一元二次方程根与系数的关系教学设计

【教学设计总意图】：本课是一节公式定理的新知课第一课时，曾在旧版的教材中占据很重要的位置，本册教材又将曾一度删去的内容恢复，可见根与系数关系的重要.它为进一步解决一元二次方程、二次函数以及相关的数学问题提供一些新的思路.但本课毕竟是第一课时，让学生体会公式基本内容，在头脑中形成积极印象很关键. 所以从绝绝大部分同学掌握的知识水准出发，针对本班学生的特点，本课在(a≠0 , b2 –4ac≥0)的前提条件下设计，所有的一元二次方程均有解.

教学目标：1、理解根系关系的推导过程；

          2、掌握不解方程，应用根与系数关系解题的方法；

          3、体会从特殊到一般，再由一般到特殊的推导思路

教学重点：应用根与系数关系解决问题；

教学难点：根系关系的推导过程

教学流程：引入新知，推导新知，巩固新知，应用新知，  

教学过程：

一．引入新知

   师：同学们，这节课老师想和大家玩个游戏，大家先随意说出两个实数，老师能够快速的说出以这两个数为根的一元二次方程，大家相信吗？

   学生兴趣盎然，纷纷举手，老师一一回答，并让学生通过解方程验证老师说得对不对。

学生惊奇的发现老师的回答都是准确的，老师再问学生们原因从而引入新课学习。

【设计意图】创设一个情境，师生娱乐的同时激起学生的探究欲望和学习数学的兴趣.

二．推导新知

1．方程的两根，计算两根和与两根积的值，并猜想两根和、两根积与一元二次方程各项系数之间的关系

2．学生证明：

     x1和x2 是一元二次方程 ax2 +bx +c =0 (a≠0 , b2 –4ac≥0)

      x1+x2 = -  , x1x2 =    注意：负号不能漏写

【设计意图】学生在已有公式法解一元二次方程的知识基础上，能够最快速度说出x1和x2的值，接下来将字母系数表示的x1和x2的值代入相对应的代数式   x1+x2 和x1x2 得出根与系数关系的结论，凭借学生自己的现有水平能够解决证明过程.还能够让学生体会，数学知识的一些结论是在计算的过程中产生的，数学中那一系列的字母并不是高不可攀.

三．巩固新知

例1：不解方程，求下列方程的两根和与两根积

（1）x2 – 3x +1 =0

（2）3x2 – 2x - 2=0

（3）2x2 –3x =0

（4）3x2  =1

【设计意图】新知产生后，直接应用新知是学生的模仿阶段，也是本课教学最基本的知识目标，这时需要强化记忆，设计例1可引导学生发现应用根系关系解决两根和与两根积的问题不需求出复杂的两根，同时渗透着整体代入的数学方法，为例2巩固知识奠定基础.

例2：已知：x1和x2 是一元二次方程x2 -4x +1=0的2根, 求下列代数式的值

（1） + 

（2）x12 + x22 

      （3）（x1 - x2）2 

学生练习：（1） + 

         （2）（x1+1）（x2+1）

【设计意图】 本例对绝大多数同学来说是可以掌握的内容，也是研究根与系数关系应掌握的内容，还可以让学生进一步体会整体代入的数学思想方法 .

四．应用新知

1．一元二次方程的两根分别是2和-3，则这个一元二次方程是(  )

  A.x2-6x+8=0  2+2x-3=0  2-x-6=0  2+x-6=0

2．x2-(m+6)x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是(  )

  A.-2或3      或2

3．关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2.

  (1)求m的取值范围；

  (2)若2(x1+x2)+x1x2+10=0，求m的值.

【设计意图】通过几个典型的题目，进一步深化理解一元二次方程根与系数的关系，提高学生应用知识的能力。

五．课堂小结

通过本课的学习，你有什么收获和疑惑？

【设计意图】通过小结加深学生对知识的记忆，教师进一步提醒学生易错点。

六．课后作业

1．关于x的方程x2-ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是多少？

2．一元二次方程mx2-2mx+m-2=0.

  (1)若方程有两实数根，求m的范围.

  (2)设方程两实根为x1,x2，且|x1-x2|=1，求m.

【设计意图】通过课后作业巩固所学，加深学生对知识的理解。