？

23．（10分）（2018•恩施州）如图，AB为⊙O直径，P点为半径OA上异于O点和A点的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，OE∥AD交BE于E点，连接AE、DE、AE交CD于F点．

（1）求证：DE为⊙O切线；

（2）若⊙O的半径为3，sin∠ADP=，求AD；

（3）请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明．

24．（12分）（2018•恩施州）如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点坐标为（﹣1，0），OC=2，OB=3，点D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标；

（3）若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得△M1BC、△M2BC、△M3BC的面积均为定值S，求出定值S及M1、M2、M3这三个点的坐标．

2018年湖北省恩施州中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）

1．（3分）（2018•恩施州）﹣8的倒数是（　　）

A．﹣8    B．8    C．﹣    D．

【解答】解：根据倒数的定义得：﹣8×（﹣）=1，

因此﹣8的倒数是﹣．

故选：C．

2．（3分）（2018•恩施州）下列计算正确的是（　　）

A．a4+a5=a9    B．（2a2b3）2=4a4b6

C．﹣2a（a+3）=﹣2a2+6a    D．（2a﹣b）2=4a2﹣b2

【解答】解：A、a4与a5不是同类项，不能合并，故本选项错误；

B、（2a2b3）2=4a4b6，故本选项正确；

C、﹣2a（a+3）=﹣2a2﹣6a，故本选项错误；

D、（2a﹣b）2=4a2﹣4ab+b2，故本选项错误；

故选：B．

3．（3分）（2018•恩施州）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；

D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．

故选：D．

4．（3分）（2018•恩施州）已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（　　）

A．8.23×10﹣6    B．8.23×10﹣7    C．8.23×106    D．8.23×107

【解答】解：0.000000823=8.23×10﹣7．

故选：B．

5．（3分）（2018•恩施州）已知一组数据1、2、3、x、5，它们的平均数是3，则这一组数据的方差为（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

