高一物理牛顿运动定律运用中的临界问题.doc

在应用牛顿定律解题时常遇到临界问题，它包括：平衡物体（a=0）的平衡状态即将被打破而还没有被打破的瞬间；动态物体（a≠0）的状态即将发生突变而还没有变化的瞬间。临界状态也可归纳为加速度即将发生突变的状态。

加速度发生突变的本质原因是物体的外力发生了突变，物体处于临界状态，必然隐含着某些力（如弹力、摩擦力等）的突变。抓住这些力突变的条件，是我们解题的关键。

一、和绳子拉力相联系的临界情况

例1. 小车在水平路面上加速向右运动，一质量为m的小球用一条水平线和一条斜线（与竖直方向成30°角）把小球系于车上，求下列情况下，两绳的拉力：

（1）加速度；

（2）加速度。

解析：小车处于平衡态（a=0）对小球受力分析如下图所示。

当加速度a由0逐渐增大的过程中，开始阶段，因m在竖直方向的加速度为0，角不变，不变，那么，加速度增大（即合外力增大），OA绳承受的拉力必减小。当时，m存在一个加速度，物体所受的合外力是的水平分力。当时，a增大，（OA绳处于松弛状态），在竖直方向的分量不变，而其水平方向的分量必增加（因合外力增大），角一定增大，设为a。

当时，。

当，有：

（1）

（2）

解得

当，有：

。

点评：1. 通过受力分析和对运动过程的分析找到本题中弹力发生突变的临界状态是绳子OA拉力恰好为零；

2. 弹力是被动力，其大小和方向应由物体的状态和物体所受的其他力来确定。

二、和静摩擦力相联系的临界情况

例2. 质量为m=1kg的物体，放在=37°的斜面上如下图所示，物体与斜面的动摩擦因数，要是物体与斜面体一起沿水平方向向左加速运动，则其加速度多大？

解析：当物体恰不向下滑时，受力分析如下图所示，

解得

当物体恰不向上滑时，受力分析如下图所示，

解得

因此加速度的取值范围为：

。

点评：本题讨论涉及静摩擦力的临界问题的一般方法是：

1. 抓住静摩擦力方向的可能性。

2. 最大静摩擦力是物体即将由相对静止变为相对滑动的临界条件。

本题有两个临界状态，当物体具有斜向上的运动趋势时及当物体具有斜向下的运动趋势时。

三、和滑动摩擦力相联系的临界条件

例3. 如下图所示，传送带与地面的倾角为，从A到B的长度16m，传送带以10m/s的速率逆时针方向转动，在传送带上端无初速地放一个质量为的物体，它与传送带之间的动摩擦因数为0.5，求物体从A到B所需的时间是多少？（）

解析：，物体的初速为零，开始阶段，物体速度小于传送带的速度，物体相对于传送带斜向上运动，其受到的滑动摩擦力斜向下，下滑力和摩擦力的合力使物体产生加速度，物体做初速度为零的匀加速运动。

当物体与传送带速度相等的瞬时，物体与传递带之间的摩擦力为零，但物体在下滑力的作用下仍要加速，物体的速度将大于传送带的速度，物体相对于传送带向斜向下的方向运动，在这一时刻摩擦力方向将发生突变，摩擦力方向由斜向下变为斜向上。物体的下滑力和所受的摩擦力的合力使物体产生了斜向下的加速度，由于下滑力大于摩擦力，物体仍做匀加速运动。

因，物体的初速为零。开始阶段，物体相对于传送带斜向上运动，其受到的滑动摩擦力斜向下，下滑力和摩擦力的合力使物体产生加速度，物体做初速度为零的匀加速运动。

根据牛顿第二定律

物体的速度与传送带速度相等需要的时间为

物体下滑的位移为

由于，物体在重力的作用下继续加速，当物体的速度大于传送带的速度时，传送带给物体一斜向上的滑动摩擦力。根据牛顿第二定律，得

设后一阶段物体滑至底端所用的时间为，由运动学公式得

解得

所以，物体由A到B所用时间为。

点评：1. 从对运动过程的分析中发现本题临界状态是滑动摩擦力方向的突变。

2. 注意和的区别。

四、和弹簧弹力相联系的临界条件

例4. 如下图所示，两块质量分别为和的物块，用劲度系数为的轻弹簧连在一起，放在水平面上，将物块1下压一段距离后释放，它在做简谐运动，在运动过程中，物块2始终没有离开水平面，且对水平面的最小压力为零，则物块l的最大加速度的大小是多大？物块2对水平面的最大压力是多大？

解析：以物块1为研究对象，弹簧对物块1的弹力和物块1的重力的合力是物块1做简谐运动的恢复力。弹簧弹起的初阶段，弹簧处于被压缩状态，向上的弹力大于重力，物块1向上做变加速运动，加速度逐渐减小，其方向竖直向上。当弹力等于重力时，物块1的加速度为零，而速度达到最大（平衡位置）。然后，弹簧处于伸长状态，物块1受到的弹力向下，弹力逐渐增大，加速度逐渐增大，达到最高点时，加速度最大，方向竖直向下。当物块1下落至最低点时，物块1的加速度也达到最大值，但方向竖直向上。

