椭圆双曲线抛物线大题训练题(含答案)

一、解答题（共21题；共195分）

1.已知椭圆Γ： 的左，右焦点分别为F1( ，0)，F2( ，0)，椭圆的左，右顶点分别为A，B，已知椭圆Γ上一异于A，B的点P，PA，PB的斜率分别为k1  ， k2  ， 满足 .    

（1）求椭圆Γ的标准方程；    

（2）若过椭圆Γ左顶点A作两条互相垂直的直线AM和AN，分别交椭圆Γ于M，N两点，问x轴上是否存在一定点Q，使得∠MQA=∠NQA成立，若存在，则求出该定点Q，否则说明理由.    

2.已知椭圆C： =1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1  ， F2  ， 点A（ ， ）在椭圆C上，且△F1AF2的面积为 。    

（1）求椭圆C的方程。    

（2）设直线y=kx+1和椭圆C交于B，D两点，O为坐标原点，判断在y轴上是否存在点E，使∠OEB=∠OED。若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。    

3.已知椭圆 的离心率为 ，点 椭圆的右顶点.    

（1）求椭圆的方程；    

（2）过点 的直线 与椭圆交于 两点，直线 与直线 的斜率和为 ，求直线l的方程.    

4.设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 .已知椭圆的短轴长为4，离心率为 .  

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 在 轴的负半轴上.若 （ 为原点），且 ，求直线 的斜率.

5.设A，B为曲线C：y= 上两点，A与B的横坐标之和为4．（12分）

（1）求直线AB的斜率；

（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．

6.设椭圆 的右焦点为 ，过 得直线 与 交于 两点，点 的坐标为 .    

（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；    

（2）设 为坐标原点，证明： .    

7.已知椭圆C： + =1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）中恰有三点在椭圆C上．（12分）

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．

8.设椭圆 的左焦点为 ，左顶点为 ，顶点为B.已知 （ 为原点）.  

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设经过点 且斜率为 的直线 与椭圆在 轴上方的交点为 ，圆 同时与 轴和直线 相切，圆心 在直线 上，且 ，求椭圆的方程.

9.已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点，线段 的中点为 

（1）证明: 

（2）设 为 的右焦点， 为 上一点，且 ，证明: 

10.已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．

（Ⅰ）证明：坐标原点O在圆M上；

（Ⅱ）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．

11.设抛物线 的焦点为F，过F点且斜率 的直线 与 交于 两点， .    

（1）求 的方程。    

（2）求过点 且与 的准线相切的圆的方程.    

12.已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切。    

（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径。    

（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|-|MP|为定值？并说明理由。    

13.已知 是椭圆C：    的两个焦点，  为 上的点，  为坐标原点。    

（1）若 为等边三角形，求 的离心率；    

（2）如果存在点P，使得 ，且 的面积等于16，求 的值和a的取值范围。    

14.已知曲线C：y= ，D为直线y= 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A  ， B.    

（1）证明：直线AB过定点：    

（2）若以E(0， )为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.    

15.在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：（12分）

（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；

（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．

16.已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P。    

（1）若|AF|+|BF|=4,求l的方程：    

（2）若 ,求|AB|。    

17.已知曲线C:  ，D为直线y=- 的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.    

（1）证明：直线AB过定点；    

（2）若以E（0， ）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.    

18.双曲线 的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点．

（1）若l的倾斜角为  ， 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

（2）设 ，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率．

19.已知双曲线 的虚轴长为 ，且离心率为 ．    

（1）求双曲线的方程；    

（2）经过双曲线右焦点 作倾斜角为 的直线，直线与双曲线交于不同的两点 ，求 ．    

20.双曲线 （ ）.    

（1）若 的一条渐近线方程为 ，求 的方程；    

（2）设 、 是 的两个焦点， 为 上一点，且 ，△ 的面积为9，求 的值；    

21.已知两定点F1（﹣ ，0），F2（ ，0），满足条件|PF2|﹣|PF1|=2的点P的轨迹是曲线E．    

（1）求曲线E的方程；    

（2）设过点（0，﹣1）的直线与曲线E交于A，B两点．如果|AB|=6 ，求直线AB的方程．    

答案解析部分

一、解答题

1.【答案】 （1）解：设 ， 

， ，

则 .