【解答】解：∵数据1、2、3、x、5的平均数是3，

∴=3，

解得：x=4，

则数据为1、2、3、4、5，

∴方差为×[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=2，

故选：B．

6．（3分）（2018•恩施州）如图所示，直线a∥b，∠1=35°，∠2=90°，则∠3的度数为（　　）

A．125°    B．135°    C．145°    D．155°

【解答】解：

∵a∥b，

∴∠1=∠4=35°，

∵∠2=90°，

∴∠4+∠5=90°，

∴∠5=55°，

∴∠3=180°﹣∠5=125°，

故选：A．

7．（3分）（2018•恩施州）的立方根为（　　）

A．8    B．﹣8    C．4    D．﹣4

【解答】解：的立方根是4．

故选：C．

8．（3分）（2018•恩施州）关于x的不等式的解集为x＞3，那么a的取值范围为（　　）

A．a＞3    B．a＜3    C．a≥3    D．a≤3

【解答】解：解不等式2（x﹣1）＞4，得：x＞3，

解不等式a﹣x＜0，得：x＞a，

∵不等式组的解集为x＞3，

∴a≤3，

故选：D．

9．（3分）（2018•恩施州）由若干个完全相同的小正方体组成一个立体图形，它的左视图和俯视图如图所示，则小正方体的个数不可能是（　　）

A．5    B．6    C．7    D．8

【解答】解：由左视图可得，第2层上至少一个小立方体，

第1层一共有5个小立方体，故小正方体的个数最少为：6个，故小正方体的个数不可能是5个．

故选：A．

10．（3分）（2018•恩施州）一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店（　　）

A．不盈不亏    B．盈利20元    C．亏损10元    D．亏损30元

【解答】解：设两件衣服的进价分别为x、y元，

根据题意得：120﹣x=20%x，y﹣120=20%y，

解得：x=100，y=150，

∴120+120﹣100﹣150=﹣10（元）．

故选：C．

11．（3分）（2018•恩施州）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（　　）

A．6    B．8    C．10    D．12

【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，

∴△ABF∽△GDF，

∴==2，

∴AF=2GF=4，

∴AG=6．

∵CG∥AB，AB=2CG，

∴CG为△EAB的中位线，

∴AE=2AG=12．

故选：D．

12．（3分）（2018•恩施州）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：

①abc＞0；

②b2﹣4ac＞0；

③9a﹣3b+c=0；

④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；

⑤5a﹣2b+c＜0．

其中正确的个数有（　　）

A．2    B．3    C．4    D．5

【解答】解：∵抛物线对称轴x=﹣1，经过（1，0），

∴﹣=﹣1，a+b+c=0，

∴b=2a，c=﹣3a，

∵a＞0，

∴b＞0，c＜0，

∴abc＜0，故①错误，

∵抛物线与x轴有交点，

∴b2﹣4ac＞0，故②正确，

∵抛物线与x轴交于（﹣3，0），

∴9a﹣3b+c=0，故③正确，

∵点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，

﹣1.5＞﹣2，

则y1＜y2；故④错误，

∵5a﹣2b+c=5a﹣4a﹣3a=﹣2a＜0，故⑤正确，

故选：B．

二、填空题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分.不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）

13．（3分）（2018•恩施州）因式分解：8a3﹣2ab2=　2a（2a+b）（2a﹣b）　．

【解答】解：8a3﹣2ab2=2a（4a2﹣b2）

=2a（2a+b）（2a﹣b）．

故答案为：2a（2a+b）（2a﹣b）．

14．（3分）（2018•恩施州）函数y=的自变量x的取值范围是　x≥﹣且x≠3　．

【解答】解：根据题意得2x+1≥0，x﹣3≠0，

解得x≥﹣且x≠3．

故答案为：x≥﹣且x≠3．

15．（3分）（2018•恩施州）在Rt△ABC中，AB=1，∠A=60°，∠ABC=90°，如图所示将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为　π　．（结果不取近似值）

【解答】解：∵Rt△ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°，

∴∠ACB=30°，BC=，

将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，点B路径分部分：第一部分为以直角三角形30°的直角顶点为圆心，为半径，圆心角为150°的弧长；第二部分为以直角三角形60°的直角顶点为圆心，1为半径，圆心角为120°的弧长；

∴点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积=+=．

故答案为π．

16．（3分）（2018•恩施州）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为　1946　个．

【解答】解：2+0×6+3×6×6+2×6×6×6+1×6×6×6×6=1946，

故答案为：1946．

三、解答题（本大题共有8个小题，共72分.请在答题卷指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（8分）（2018•恩施州）先化简，再求值：•（1+）÷，其中x=2﹣1．

【解答】解：•（1+）÷

=••

=，

把x=2﹣1代入得，原式===．

18．（8分）（2018•恩施州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．

求证：AD与BE互相平分．

【解答】证明：如图，连接BD，AE，

∵FB=CE，

∴BC=EF，

又∵AB∥ED，AC∥FD，

∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（ASA），

∴AB=DE，

又∵AB∥DE，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴AD与BE互相平分．

19．（8分）（2018•恩施州）为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：

（1）a=　2　，b=　45　，c=　20　；

（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为　72　度；

（3）学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．

【解答】解：（1）本次调查的总人数为12÷30%=40人，

∴a=40×5%=2，b=×100=45，c=×100=20，

故答案为：2、45、20；

（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为360°×20%=72°，

故答案为：72；

（3）画树状图，如图所示：

共有12个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、乙的结果有2个，

故P（选中的两名同学恰好是甲、乙）==．

20．（8分）（2018•恩施州）如图所示，为测量旗台A与图书馆C之间的直线距离，小明在A处测得C在北偏东30°方向上，然后向正东方向前进100米至B处，测得此时C在北偏西15°方向上，求旗台与图书馆之间的距离．（结果精确到1米，参考数据≈1.41，≈1.73）

【解答】解：由题意知：∠WAC=30°，∠NBC=15°，

∴∠BAC=60°，∠ABC=75°，

∴∠C=45°

过点B作BE⊥AC，垂足为E．

在Rt△AEB中，

∵∠BAC=60°，AB=100米

∴AE=cos∠BAC×AB

=×100=50（米）

BE=sin∠BAC×AB

=×100=50（米）

在Rt△CEB中，

∵∠C=45°，BE=50（米）

∴CE=BE=50=86.5（米）

∴AC=AE+CE

=50+86.5

=136.5（米）

≈137米

答：旗台与图书馆之间的距离约为137米．

21．（8分）（2018•恩施州）如图，直线y=﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，与反比例函数y=的图象有唯一的公共点C．

（1）求k的值及C点坐标；

（2）直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称，且与y轴交于点B'，与双曲线y=交于D、E两点，求△CDE的面积．