以物块2为研究对象，根据题设条件可知，当物快1达到最高点时，物块1受到的向下的弹力最大，此时，物块2受到的向上的弹力也最大，使地面对物块2的支持力为零。当物块1落至最低点时，其加速度与最高点的加速度等值反向，弹簧对物块1的弹力（方向向上）。此时，弹簧对物块2的弹力也最大，方向竖直向下，因此，物块2对地面的压力达到最大值。

（1）研究物块1上升的过程。

以物块1为研究对象，物块1在最高点处，加速度最大，且方向竖直向下，，最大。

以物块2为研究对象，最大时， 

，所以物块1的最大加速度为。

（2）研究物块1下落的过程。

物块1落至最低点处，其受到向上的弹力最大，加速度达到最大值，但方向竖直向上（简谐振动的对称性）。

对物块2受力分析，，根据牛顿第三定律，物块2对地面的压力的大小为

点评：临界问题的处理办法：

1. 找临界状态

（1）做好受力分析、运动过程分析和状态分析，抓运动过程中的“转折点”。

（2）利用假设法讨论，假设某命题成立，推理或判断物体的状态是否会发生突变。

2. 分析隐含条件

（1）弹力的突变

（2）摩擦力的突变。

牛顿运动定律中的临界问题

在牛顿运动定律应用问题中，常常会出现临界状态，对于此类问题的解法一般有以下三种方法。

一、极限法

如果题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等关键词时，一般隐藏着临界问题，处理这类问题时，常常把物理问题或过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显露出来，以便解题。

例1  如图1所示，质量均为M的两个木块A、B在水平力F的作用下，一起沿光滑的水平面运动，A与B的接触面光滑，且与水平面的夹角为60°，求使A与B一起运动时的水平力F的范围。

解析  当水平推力F很小时，A与B一起做匀加速运动，当F较大时，B对A的弹力FN竖直向上的分力等于A的重力时，地面对A的支持力FNA为零，此后，物体A将会相对B滑动。显而易见，本题的临界条件是水平力F为某一值时，恰好使A沿A与B的接触面向上滑动，即物体A对地面的压力恰好为零，受力分析如图2。

对整体有：；

隔离A，有：，，。

解得：

所以F的范围是0≤F≤

二、假设法

有些物理过程没有出现明显的临界问题的线索，但在变化过程中不一定出现临界状态，解答此类问题，一般用假设法，即假设出现某种临界状态，物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，最后再根据实际情况进行处理。

例2  一斜面放在水平地面上，倾角，一个质量为0.2kg的小球用细绳吊在斜面顶端，如图3所示。斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计斜面与水平面的摩擦，当斜面以10m/s2的加速度向右运动时，求细绳的拉力及斜面对小球的弹力。（g取10m/s2）

解析  斜面由静止向右加速运动过程中，斜面对小球的支持力将会随着a的增大而减小，当a较小时，小球受到三个力作用，此时细绳平行于斜面；当a增大时，斜面对小球的支持力将会减少，当a增大到某一值时，斜面对小球的支持力为零；若a继续增大，小球将会“飞离”斜面，此时绳与水平方向的夹角将会大于θ角。而题中给出的斜面向右的加速度a=10m/s2，到底属于上述哪一种情况，必须先假定小球能够脱离斜面，然后求出小球刚刚脱离斜面的临界加速度才能断定。

设小球刚刚脱离斜面时斜面向右的加速度为a0，此时斜面对小球的支持力恰好为零，小球只受到重力和细绳的拉力，且细绳仍然与斜面平行。对小球受力分析如图4所示。易知

 代入数据解得

因为＞，所以小球已离开斜面，斜面的支持力。

同理，由受力分析可知，细绳的拉力为：

此时细绳拉力T与水平方向的夹角为：

三、数学方法

将物理过程转化为数学表达式，然后根据数学中求极值的方法求出临界条件。

例3  如图5所示，质量为的木块与水平地面的动摩擦因数，木块用轻绳绕过光滑的定滑轮，轻绳另一端施一大小为20N的恒力F，使木块沿地面向右做直线运动，定滑轮离地面的高度，木块M可视为质点，问木块从较远处向右运动到离定滑轮多远时加速度最大？最大加速度为多少？

解析  设当轻绳与水平方向成角θ时，对M有

整理得

的推导：令，可知，当A取最大值时a最大。利用三角函数知识有：

，其中，而，与此相对应的角为

所以加速度的最大值为：此处是重点！

此时木块离定滑轮的水平距离为：

说明：此题并非在任何条件下都能达到上述最大加速度，当木块达到一定值时，有可能使物体脱离地面，此后物体将不在沿着水平面运动。因此，F、M、μ必须满足≤Mg。此题所给数据满足上述条件，能够达到最大加速度。