椭圆 的标准方程为 .

（2）解：由（1）可知左顶点 ，且过点 的直线 和 的斜率存在，   

设直线 和 的方程分别为 和 ，

设 ，

联立 ，

直线 和椭圆 交于 两点，

，

， 

同理 .

设 轴上存在一定点 ，使得 成立，则 ，

，则 

，

，

即 ，解得 . 

因此 轴上存在一定点 ，使得 成立.

【解析】【分析】（1）设 ，根据题意可得 ，结合椭圆的方程化简可得 ，再由 即可求解. （2）根据设直线 和 的方程分别为 和 ，将直线方程与椭圆方程联立求出 、 ，设 轴上存在一定点 ，使得 成立，则 ，利用两点求斜率化简即可求得.

2.【答案】 （1）解：设F1（-c，0），F2（c，0），△F1AF2的面积为 ，所以 ×2c× = ，得c=1，所以b2=a2-c2=a2-1。又因为点A（ ， ）在椭圆C上，所以 =1，解得a=2，故b= ，所以椭圆C的方程为 =1。

（2）解：假设在y轴上存在点E，使∠OEB=∠OED，设E（0，m），B（x1  ， y1），D（x2  ， y2）， 

则由kEB+kED=0，可得 =0。

即x2（y1-m）+x1（y2-m）=0，

所以x2（kx1+1-m）+x1（kx2+1-m）=0，

即2kx1x2+（1-m）（x1+x2）=0。

联立 ，可得（3+4k2）x2+8kx-8=0

则x1+x2= ，x1x2= ，代入2kx1x2+（1-m）（x1+x2）=0，得k（3-m）=0，所以m=3。

故在y轴上存在点E（0，3），使∠OEB=∠OED。

【解析】【分析】（1）利用椭圆的标准方程求出左、右焦点坐标，再利用点A（ ， ）在椭圆C上 ，且△F1AF2的面积为 ，再结合代入法和三角形面积公式，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出a,b的值，进而求出椭圆的标准方程。

 （2）假设在y轴上存在点E，使∠OEB=∠OED，设E（0，m），B（x1  ， y1），D（x2  ， y2）， 则由kEB+kED=0，再利用两点求斜率公式，从而得出 =0，再利用直线y=kx+1和椭圆C交于B，D两点，联立二者方程求出交点坐标，从而求出m的值，从而得出在y轴上存在点E（0，3），使∠OEB=∠OED。

3.【答案】 （1）解：因为点 是椭圆的右项点，   

所以 .  又 ，所以 .

又 ，所以 

所以椭圆的方程为 .

（2）解：若直线l与x轴垂直，则 ，则 ，   

所以直线l的斜率存在.

设直线l的方程为 ，

联立 ，消去 ，得 

则有 

直线 的斜率为 ，直线 的斜率为） ，

所以 .

又 

，

化简得 .

又 ，

所以 ，

化简得 ，解得 或 ，

又 时，过点 ，故舍去，

所以直线l的方程为 .

【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率以及顶点坐标即可得 方程，求解即可；（2）设出直线，联立椭圆方程，根据韦达定理，利用已知条件求解即可.

4.【答案】 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 ，依题意， ，又 ，可得 ， .   

所以，椭圆的方程为 .

（Ⅱ）由题意，设 .设直线 的斜率为 ，又 ，则直线 的方程为 ，与椭圆方程联立 整理得 ，可得 ，代入 得 ，进而直线 的斜率 .在 中，令 ，得 .由题意得 ，所以直线 的斜率为 .由 ，得 ，化简得 ，从而 .