【解答】解：（1）令﹣2x+4=，则2x2﹣4x+k=0，

∵直线y=﹣2x+4与反比例函数y=的图象有唯一的公共点C，

∴△=16﹣8k=0，

解得k=2，

∴2x2﹣4x+2=0，

解得x=1，

∴y=2，

即C（1，2）；

（2）当y=2时，2=，即x=3，

∴D（3，2），

∴CD=3﹣1=2，

∵直线l与直线y=﹣2x+4关于x轴对称，

∴A（2，0），B'（0，﹣4），

∴直线l为y=2x﹣4，

令=2x﹣4，则x2﹣2x﹣3=0，

解得x1=3，x2=﹣1，

∴E（﹣1，﹣6），

∴△CDE的面积=×2×（6+2）=8．

22．（10分）（2018•恩施州）某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元．

（1）求A型空调和B型空调每台各需多少元；

（2）若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？

（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？

【解答】解：（1）设A型空调和B型空调每台各需x元、y元，

，解得，，

答：A型空调和B型空调每台各需9000元、6000元；

（2）设购买A型空调a台，则购买B型空调（30﹣a）台，

，

解得，10≤a≤12，

∴a=10、11、12，共有三种采购方案，

方案一：采购A型空调10台，B型空调20台，

方案二：采购A型空调11台，B型空调19台，

方案三：采购A型空调12台，B型空调18台；

（3）设总费用为w元，

w=9000a+6000（30﹣a）=3000a+180000，

∴当a=10时，w取得最小值，此时w=210000，

即采购A型空调10台，B型空调20台可使总费用最低，最低费用是210000元．

23．（10分）（2018•恩施州）如图，AB为⊙O直径，P点为半径OA上异于O点和A点的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，OE∥AD交BE于E点，连接AE、DE、AE交CD于F点．

（1）求证：DE为⊙O切线；

（2）若⊙O的半径为3，sin∠ADP=，求AD；

（3）请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明．

【解答】证明：（1）如图1，连接OD、BD，BD交OE于M，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，AD⊥BD，

∵OE∥AD，

∴OE⊥BD，

∴BM=DM，

∵OB=OD，

∴∠BOM=∠DOM，

∵OE=OE，

∴△BOE≌△DOE（SAS），

∴∠ODE=∠OBE=90°，

∴DE为⊙O切线；

（2）设AP=a，

∵sin∠ADP==，

∴AD=3a，

∴PD===2a，

∵OP=3﹣a，

∴OD2=OP2+PD2，

∴32=（3﹣a）2+（2a）2，

9=9﹣6a+a2+8a2，

a1=，a2=0（舍），

当a=时，AD=3a=2，

∴AD=2；

（3）PF=FD，

理由是：∵∠APD=∠ABE=90°，∠PAD=∠BAE，

∴△APF∽△ABE，

∴，

∴PF=，

∵OE∥AD，

∴∠BOE=∠PAD，

∵∠OBE=∠APD=90°，

∴△ADP∽△OEB，

∴，

∴PD=，

∵AB=2OB，

∴PD=2PF，

∴PF=FD．

24．（12分）（2018•恩施州）如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，A点坐标为（﹣1，0），OC=2，OB=3，点D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标；

（3）若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得△M1BC、△M2BC、△M3BC的面积均为定值S，求出定值S及M1、M2、M3这三个点的坐标．

【解答】解：（1）由OC=2，OB=3，得到B（3，0），C（0，2），

设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

把C（0，2）代入得：2=﹣3a，即a=﹣，

则抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+x+2；

（2）抛物线y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣1）2+，

∴D（1，），

当四边形CBPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（4，）；

当四边形CDBP是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（2，﹣）；

当四边形BCPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（﹣2，）；

（3）设直线BC解析式为y=kx+b，

把B（3，0），C（0，2）代入得：，

解得：，

∴y=﹣x+2，

设与直线BC平行的解析式为y=﹣x+b，

联立得：，

消去y得：2x2﹣6x+3b﹣6=0，

当直线与抛物线只有一个公共点时，△=36﹣8（3b﹣6）=0，

解得：b=，即y=﹣x+，

此时交点M1坐标为（，）；

可得出两平行线间的距离为，

同理可得另一条与BC平行且平行线间的距离为的直线方程为y=﹣x+，

联立解得：M2（，﹣），M3（，﹣﹣），

此时S=1．