一、什么是临界问题。

1、当物体由一种物理状态变为另一种物理状态时，可能存在一个过渡的转折点，这时物体所处的状态通常称为临界状态，

2、与之相关的物理条件则称为临界条件,

3、涉及临界状态的物理问题叫临界问题。

下面通过一个例子来加以说明。

在小球向右加速的过程中有两种可能的状态：

      第一种：小球紧靠斜面，受三个力作用，θ=α

      第二种：小球飞离斜面，受两个力作用， θ<α

按照日常经验，我们可以知道，当加速度相对小一些时，小球处于第一种状态，当加速度相对大一些时，小球处于第二种状态。那么加速度的相对大小是跟哪个值比较而言的呢？这个值就应该是两种状态的转折点。

下面，我们通过受力分析来寻找这个值。

      由上面的分析可以看出：当N=0，θ=α时，小球处于临界状态

       此时有临界加速度

     若,小球处于第一种状态，若，小球处于第二种状态。

     请用同样的方法确定当小球向左加速的临界状态

例题一]一个质量为0.1kg的小球,用细线吊在倾角为α=37°的斜面顶端,系统静止时细线与斜面平行,不计一切摩擦,在下列情况下,绳子受到的拉力为多少？

（1）系统以5m/s2的加速度向左加速运动

（2）系统以10m/s2的加速度向右加速运动

（3）系统以15m/s2的加速度向右加速运动

解：（1）向左加速，临界T=0

         则，所以

         由于，             则绳子拉力不为0

解得：T=0.2N

思考：若加速度为10m/s2,拉力T又为多少？

（2）向右加速，临界N=0，θ=α

     则                  所以

         由于

从例题一中，我们不难总结出解决临界问题的一般方法（引导、提问）

二、解决临界问题的一般方法

1、分析物理模型可能出现的两种物理状态

2、寻找两种状态转变的临界状态，确定临界条件

3、将已知条件与临界条件进行比较，确定是何种物理状态

4、按照该物理状态的物理规律对问题进行分析处理

[例题二] 物体A和B叠放在光滑的水平面上，质量分别为mA=4kg，mB=1kg ，A，B之间的动摩擦因数为0.1,如果用水平方向的力F拉物体A，设A B之间的最大静摩擦力为8N， 

(1) 当F=5N时，A B之间摩擦力为多大？ 

(2) 当 F多大时，物体A恰好开始沿B的表面滑动？

   开始滑动后A、B的加速度各为多大？（g取10m/s2） 

上面我们先后讨论了关于弹力和摩擦力的临界问题，一般处理临界问题有两条经验可以在解题过程中参考

三、处理临界问题的两条经验

1、关于弹力的临界问题一般情况下临界条件为弹力为0；关于摩擦力的临界问题一般情况临界条件为摩擦力值为最大静摩擦力

2、许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语发掘内含规律，找出临界条件。 

[练习1]如图所示，在劲度系数为k的轻质弹簧下端固定一质量为m的物体，弹簧上端固定在天花板上.今用一托盘将物体托住，使弹簧恰为原长，然后使托盘以加速度竖直向下做匀加速直线运动（a（提问）解决这个问题的关键：

一、所谓脱离，隐藏了临界条件：N=0

二、尽管弹簧弹力为变力，物体却一直做匀变速直线运动，

（投影）

解：设弹簧伸长量为x时，托盘与物体分离，

    此时为临界状态弹力为零

    对于m： mg-kx=ma

    因物体在脱离前作匀变速直线运动，位移为x

        x=m(g-a)/k

       由运动学公式  x=1/2at2

       两式联系得 

[练习2]如图所示，质量均为M的两个木块A、B在水平力F的作用下，一起沿光滑的水平面运动，A与B的接触面光滑，且与水平面的夹角为60°，求使A与B一起运动时的水平力F的范围。

（提问）寻找临界条件

（学生练习，连接实物投影，

挑选代表性的解法：①分别隔离A、B②隔离A、整体考虑

解  ：一起运动，则无相对滑动

      临界状态为地面对A  的支持力为0。

      对于A和B：F=2Ma

      对于A：

       解得：

     所以F的范围是0≤F≤

 [学习心得]

1、处理临界问题的关键在于寻找临界条件

2、临界问题还经常和动量能量结合，在力学和电磁学的综合题当中也经常出现，但处理的方法也和今天介绍的类似，在今后学习中值得注意

[课后练习]

1、如图所示，木块A、B静止叠放在光滑水平面上，A的质量为m，B的质量为2m．现施水平力F拉B，A、B刚好不发生相对滑动，一起沿水平面运动．若改用水平力F′拉A，使A、B也保持相对静止，一起沿水平面运动，则F′不得超过

A．2F    B．F/2

C．3F    D．F/3