所以，直线 的斜率为 或 

【解析】【分析】本题主要考查直线与圆锥曲线方程和圆锥曲线的性质。

（Ⅰ）由椭圆的短轴长，离心率，即可求 ，进而求得椭圆的方程；

（Ⅱ）由已知条件写出直线 的点斜式，把直线 的方程跟椭圆的方程联立，用 表示出P点的坐标，进而求出 ,在通过已知条件求出 ，由 ，得出 求出 的值，进而得出直线 的斜率。

5.【答案】 （1）解：设A（x1  ，  ），B（x2  ，  ）为曲线C：y= 上两点，

则直线AB的斜率为k= = （x1+x2）= ×4=1；

（2）设直线AB的方程为y=x+t，代入曲线C：y= ，

可得x2﹣4x﹣4t=0，即有x1+x2=4，x1x2=﹣4t，

再由y= 的导数为y′= x，

设M（m， ），可得M处切线的斜率为 m，

由C在M处的切线与直线AB平行，可得 m=1，

解得m=2，即M（2，1），

由AM⊥BM可得，kAM•kBM=﹣1，

即为 • =﹣1，

化为x1x2+2（x1+x2）+20=0，

即为﹣4t+8+20=0，

解得t=7．

则直线AB的方程为y=x+7．

【解析】【分析】（1.）设A（x1  ，  ），B（x2  ，  ），运用直线的斜率公式，结合条件，即可得到所求；

（2.）设M（m， ），求出y= 的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得m，即有M的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得x1  ， x2的关系式，再由直线AB：y=x+t与y= 联立，运用韦达定理，即可得到t的方程，解得t的值，即可得到所求直线方程．

6.【答案】 （1）解：由已知得 ，l的方程为x=1.

由已知可得，点A的坐标为 或 .

所以AM的方程为 或 .

（2）解：当l与x轴重合时， .

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以 .

当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为 ， ，

则 ，直线MA  ， MB的斜率之和为 .

由 得

.

将 代入 得

.

所以， .

则 .

从而 ，故MA  ， MB的倾斜角互补，所以 .

综上， .

【解析】【分析】(1)由椭圆方程得F的坐标,得到直线l的方程,代入椭圆方程中求出点A,B的坐标,再求出直线AM的方程;(2) 等价于直线MA,MB的斜率互为相反数,设出直线l的方程代入到椭圆的方程中,消去x得到关于y的二次方程,由韦达定理计算直线MA,MB的斜率的和为0,得证.

7.【答案】 （1）解：根据椭圆的对称性，P3（﹣1， ），P4（1， ）两点必在椭圆C上，

又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），

∴P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）三点在椭圆C上．

把P2（0，1），P3（﹣1， ）代入椭圆C，得：

，解得a2=4，b2=1，

∴椭圆C的方程为 =1．

（2）证明：①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，yA），B（m，﹣yA），

∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，

∴ = = =﹣1，

解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．

②当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），A（x1  ， y1），B（x2  ， y2），

联立 ，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，

，x1x2= ，

则 = = 

= = =﹣1，又b≠1，

∴b=﹣2k﹣1，此时△=﹣k，存在k，使得△＞0成立，

∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，

当x=2时，y=﹣1，

∴l过定点（2，﹣1）．

【解析】【分析】（1.）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1， ）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．

（2.）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），联立 ，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．

8.【答案】 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 ，由已知有 ，又由 ，消去 得 ，解得 .   

所以，椭圆的离心率为 .

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，  ，故椭圆方程为 .由题意， ，则直线 的方程为 .点P的坐标满足 ，消去 并化简，得到 ，解得 ，代入到 的方程，解得 .因为点 在 轴上方，所以 .由圆心 在直线 上，可设 .因为 ，且由（Ⅰ）知 ，故 ，解得 .因为圆 与 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆 与 相切，得 ，可得 .

所以，椭圆的方程为 

【解析】【分析】（Ⅰ）由 |得， ，又 ，即可求椭圆的离心率；

（Ⅱ）点斜式设出直线 的方程，由离心率的值设出椭圆的方程，将这两个方程联立方程组，应用根与系数的关系，用 表示出点P,再由圆心 在直线 上，设 ，由 ，列出关于等式 ，求出 ，再由圆 与 轴相切求出 ，即可求出椭圆的方程．

9.【答案】 （1）解：设 

设A（x1,y1）B（x2,y2）

所以 

又 

所以       所以 

（2）解：F（1,0） 所以P（1，-2m）在抛物线上

所以3+16m2=12 16m2=9 

即 

又 

同理 

所以 

所以 

【解析】【分析】（1）联立方程解，韦达定理;（2）向量坐标运算，得到P坐标在椭圆上，即P坐标已知，再用两点间距离公式得到 ，用第一问结论代入

10.【答案】 解：方法一：证明：（Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，﹣2），

则 =（2，2）， =（2，﹣2），则 • =0，

∴ ⊥ ，

则坐标原点O在圆M上；

当直线l的斜率存在，设直线l的方程y=k（x﹣2），设A（x1  ， y1），B（x2  ， y2），

，整理得：k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，

则x1x2=4，4x1x2=y12y22=（y1y2）2  ， 由y1y2＜0，

则y1y2=﹣4，

由 • =x1x2+y1y2=0，

则 ⊥ ，则坐标原点O在圆M上，

综上可知：坐标原点O在圆M上；

方法二：设直线l的方程x=my+2，

，整理得：y2﹣2my﹣4=0，设A（x1  ， y1），B（x2  ， y2），

则y1y2=﹣4，

则（y1y2）2=4x1x2  ， 则x1x2=4，则 • =x1x2+y1y2=0，

则 ⊥ ，则坐标原点O在圆M上，

∴坐标原点O在圆M上；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：x1x2=4，x1+x2= ，y1+y2= ，y1y2=﹣4，

圆M过点P（4，﹣2），则 =（4﹣x1  ， ﹣2﹣y1）， =（4﹣x2  ， ﹣2﹣y2），

由 • =0，则（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）=0，

整理得：k2+k﹣2=0，解得：k=﹣2，k=1，

当k=﹣2时，直线l的方程为y=﹣2x+4，

则x1+x2= ，y1+y2=﹣1，

则M（ ，﹣ ），半径为r=丨MP丨= = ，

∴圆M的方程（x﹣ ）2+（y+ ）2= ．

当直线斜率k=1时，直线l的方程为y=x﹣2，

同理求得M（3，1），则半径为r=丨MP丨= ，

∴圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10，

综上可知：直线l的方程为y=﹣2x+4，圆M的方程（x﹣ ）2+（y+ ）2= 

或直线l的方程为y=x﹣2，圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10．

【解析】【分析】（Ⅰ）方法一：分类讨论，当直线斜率不存在时，求得A和B的坐标，由 • =0，则坐标原点O在圆M上；当直线l斜率存在，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的可得 • =0，则坐标原点O在圆M上；

方法二：设直线l的方程x=my+2，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得 • =0，则坐标原点O在圆M上；

（Ⅱ）由题意可知： • =0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，求得M点坐标，则半径r=丨MP丨，即可求得圆的方程．

11.【答案】 （1）设直线l 的方程：y=k(x-1)将其代入抛物线C：y2=4x得到：

K2x2-（2k2+4）x+k2=0

设A（x1  ， y1），B（x2  ， y2），△=（2k2+4）-4k2=16k2+16＞0

X1+x2=2+ 

而 ，且k＞0

解得：k=1

所以直线l的方程：y=x-1

（2）由（1）得A，B的中点坐标为：（3,2），所以AB的垂直平分线方程为y-2=-（x-3）,即y=-x+5

设所求圆的圆心坐标为（x0  ， y0），则

解得： 或 

因此所求圆的方程为：（x-3）2+（y-2）2=16或（x-11）2+（y+6）2=144

【解析】【分析】（1）由弦长公式，直线与抛物线相交知识易得l的方程；（2）找圆心，求半径。

12.【答案】 （1）解：因为 过点 ，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线 上，且 关于坐标原点O对称，所以M在直线 上，故可设 .

因为 与直线x+2=0相切，所以 的半径为 .

由已知得 ，又 ，故可得 ，解得 或 .

故 的半径 或 .

（2）存在定点 ，使得 为定值.

理由如下：

设 ，由已知得 的半径为 .

由于 ，故可得 ，化简得M的轨迹方程为 .

因为曲线 是以点 为焦点，以直线 为准线的抛物线，所以 .

因为 ，所以存在满足条件的定点P.

【解析】【分析】(1)因为 过点 ，利用垂直平分线的性质推出圆心M在AB的垂直平分线上，再由点A在直线 上，结合点与点关于点对称的性质和求解方法推出点M在直线 上，故可设 ，再利用直线与圆相切的位置关系的判断方法求出 的半径与 的关系式，再由已知得 ，结合两向量垂直，用勾股定理求出 的值，从而求出 的半径。（2）设 ，由已知得 的半径为 

再由两向量垂直，用勾股定理求出点M的轨迹方程 ，从而判断出点M的轨迹为抛物线，因为曲线 是以点 为焦点，以直线 为准线的抛物线，再利用抛物线的定义得出 因为 ，所以存在满足条件的定点 使得 为定值。

13.【答案】 （1）解：连结 ，由 为等边三角形可知在 中， ， ， ，于是 ，故 的离心率是 .

（2）由题意可知，满足条件的点 存在当且仅当 ， ， ，即 ，①  

 ，②

 ，③

由②③及 得 ，又由①知 ，故 .

由②③得 ，所以 ，从而 故 .

当 ， 时，存在满足条件的点P.

所以 ， 的取值范围为 .

【解析】【分析】（1）首先设出椭圆的坐标，再由等边三角形可得出边之间的关系，利用勾股定理再结合解三角形的知识即可求出离心率的值。（2）结合已知求出三角形面积公式的代数式，结合椭圆的定义以及直角三角形的边的关系，求出b的值再由椭圆的几何意义进而求出a的取值范围即可。 

14.【答案】 （1）解：设 ，则 .  

由于 ，所以切线DA的斜率为 ，故  .

整理得  

设 ，同理可得 .

故直线AB的方程为 .

所以直线AB过定点 .

（2）由（1）得直线AB的方程为 .  

由 ，可得 .

于是 .

设M为线段AB的中点，则 .

由于 ，而 ， 与向量 平行，所以 .解得t=0或 .

当 =0时， =2，所求圆的方程为 ；

当 时，   ， 所求圆的方程为 .

【解析】【分析】（1）先求导，分别得到切线DA和DB的方程，可得直线AB的方程，即可证明直线AB过定点；（2）由（1）中直线AB的方程与抛物线方程联立，由 与向量 平行列式，解出t的值，即可求出该圆的方程. 

15.【答案】 （1）解：曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，

可设A（x1  ， 0），B（x2  ， 0），

由韦达定理可得x1x2=﹣2，

若AC⊥BC，则kAC•kBC=﹣1，

即有 • =﹣1，

即为x1x2=﹣1这与x1x2=﹣2矛盾，

故不出现AC⊥BC的情况；

（2）证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），

由题意可得y=0时，x2+Dx+F=0与x2+mx﹣2=0等价，

可得D=m，F=﹣2，

圆的方程即为x2+y2+mx+Ey﹣2=0，

由圆过C（0，1），可得0+1+0+E﹣2=0，可得E=1，

则圆的方程即为x2+y2+mx+y﹣2=0，

再令x=0，可得y2+y﹣2=0，

解得y=1或﹣2．

即有圆与y轴的交点为（0，1），（0，﹣2），

则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3．

【解析】【分析】（1.）设曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A（x1  ， 0），B（x2  ， 0），运用韦达定理，再假设AC⊥BC，运用直线的斜率之积为﹣1，即可判断是否存在这样的情况；

（2.）设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），由题意可得D=m，F=﹣2，代入（0，1），可得E=1，再令x=0，即可得到圆在y轴的交点，进而得到弦长为定值．

16.【答案】 （1）解：设直线 的方程为： 

的方程为： 

（2）解： ， 

由 得： 联立上式得 

【解析】【分析】（1）由抛物线求出焦点坐标，再利用斜截式设出斜率为 的直线l的方程，再利用直线l与抛物线的交点为A，B，联立二者方程求出交点坐标，再利用抛物线的定义求出b的值，再利用斜率和b的值求出直线 的方程。（2）利用斜截式设出斜率为 的直线l的方程，再利用直线l与x轴的交点为P，联立二者方程求出交点P的坐标，再由共线定理的坐标表示求出b的值和交点A,B的纵坐标，再利用直线的斜率结合韦达定理与交点坐标的关系式，用弦长公式求出弦长AB的值。

17.【答案】 （1）解：设 ，则 .  

由于 ，所以切线DA的斜率为 ，故  .

整理得  

设 ，同理可得 .

故直线AB的方程为 .

所以直线AB过定点 .

（2）由（1）得直线AB的方程为 .  

由 ，可得 .

于是 ，

 .

设 分别为点D  ， E到直线AB的距离，则 .

因此，四边形ADBE的面积 .

设M为线段AB的中点，则 .

由于 ，而 ， 与向量 平行，所以 .解得t=0或 .

当 =0时，S=3；当 时， .

因此，四边形ADBE的面积为3或 .

【解析】【分析】（1）先求导，分别得到切线DA和DB的方程，可得直线AB的方程，即可证明直线AB过定点；（2）由（1）中直线AB的方程与抛物线方程联立，利用弦长公式和点到直线的距离公式，分别得到|AB|与点D，E到直线AB的距离，由 与向量 平行列式，即可求出四边形ADBE的面积. 

18.【答案】 （1）解：设 ．

由题意， ， ， ，

因为 是等边三角形，所以 ，

即 ，解得 ．

故双曲线的渐近线方程为 

（2）解：由已知， ．

设 ， ，直线 ．

由 ，得 ．

因为 与双曲线交于两点，所以 ，且 ．

由 ， ，得 ，

故 ，

解得 ，故 的斜率为 ．

【解析】【分析】（1）设 ．根据 是等边三角形，得到 ，解得 ．（2）设 ， ，直线 与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据 与双曲线交于两点，可得 ，且 ．由|AB|=4得出 的方程求解．

19.【答案】 （1）解：双曲线 的虚轴长为 ，离心率为 ，   

∴ 解得 ， ， ，

∴双曲线的方程为 .

（2）解：由（1）知双曲线 的右焦点为 ，设经过双曲线右焦点 且倾斜角为 的直线的方程为 ， ， ，   

由 ，得 ，其中， ， ，

.

【解析】【分析】（1）由题意可得 ， ，解方程可得 ， ， ，可得所求双曲线的方程；（2）设经过双曲线右焦点 且倾斜角为 的直线的方程为 ，联立双曲线方程，可得 的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值．

20.【答案】 （1）解：因为双曲线 （ ）的一条渐近线方程为 ，   

所以 ，因此， 的方程为 

（2）解：双曲线定义可得： ，   

又 ，△ 的面积为9，

所以 ，且 ，

所以 ，故 ，

所以 ，因此， 

【解析】【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程得出b的值。

 （2）根据题意利用双曲线的定义得出a的值，再利用勾股定理以及三角形的面积公式得出b的值。

21.【答案】 （1）解：由双曲线的定义可知，曲线E是以F1（﹣ ，0），F2（ ，0）为焦点的双曲线的左支，且c= ，a=1，  

∴b= =1，故曲线E的方程为x2﹣y2=1（x＜0）

（2）解：设A（x1  ， y1），B（x2  ， y2），由题意建立方程组 ，消去y，得（1﹣k2）x2+2kx﹣2=0，  

又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，有 ，

解得﹣ ＜k＜﹣1．

∵|AB|= = =2 = ，

∴28k4﹣55k2+25=0，

∴ 或 ，

∵﹣ ＜k＜﹣1，

∴ ，

∴直线AB的方程为 

【解析】【分析】（1）根据条件|PF2|﹣|PF1|=2，利用双曲线的定义，可求曲线E的方程；（2）直线方程代入双曲线方程，利用直线与双曲线左支交于两点A，B，求出k的范围，再利用|AB|=6 ，求出k的值，从而可求直线AB的方程．